SKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCS

SKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCSSKKN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Ở CẤP THCS

PHẦN THỨ NHẤT ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong các môn học ở phổ thông, môn toán giữ một vị trí quan trọng Quaviệc học toán học sinh được rèn luyện về mọi mặt như: trí thông minh,phương pháp tính toán hợp lý, nhanh gọn, tạo cho bộ óc làm việc ngăn nắp, có

kế hoạch Từ cuộc sống hàng ngày của con người như : cân đo, đong đếm,…cho đến các ngành công nghiệp phát triển đều rất cần đến toán học

“ Giáo dục là quốc sách hàng đầu, nhiệm vụ của ngành giáo dục là nângcao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Việc bồi dưỡng học sinhgiỏi là một trong những công tác mũi nhọn của ngành Giáo dục và Đào tạo nóichung, của từng cơ sở nói riêng nên việc phát triển bồi dưỡng học sinh giỏinuôi dưỡng nhân tài là một việc làm thường xuyên, liên tục Môn toán là mộttrong những bộ môn thường xuyên tổ chức thi học sinh giỏi nên đòi hỏi từng

cơ sở phải xây dựng được đội ngũ học sinh giỏi cho đơn vị mình Với tâmhuyết nghề nghiệp tôi luôn cố gắng phấn đấu để đào tạo và bồi dưỡng ngàycàng nhiều học sinh giỏi các cấp bằng cách đi sâu nghiên cứu và giúp các emnắm chắc, sâu từng phần từng nội dung trong chương trình toán lớp 9 Phươngtrình bậc cao là một đề tài hấp dẫn, thú vị của toán học, vì vậy phương trìnhbậc cao đã được rất nhiều nhà toán học nghiên cứu Tuy nhiên, với người họcthì giải phương trình bậc cao là một vấn đề khó Sau nhiều năm giảng dạymôn Toán ở bậc trung học cơ sở tôi nhận thấy mảng giải phương trình bậc caođược đưa ra ở sách giáo khoa lớp 8, 9 là rất khiêm tốn, nội dung sơ lược,mang tính chất giới thiệu khái quát, quỹ thời gian giành cho nó là quá ít ỏi,trong chương trình học lại không có một bài học cụ thể nào Bên cạnh đó làcác nội dung bài tập ứng dụng thì rất phong phú, đa dạng và phức tạp Cácphương trình bậc cao là một nội dung thường gặp trong các kỳ thi ở BậcTHCS và đặc biệt trong các kỳ thi tuyển sinh vào THPT Chính vì vậy tôiquyết định chọn chủ đề: ''phương trình bậc cao '' làm sáng kiến cho riêng

mình, để giúp các em tìm hiểu được nhiều hơn về phương pháp giải, cách giảiđối với các dạng phương trình bậc cao

PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

I CƠ SỞ KHOA HỌC ĐỀ XUẤT RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình toán học trung học cơ sở và trong các đề thi chúng tavẫn thường gặp các bài toán về giải phương trình bậc 3,4,5 hoặc phân tích cácphương trình đó thành nhân tử, song với học sinh vẫn còn lúng túng vì khôngbiết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khăn không biết làm thế nào để tìm ra lời giải.Riêng với các em học sinh khi gặp dạng toán này không chịu nghiên cứu khảosát kĩ từng dạng phương trình theo nhiều cách hoặc sử dụng thiếu linh hoạt Xuất phát từ vấn đề trên và qua việc giảng dạy môn toán ở trường THCS ,qua đọc tài liệu tham khảo và đặc biệt qua việc bồi dưỡng cho đội tuyển họcsinh giỏi ở khối 9 Tôi nhận thấy rằng giải một phương trình bậc 3,4,5 làtương đối khó đối với học sinh THCS và đặc biệt hơn nữa các phương phápgiải phương trình đó không hề có trong chương trình toán THCS do đó đã gâykhó khăn không nhỏ đối với học sinh trong khi gặp phải dạng toán này Họcsinh không có một phương pháp cụ thế nào mà chỉ biết mò mẫm một cách vôhướng

Khi được tiếp xúc với các dạng phương trình bậc cao không những rènluyện cho HS các năng lực về hoạt động trí tuệ để có cơ sở tiếp thu dễ dàngcác môn học khác ở trường THCS Mở rộng khả năng áp dụng kiến thức vàothực tế, còn góp phần rèn luyện cho HS những đức tính cẩn thận ,sáng tạo…Dựa vào hiểu biết, vốn kiến thức và thu thập qua tài liêu, sách báo tôi xinđưa ra một số phương pháp mà tôi cho là phù hợp với học sinh THCS để giảicác dạng phương trình

II.KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :

1 Các định nghĩa :

1.1 Định nghĩa phương trình :

Giả sử A(x) = B(x) là hai biểu thức chứa một biến x Khi nói A(x) =B(x) là một phương trình, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trịtương ứng của hai biểu thức này bằng nhau

Biến x được gọi là ẩn.Giá trị tìm được của ẩn gọi là nghiệm

Việc tìm nghiệm gọi là giải phương trình Mỗi biểu thức gọi là một vếcủa phương

1.2 Tập xác định của phương trình :

Là tập hợp các giá trị của ẩn làm cho mọi biểu thức trong phương trình có nghĩa

1.3 Định nghĩa hai phương trình tương đương :

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập hợp nghiệm

1.4 Các phép biến đổi tương đương :

Khi giải phương trình ta phải biến đổi phương trình đã cho thành nhữngphương trình tương đương với nó ( nhưng đơn giải hơn) Phép biến đổi nhưthế được gọi là phép biến đổi tương đương

2 Các định lý biến đổi tương đương của phương trình :

a) Định lý 1 :Nếu cộng cùng một đa thức của ẩn vào hai vế của một

phương trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đãcho Ví dụ : 2x = 7 <=> 2x + 5x = 7 +5x

Chú ý : Nếu cộng cùng một biểu thức chứa ẩn ở mẫu vào hai vế của

một phương trình thì phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ : x -2 (1) Không tương đương với phương trình

2

1 2

1 2

x

Vì x = 2 là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)

* Hệ quả 1: Nếu chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một

phương trình được một phương trình mới tương đương với phương trình đãcho

Ví dụ : 8x -7 = 2x + 3 <=> 8x- 2x = 7 + 3

* Hệ quả 2 :Nếu xoá hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một phương

trình thì được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

Ví dụ : -9 - 7x = 5 ( x +3) -7x <=> -9 = 5 x ( x + 3)

* Chú ý : Nếu nhân hai vế của một phương trình với một đa thức của ẩn

thì được phương trình mới có thể không tương đương với phương trình đãcho

b) Định lý 2:Nếu nhân một số khác 0 vào hai vế của một phương trình

thì được phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

 2x2 - 12x = 3 ( Nhân hai vế với 4 )

III/ NHỮNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:

1.Phương trình bậc nhất một ẩn :

Phương trình có dạng ax + b = 0, với a, b là những hằng số; a 0 đượcgọi là phương trình bậc nhất một ẩn số, b gọi là hạng tử tự do

Cách giải :

- Phương trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1)

- Dùng phép bién đổi tương đương , Phương trình (1) trở thành :

*Ta dùng các phép biến đổi tương đương ,biến đổi phương trình

đã cho về các dạng phương trình đã biết cách giải (phương trình bậcnhất ,phương trình dạng tích ) để tìm nghiệm của phương trình

*Khi nghiên cứu về nghiệm số của phương trình bậc hai

a x2 +b x +c=o (a0)Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số  củaphương trình: =b2- 4ac, Vì biểu thức = b2- 4ac quyết định nghiệm

số của phương trình bậc hai Ta thấy có các khả năng sau xảy ra :

a , <0  phương trình bậc hai vô nghiệm

b , =0  phương trình bậc hai có hai nghiệm kép (hai nghiệm trùng

Định lí Viét : Nếu phương trình bậc hai a x 2 + bx +c = 0 (1) ( a 0) cóhai nghiệm là : x1, x2 thì tổng và tích hai nghiệm là

- Nhờ có đình lí Vi ét mà ta có thể tìm được nghiệm của các phương trình

có dạng đặc biệt Ngoài ra chúng ta cũng có thể làm được một số bàitoán biện luận về số nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ : Giải các phương trình sau

Để kết luận nghiệm của (1) ta cần phải kiểm tra xem các nghiệm của (2) cóthuộc TXĐ của (1) hay không ?

ở đây ta nhận thấy x1=1 thoả mãn điều kiện

x 2=3 không thoả mãn điều kiện

-Do đó ta mới kết luận nghiệmcủa (1) là x=1

* Bài luyện tập:Giải các phương trình :

a ,3(x2+x) -2(x2+x ) -1= 0 , b, 5x2 - 7x = 0

c

5

3 3

5 5

3 3

x x

d, 2 1( 21)( 84)

x x x

x

3 2

2 3

*Ví dụ : giải phương trình 2x3 +7x2 +7x + 2=0

Giải Phân tích vế trái thành nhân tử ta có

VT = (2x3 + 2) + (7x2 +7 )= 2(x3 +1) + 7x (x+1)

= 2(x+1)(x2 –x +1) +7x(x+1)= (x+1)[2(x2-x +1) +7x ] = (x+1) (2x2+5x +2)

Vậy phương trình đã cho  (x+1) (2x2+5x +2) =0

 x +1 =0 (2)  x1 =-1

(2x2+5x +2) =0 (3) x 2=-2 ; x3 =

-2 1

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x1 =-1 ; x 2=-2 ; x3 =

-2 1

*Nhận xét :

Khi giải một phương trình bậc ba ta không nghiên cứu cách giải tổng quát màchủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình vềdạng phương trình tích

- Chú ý : tính chất của phương trình bậc ba : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) +Nếu a+b+c +d =0 thì phương trình có một nghiệm x=1

+Nếu a-b+c-d =0 thì phương trình có một nghiệm x= -1

Khi đã nhận biết được một nghiệmcủa phương trình ta dễ dàng phân tích vếtrái thành nhân tử

- Phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) với các hệ số nguyên Nếu cónghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ước của hạng tử tự do (đ/l sựtồn tại nghiệm nguyên của phương trình nghiệm nguyên )

- Nếu phương trình : a x3 +bx2 +cx =d =0 ( a 0 ) có 3 nghiệm x1 ; x2 ; x3

Thì 3 nghiệm đó sẽ thoả mãn các điều kiện sau:

* Bài luyện tập:Giải các phương trình :

a, 2x3 - 5x2 - 3x = 0; c, x3 - 5x2 + x + 5 = 0

b, x3 - 7x + 6 = 0; d, x3 - 13x2 - 42x - 36 = 0

f, 3x3 - 7x2 + 17x - 5 = 0

2.3 Phương trình bậc 4 :

Phương trình bậc 4 dạng : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0

Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; ( a 0 )

Một phương trình bậc 4 mà qua phép đặt ẩn phụ ta có thể quy về PT bậc hai

2.3.1 Phương trình tam thức bậc 4 (Phương trình trùng phương )

Phương trình trùng phương có dạng tổng quát : a x4 +bx 2 +c=0 (1) Trong đó x là ẩn ; a , b ,c là các hệ số ; ( a 0 )

*Ví dụ : Giải phương trình sau: 4x 4 - 109x2+ 225 =0 (1)

- Khi nghiên cứu số nghiệm của phương trình trùng phương (1) ta thấy :

- Phương trình vô nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm

+Hoặc phương trình bậc hai trung gian có cùng hai nghiệm âm

- Phương trình trùng phương có hai nghiệm khi :

+ Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm kép dương + Hoặc phương trình bậc hai trung gian có 2 nghiệm trong đó có mộtnghiệm âm và một nghiệm dương

- Phương trình trùng phương có 3 nghiệm khi phương trình bậc hai có 2nghiệm trong đó có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0

- Phương trình trùng phương có 4 nghiệm khi phương trình hai trung gian cóhai nghiệm dương phân biệt

* Bài luyện tập:Giải các phương trình :

a, 4x4 + x2 - 5 = 0 c, 5x4 + 2x2 - 16 = 10 - x2

b, 3x4 + 4x2 + 1 = 0 d, 9x4 - 10x2 + 1 = 0

2.3 2 Phương trình hệ số đối xứng bậc 4

a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (Trong đó x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ; a 0 )

- Đặc điểm : ở vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu

và số hạng cuối thì bằng nhau

* Ví dụ : Giải phương trình sau

10 x4-27x3- 110x2 -27x +10=0 (1)

Ta nhận thấy x=0 không phảI là nghiệm của (1)

Do đó chia cả hai vế (10 cho x2 ta được 10x2 -27x – 110 -27 102

x

x  = 0 Nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được

; 2

; 2 1

* Nhận xét :

- Về phương pháp giải gồm 4 bước

+Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1)cho x2rồi nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từngnhóm ta được phương trình (2)

+Đặt ẩn phụ : (x+1)

x =t (3) => x2+ 12

x =t2 -2 thay vào (2) +Giải phương trình đó ta được t

+Thay các giá trị của t vào (3) để tìm x và trả lời nghiệm (1)

- Về nghiệm số của phương trình: x0 là nghiệm của (1) thì

0

1

x cũng lànghiệm của nó

(ví dụ trên : -2 là nghiệm và -1/2 là ngịch đảo của nó cũng là nghiệm ;5

và 1/5là nghịch đảo của nhau)

* Bài luyện tập: Giải các phương trình :

 ; ( c0)

Đối với phương trình hệ số đối xứng bậc 4chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình hồi quy

d bx

d



 do (d/b)2 =c/a nên x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b

Khi đó ta có phương trình a(t2 - 2

b

d

) bt +c =0

- Ta được phươnmg trình (3) trung gian như sau : at2+ bt +c=0 (3)

- Giải (3) ta được nghiệm của phương trình ban đầu

 ; Nên phương trình (1) là phương trình hồi quy

 x=0 không phải là nghiệm của (1)

 Do đó chia cả hai vế phương trình cho x2 ta được

+Với t1=-1  x2+x-2=0 có nghiệm là x1= 1; x2= -2

; 1

2 2

nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó

Khi đó phương trình có dạng [x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0

do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k có thể là ad hoặc bc )

ta có phương trình At2 +Bt+ C =0 (Với A=1)

Giải phương trình ta tìm được t thay vào (2) rồi giải tìm được nghiệm x

- Ta thấy nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm thì phương trình banđầu cũng vô nghiệm Nếu phương trình trung gian có nghiệm thì ta trả biếnlại và giải tiếp phương trình bậc hai đối với biến x, nghiệm của phương trìnhnày là nghiệm của phương trình ban đầu

* Bài luyện tập:

1.Giải các phương trình :

a, x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8 ; c, (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810

b, (x - 4)(x - 5) (x - 6)(x - 7) = 1680; d, (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 15 = 0 2.Cho phương trình: (x+3)(x+5)(x+9)(x+7) = m

a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm

b, Giải và biện luận nghiệm của phương trình

c, Giải phương trình khi m = 5

Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải

*Ví dụ Giải phương trình sau :

Từ đó tìm được x=2 và x=-4 là nghiệm của phương trình đã cho

* Bài luyện tập: Giải các phương trình :

- đổi biến bằng cách đặt f(x) =t khi ó phương trình có dạng

at2 + bt +c =0 (2) là PT bậc hai đã biết cách giải

+/nếu (2) có nghiệm là t=t0 thì ta sẽ giải tiếp phương trình f(x) =t +/ nghiệm của phương trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ của phương trình đã cho ) sẽ là nghiệm của phương trnhf (1)

* Ví dụ : Giải phương trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TXĐ :  xR Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3

Vậy ta có phương trình tương đương : (x2+ 3x)2 - 4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2)

các nghiệm này đều thoả mãn TXĐ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 , 2 =

dạng đặc biệt của phương trình (1) trên Với f(x)=xn

* Bài luyện tập: Giải các phương trình :

* Nếu a, b, c đồng thời khác không và n=2 thì phương trình (1) là phươngtrình trùng phương đã nghiên cứu ở trên

(1)  (x6 – x3) –( 8x3-8) =0 ( x3 -1) (x3 -8) =0

<=> (x3 -1) =0 hoặc (x3 -8) =0<=> x=1 hoặc x=2Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x=1 ; x=2

*Bài luyện tập: giải các phương trình:

Phương tình này có tổng các hệ số của các số hạng bậc chẵn bằng tổng các

hệ số của các số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- 1 Nên biến đổi phương trình vềdạng ( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0

Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phương trình

2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) là phương trình đối xứng (bậc 4)

Giải (2) ta được x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1

*Nhận xét : Phương trình đối xứng bao giờ cũng có một trong các nghiệm

là x=-1 do đó băng cách chia cả hai vế phương trình cho x+1 ta hạ được bậccủa phương trình thành phương trình đối xứng bậc chẵn 2n

-Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đối với x được đưa về phương trình bậc

* Bài luyện tập:Giải phương trình: 2x5 + 5x4 - 13x3 - 13x2 + 5x + 2 = 0

2.6 Phương pháp giải các phương trình bậc cao đưa được về dạng tích

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1)

Phương trình (1) không thuộc các phương trình đã xét ở trên

Do đó đẻ giải phương trình này ta đưa về dạng tích bằng cáchphântích vế trái thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai(1) <=> x2( x-1)+ 5x(x-1) -24(x-1 ) =0 <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 <=> x-1 =0 hoặc x2 +5x-24=0

- Đối với các phương trình bậc cao không thuộc dạng đã nêu trên Thì

cách giải thích hợp nhất đối HS ở THCS là tìm cách đưa phương trình về dạngtích đối vế trái và vế phải bằng 0 Như vậy các phương trình thường đượcđưa về tập các phương trình bậc nhất hoặc bậc hai

- Số nghiệm của các phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm của cácphương trình con tương đương

* Bài luyện tập:Giải phương trình: