SKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCS

SKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCS

PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ Trong môn học phổ thơng, mơn tốn giữ vị trí quan trọng Qua việc học toán học sinh rèn luyện mặt như: trí thơng minh, phương pháp tính tốn hợp lý, nhanh gọn, tạo cho óc làm việc ngăn nắp, có kế hoạch Từ sống hàng ngày người : cân đo, đong đếm,… ngành công nghiệp phát triển cần đến toán học “ Giáo dục quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ ngành giáo dục nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Việc bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành Giáo dục Đào tạo nói chung, sở nói riêng nên việc phát triển bồi dưỡng học sinh giỏi nuôi dưỡng nhân tài việc làm thường xuyên, liên tục Mơn tốn mơn thường xuyên tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi sở phải xây dựng đội ngũ học sinh giỏi cho đơn vị Với tâm huyết nghề nghiệp cố gắng phấn đấu để đào tạo bồi dưỡng ngày nhiều học sinh giỏi cấp cách sâu nghiên cứu giúp em nắm chắc, sâu phần nội dung chương trình tốn lớp Phương trình bậc cao đề tài hấp dẫn, thú vị toán học, phương trình bậc cao nhiều nhà toán học nghiên cứu Tuy nhiên, với người học giải phương trình bậc cao vấn đề khó Sau nhiều năm giảng dạy mơn Tốn bậc trung học sở nhận thấy mảng giải phương trình bậc cao đưa sách giáo khoa lớp 8, khiêm tốn, nội dung sơ lược, mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho q ỏi, chương trình học lại khơng có học cụ thể Bên cạnh nội dung tập ứng dụng phong phú, đa dạng phức tạp Các phương trình bậc cao nội dung thường gặp kỳ thi Bậc THCS đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào THPT Chính tơi định chọn chủ đề: ''phương trình bậc cao '' làm sáng kiến cho riêng Trang mình, để giúp em tìm hiểu nhiều phương pháp giải, cách giải dạng phương trình bậc cao PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN I CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT RA SÁNG KIẾN Trong chương trình tốn học trung học sở đề thi thường gặp tốn giải phương trình bậc 3,4,5 phân tích phương trình thành nhân tử, song với học sinh lúng túng khơng biết đâu, gặp khó khăn khơng biết làm để tìm lời giải Riêng với em học sinh gặp dạng toán không chịu nghiên cứu khảo sát kĩ dạng phương trình theo nhiều cách sử dụng thiếu linh hoạt Xuất phát từ vấn đề qua việc giảng dạy mơn tốn trường THCS , qua đọc tài liệu tham khảo đặc biệt qua việc bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi khối Tơi nhận thấy giải phương trình bậc 3,4,5 tương đối khó học sinh THCS đặc biệt phương pháp giải phương trình khơng có chương trình tốn THCS gây khó khăn khơng nhỏ học sinh gặp phải dạng toán Học sinh khơng có phương pháp cụ mà biết mò mẫm cách vơ hướng Khi tiếp xúc với dạng phương trình bậc cao khơng rèn luyện cho HS lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng môn học khác trường THCS Mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế, góp phần rèn luyện cho HS đức tính cẩn thận ,sáng tạo… Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức thu thập qua tài liêu, sách báo xin đưa số phương pháp mà cho phù hợp với học sinh THCS để giải dạng phương trình Trang II.KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH : Các định nghĩa : 1.1 Định nghĩa phương trình : Giả sử A(x) = B(x) hai biểu thức chứa biến x Khi nói A(x) = B(x) phương trình, ta hiểu phải tìm giá trị x để giá trị tương ứng hai biểu thức Biến x gọi ẩn.Giá trị tìm ẩn gọi nghiệm Việc tìm nghiệm gọi giải phương trình Mỗi biểu thức gọi vế phương 1.2 Tập xác định phương trình : Là tập hợp giá trị ẩn làm cho biểu thức phương trình có nghĩa 1.3 Định nghĩa hai phương trình tương đương : Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm 1.4 Các phép biến đổi tương đương : Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình cho thành phương trình tương đương với ( đơn giải hơn) Phép biến đổi gọi phép biến đổi tương đương Các định lý biến đổi tương đương phương trình : a) Định lý :Nếu cộng đa thức ẩn vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : 2x = 2x + 5x = +5x Chú ý : Nếu cộng biểu thức chứa ẩn mẫu vào hai vế phương trình phương trình khơng tương đương với phương trình cho Ví dụ : x -2 (1) Khơng tương đương với phương trình x 2 1  x x Trang Vì x = nghiệm (1) không nghiệm (2) * Hệ 1: Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : 8x -7 = 2x + 8x- 2x = + * Hệ :Nếu xoá hai hạng tử giống hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : -9 - 7x = ( x +3) -7x -9 = x ( x + 3) * Chú ý : Nếu nhân hai vế phương trình với đa thức ẩn phương trình khơng tương đương với phương trình cho b) Định lý 2:Nếu nhân số khác vào hai vế phương trình phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ : x - 3x =  2x2 - 12x = ( Nhân hai vế với ) III/ NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH: 1.Phương trình bậc ẩn : Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b số; a 0 gọi phương trình bậc ẩn số, b gọi hạng tử tự Cách giải : - Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1) - Dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành : a x=-b x=-b/a Phương trình có nghiệm : x= Trang b a (a 0) Phương trình bậc cao: 2.1 Phương trình bậc hai ẩn : Phương trình bậc hai ẩn số phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0; x ẩn số; a, b, c hệ số cho; a  *Cách giải: *Ta dùng phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình cho dạng phương trình biết cách giải (phương trình bậc ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm phương trình *Khi nghiên cứu nghiệm số phương trình bậc hai a x2 +b x +c=o (a 0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số  phương trình:  =b2- 4ac, Vì biểu thức  = b2- 4ac định nghiệm số phương trình bậc hai Ta thấy có khả sau xảy : a ,  0  phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: x =  b  2a ; x2 =  b  2a *Chú ý : - Nếu a c trái dấu , nghĩa a.c0 hay  >0 ) - Đối với số phương trìnhbậc hai đơn giản (với hệ số nguyên ) trường hợp có nghiệm (  0 ) ta dùng địnhlí Vi ét để tính nhẩm nghiệm Định lí Viét : Nếu phương trình bậc hai a x + bx +c = (1) hai nghiệm : x , x2 tổng tích hai nghiệm Trang ( a  ) có S =x  x2 = b a P=x x2 = c a Cách nhẩm nghiệm : + Nếu a+b+c =0 phương trình (1) có nghiệm x 1; x2  c a + Nếu a-b+c=0 phương trình (1) có nghiệm x   1; x2   c a - Nhờ có đình lí Vi ét mà ta tìm nghiệm phương trình có dạng đặc biệt Ngồi làm số toán biện luận số nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ : Giải phương trình sau 3x2+5x +7 = a,  = 25 – =25 - 84 =- 61 0   37 Vậy PT có hai nghiệm : x1 = d/ Giải phương trình x -3x +6 x2  = x ; x2 =   37 (1) -Phân tích mẫu thành nhân tử phương trình trở thành x -3x +6 = ( x  3)( x  3) x  TXĐ : x +3  hay x 3và x  -3 x-3 0 MTC : (x-3)(x+3) -Khử mẫu ta phương trình x -3x +6 =x+3 - Chuyển vế :  x -3x +6-x-3=0x2 -4x +3 =0(2) a+b+c= 1+(-4) +3 =0 Nên x1=1 ; x2= c =3 a hai nghiệm phương trình trung gian Trang Để kết luận nghiệm (1) ta cần phải kiểm tra xem nghiệm (2) có thuộc TXĐ (1) hay khơng ? ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện x 2=3 khơng thoả mãn điều kiện -Do ta kết luận nghiệmcủa (1) x=1 *Nhận xét : -Những phương trình trình bày dạng phương trình gặp nhiều -Khi giải phương trình ta cần ý vấn đề sau : + Tìm TXĐ phương trình + Sau giải kết cần so sánh kết kết luận nghiệm ( loại bỏ nghiệm phương trình trung gian không nằm miền xác định ) * Bài luyện tập:Giải phương trình : a ,3(x2+x) -2(x2+x ) -1= , c b, 5x2 - 7x = 2x x 5 x     x  x 5 e, x2  x  d, x   ( x  1)( x  4) 3x 2x   x2  x  x2  x  2.2 Phương trình bậc ba a x3 +bx2 +cx =d =0 ( x ẩn ; a,b,c,d hệ số ;a 0 ) * Cách giải : -Để giải phương trình bậc ba ta thường biến đổi phương trình tích Vế trái tích nhị thức bậc tam thức bậc hai , vế phải Muốn làm tốt việc cần đồi hỏi HS phải có kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo *Ví dụ : giải phương trình Giải 2x3 +7x2 +7x + 2=0 Phân tích vế trái thành nhân tử ta có Trang VT = (2x3 + 2) + (7x2 +7 )= 2(x3 +1) + 7x (x+1) = 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1)= (x+1)[2(x2-x +1) +7x ] = (x+1) (2x2+5x +2)  (x+1) (2x2+5x +2) =0 Vậy phương trình cho x +1 =0  (2)  (2x2+5x +2) =0 (3) x1 =-1 x 2=-2 ; x3 = - Vậy phương trình cho có ba nghiệm x1 =-1 ; x 2=-2 ; x3 = - *Nhận xét : Khi giải phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát mà chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng phương trình tích - Chú ý : tính chất phương trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) +Nếu a+b+c +d =0 phương trình có nghiệm x=1 +Nếu a-b+c-d =0 phương trình có nghiệm x= -1 Khi nhận biết nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vế trái thành nhân tử - Phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với hệ số ngun Nếu có nghiệm ngun nghiệm ngun phải ước hạng tử tự (đ/l tồn nghiệm nguyên phương trình nghiệm nguyên ) - Nếu phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có nghiệm x1 ; x2 ; x3 Thì nghiệm thoả mãn điều kiện sau: b a x1+x2+x3 = - ; c a x1x2+ x2x3 +x1x3 = ; x1x2x3 = - * Bài luyện tập:Giải phương trình : a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0; c, x3 - 5x2 + x + = b, x3 - 7x + = 0; d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = f, 3x3 - 7x2 + 17x - = Trang d a 2.3 Phương trình bậc : Phương trình bậc dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; ( a 0 ) Một phương trình bậc mà qua phép đặt ẩn phụ ta quy PT bậc hai 2.3.1 Phương trình tam thức bậc (Phương trình trùng phương ) Phương trình trùng phương có dạng tổng qt : a x4 +bx +c=0 (1) Trong x ẩn ; a , b ,c hệ số ; ( a 0 ) *Cách giải : Khi giải phương trình ta dùng phương pháp đổi biến x =t (t 0) (2) Khi phương trình (1) dưa dạng phương trình bậc hai trung gian a t2 +b t +c =0 (3) Giải phương trình (3) thay giá trị t tìm ( với t 0) vào (2) ta phương trình bậc với biến x giải phương trình ta tìm nghiệm phương trình trùng phương ban đầu *Ví dụ : Giải phương trình sau: 4x - 109x2+ 225 =0 (1) Giải Đặt x =t (t 0) phương trình (1) trở thành 4t2 – 109t +225=0(2) Giải phương trình (2) nghiệm t1 = ; t2 =25 Cả hai nghiệm phương trình (2) thoả mãn điều kiện t 0 + Với t1 = 9 ta có x 2= => x1=3/2 ; x2= -3/2 4 + Với t2=25 ta có x2= 25 => x3 =5 ; x4=-5 Vậy phương trình (1) có nghiệm : x1=3/2 ; x2= -3/2 ; x3 =5 ; x4=-5 * Nhận xét : - Khi nghiên cứu số nghiệm phương trình trùng phương (1) ta thấy : - Phương trình vơ nghiệm : + Hoặc phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm Trang +Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm âm - Phương trình trùng phương có hai nghiệm : + Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương + Hoặc phương trình bậc hai trung gian có nghiệm có nghiệm âm nghiệm dương - Phương trình trùng phương có nghiệm phương trình bậc hai có nghiệm có nghiệm dương nghiệm - Phương trình trùng phương có nghiệm phương trình hai trung gian có hai nghiệm dương phân biệt * Bài luyện tập:Giải phương trình : a, 4x4 + x2 - = c, 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2 b, 3x4 + 4x2 + = d, 9x4 - 10x2 + = 2.3 Phương trình hệ số đối xứng bậc a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; a 0 ) - Đặc điểm : vế trái hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối * Ví dụ : Giải phương trình sau 10 x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhận thấy x=0 không phảI nghiệm (1) Do chia hai vế (10 cho x2 ta 10x2 -27x – 110 - 27 10  =0 x x2 Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta 1 1 10( x2 + x )  ( x  x) ) -110 =0(2) Đặt ẩn phụ (x+ ) =t (3) => x2+ =t2 -2 x thay vào (2) ta có: Giải (4) ta 10t2 -27t -130=0 (4) t1=- 26 ; t 2= Trang 10 x Đây phương trình trùng phương biết cách giải *Ví dụ Giải phương trình sau : (x+3)2 +(x-1)4 =626 Đặt t = x+1 Ta có phương trình  (t+2)4 + (t – 2)4 =626  9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 có nghiệm Từ tìm t=-3 t=3 x=2 x=-4 nghiệm phương trình cho * Bài luyện tập: Giải phương trình : a, (x + 5)4 + (x +3)4 = b, (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 c, (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2.3.6.Phương trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c = (trong x ẩn ;a  ; f(x) đa thức biến ) *Cách giải: - Tìm TXĐ phương trình - đổi biến cách đặt f(x) =t ó phương trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) PT bậc hai biết cách giải +/nếu (2) có nghiệm t=t0 ta giải tiếp phương trình f(x) =t +/ nghiệm phương trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ phương trình cho ) nghiệm phương trnhf (1) * Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TXĐ :  x R Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 Vậy ta có phương trình tương đương : Đặt x2+ 3x =t Ta có PT : t2 -4t +3 = (2) có nghiệm t1=1 ;t2=3 Với t1=1  x2+ 3x = 1 x2 +3x -1=0 có nghiệm x1 , =   13 Trang 15 Với t2=3 x2+ 3x =  x2+ 3x – =0 có nghiệm x3, =   21 nghiệm thoả mãn TXĐ Vậy phương trình cho có nghiệm x1 , =   13   21 ; x3, = 2 *Nhận xét : -Nhờ phép biến đổi f(x) =t ta đưa phương trình a[ f(x)] +b f(x) +c = dạng phương trình bậc hai biết cách giải - Tuy nhiên có số phương trình phải qua số phép biến đổi xuất dạng tổng quát ( ví dụ ) Cũng số loại phương phương trình khác mà giới thiệu số nghiệm phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm phương trình bậc hai trung gian *Chú ý : - Tất phương trình đề xuất thực chất chúng có dạng tổng a[ f(x)]2 +b f(x) +c = quát (1) (sau biến đổi ) - Phương trình trùng phương kể phương trình bbậc hai dạng đặc biệt phương trình a x2n+ bx n +c = Gọi phương trình tam thức (trong x ẩn ;a  ; n  1) dạng đặc biệt phương trình (1) Với f(x)=xn * Bài luyện tập: Giải phương trình : a, x4 + = 5x(x2 - 2); c, x4+6x3+5x2-12x+3=0; b, x4 + = 5x(x2 - 3) *Ngồi phươg trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu mà giải đưa dạng phương trình bậc hai trung gian *Sau ta nghiên cứu số phương trình bậc cao khác: 2.4 Phương trình tam thức Phương trình tam thức dạng : a x2n + bxn +c=0 (1) (a, b, c số thực ;n nguyên dương ;n  ; a  ) Trang 16 * Nếu a, b, c đồng thời khác không n=2 phương trình (1) phương trình trùng phương nghiên cứu * Xét trường hợp n>2 -Ta đặt xn =t - Để tìm nghiệm (1) ta giải hệ sau : * Ví dụ : Giải phương trình xn =t a t2 + bt +c =0 x6- 9x3+8=0 (1) Cách 1: Đặt x3 = t ta có phương trình t2 -9t +8= có nghiệm Cách : -Với t1 =1 x3 =1 x=1 -Với t2 =8 x3= x=2 t1 =1 ; t2 =8 Đưa phương trình tích (1)  (x6 – x3) –( 8x3-8) =0 ( x3 -1) (x3 -8) =0 (x3 -1) =0 (x3 -8) =0 x=1 x=2 Vậy phương trình cho có nghiệm x=1 ; x=2 *Bài luyện tập: giải phương trình: a, 8x6 - 5x3 + = b, 10x4 - 6x2 - 121 = 2.5 Phương trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5) phương trình đối xứng bậc lẻ (bậc 5) có dạng : a x5 +bx4 + cx3 +cx2 +bx+a =0 * Ví dụ : Giải phương trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0 Phương tình có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- Nên biến đổi phương trình dạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0 Ngồi nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm lại ta giải phương trình 2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) phương trình đối xứng (bậc 4) Giải (2) ta x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 *Nhận xét : Phương trình đối xứng có nghiệm x=-1 băng cách chia hai vế phương trình cho x+1 ta hạ bậc phương trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n Trang 17 -Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n x đưa phương trình bậc n t cách đặt t =x+ x - Nếu a nghiệm phương trình đối xứng 1/a nghiệm phương trình phương trình đối xứng dù chãn hay lẻ bậc gọi phương trình thuận nghịch bậc chẵn hay bậc lẻ) * Bài luyện tập:Giải phương trình: 2x5 + 5x4 - 13x3 - 13x2 + 5x + = 2.6 Phương pháp giải phương trình bậc cao đưa dạng tích Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) Phương trình (1) khơng thuộc phương trình xét Do đẻ giải phương trình ta đưa dạng tích cách phântích vế trái thành tích đa thức bậc bậc hai (1) x2( x-1)+ 5x(x-1) -24(x-1 ) =0 (x-1 )( x2+5x-24 )=0 x-1 =0 x2 +5x-24=0 *x-1=0 x 1=1 * x2+5x-24=0 có hai nghiệm x1= ; x2=-8 Vậy phương trình cho có nghiệm x1= ; ; x2=-8 ; x3=3 Ví dụ 2: Giải phương trình x4+ 4x3+3x2+2x-1=0 (2) (x2+2x)2 –(x-1)2 =0 (x2+x+1 )( x2+3x-1 )=0 x2+x+1 =0 x2+3x-1 =0  = -3