Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp tọa độ trong hình học không gian (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI VIỆT HÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên, năm 2015 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Sơ lược không gian Ơclit 1.2 Một số mơ hình xác định hệ trục tọa độ CHƯƠNG II: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 2.1 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán định lượng 2.2 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán chứng minh 21 2.3 Vận dụng phương pháp tọa độ vào tốn quỹ tích 26 2.4 Vận dụng phương pháp tọa độ vào toán cực trị 33 CHƯƠNG III: KIỂM TRA KẾT QUẢ LỜI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VỚI PHẦN MỀM MAPLE 45 3.1 Sơ lược câu lệnh phần mềm Maple gói cơng cụ hình học khơng gian 45 3.2 Sử dụng Maple minh họa kết vận dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học khơng gian 46 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơn hình học đời từ thời Euclid (Thế kỷ thứ III trước công nguyên) đến năm 1619, Rene Descartes - nhà triết học kiêm vật lý nhà toán học người Pháp (1596 - 1650) dùng đại số để đơn giản hóa hình học cổ điển trình bày phương pháp tọa độ “La gesometrie” (1637) Sự đời phương pháp tọa độ thiết lập mối quan hệ mật thiết hình học đại số Trong chương trình tốn THPT hình học mơn học khó có tính hệ thống, chặt chẽ, logic trìu tượng Đặc biệt phần hình học khơng gian, với phương pháp tổng hợp việc đưa phương pháp tọa độ chương trình học hội để học sinh làm quen với ngôn ngữ toán học cao cấp Các toán liên quan đến phương pháp tọa độ toán thường gặp kỳ thi Đại học, học sinh giỏi toán Hiện nhiều học viên cao học chuyên ngành phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên khai thác có hiệu vấn đề liên quan đến phương pháp tọa độ chưa có học viên sâu tìm hiểu phương pháp tọa độ hình học khơng gian việc vận dụng phương pháp tọa độ vào giải số dạng toán hình học khơng gian chương trình tốn THPT Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ cơng tác giảng dạy THPT, chọn hướng nghiên cứu “ Phương pháp tọa độ hình học khơng gian ” để triển khai đề tài luận văn Thạc sĩ Luận văn có nhiệm vụ chính: (1) Sưu tầm số dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ (2) Phân dạng, hệ thống hóa, đưa lời giải chi tiết cho toán (3) Đưa số định hướng, gợi ý để giúp học sinh nhận dạng thể phương pháp tọa độ việc giải toán tương tự (4) Mặt khác, ưu điểm phương pháp tọa độ chúng bao hàm số thuật toán Luận văn cố gắng minh họa vài thuật tốn với phần mềm Maple để kiểm tra kết lời giải toán Luân văn hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Trịnh Thanh Hải – Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo Thầy Em xin trân trọng cảm ơn quý thầy, khoa Tốn – Tin, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K7 động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận bảo, đóng góp ý kiến q thầy, độc giả quan tâm tới luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Học viên Bùi Việt Hà Chương I: KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi xin trình bày sơ lược lại số khái niệm, định nghĩa, tính chất…chủ yếu tài liệu [2], [3], [4], [7], [10] Đây kiến thức sở, tảng cho lời giải ví dụ trình bày chương 1.1 Sơ lược không gian Ơclit 1.1.1 Định nghĩa Không gian Ơclit không gian liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều Không gian Ơclit gọi n chiều không gian vectơ Ơclit liên kết với có số chiều n Khơng gian Ơclit thường ký  hiệu E, không gian Ơclit liên kết với kí hiệu E 1.1.2 Mục tiêu trực chuẩn    Mục tiêu afin O;e1, e2 , ,en  không gian Ơclit n chiều E n gọi mục tiêu trực chuẩn (hay hệ tọa độ đề vng góc), sở n      0 nÕu i  j O;e e ,e E , , sở trực chuẩn, tức ei e j = δij ,  ij =   n 1 nÕu i  j 1.1.3 Đổi mục tiêu trực chuẩn       Cho hai mục tiêu trực chuẩn O;e1, e2 , ,en  (I) O';e'1, e'2 , ,e'n  (II) không gian Ơclit n chiều E n Gọi C ma trận chuyển từ sở       ε = e1;e2 ;en  sang sở ε' = e'1;e'2 ;e'n  Các sở sở trực chuẩn nên C ma trận trực giao cấp n Khi đó, cơng thức đổi mục tiêu trực chuẩn X = C X’ + a Với C.Ct = In, a ma trận cột tọa độ gốc O’ mục tiêu (I) X X’ hai ma trận cột tọa độ điểm mục tiêu thứ thứ hai 1.1.4 Hệ tọa độ đề vng góc thuận, nghịch Với E3 mục tiêu trực chuẩn (I) (II) Ta quy định sở    ε = e1;e2 ;en  mục tiêu trực chuẩn (I) thuận Khi ma trận chuyển từ sở (I) sang sở (II) có định thức dương hệ tọa độ Đề vng góc thuận, ngược lại có hệ tọa độ nghịch 1.1.5 Hệ trục tọa độ không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đơi vng góc gọi hệ trục tọa độ Đề vng góc khơng gian kí hiệu Oxyz    Ta gọi vectơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz i, j, k    hệ tọa độ Oxyz viết hệ tọa độ (O; i, j, k ) cần ý:    i = j = k 1      i.j = j.k = k.i  1.1.6 Tọa độ vectơ hệ tọa độ     Trong hệ tọa độ Đề vng góc (O; i, j, k ) cho vectơ tùy ý v Vì    vectơ i, j, k không đồng phẳng nên tồn số (x; y; z)      cho v  xi  y j  z k (x; y; z) gọi tọa độ v   Kí hiệu: v = (x; y; z) v (x; y; z) 1.1.7 Tọa độ điểm hệ tọa độ Trong hệ tọa độ Đề vng góc Oxyz cho điểm M Khi đó:  Tọa độ vectơ OM tọa độ điểm M Như vectơ      OM = (x; y; z) tức OM  xi  y j  z k ba số (x; y; z) tọa độ điểm M Kí hiệu: M = (x; y; z) M(x; y; z) 1.1.8 Một số tính chất (xét trong E3)       +) b phương a ( a  )   k   , cho b  ka   +) Tích có hướng a = ( x; y; z) b = (x’; y’; z’) vectơ    y z z n = [a, b] =  ; y' z' z'  x x ; x' x' y  y'    +) Cho u =(x; y; z) v = (x’; y’; z’), k     u  v = (x  x’; y  y’; z  z’)   u v = x.x’+ y.y’+ z.z’  2 u = u  x + y2 + z   cos u, v =   x.x' + y.y' + z.z' x + y + z x '2 + y'2 + z '2       +) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng  a, b  c      AB, AC  2    +) VTø diÖn ABCD   AB, AC  AD    +) VHình hép ABCD.A'B'C'D'   AB, AD AA ' +) SABC +) VLăng trụ ABC.A'B'C'       AB, AC  AA' 2 +) Khoảng cách từ M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = 0: d(M0,( α )) = Ax + By0 + Cz + D 2 A +B +C  +) Cho đường thẳng 1 ,  chéo nhau, 1 qua M1 có vtcp u1 ,   qua M2 có vtcp u Khi khoảng cách 1  là:     u1 ,u  M1M   d(  ;  ’) =    u1 , u      u1.u a1.a + b1.b + c1.c Góc hai đường thẳng: cos φ =   = , 2 2 2 u1 u a1 + b1 + c1 a + b + c2   đó: u1 (a1; b1; c1); u ( a2; b2; c2) Góc đường thẳng mặt phẳng: Gọi θ góc  ( α ), ta có sin θ = A.a + B.b + C.c  00  θ  900 ; với u (a; b; c) vectơ A + B2 + C a + b + c  phương  ; n (A; B; C) vectơ pháp tuyến ( α ) +) Góc ( γ ) hai mặt phẳng ( α ): Ax + By + Cz + D = ( α ’): A’x + B’y + C’z + D’ =  n.n' A.A' + B.B' + C.C' cos γ =   = n n' A + B2 + C2 A '2 + B'2 + C'2   n n ' vectơ pháp tuyến ( α ) ( α ’) 1.2 Một số mơ hình xác định hệ trục tọa độ Để vận dụng phương pháp tọa độ vào giải tốn hình học khơng gian trước tiên ta phải chọn hệ trục tọa độ Ta vào số mơ hình sau z  Mơ hình Hình lập phương Xét hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 C1 B1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho    S  O, AB, AD, AA1 hướng với tia Ox, Oy, Oz Khi D1 A1 A O D x y C B A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C1( 1; 1; 1)  Mơ hình Tam diện vng z C Xét tam diện vng S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho S  O,    SA, SB, SC hướng với tia O S Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm A S(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B (0; b; 0), C(0; 0; c) x B y  Mơ hình Hình hộp chữ nhật Xét hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có z A' độ dài cạnh AB = a, AD = b, AA’ = c D' C' B' Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A  O B, D, A’ thuộc tia Ox, A O Oy, Oz Tọa độ điểm y D A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; b; 0), D(0; b; 0), A’(0; 0; c), B’(a; 0; c), C’(a; b; c), D’(0; b; c) x B C  Mô hình Hình chóp tứ giác z Xét hình chóp tứ giác S.ABCD S có gốc O giao hai đường chéo SO= h, AC = 2a, BD = 2a Chọn hệ trục tọa dộ Oxyz cho    OA, OB, OS hướng với C D O x A tia Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm là: B y O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(- a; 0; 0), D(0; - a; 0)  Mơ hình Hình chóp tam giác z Xét hình chóp tam giác S.ABC có O S tâm tam giác ABC SO = h, BC = a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho    OA, CB, OS hướng với tia C B O Ox, Oy, Oz Tọa độ điểm là: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), x y A a   a a   a a  ; 0;  , B  ; ; 0 , C; - ; 0 A 6       Nhận xét: Nếu mơ hình khác ta phải tìm góc tam diện vng hợp lý, từ ta chọn hệ trục Oxyz tương ứng để giải toán Chương II: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Để giải tốn hình học khơng gian phương pháp tọa độ ta thực theo bước sau đây: Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz Bước 2: Tọa độ hóa điểm hình khơng gian Bước 3: Chuyển giả thiết qua hình học giải tích Bước 4: Giải tốn Vì dạng tốn hình học khơng gian vơ phong phú, đa dạng, chương trình bày số dạng quen thuộc như: Bài toán định lượng, chứng minh, cực trị, toán điểm quỹ tích Các tốn trình bày chương lựa chọn, trích dẫn từ nguồn tài liệu [1]; [2]; [3]; [4]; [5]; [6], [7], [8]… 2.1 Vận dụng phương pháp tọa độ vào tốn định lượng Bài tốn 2.1 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a a) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng A1B AC1 b) Gọi K trung điểm DD1 Tính góc khoảng cách đường thẳng CK A1D c) Mặt phẳng (P) qua BB1 hợp với đường thẳng BC1, B1D hai góc Tính góc z Lời giải: A1 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với O  A, B thuộc tia Ax, D thuộc tia Ay A1 thuộc tia B1 C1 D1 Az, đó: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), K D(0; a; 0); A1(0; 0; a), B1(a; 0; a), C1(a; a; a), A D1(0; a; a)   a) Ta có A1B (a; 0; - a); AC1 (a; a; a) yD B x C ... nghiên cứu “ Phương pháp tọa độ hình học khơng gian ” để triển khai đề tài luận văn Thạc sĩ Luận văn có nhiệm vụ chính: (1) Sưu tầm số dạng tốn hình học khơng gian giải phương pháp tọa độ (2) Phân... phần hình học khơng gian, với phương pháp tổng hợp việc đưa phương pháp tọa độ chương trình học hội để học sinh làm quen với ngơn ngữ tốn học cao cấp Các toán liên quan đến phương pháp tọa độ toán... chưa có học viên sâu tìm hiểu phương pháp tọa độ hình học khơng gian việc vận dụng phương pháp tọa độ vào giải số dạng tốn hình học khơng gian chương trình tốn THPT Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi