(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm

(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm(Luận văn thạc sĩ) Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm

LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tp Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 11 năm 2020 Người thực Nguyễn Thanh Him ii LỜI CẢM ƠN Ứng dụng phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích tốn hướng mới, gần Việt Nam chưa có tài liệu tham khảo số lượng người nghiên cứu hạn chế Do đó, để làm làm luận này, em vô cảm ơn TS Nguyễn Văn Chúng tận tình hướng dẫn, dẫn dắt để em nắm bắt, nghiên cứu hướng khác với biết trước Đây tiền đề để em nghiên cứu, phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm, tạo thơng dụng hóa phương pháp việc giải toán phương pháp số Em chân thành cảm ơn Khoa Xây dựng – Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP HCM tạo điều kiện, môi trường học tập tốt để em bạn phát huy lực người, phát triển ngành xây dựng chung Việt Nam, ngày hòa nhập với phát triển giới Tp Hồ Chí Minh, ngày 29 tháng 11 năm 2020 Người thực Nguyễn Thanh Him iii TÓM TẮT LUẬN VĂN Luận văn này, nghiên cứu tính hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm (gọi tắt SBFEM), phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích ứng xử tốn phẳng với điều kiện biên hỗn hợp tải trọng bậc cao Phương trình chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm thiết lập để phân tích tốn chịu tải trọng bậc cao điều kiện biên hỗn hợp Các toán khảo sát để xem xét hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm độ xác, khả hội tụ so với lời giải tham khảo Kết chứng tỏ tính hiệu quả, xác phương pháp phần tử biên trung tâm với phương pháp phần tử hữu hạn Việt Nam sử dụng iv ABSTRACT This study presented the effectiveness of Scaled boundary finite element method (SBFEM) for analysis of the two-dimensional elasticity problem The scaled boundary finite element formulation is formulated within general framework including the influence of distributed body source, mixed boundary condition, contributions of the side face Several examples are explored to veify the proposed method with analytical solution The result demonstrates its vast capapility, computational efficiency of the proposed method It is also effecitve numerical method that has been using in Vietnam v MỤC LỤC TRANG LÝ LỊCH KHOA HỌC i LỜI CAM ĐOAN ii LỜI CẢM ƠN iii TÓM TẮT ĐỒ ÁN iv ABSTRACT v DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU viii DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT ix DANH SÁCH CÁC HÌNH x DANH SÁCH CÁC BẢNG xii 1.1 Đặt vấn đề 1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước 1.2.2 Tình hình nghiên cứu nước .4 1.3 Mục đích nghiên cứu .4 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Tính đề tài 2.1 Mơ tả tốn 2.2 Phương trình tốn 2.3 Thiết lập phương trình dạng yếu tốn .8 3.1 Phương pháp phần tử biên trung tâm 10 3.2 Hệ tọa độ chuyển cho phần tử biên trung tâm .11 3.3 Phương pháp xấp xỉ trường toán 13 vi 3.4 Xây dựng phương trình chủ đạo tồn hệ tọa độ phương pháp SBFEM 14 3.5 Lời giải cho phương trình dạng yếu 20 3.5.1 Nghiệm phương trình vi phần .20 3.5.2 Tìm nghiệm riêng 22 3.5.3 Nghiệm tổng quát 24 3.6 Hàm dạng xấp xỉ phương pháp phần tử SBFEM 26 3.7 Lưu đồ tính tốn SBFEM Matlab 27 28 4.1 Bài toán phằng chịu tải trọng kéo phân bố 29 4.2 Bài toán phẳng chịu tải trọng phân bố với điều kiện biên khác .32 4.3 Bài toán phẳng có xét trọng lượng thân, chịu tải trọng bậc cao: .42 49 KẾT LUẬN .49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 vii DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU  ………………………………………………………………… Miền toán  ……………………………………………………………Miền biên toán  (x1, x2) …………………………………… Trường ứng suất theo hai trục x1 x2  (x1, x2)…………………………………… Trường biến dạng theo hai trục x1 x2 u (x1, x2) …………………………………….Trường chuyển vị theo hai trục x1 x2 b (x1, x2) ………………………………… Trường trọng lượng theo hai trục x1 x2 D Ma trận đặc trưng vật liệu E…………………………………………………………Mođun đàn hồi vật liệu  ………………………………… Hệ số Poisson vật liệu K ……………………………………………………………………Ma trận độ cứng u h ( s,  ) …………………………………Trường chuyển vị xấp xỉ theo trục s  U (h ) …………………………………Ma trận giá trị chuyển vị nút theo trục  W(h ) ………………………………………Ma trận xấp xỉ trọng số dư theo trục  B1 ……………………… Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục s B2 ……………………… Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục  i ……………………………………………………… Hằng số tỉ lệ phương thức  …………………………………………………………………Véc-tơ thành phần + , − ………………………………………………………… Ma trận đường chéo C + , C − ……………………………………………….Các viii véc-tơ chứa số DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT SBFEM ……………………………………… Phương pháp phần tử biên trung tâm BEM …………………………………………………… Phương pháp phần tử biên SC ………………………………………….Tâm khảo sát phương pháp SBFEM ELM ………………………………………………………………………….Phần tử Side face …………………………………………………….………… Đường biên Analytical ………………………………………………………… Lời giải giải tích ix DANH SÁCH CÁC HÌNH HÌNH TRANG Hình 2.1 Hệ tọa độ điều kiện biên tổng thể tốn phẳng Hình 2.2 Mơ hình  b phần tử toán phẳng Hình 3.1 Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho toán biên xác định 10 Hình 3.2 Đặc trưng hình học điều kiện biên toán 11 Hình 3.3 Hệ tọa độ SBFEM, tâm O, bán kính  15 Hình 3.4 Hàm dạng chuyển vị tương ứng cho phần tử bậc 1, 2, 27 Hình 4.1 Mơ hình phẳng 29 Hình 4.2 Thiết lập phần tử tính tốn 30 Hình 4.3 Khảo sát phương pháp SBFEM với phần tử 30 Hình 4.4 Khảo sát phương pháp SBFEM với phần tử 32 Hình 4.5 Khảo sát phương pháp SBFEM với 16 phần tử .32 Hình 4.6 Mơ hình phẳng 33 Hình 4.7 Tâm SC bên (a) tâm SC biên (b) phần tử 34 Hình 4.8 Tâm bên với phần tử 35 Hình 4.9 Tâm bên với phần tử 35 Hình 4.10 Tâm bên với 16 phần tử 36 Hình 4.11 Tâm biên với phần tử 36 Hình 4.12 Tâm biên với phần tử 37 Hình 4.13 Tâm biên với phần tử 37 Hình 4.14 Mơ hình phân tích điểm cạnh AC .39 Hình 4.15 Biểu diễn chuyển vị u1 39 Hình 4.16 Biểu diễn chuyển vị u2 40 Hình 4.17 Biểu diễn ứng suất  11 40 Hình 4.18 Biểu diễn ứng suất  22 41 x Hình 4.19 Bài tốn phẳng 42 Hình 4.20 SBFEM phân tích tốn với phần tử .44 Hình 4.21 SBFEM phân tích toán với phần tử .44 Hình 4.22 SBFEM phân tích tốn với 16 phần tử .45 Hình 4.23 SBFEM phân tích tốn với 32 phần tử .45 Hình 4.24 Kết chuẩn hóa chuyển vị u1 cạnh AC 46 Hình 4.25 Kết chuẩn hóa chuyển vị u2 cạnh AC 47 Hình 4.26 Kết chuẩn hóa ứng suất  11 cạnh AC .47 Hình 4.27 Kết chuẩn hóa ứng suất  22 xi cạnh AC .48 D (16) (13) (11) (9) C L2 Cạnh biên (7) (5) (3) (1) A SC Cạnh biên B L1 Hình 4.22 SBFEM phân tích tốn với 16 phần tử D 32 28 24 20 C 16 Side face 12 SC A Side face B Hình 4.23 SBFEM phân tích tốn với 32 phần tử 45 Bảng 4.5 Kết chuyển vị điểm C Lời giải giải tích u1 u2 Phương pháp SBFEM ELM ELM 16 ELM Sai số ɛ (%) 32 ELM ELM ELM 16 ELM 32 ELM 0,0050 0,005081 0,005061 0,005023 0,005003 1,787 1,385 0,616 0,227 0,0100 0,009671 0,009869 0,009945 0,009972 3,137 1,147 0,388 0,124 Bảng 4.6 Kết ứng suất điểm C Lời giải giải tích σ11 σ22 Phương pháp SBFEM ELM ELM Sai số ɛ (%) 16 ELM 32 ELM ELM ELM 16 ELM 32 ELM 624,00 577,4587 601,7598 612,9770 618,4994 7,459 3,564 1,767 0,882 816,00 655,2090 735,4634 775,5924 795,7559 19,705 9,870 4,952 2,481 Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM 40 30 u1 E 20 b0 L1 10 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 0,8 1,0 Hình 4.24 Kết chuẩn hóa chuyển vị u1 cạnh AC 46 80 Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM 60 u2 E 40 b0 L1 20 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 0,8 1,0 Hình 4.25 Kết chuẩn hóa chuyển vị u cạnh AC 3,0 Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM 2,5 2,0  11 b0 L1 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 Hình 4.26 Kết chuẩn hóa ứng suất 47 0,8 1,0  11 cạnh AC Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM  22 b0 L1 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 Hình 4.27 Kết chuẩn hóa ứng suất 48 0,8  22 1,0 cạnh AC KẾT LUẬN Phương trình chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm (SBFEM) thiết lập để phân tích tốn phẳng chịu tải trọng tổng quát với điều kiện biên hỗn hợp tải trọng bậc cao Các ví dụ số nghiên cứu để phân tích tốn với tải trọng phân bố đều, tải bậc nhất, bậc hai Trong mô hình phân tích phương pháp phần tử biên trung tâm có xem xét ảnh hưởng việc chọn tâm đường biên, ảnh hưởng tâm toán đến kết tính tốn Đồng thời phương pháp xem xét ảnh hưởng điều kiện biên đường biên với tâm Do đó, nghiên cứu cung cấp thơng tin hiệu để lựa chọn mơ hình phương pháp phần tử biên trung tâm Các ví dụ số áp dụng phương pháp phần tử biên trung tâm khảo sát Kết so sánh với lời giải giải tích Hàm dạng bậc sử dụng việc xấp xỉ đặc trưng hình học, lời giải phương pháp SBFEM Kết chứng tỏ tính hiệu quả, độ hội tụ, tính xác phương pháp phần tử biên trung tâm phân tích tốn phẳng có điều kiện biên hỗn hợp chịu tác dụng tải trọng bậc cao Trong luận văn, tính hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm phân tích tốn phẳng khảo sát với hàm dạng bậc Các hướng nghiên cứu tiếp theo: cần nghiên cứu ảnh hưởng loại hàm dạng đến kết phương pháp phần tử biên trung tâm, phát triển để phân tích tốn hai chiều Trên giới, phương pháp phần tử biên trung tâm phát triển rộng rãi hiệu tốn kỹ thuật Ở Việt Nam, nghiên cứu phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để áp dụng cho toán nứt, tốn nhiều lớp, tốn bán khơng gian 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Chu Quốc Thắng, Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 1997 [2] Trần Đức Trung Nguyễn Việt Hùng, Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Và Các Ví Dụ Thực Hành Trên MTĐT, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 2004 [3] Trần Ích Thịnh Ngô Như Khoa, Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất xây dựng, 2007 [4] Nguyễn Thời Trung, Nguyễn Xuân Hùng, Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng Matlab, Nhà xuất xây dựng, 2015 [5] Song, C., Wolf, J P Body loads in scaled boundary finite-element method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, 180:117135 [6] Wolf, J P & Song, C The scaled boundary finite-element method – a fundamental solution-less boundary-element method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, 190:5551-5568 [7] Deeks, A J & Wolf, J P A virtual work derivation of the scaled boundary finite-element method for elastostatics Computational Mechanics, 2002, 28:489–504 [8] Deeks, J A & Wolf, J P Semi-analytical elastostatic analysis of unbounded two-dimensional domains International Journal for numerical and analytical in geomechanics, 2002, 26:1031–1057 [9] Deeks, A J Prescribed side-face displacements in the scaled boundary finiteelement method Computers and Structures, 2004, 82:1153-1165 [10] He, Y., Yang, H., Deeks, A J Use of Fourier shape functions in the scaled boundary method Engineering Analysis with Boundary Element, 2014, 41:152–159 50 [11] Vu, T H & Deeks, A J Using fundamental solutions in the scaled boundary finite element method to solve problems with concentrated loads Computational Mechanics, 2014, 53:641-657 [12] Sun, Z., Ooi, E T., Song, C Finite fracture mechanics analysis using scaled boundary finite element method Engineering Fracture Mechanics, 2015 [13] Jung, J D & Becker, W Semi-analytical modeling of composite beams using the scaled boundary finite element method Composite structures, 2016, 13:121-129 [14] Krome, F & Gravenkamp, H A semi-analytical curved element for linear elasticity based on the scaled boundary finite element method International journal for numerical method in engineering, 2017, 109:790-808 [15] Hu, Z., Lin, G., Wang, Y & Liu, J A Hamiltonian-based Derivation of Scaled Boundary Finite Element Method for Elasticity Problems IOP Publishing, 2010, 10 012213 [16] Lin, G., Pang, L., Hu, Z & Zhang, Y Improving accuracy and efficiency of stress analysis using scaled boundary finite elements Engineering Analysis with Boundary Elements, 2016, 67:26-42 [17] Chen, K., Zou, D., Kong, X., Chan, A & Hu, Z A novel nonlinear solution for the polygon scaled boundary finite element method and its application to geotechnical structures Computers and Geotechnics, 2017, 82:201-210 [18] Chowdhury, S M., Song, C, Gao, W & Wang, C Reliability analysis of homogeneous and bimaterial cracked structures by the scaled boundary finite element method and a hybrid random-interval model Engineering Analysis with Boundary Elements, 2016, 59:53-66 [19] Li, P., Liu, J., Lin, G., Zhang, P & Xu, B A combination of isogeometric technique and scaled boundary method for the solution of the steady-state heat transfer problems in arbitrary plane domain with Robin boundary Engineering Analysis with Boundary Elements, 2017, 82:43-56 51 [20] Pang, L., Lin, G & Hu, Z A refined global-local approach for evaluation of singular stress field based on scaled boundary finite element method sciencedirect, 2017, 20:123-136 [21] Gravenkamp, H., Natarajan, S & Dornisch, W On the use of NURBS-based discretizations in the scaled boundary finite element method for wave propagation problems Sciencedirect, 2017, 315:867-880 [22] Rungamornrat, J & Chung, N V Scaled boundary finite element method with exact defining curves for two-dimensional linear multi-field media Frontiers of Structural and Civil Engineering, 2019, 13(1): 201–214 [23] Zhang, Z., Liu, Y., Dissanayake, D D., Saputra, A A & Song, C Nonlocal damage modelling by the scaled boundary finite element method Engineering Analysis with Boundary Elements, 2019, 99:29-45 [24] Dölling, S., Hahn, J., Felger, J., Bremm, S & Becker, W A scaled boundary finite element method model for interlaminar failure in composite laminates Composite Structures, 2020, 241:111865 [25] Jia, M Y., Li, J C., Zhang, Y & Chen, J The high-order completeness analysis of the scaled boundary finite element method Sciencedirect, 2020, 362:112867 [26] Nguyen Van Chung Scaled boundary finite element method with exact defining curves for geo-machanics applications Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE, 2019, 13(3):124-134 52 PHÂN TÍCH ỨNG XỬ BÀI TOÁN PHẲNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP VÀ TẢI TRỌNG BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN TRUNG TÂM AN EFFICINET HIGH-ORDER ELEMENT AND MIXED BOUNDARY CONDITIONS FOR ANALYSIS OF TWO-DIMENSIONAL LINEAR PROBLEM USING SBFEM Nguyen Thanh Him Nguyen Van Chung Khoa Xây Dựng, Trường đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM TÓM TẮT Bài báo nghiên cứu, xem xét tính hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm (gọi tắt SBFEM), phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích ứng xử tốn phẳng với điều kiện biên hỗn hợp tải trọng bậc cao Phương trình chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm thiết lập để phân tích tốn chịu tải trọng bậc cao điều kiện biên hỗn hợp Các toán khảo sát để xem xét hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm độ xác, khả hội tụ so với lời giải tham khảo Kết chứng tỏ tính hiệu quả, xác phương pháp phần tử biên trung tâm với phương pháp phần tử hữu hạn Việt Nam sử dụng Từ khóa: Phần tử biên trung tâm; Bài toán phẳng; Điều kiện biên hỗn hợp; Tải trọng bậc cao ABSTRACT This study Present the effectiveness of Scaled boundary finite element method (SBFEM) for analysis of the two-dimensional elasticity problem The scaled boundary finite element formulation is formulated within general framework including the influence of distributed body source, mixed boundary condition, contributions of the side face Several examples are explored to verify the proposed method with analytical solution The result demonstrates its vast capability, computational efficiency of the proposed method It is also effective numerical method that has been using in Vietnam Keywords: SBFEM; Linear Problem; Mixed boundary condition; High-Order Element GIỚI THIỆU Phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp số ứng dụng rộng rãi phân tích tốn kết cấu kỹ thuật ngành xây dựng, cầu đường, hàng khơng, khí, sinh học ngành khác, tính tốn theo phương pháp rời rạc hóa kết cấu thành phần tử liên kết với nút phần tử Tuy nhiên, kết cấu phức tạp, có điều kiện biên hỗn hợp, chuyển vị theo nhiều phương phương pháp phân tích độ xác khả hội tụ cịn có hạn chế Để khắc phục nhược điểm trên, nước tiên tiến giới phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm (Scaled Boundary Finite Element Method-SBFEM) để thay để giải toán có xét đến trọng lượng riêng, tốn đàn hồi, tốn có miền vơ cực mà khơng cần giới hạn miền biên vơ cực, tốn biến dạng tĩnh [1-4] Gần đây, Chung [5] phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích tốn phẳng hai chiều với đặc trưng hình học có tiết diện hình trịn, Jia cộng [6] nghiên cứu lý thuyết phần tử bậc cao mơ hình tính tốn phương pháp phần tử biên trung tâm phân tích hai chiều, ba chiều PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Dựa theo định luật quan hệ động học Phương trình cân trường trọng lượng ứng suất, ứng suất biến dạng, biến dạng chuyển vị biểu diễn sau: LT  + b = (1)  = D (2)  = Lu (3) Trong u( x),  ( x),  ( x) trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất E0 =  B1T DB1 Jds s (8) E1 =  B2T DB1 Jds s E2 =  B2T DB2 Jds s P =  ( N s ) t1 J s ds; J s = (dx1 / ds )2 + (dx2 / ds ) T Áp dụng phương pháp trọng số dư (Weigted residual) phương pháp tích phân phần với giả thuyết Gauss-divergence, kết hợp phương trình quan hệ ứng suất biến dạng, biến dạng chuyển vị Phương trình dạng yếu thiết lập sau:  ( L) T D( Lu )dA =    tdl +   T  T (4) bdA  PHƯƠNG PHÁP SBFEM 3.1 Thiết lập công thức Trong phương pháp phần tử biên trung tâm, xấp xỉ trường chuyển vị trọng số dự biểu diễn: u h = u h ( , s) = N sU h (5) wh = wh ( , s) = N sW h Trong N ma trận chứa tất s hàm dạng xấp xỉ bản, U vector chứa tất hàm nút chưa biết, W h vector chứa tất hàm nút h 1 s = s2 s = s1    1s s Hình Hệ tọa độ SBFEM Áp dụng phương pháp gần cho tốn phẳng Hình 1, sau tích phân theo phần tích phân thơng qua định lý Gauss, dẫn đến công thức phần tử biên trung tâm sau:  E0U −  ( E1 − E0 − E )U − E2 U +  F + Pb = (6) h , T h , h Q ( ) = − P h Trong Q ( (7) h ) =  E0U 'h + E1T U h F = ( N1s ) t1s ( ) J1 ; Pb =  ( N s ) bJds T T (10) s Phương trình (6) phương trình dạng yếu tốn xây dựng hệ tọa độ phương pháp phần tử biên trung tâm Phương trình (7) phương trình xác định tải tác dụng lên biên toán Khi điều kiện biên tốn có phần trường chuyển vị, trường chuyển vị toán U h phân tích thành U h = U hu U hc  với U hc tập hợp T giá trị chuyển vị biết, U hu tập hợp giá trị chưa biết Từ đó, phương trình chủ đạo tốn hệ tọa độ phương pháp SBFEM biểu diễn qua trường chuyển vị chưa biết sau: T  E0uuU ,hu +   E0uu + ( E1uu ) − E1uu  U ,hu − E2uuU hu   (11) tu u uu = − F −  Pb − Fs Qhu ( ) = − Pu (12) 3.2 Lời giải cho phương trình dạng yếu Tìm nghiệm phương trình chủ đạo (11), phương trình vi phân cấp hai khơng Nghiệm phương trình tìm qua việc tìm nghiệm phương trình vi phân nghiệm riêng toán Vế phải phương trình (11) phương trình vi phân cấp hai nhất, nghiệm phương trình có dạng O( x1 , x2 ) (9) s U 0hu ( ) = 2( m − p )   i =1 ci i iu (13) Trong m số hàm chưa biết nút U 0hu , i hệ số tỷ lệ, ψiu vecto đại lượng thứ ith AX i =  X i (14) Trong  , X giá trị riêng vector riêng ma trận A −1 T  − ( E0uu ) ( E1uu ) A=  uu uu uu −1 uu T  E2 − E1 ( E0 ) ( E1 ) (E ) E (E ) uu −1 uu uu   −1   (15) Ta tìm  cách giải phương trình det ( A −  I ) = tìm X theo phương trình ( A − I ) X = Trị riêng toán  thường có nửa nghiệm có giá trị dương nửa giá trị âm, tương ứng với miền tốn có biên xác định biên vơ  −  + Tương ứng với giá trị riêng  −  + , ta có cnng có vector riêng sau  + ,  − ,  q + ,  q − Thế giá trị phương trình (11) (12), có nghiệm tởng qt sau: U 0hu ( ) =  +  + ( )C + +  −  − ( )C − (16) Q ( ) =   ( )C +   ( )C (17) hu q+ + + q− − − + − Trong  ,  ma trận đường chéo, C + , C − vector chứa số Theo phương trình chủ đạo (11) nghiệm riêng toán thành phần vế phải phương trình Nghiệm riêng gồm thành phần: trọng lượng thân toán, thành phần chuyển vị đường cạnh biên Tìm nghiệm riêng thành phần tương ứng kết hợp với nghiệm phương trình vi phân, ta thu nghiệm tổng quát phương trình chủ đạo U hu ( ) = U 0hu ( ) + U1hu ( ) =  +  + ( )C + +  −  − ( )C − + U1hu ( ) Q hu ( ) = Q0hu ( ) + Q1hu ( ) =  q +  + ( )C + +  q −  − ( )C − + Q1hu ( ) (18) (19) Áp dụng biên bên bên ngồi, dẫn đến hệ phương trình tuyến tính sau C +    q +  + (1 )  q −  − (1 )   −  =  q+ +  q− − C    ( )   ( )  −1  − P1u   Q1hu (1 )     u  −  hu   (20)   P2  Q1 ( )   Hay KU hu = P u + KU1hu − Q1hu Với   q +  + ( )  q −  − (1 )    +  + (1 )  −  − (1 )  K =  q+ +  + +  q− − − −   ( )   ( )    ( )   ( )  −1 U hu ( )  − Pu  U hu =  hu  ; P u =  u1  ; U ( )   P2  U hu ( )   Q hu ( )  U1hu =  1hu  ; Q1hu =  1hu  U1 ( )  Q1 ( )  HÀM DẠNG XẤP XỈ Hàm dạng bậc 1− s 1+ s N1 = ; N2 = 2 Khi đó, tọa độ phần tử hệ tọa độ phương pháp SBFEM biểu diễn sau: (1) (2)   x1 = N1 x1 + N x1  (1) (2)   x2 = N1 x2 + N x2 VÍ DỤ SỐ Xét tốn phẳng chịu tải trọng bậc cao, điều kiên biên hỗn hợp, có tính đến trọng lượng thân, đặc trưng hình học Hình Xem xét với vật liệu biến dạng phẳng, đàn hồi tuyến tính, đồng đẳng hướng với môđun đàn hồi E, hệ số Poisson ѵ Áp dụng phương pháp phần tử biên trung tâm để khảo sát trường ứng suất tốn Phân tích với trường hợp L1 = 0,8 m, L2 = 0,8 m, E = 2,0  106 ( kN / cm ); v = 0,3 Có điều kiện biên cạnh biên đường biên sau: Cạnh AB: t1AB = 0; u2AB = Cạnh AD: t1AD = −4b0vx2 ; t2AD = Cạnh BC: t1 BC = b0  2(1 − v) L1 + 4vx2  ; t2BC = Cạnh CD: t1CD = 0; t2CD = b0  2vx1 + 4(1 − v) L2  Từ lời giải giải tích, có trường chuyển vị, biến dạng trọng lượng bàn thân sau: (1 + v)(1 − 2v)  u1 = b0 x12   E Chuyển vị:  u = (1 + v)(1 − 2v) b x 2  E   11 = b0  2(1 − v) x1 + 4vx2      Ứng suất:  22 = b0  2vx1 + 4(1 − v) x2    12 =    b = −2(1 − v)b0 Trọng lượng thân:  b2 = −4(1 − v)b0 D C A C SC B L2 L2 E , v, b D B L1 L1 Hình Bài toán phẳng Bài toán khảo sát với cấp độ chia phần tử đường biên cấp độ 4, 8, 16, 32 phần tử Hình 3, Hình Khảo sát thành phần chuyển vị, ứng suất điểm C so sánh với lời giải giải tích Kết trình bày Bảng 1, Bảng Kết cho thấy thành phần chuyển vị hội tụ nhanh với cập độ chia lưới 32 phần tử Hình Phân tích với phân tử Bảng Kết chuyển vị điểm C Lời giải giải tích Phương pháp SBFEM ELM ELM 16 ELM 32 ELM u1 0,0050 0,005081 0,005061 0,005023 0,005003 u2 0,0100 0,009671 0,009869 0,009945 0,009972 Đồng thời khảo sát trường chuyển vị, Bảng Kết ứng suất điểm C ứng suất đường chéo AC Kết thành phần chuyển vị, ứng suất chuẩn Lời Phương pháp SBFEM hóa biểu diễn Hình 5, 6, 7, Kết giải cho thấy độ hội tụ phương pháp SBFEM giải ELM ELM 16 ELM 32 ELM cao, sử dụng hàm bậc tích xấp xỉ phần tử phân tích tốn chịu tải σ11 624,00 577,4587 601,7598 612,9770 618,4994 trọng bậc hai điều kiên biên hỗn hợp σ22 816,00 655,2090 735,4634 775,5924 795,7559 D C Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM 40 L2 30 u1 E 20 b0 L1 SC B L1 10 0,0 Hình Phân tích với phân tử 0,2 0,4 Z 0,6 0,8 Hình Kết chuẩn hóa chuyển vị u1 cạnh AC 1,0 80 Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM 60 u2 E 40 b0 L1 20 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 0,8 1,0 Hình Kết chuẩn hóa chuyển vị u cạnh AC 3,0 Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM 2,5 2,0  11 b0 L1 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 0,8 1,0 Hình Kết chuẩn hóa ứng suất 11 cạnh AC Analytical SBFEM-4ELM SBFEM-8ELM SBFEM-16ELM SBFEM-32ELM  22 b0 L1 0,0 0,2 0,4 Z 0,6 0,8 Hình Kết chuẩn hóa ứng suất  22 cạnh AC 1,0 KẾT LUẬN Phương trình chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm (SBFEM) thiết lập để phân tích tốn phẳng chịu tải trọng tởng qt với điều kiện biên hỗn hợp tải trọng bậc cao Trong mô hình phân tích phương pháp phần tử biên trung tâm chọn tâm đường biên, đồng thời phương pháp cnng xem xét ảnh hưởng điều kiện biên đường biên với tâm Do đó, nghiên cứu cung cấp thơng tin hiệu để lựa chọn mơ hình phương pháp phần tử biên trung tâm Ví dụ số áp dụng phương pháp phần tử biên trung tâm khảo sát Kết so sánh với lời giải giải tích Hàm dạng bậc sử dụng việc xấp xỉ đặc trưng hình học, lời giải phương pháp SBFEM Kết chứng tỏ tính hiệu quả, độ hội tụ, tính xác phương pháp phần tử biên trung tâm phân tích tốn phẳng có điều kiện biên hỗn hợp chịu tác dụng tải trọng bậc cao Trong báo, tính hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm phân tích tốn phẳng khảo sát với hàm dạng bậc Các hướng nghiên cứu tiếp theo: cần nghiên cứu ảnh hưởng của loại hàm dạng đến kết phương pháp phần tử biên trung tâm, phát triển để phân tích tốn hai chiều Trên giới, phương pháp phần tử biên trung tâm phát triển rộng rãi hiệu toán kỹ thuật Ở Việt Nam, cnng nghiên cứu phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để áp dụng cho toán nứt, toán nhiều lớp, tốn bán khơng gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] Song, C., Wolf, J P Body loads in scaled boundary finite-element method Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, 180:117-135 Deeks, A J & Wolf, J P A virtual work derivation of the scaled boundary finite-element method for elastostatics Computational Mechanics, 2002, 28:489–504 Deeks, J A & Wolf, J P Semi-analytical elastostatic analysis of unbounded twodimensional domains International Journal for numerical and analytical in geomechanics, 2002, 26:1031–1057 Deeks, A J Prescribed side-face displacements in the scaled boundary finite-element method Computers and Structures, 2004, 82:1153-1165 Nguyen Van Chung Scaled boundary finite element method with exact defining curves for geo-machanics applications Journal of Science and Technology in Civil Engineering NUCE, 2019, 13(3):124-134 Jia, M Y., Li, J C., Zhang, Y & Chen, J The high-order completeness analysis of the scaled boundary finite element method Sciencedirect, 2020, 362:112867 Tác giả chịu trách nhiệm viết: Họ tên: Nguyễn Thanh Him Đơn vị: Học Viên cao học Trường ĐH sư phạm kỹ thuật TP.HCM Điện thoại: 0977.616.668 Email: nguyenthanhhim@gmail.com S K L 0 ... triển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích ứng xử toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp tải trọng bậc cao Phương trình chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm thiết lập để phân tích. .. phương pháp phần tử biên trung tâm giải toán chịu tải trọng bậc cao với điều kiện biên hỗn hợp Phân tích tính hiệu phương pháp phần tử biên trung tâm phương pháp số so với phương pháp khác tốc... hợp tải trọng bậc cao theo phương pháp phần tử biên trung tâm Tính đề tài Trình bày ưu điểm phương pháp phần tử biên trung tâm phân tích tốn phẳng với điều kiện biên khác Phân tích hiệu phương pháp