Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)

Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)Phương trình toán tử Jđơn điệu và phương pháp Newton Kantorovich (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON–KANTOROVICH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN-2015 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Phương trình tốn tử phi tuyến 1.1 Không gian Banach 6 1.1.1 1.1.2 1.2 Không gian Banach lồi đều, trơn Ánh xạ J -đơn điệu 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Phương trình tốn tử phi tuyến 1.2.1 1.2.2 Phương trình tốn tử đặt khơng chỉnh Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov 10 1.2.3 Phương pháp Newton 11 Phương pháp Newton–Kantorovich 15 2.1 Phương pháp Newton–Kantorovich định lý hội tụ 15 2.1.1 2.1.2 2.2 Phương pháp 15 Định lý hội tụ 16 Phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich 30 2.2.1 Mô tả phương pháp 30 2.2.2 Sự hội tụ 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Bảng ký hiệu X không gian Banach thực X∗ không gian liên hợp X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền giá trị toán tử A Fix(T ) Tập điểm bất động tốn tử T H khơng gian Hilbert C tập lồi đóng H I ánh xạ đơn vị PC Phép chiếu mêtrix H lên tập lồi đóng C H xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x Mở đầu Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp X Để đơn giản, ta ký hiệu chuẩn không gian X X ∗ Ta viết x, x∗ thay cho x∗ (x) với x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Đề tài luận văn nghiên cứu tốn tìm nghiệm phương trình tốn tử phi tuyến: A(x) = f, f ∈ X, (0.1) A : X → X toán tử J-đơn điệu X Nếu khơng có thêm điều kiện đặc biệt đặt lên toán tử A, chẳng hạn tính chất J-đơn điệu J-đơn điệu mạnh, phương trình (0.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa nghiệm tốn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu Để giải loại toán ta phải sử dụng phương pháp giải ổn định Một phương pháp sử dụng rộng rãi hiệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov dạng (xem [3]): A(x) + αn (x − x+ ) = fn , (0.2) với fn − f ≤ δn → n → +∞, x+ phần tử cho trước αn dãy tham số dương đủ bé thỏa mãn αn → n → +∞ Nếu A tốn tử phi tuyến phương trình hiệu chỉnh (0.2) toán phi tuyến Để khắc phục khó khăn giải tốn phi tuyến này, Bakushinskii đề xuất phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich không gian Hilbert H giải phương trình (0.1) (xem [4]): x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn xn+1 = fn , (0.3) với A A ký hiệu đạo hàm Fréchet cấp cấp hai tương ứng A, giả thiết thỏa mãn điều kiện: (C1) A liên tục Lipschitz, (C2) A (x) ≤ M, ∀x ∈ H, M số dương Phương pháp (0.3) phát triển từ không gian Hilbert lên không gian Banach Ryazantseva dạng (xem [11]): x0 ∈ E, A(xn ) + A (xn )(xn+1 − xn ) + αn J s (xn+1 ) = fn , với A ánh xạ đơn điệu từ X vào X ∗ thỏa mãn điều kiện (C3) A (x) ≤ ϕ( x ), (1) ϕ(t) hàm không âm, không giảm với t ≥ Năm 2008, Giáo sư Nguyễn Bường học trò (xem [6]) cải tiến phương pháp (0.3) trường hợp A toán tử m-J-đơn điệu không gian Banach chứng minh hội tụ mạnh phương pháp với việc sử dụng điều kiện trơn nghiệm, nghĩa tồn phần tử ω ∈ X cho A (x∗ )ω = x+ − x∗ , điều kiện đặt lên ánh xạ đạo hàm A : A(x) − A(x∗ ) − J ∗ A (x∗ )∗ J(x − x∗ ) ≤ τ A(x) − A(x∗ ) ∀x ∈ E, τ số dương J ∗ ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X ∗ Mục đích đề tài luận văn nhằm trình bày phương pháp Newton– Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình tốn tử J-đơn điệu (0.1) trình bày số định lý hội tụ phương pháp Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương với tiêu đề "Phương trình tốn tử phi tuyến" nhằm giới thiệu phương trình tốn tử phi tuyến J-đơn điệu đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh toán Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[9] Chương với tiêu đề "Phương pháp Newton–Kantorovich" nhằm giới thiệu phương pháp Newton–Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton–Kantorovich giải phương trình tốn tử J-đơn điệu Nội dung chương viết từ báo [5], [8] [10] Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới người kính mến TS Nguyễn Thị Thu Thủy tận tình hướng dẫn tơi hồn thành đề tài Tơi vơ biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy giáo Khoa Tốn - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dạy dỗ, đóng góp nội dung cách thức trình bày đề tài Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2015 Nguyễn Văn Đạt Chương Phương trình tốn tử phi tuyến Trong chương này, chúng tơi giới thiệu số khái niệm tính chất khơng gian Banach phản xạ có chuẩn khả vi Gâteaux đều, toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu Phần thứ hai chương giới thiệu phương trình tốn tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương trình phi tuyến Nội dung chương tham khảo tài liệu [1]-[11] 1.1 1.1.1 Không gian Banach Không gian Banach lồi đều, trơn Cho X không gian Banach thực, X ∗ không gian liên hợp X x∗ , x ký hiệu giá trị x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Ký hiệu 2X họ tập khác rỗng X Cho T ánh xạ với miền xác định D(T ) miền giá trị R(T ) Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T , nghĩa Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T (x) = x} Ký hiệu mặt cầu đơn vị X SX , SX = {x ∈ X : x = 1} Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi không gian (i) lồi chặt với x, y ∈ SE , x = y (1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1), (ii) lồi với ε thỏa mãn < ε ≤ 2, x, y thỏa mãn x ≤ 1, y ≤ x − y ≥ ε, tồn δ = δ(ε) ≥ cho x+y ≤ − δ Chú ý không gian Banach lồi đều không gian phản xạ lồi chặt Định nghĩa 1.2 Không gian Banach X gọi (i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc khơng gian trơn) giới hạn lim t→0 x + ty − x t tồn với x, y ∈ SX ; (ii) có chuẩn khả vi Gâteaux với y ∈ SX giới hạn tồn với x ∈ SX Các không gian Lp , lp ví dụ khơng gian trơn 1.1.2 Ánh xạ J -đơn điệu Mục trình bày định nghĩa ánh xạ đối ngẫu, ánh xạ J-đơn điệu, J-đơn điệu mạnh, mối liên hệ với ánh xạ đơn điệu khơng gian Hilbert số ví dụ Định nghĩa 1.3 Cho X không gian Banach thực X ∗ không gian liên hợp X Với s ≥ 2, ánh xạ J s từ X vào X ∗ xác định J s (y) = {g ∈ X ∗ : y, g = y g s−1 , g = y , ∀y ∈ X}, gọi ánh xạ đối ngẫu tổng quát X Khi s = 2, J thường ký hiệu J, gọi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc X Trong trường hợp ánh xạ J đơn trị, ta ký hiệu j Định nghĩa 1.4 Một ánh xạ A từ X vào X gọi ánh xạ (i) J-đơn điệu (accretive) với x, y ∈ D(A), tồn j(x − y) ∈ J(x − y) cho: A(x) − A(y), j(x − y) ≥ 0; (ii) m-J-đơn điệu (m-accretive) A J-đơn điệu R(A+αI) = X với α > 0, I ánh xạ đơn vị X; (iii) α-J-đơn điệu mạnh, tồn số α > 0, j(x−y) ∈ J(x−y) cho A(x) − A(y), j(x − y) ≥ α x − y ∀x, y ∈ D(A); (vi) L-liên tục Lipschitz, tồn số L > cho A(x) − A(y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ D(A) Chú ý A ánh xạ J-đơn điệu X, D(A) = X, L-liên tục Lipschitz A ánh xạ m-J-đơn điệu Nếu X ≡ H khơng gian Hilbert thực, ánh xạ J-đơn điệu m-J-đơn điệu tương ứng ánh xạ đơn điệu, đơn điệu cực đại 1.1.3 Đạo hàm Fréchet Cho X, Y không gian Banach, điểm x0 ∈ X r > Hình cầu mở (tương ứng đóng) tâm x0 với bán kính r ký hiệu B(x0 ; r) (tương ứng B(x0 ; r)) Ký hiệu L(X, Y ) không gian tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Cho Ω tập mở không gian X Ánh xạ f : Ω ⊂ X → Y gọi khả vi điểm a ∈ Ω có phần tử f (a) ∈ L(X, Y ) cho f (a + h) = f (a) + f (a)h + δ(h) ... luận văn nhằm trình bày phương pháp Newton Kantorovich phương pháp hiệu chỉnh Newton Kantorovich giải phương trình tốn tử J-đơn điệu (0.1) trình bày số định lý hội tụ phương pháp Nội dung luận văn. .. toán tử Jđơn điệu, toán tử đối ngẫu Phần thứ hai chương giới thiệu phương trình toán tử J-đơn điệu phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov Phần cuối chương trình bày phương pháp Newton giải phương. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠT PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ J -ĐƠN ĐIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NEWTON KANTOROVICH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa