Đề thi Olympic 274 Toán 11 năm 20172018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MƠN THI: TỐN LỚP 11 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 06/03/2018 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bài (5,0 điểm): 1) Giải phương trình  cos x  sin x   1  2cos x  sin x  cos3 x 2) Cho tam giác ABC không tù thỏa mãn  cos3 A  cos3 B  cos3 C   3cos A cos B cos C  Chứng minh ABC tam giác Bài (2,0 điểm): Cho khai triển sau:  x2  x     x 1   2018  a2018 x 2018  a2017 x 2017   a1 x  a0  b2018 b1 b2    với x  1 2018 x   x  1  x  1 Hãy tính hệ số a0  và tổng S  b1  b2   b2018 Bài (5,0 điểm): Cho đoạn AB vng góc mặt phẳng (P) điểm B Trong (P) lấy điểm H thỏa BH  BA  a (a  0) Vẽ đường thẳng d nằm (P) qua H , d vng góc với BH Hai điểm   90 Đường thẳng qua A vng góc mặt phẳng ( AMN )   M , N di động d thỏa mãn MAN cắt (P) điểm K 1) Chứng minh B  là trực tâm tam giác KMN 2) Gọi  ,    số đo góc tạo BM   với mp ( AKN ) , BN với mp ( AKM ) Chứng minh cos   cos   tìm giá trị nhỏ    Bài (4,0 điểm): Cho dãy số (an ) xác định công thức: a1  1; a2  2;  nan  (3n  2)an1  2(n  1)an ; n  1;2;3; 1) Tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy (an ) 2) Chứng minh a1   a2    an   a  a a 3) Tính lim   22   nn   3 Bài (4,0 điểm): n(n  1) ; n  *   1) Tìm tất giá trị a để giới hạn lim x ax  x  x  x  x có giá trị hữu hạn x  2) Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn f  x  y   f  x  f  y   f  xy   f  x   f  y   xy với x, y   - HẾT - Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ ký giám thị SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU KỲ THI OLYMPIC 27/4 - NĂM HỌC 2017- 2018 MƠN THI: TỐN LỚP 11 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Bài 1.1 (2,5 đ) Nội dung  cos x  sin x   1  cos x  sin x  cos 3x 4   cos x  sin x  cos x  sin x   sin x  2sin x cos x  cos x  cos x  sin x  sin x  sin x  cos x cos 3x  sin x  cos x 2      cos cos x  sin sin x  cos x  cos  3x    cos x 6 6      x   x  k  x   k 2 2   6   k   3x    2 x  k 2  x    k 2   30 Ta có cos A cos B cos C  cos  A  B   cos  A  B   cos C    cos C  cos  A  B  cos  A  B   1 1     cos C   cos A  cos B      cos A  cos B  cos C  1 2 2  Do gt   cos3 A  cos3 B  cos3 C    cos A  cos B  cos C  1  3  16 cos A  12 cos A  1  16 cos B  12 cos B  1  1.2 (2,5đ) Điểm 0,25 0,5 0,25 0,25x2 0,5x2 0,25 0,25 0,25x2 0,25 0,25  16 cos3 C  12 cos C  1    cos A  1  cos A  1   cos B  1  cos B  1 2 0,25   cos C  1  cos C  1  (Do cos A   0, cos B   0, cos C   )  A  B  C  600  ABC (đpcm)  cos A  cos B  cos C  (2,0đ)  x2  2x  Đặt f ( x)   x 1  2018 Vậy a0  S  (1) 2   0,25x2 0,25 2018 ta có f (0)  a0  b1   b2018  22018 2018 2018   k  f ( x)   x   C2018 ( x  1) k  2018    x   k 0 k 1008 2018 C2018 k    C2018 ( x  1) k  2018 2018  k  x ( 1) k 0 k 1009 1008 1007 b1  b3   b2017   S  b2  b4   b2018  C2018  C2018   C2018  C2018 0,5 0,5 0,25 3.1 (2,5đ) 1009 1010 2017 2018 1009 a0  C2018  C2018   C2018  C2018  C2018  S , (do Cnk  Cnn  k ) (2) 2017! 2017! Từ (1) (2) suy ra: S  22017  ; a0  22017  1009 1009 - Xác định vị trí M, N d: Tam giác A AMN vuông A có đường cao AH ( MN  AB, BH ) nên M, N khác phía H - Xác định vị trí K: (ABH) dựng K K E   90 (BH = BA = a B thuộc BH KAH nên B trung điểm KH), H - Chứng minh: AK  ( AMN ) P 0,25 0,5 0,5 N d 0,5 0,5 M 3.2 (2,5đ) - AM  AN , AK  AM  KN Mà AB  ( P)  KN  AB ,vậy KN  BM - KH  MN (cmt ), KH  BM  B nên B trực tâm tam giác KMN   MAB    , tương tự  AM  ( AKN )  ( BM , ( AKN ))  MEA NAB   2 cos   cos   4.1 (2,0đ) AB  AB   AB  cos   cos       , (do tam giác ABH vuông cân B)    AH  AM   AN    450 ) (Cách khác: chứng minh, áp dụng hệ thức cos   cos   cos   1,   KAB 1  cos(  ).cos(  )   2   ,    0;    cos(  )  Vậy cos(  )   (1)  2   ,    0;         hàm số y  cos x nghịch biến (0; ) nên từ (1) ta  2 2 2  Kết luận: min(  )  đạt      HM  HN  a có     3 a  an 1 nan   (3n  2)an 1  2(n  1)an  n(an   an 1 )  2(n  1)(an 1  an )  n  2 n 1 an 1  an , ta có x1  a2  a1  1; xn 1  xn ; n  * Vậy ( xn ) cấp số nhân n với công bội q = 2, nên xn  x1.q n 1  2n 1 ; n  * Đặt xn  Suy an 1  an  n.2n 1 ; n  *  an  a1  1.20  2.21  3.22   (n  1)2n   an   [2.21  3.22   (n  1)2n  ]; n   * Xét 2an   [2.22  3.23   (n  2)2n   (n  1)2n 1 ]  2an  an  (n  1)2n 1  (2  22  23   2n  )  an  (n  1)2n 1  (2n 1  2)  (n 4.2 (1,0đ) 0,5 0,5 1,0 2n 1  (1  1) n 1  Cn01  Cn1 1   Cnn11   (n  1)  n; n   an  (n  2)2n 1   (n  2)n   (n  1)  1; n   a1   a2    an       (n  1)  an   n  1; n  n(n  1) ; n   * 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 4.3 (1,0đ) k Ta có k k ak (k  2)2k 1  k   2 1           ; k   * k k 3 3 3 3 a a a 2 2  11  22   nn  Sn  Tn  Pn , với S n  1       3 3 3 n n 2 n  ; 3 n 2 2 2 1 1 1 Tn           ; Pn           ; 3 3 3 3 3 3 n 2 2 2 2 Sn  1       (n  1)    n   3 3 3 3 Xét  Sn  n 2 2 2 2 2 Sn             n   3 3 3 3 3 0,5 n 1 n 1 n 2  Sn  3Tn  2n   3 n a a a 2 Vậy 11  22   nn  Tn  Pn  n   3 3 1 lim Tn   2;lim Pn   ; 2 1 1 3 n n 2 1 n(n  1) 3  11 21 21 ; n     1    Cn  Cn    Cn     Cn    2 2  2 2 2 n 5.1 (2,0 đ)   x      x  x  x  x  lim x x   x  x2  x  x2  x  0,25 0,25 0,25 x  x   x  1   x  1  x  x   0,25   1  lim x    2 x   x  2x  x  2x   x  x      1 1   lim   x  1 1  1 2        x x x x  Vậy a  giá trị cần tìm Giả sử f  x  hàm số thỏa mãn giả thiết toán 0,25  lim x   x   5.2 (2,0đ) n a  a a 2 2   n   ; n   lim n    Vậy lim  11  22   nn   n 1 3  3 3 3  1 Nếu a  lim x ax  x  x  x  x  lim x  a      x  x  x x   a    a  Nếu a  lim x ax  0,5 0,25x2 0,25 f  x  y   f  x  f  y   f  xy   f  x   f  y   xy 1  f  x  y     f  x   1  f  y   1  f  xy    xy  Đặt g  x   f  x   ta có phương trình g  x  y   g  x  g  y   g  xy   xy  1, x, y    2 0,25 Kí hiệu P  a, b  việc thay x a thay y b vào phương trình (2) P  x,   g  x   g  x  g    g      g    1  g  x   1   3 Nếu g     từ (3) suy g  x   1, x   Thay vào (2) ta thấy hàm số 0,25 khơng thỏa mãn, g    1 P 1, 1  g    g 1 g  1  g  1    g 1  1 g  1  Nếu g 1  P  x;1  g  x  1  x    x  1   g  x   x  1, x Ta thấy hàm số thỏa mãn (2) Nếu g 1  g  1  Đặt a  g 1 P  x,1  g  x  1  ag  x   g  x   x   g  x  1  1  a  g  x   x  1, x   0,25 0,25 P   x, 1  g   x  1  g  x   x   g  x   g   x  1   x  1 Thay vào (4) ta 0,25 g  x  1  1  a   g   x  1   x  1   x   1  a  g   x  1  a  x  1 , x    g  x   1  a  g   x   a  x  1 , x   5  g   x   1  a  g  x   a  2 x  1 , x   Thay vào (5) ta g  x   1  a  1  a  g  x   a  2 x  1   a  x  1   a  2a  g  x   2a x   a  2a  , x     Rõ ràng từ (6) suy a  Nếu a  từ (6) suy g  x    Thay vào (2) ta  a2  a  2  a  2 2a x  1, x   a2 xy  0, x, y  a  2 (Vì a  g 1  ) 0,25  g  x    x  1, x   Hàm số thỏa mãn (2) Nếu a  từ (5) suy g  x   g   x  , x   P  x,  x   g    g  x  g   x   g   x   x   1  g  x   g  x   x    0,25 P  x, x   g  x   g  x   g  x   x  (8) Từ (7) (8)  g  x   x   g  x   x  1, x   Hàm số thỏa mãn   Do f  x   g  x   nên hàm số cần tìm f  x   x, f  x    x, f  x   x , x   - HẾT - 0,25 ...  C2018 ( x  1) k  2018 2018  k  x ( 1) k 0 k 1009 1008 1007 b1  b3   b2017   S  b2  b4   b2018  C2018  C2018   C2018  C2018 0,5 0,5 0,25 3.1 (2,5đ) 1009 1010 2017 2018. .. x 1  2018 Vậy a0  S  (1) 2   0,25x2 0,25 2018 ta có f (0)  a0  b1   b2018  22018 2018 2018   k  f ( x)   x   C2018 ( x  1) k  2018    x   k 0 k 1008 2018 C2018 k... 1010 2017 2018 1009 a0  C2018  C2018   C2018  C2018  C2018  S , (do Cnk  Cnn  k ) (2) 2017! 2017! Từ (1) (2) suy ra: S  22017  ; a0  22017  1009 1009 - Xác định vị trí M, N d: