Đề thi Olympic Toán 10 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

Đề thi Olympic 274 Toán 10 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu gồm 1 trang với 6 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút, kỳ thi được tổ chức vào ngày 06032018 nhằm tuyển chọn các em học sinh giỏi Toán 10 tại các trường THPT và cơ sở GD – ĐT trên toàn tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu, đề thi HSG có lời giải chi tiết.. Trích dẫn đề thi Olympic 274 Toán 10 năm 2017 – 2018: + Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại 3 số phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia. + Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, D và AD = CD = 2AB. Điểm I thuộc đoạn AC sao cho AI = 34.AC. Biết điểm B(5; 3), đường thẳng DI có phương trình 3x – y + 8 = 0 và điểm D có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm D. + Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 3. Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm N, M, P sao cho BN = 1, CM = 2, AP = x (0 < x < 3). a) Phân tích vectơ AN theo hai vectơ AB, AC. b) Tìm giá trị của x để AN vuông góc với PM.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MƠN THI: TỐN LỚP 10 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 06/03/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (6,0 điểm): 1) Giải phương trình x3 + x2 = x  3x  3 2  x  y  x  y  xy   y  x 2) Giải hệ phương trình   x  y  3x  y   3x  y  Câu (4,0điểm): 1) Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức S = R  sin A  sin B  sin C  Chứng minh tam giác ABC tam giác 2) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC , CA, AB lấy điểm N , M , P cho BN  1, CM  2, AP  x (0  x  3)    a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC b) Tìm giá trị x để AN vng góc với PM Câu (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang ABCD vuông A, D AC Biết điểm B(5;3), đường thẳng DI có phương trình x  y   điểm D có hồnh độ dương Tìm tọa độ điểm D AD  CD  AB Điểm I thuộc đoạn AC cho AI  Câu (3,0 điểm): Cho phương trình x   4m  1 x  3m  2m  (m tham số) 1) Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13  x23  18 2) Tìm tất giá trị nguyên m nguyên cho phương trình cho có nghiệm ngun Câu (3,0 điểm): Cho số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh rằng: a b c d     2 2  b c  c d  d a  a 2b Câu (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt nhỏ 4034 Chứng minh tồn số phân biệt 2018 số cho mà số tổng hai số - HẾT - Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ ký giám thị SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MƠN THI: TỐN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Câu 6,0 điểm Nội dung 1) Đk x  x 3 + x2 = x  3x   x   x   x  x   x  3x   x2  5x   x2  5x    x2  5x   x2  5x    2x0,25 Đặt t  x  x  6, t  Ta pt : t  2t   t  1(l  t  2t     t  3(n) 2x0,25   37  37 (l ) x  KL pt có nghiệm x  2    37 ( n) x   3 2 (1)  x  y  x  y  xy   y  x   x  y  x  y   x  y  (2) (1)  ( x  1)3  3( x  1)  y  y  ( x  - y)  x  xy  y + 1   y  x 1  2  x  xy  y + = Ta có x  xy  y + = vô nghiệm Với y = x + thay vào pt (2) ta pt: 0,5 0,25 0,25 3x  + 3x   3x  x  ( x  - ( x  1)  ( x   ( x  2)  x  x x  x2 x  x2   3x  3x 3x   x  5x   x  1    ( x  x)    3  5x   x   3x   x     x2  x   1 1     (vn vi : x  )  x   x  5x   x  x   x  KL: Hpt có nghiệm (0; 1), (1; 2) 1) Theo định lí sin ta có : sin A  2x0,25 0,5 t   x2  5x    x2  5x   Cầu 4điểm Điểm 0,5 a3 B3 c3 3   ; sin B ;sin C 8R3 8R3 8R3 2x0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25 2x0,25 2x0,25 VT = 2  a3 b3 c3  R      R(a  b3  c3 )  8R 8R 8R  12 Áp dụng bắt đẳng thức – si ta có: a  b  c  3abc abc  VT  4R abc Mà S  , dấu “ =” xảy a = b = c  ABC 4R         2) a) AN = AB  BN = AB  AC  AB  AB + AC 3     x  b) Ta có PM = PA  AM  AC - AB 3         x   2 AN  PM  AN PM    AB  AC   AC  AB   3 3  3           2 2x x  AB AC  AB  AB AC  AC  9 9 x  1 2x  1  x  Câu 2,0 điểm 3  Đặt AD = a 5a 5a 5a BD = ; DI = ; MI  8 Suy BDI vuông cân I Do BI : x  y  14  Mà I giao điểm BI DI  I(-1; 5) Vì D  DI  D(x; 3x + 8) mà DI = BI  x  1(n)  ( x  1)  (3x  3)  40   D(1;11)  x  3(l )    4m  1   3m2  2m   4m   0, m  R 2x0,25 2x0,25 0,25x2 0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25x2 0,5 Suy phương trình ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo viet ta có  x1  x2  4m    x1.x2  3m  2m 2 x13  x23   x1  x2   x1  x2   x1 x2    4m  1  4m  1   3m  2m        28m  15m  6m  x13  x23  18  28m3  15m  6m   18 0,25 0,25   m  1  28m  13m  19    m  Phương trình có nghiệm nguyên suy  bình phương số nguyên x  (thỏa) Nếu m = ta có pt : x  x     x  1 0,5 0,5 Nếu m  4m    2k  1 (k  Z ) 4m  số lẻ 0,5  m  k  k  1 Mà  k , k  1   k,k+1 hai số phương (vơ lí) 0,5 Vậy có m =0 thỏa a ab c ab c ab c  a   a  a Ta có 2 1 b c 1 b c 2b c 0,5 ab c b a.ac 1 a  a  b  a  ac   a   ab  abc  2 4 a  a   ab  abc  Vậy 1 b c Chứng minh tương tự ta có b c d  b  (bc  bcd ),  c  (cd  cda ),  d  (da  dab) 2 1 c d 1 d a 1 a b a b c d      2  b c  c d  d a  a 2b  a  b  c  d   ab  bc  cd  da  abc  bcd  cda  dab  Lại có a  0,5 0,5 0,5  abcd  Lại có ab  bc  cd  da   a  c  b  d     4   16  1 1   abcd  abc  bcd  cda  dab  abcd         a b c d    abcd  a  b  c  d   16 a b c d Do     abcd 2  2 2  b c  c d  d a  a 2b Dấu « = » xảy  a  b  c  d  Cho 2018 số nguyên dương khác nhỏ 4034 Chứng minh tồn ba số 2018 số mà số tổng hai số Gọi 2018 số nguyên dương cho a1 , a2 , , a2018 Không tính tổng quát giả sử 0,5 0,5 2,0đ 0,25  a1  a2   a2017  a2018  4033 Đặt bi   a1  i  2,3, , 2018  Suy  b2  b3   b2018  4032 0,25 Xét dãy gồm 4034 số a2 , a3 , , a2018 , b2 , b3 , , b2018 Các số nhận 4033 giá trị khác nên có số dãy số Mặt khác ta có :  a j ; bi  b j , i  j (2  i, j  2018) Ngoài 0,5 0,5  bi , i  2,3, , 2018 (do a1  0) Suy tồn ax  by  x  y,  x, y  2018  Hay ax  a y  a1  a1  a x  a y (đpcm) 0,5 ...TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MƠN THI: TỐN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Câu 6,0 điểm Nội dung... 2018 số nguyên dương khác nhỏ 4034 Chứng minh tồn ba số 2018 số mà số tổng hai số Gọi 2018 số nguyên dương cho a1 , a2 , , a2018 Khơng tính tổng qt giả sử 0,5 0,5 2,0đ 0,25  a1  a2   a2017... 0,25  a1  a2   a2017  a2018  4033 Đặt bi   a1  i  2,3, , 2018  Suy  b2  b3   b2018  4032 0,25 Xét dãy gồm 4034 số a2 , a3 , , a2018 , b2 , b3 , , b2018 Các số nhận 4033 giá