Nghiên cứu rủi ro tài chính trong tái bảo hiểm

MÐ †U 1. Têng quan v· h÷îng nghi¶n cùu v  lþ do chån · t i Mët trong nhúng nghi¶n cùu ¦u ti¶n v· lþ thuy¸t rõi ro trong b£o hiºm l  luªn ¡n cõa Filip Lundberg (1903) ð ¤i håc Uppsala (Thöy iºn). Sau â, Harald Cram²r ¢ ph¡t triºn þ t÷ðng cõa Filip Lundberg m  ng y nay chóng ta gåi nâ l  mæ h¼nh Cram²r- Lundberg hay mæ h¼nh rõi ro cê iºn. Trong mæ h¼nh n y ph½ thu b£o hiºm ÷ñc x²t l  h¬ng sè v  ph¦n chi tr£ b£o hiºm l  d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi. Mët sè t¡c gi£ S. Ross [32], H. Yang [46], B. K.  m v  N. H. Ho ng [1], B. K. Dam v  N. T. T. Hong [17] v  N. T. T Hong [21] ¢ x²t c¡c mæ h¼nh rõi ro vîi ph½ b£o hiºm thu ÷ñc trong méi chu ký l  mët bi¸n ng¨u nhi¶n. Sau â mët sè t¡c gi£ B. Sundt v  J. L. Teugels ([38], [39]), H. Yang [46], J. Cai ([7], [8]), J. Cai v  D. C. M. Dickson [9], X. Wei v  Y. Hu [43], B. K. Dam v  P. D. Quang [18], N. T. T. Hong [21] v  P. D. Quang ([30], [31]) ¢ · cªp tîi mæ h¼nh câ l¢i su§t. Vîi hai mæ h¼nh rõi ro n y, c¡c t¡c gi£ tr¶n ¢ ÷îc l÷ñng ho°c ÷a ra biºu thùc óng cho x¡c su§t thi»t h¤i cõa cæng ty b£o hiºm. Tuy nhi¶n trong kinh doanh b£o hiºm, ngay c¡c cæng ty b£o hiºm công câ thº g°p thi»t h¤i do c¡c y¶u c¦u bçi th÷íng qu¡ lîn. Mët trong nhúng chi¸n l÷ñc º gi£m nguy cì thi»t h¤i trüc ti¸p cho c¡c cæng ty b£o hiºm l  h¼nh thùc t¡i b£o hiºm. Câ thº coi K. Borch [5] l  mët trong nhúng ng÷íi ¦u ti¶n nghi¶n cùu v· t¡i b£o hiºm. Ð â, t¡c gi£ ¢ ch¿ ra trong c¡c ph÷ìng ¡n t¡i b£o hiºm kh¡c nhau th¼ t¡i b£o hiºm stop of loss l m cüc tiºu ph÷ìng sai cho ph¦n chi tr£ b£o hiºm cõa cæng ty b£o hiºm. Nghi¶n cùu n y mð ra c¡c h÷îng nghi¶n cùu xung quanh t¡i b£o hiºm nh÷ P. Kahn [24], S. Vajda [41], J. Ohlin [28], H. R. Waters [42], J. Cai v  K. Tan [10], J. Cai, K. S. Tan,

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- NGUYỄN QUANG CHUNG NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH TRONG TÁI BẢO HIỂM LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 MỤC LỤC MỤC LỤC i LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 11 Một số trình ngẫu nhiên ứng dụng lý thuyết rủi ro 11 1.1.1 Quá trình Markov 13 1.1.2 Martingale với tham số rời rạc 15 1.2 Một số mơ hình rủi ro cổ điển 19 1.3 Tái bảo hiểm 21 1.3.1 Tái bảo hiểm quota share 22 1.3.2 Tái bảo hiểm stop\excess of loss 26 Chương XÁC SUẤT THIỆT HẠI LIÊN KẾT TRONG MƠ HÌNH RỦI 32 RO VỚI TÁI BẢO HIỂM 2.1 Tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết 33 2.2 Cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết mơ hình rủi ro với tái bảo hiểm quota share 36 2.3 2.2.1 Mơ hình rủi ro khơng có lãi suất 37 2.2.2 Mơ hình rủi ro có lãi suất 41 Công thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết mơ hình rủi ro với tái bảo hiểm excess of loss 46 2.3.1 Mơ hình rủi ro khơng có lãi suất 46 2.3.2 Mơ hình rủi ro có lãi suất 51 i 2.4 Các ví dụ số 56 Chương ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH 59 TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP MARTINGALE 3.1 3.2 3.3 Mơ hình rủi ro khơng có lãi suất 60 3.1.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share 60 3.1.2 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share −(α, β) 67 3.1.3 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss 70 Mơ hình rủi ro có lãi suất 78 3.2.1 Trường hợp với tái bảo hiểm quota share 78 3.2.2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss 86 Các ví dụ số 92 Chương ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI 100 4.1 Trường hợp khơng có lãi suất 100 4.2 Trường hợp có lãi suất 106 KẾT LUẬN 115 TÀI LIỆU THAM KHẢO 117 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 122 ii MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập số tự nhiên, N = {0, 1, 2, } R Tập số thực ✶A Hàm tiêu tập hợp A x∧y min{x, y}với x, y ∈ R x∨y max{x, y}với x, y ∈ R (Ω, F, P) Ω không gian mẫu, F σ − đại số tập Ω, P độ đo xác suất trên(Ω, F) Z+ max{Z, 0} với Z biến ngẫu nhiên Z− min{Z, 0} với Z biến nhẫu nhiên MZ (r) α M ψn (u0 ) Hàm sinh moment biến ngẫu nhiên Z Tỷ lệ chia sẻ phần thu phí bảo hiểm Mức trì Xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm chu kỳ n chưa có tái bảo hiểm ψ(u0 ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn chưa có tái bảo hiểm ψn(1) (u0 , α) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share ψ (1) (u0 , α) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm quota share ψn(2) (v0 , α) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share ψ (2) (v0 , α) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share ψn(1) (u0 , α, β) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share−(α, β) ψn(2) (v0 , α, β) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share−(α, β) φ(1) n (u0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss φ(1) (u0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss φ(2) n (v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss φ(2) (v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss ψn(1) (u0 , α, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψ (1) (u0 , α, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψn(2) (v0 , α, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψ (2) (v0 , α, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share lãi suất φ(1) n (u0 , α, M, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất φ(1) (u0 , α, M, is ) Xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất φ(2) n (v0 , α, M, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất φ(2) (v0 , α, M, jt ) Xác suất thiệt hại công ty tái bảo hiểm với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất ψn (u0 , v0 , α) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share ψ(u0 , v0 , α) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm quota share ψn (u0 , v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss ψ(u0 , v0 , α, M ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm excess of loss ψn (u0 , v0 , α, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψ(u0 , v0 , α, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vô hạn có tái bảo hiểm quota share lãi suất ψn (u0 , v0 , α, M, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết chu kỳ n có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất ψ(u0 , v0 , α, M, is , jt ) Xác suất thiệt hại liên kết với thời gian vơ hạn có tái bảo hiểm excess of loss lãi suất MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Một nghiên cứu lý thuyết rủi ro bảo hiểm luận án Filip Lundberg (1903) Đại học Uppsala (Thụy Điển) Sau đó, Harald Cramér phát triển ý tưởng Filip Lundberg mà ngày gọi mơ hình Cramér- Lundberg hay mơ hình rủi ro cổ điển Trong mơ hình phí thu bảo hiểm xét số phần chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Một số tác giả S Ross [32], H Yang [46], B K Đàm N H Hoàng [1], B K Dam N T T Hong [17] N T T Hong [21] xét mơ hình rủi ro với phí bảo hiểm thu chu kỳ biến ngẫu nhiên Sau số tác giả B Sundt J L Teugels ([38], [39]), H Yang [46], J Cai ([7], [8]), J Cai D C M Dickson [9], X Wei Y Hu [43], B K Dam P D Quang [18], N T T Hong [21] P D Quang ([30], [31]) đề cập tới mơ hình có lãi suất Với hai mơ hình rủi ro này, tác giả ước lượng đưa biểu thức cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Tuy nhiên kinh doanh bảo hiểm, công ty bảo hiểm gặp thiệt hại yêu cầu bồi thường lớn Một chiến lược để giảm nguy thiệt hại trực tiếp cho công ty bảo hiểm hình thức tái bảo hiểm Có thể coi K Borch [5] người nghiên cứu tái bảo hiểm Ở đó, tác giả phương án tái bảo hiểm khác tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương sai cho phần chi trả bảo hiểm công ty bảo hiểm Nghiên cứu mở hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm P Kahn [24], S Vajda [41], J Ohlin [28], H R Waters [42], J Cai K Tan [10], J Cai, K S Tan, C Weng Y Zhang [11], R Kaas, M Goovaerts, J Dhaene M Denuit [23], K S Tan, C Weng Y Zhang [40] Trong mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm, yêu cầu bồi thường chi trả công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm, thiệt hại xảy công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Tuy nhiên, hầu hết cơng trình nghiên cứu danh mục tài liệu tham khảo luận án, nghiên cứu xem xét từ quan điểm phía (công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm) Gần đây, tốn có quan tâm tới hai công ty bảo hiểm tái bảo hiểm số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V K Kaishev D S Dimitrova [25], Z Li [27] S Salcedo-Sanz, L Carro-Calvo, M Claramunt, A Casta˜ ner M Mármol [34] Các nghiên cứu tái bảo hiểm phù hợp có quan tâm tới công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Mặc dù vậy, nghiên cứu theo hướng cơng trình nghiên cứu Luận án nghiên cứu mơ hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm biến ngẫu nhiên Các toán liên quan tới xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm xem xét Các ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm thiết lập Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Xây dựng mơ hình rủi ro rời rạc với tác động tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess of loss trường hợp khơng lãi suất có lãi suất Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết (xác suất xảy thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm); xây dựng cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết công ty bảo hiểm tái bảo hiểm, cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại mơ hình có tái bảo hiểm • Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận án: Các xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm cơng ty tái bảo hiểm mơ hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess of loss Các toán tối ưu, tốn cơng thức tính toán ước lượng cho xác suất thiệt hại Phương pháp nghiên cứu Trong luận án sử dụng kiến thức giải tích xác suất Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Với phương pháp bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal định lý thời điểm dừng với martingale martingale sử dụng trình chứng minh Phương pháp truy hồi để xây dựng chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Ý nghĩa kết luận án • Luận án đưa số kết mới, có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng việc nghiên cứu mơ hình rủi ro bảo hiểm • Lần đưa cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm (cực tiểu đồng thời xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm) (Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2); • Xây dựng cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết, xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.3, Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.3); • Thiết lập hệ số hiệu chỉnh hàm tỷ lệ chia sẻ mức trì (Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.6 Bổ đề 3.2.7); • Đưa ước lượng dạng Cramér- Lundberg cho xác suất thiệt công ty bảo hiểm phương pháp martingale phương pháp truy hồi (Định lý 3.1.3, Định lý 3.1.10, Định lý 3.1.14, Định lý 3.2.3, Định lý 3.2.8, Định lý 4.1.2 Định lý 4.2.2); • Chứng minh tồn tỷ lệ chia sẻ α để hai xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm nhỏ ngưỡng bé tùy ý cho trước (Hệ 3.1.4, Định lý 3.1.15, Hệ 3.2.5, Hệ 4.1.3 Hệ 4.2.3) Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: • Chương trình bày khái niệm kỳ vọng có điều kiện, trình Markov, trình martingale; nhắc lại hai mơ hình rủi ro rời rạc nghiên cứu luận án; giới thiệu hai loại tái bảo hiểm quan trọng, tái bảo hiểm quota share stop\excess of loss; cuối số thuật ngữ ký hiệu dùng luận án • Chương xác định lời giải tối ưu cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm quota share • Chương nghiên cứu ảnh hưởng tái bảo hiểm lên chặn xác suất thiệt hại phương pháp martingale Trước tiên mơ hình rủi ro khơng có lãi suất trình bày Phần 3.1 Phần 3.2 dành để giới thiệu nghiên cứu cho trường trường hợp có lãi suất Trong phần thiết lập hệ số hiệu chỉnh hàm tỷ lệ chia sẻ mức trì, thể Bổ đề 3.1.1, Bổ đề 3.1.12, Bổ đề 3.1.13, Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.6 Bổ đề 3.2.7 Tiếp theo, ước lượng cho xác suất thiệt hại Các Hệ 3.1.4 Hệ 3.2.5 phương pháp để dung hòa chặn cho xác suất (1) I1 = ik ) dH(x)dF (y) (4.32) Nếu x ≥ α1 (u0 (1 + ik ) + αy) cơng ty bảo hiểm xảy thiệt hại chu kỳ n = Tức là: (1) (1) P U1 ≤ | X1 = x, Y1 = y, I1 = ik = điều suy n+1 (1) (1) (Uk ≤ 0) | X1 = x, Y1 = y, I1 = ik = P (4.33) k=1 Nếu ≤ x < α1 (u0 (1 + ik ) + αy) cơng ty bảo hiểm khơng thiệt hại chu kỳ n = Vì (1) (1) P U1 ≤ | X1 = x, Y1 = y, I0 = ik = 0, n+1 (1) (1) (Uk ≤ 0) | X1 = x, Y1 = y, I1 = ik P k=1 n+1 (1) = (1) (Uk ≤ 0) | X1 = x, Y1 = y, I1 = ik =P k=2 ψn(1) (u0 (1 + ik ) + α(y − x), α, ik ) (4.34) Thay (4.33) (4.34) vào (4.32), ta có N1 (1) ψn+1 (u0 , α, is ) (1) rsk = k=1 N1 (1) rsk + k=1 H α (u0 (1+ik )+αy) ∞ ∞ (u0 (1 + ik ) + αy) dF (y) α ψn(1) (u0 (1 + ik ) + α(y − x), α, ik )dH(x)dF (y) Đặc biệt, (1) (1) (1) ψ1 (u0 , α, is ) = P U1 ≤ | I0 = is 108 N1 (1) rsk = k=0 ∞ ∞ (1) P u0 (1 + ik ) + α(Y1 − X1 ) ≤ | X1 = x, Y1 = y, I1 = ik 0 dH(x)dF (y) N1 (1) rsk = k=0 α (u0 (1+ik )+αy) ∞ P u0 (1 + ik ) + α(Y1 − X1 ) ≤ | X1 = x, Y1 = y, 0 N1 (1) I1 = ik dH(x)dF (y) + ≤ | X1 = x, Y1 = N1 (1) rsk = k=0 ∞ H (1) rsk k=0 (1) y, I1 = ir ∞ ∞ α ((u0 (1+ik )+αy)) P u0 (1 + ik ) + α(Y1 − X1 ) dH(x)dF (y) (u0 (1 + ik ) + αy) dF (y) α Do đó, (4.28) (4.30) chứng minh Đối với công ty tái bảo hiểm ta xét hai trường hợp x ≥ (1 − α)y) x < (1−α) (v0 (1 + jk ) + (1 − α)y) (1−α) (v0 (1 + jk ) + lập luận ta chứng minh cho (4.29) (4.31) Phương trình (4.28) (4.29) gọi phương trình truy hồi cho (1) (2) ψn (u0 , α, is ) ψn (v0 , α, jt ) Định lý 4.2.2 Xét trình lợi nhuận (1.22) (1.23) thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1.1 Khi đó, với α ∈ (0, 1), s = 0, 1, , N1 t = 0, 1, , N2 ψn(1) (u0 , α, is ) ≤ γE e−u0 R (1) (1) (α)(1+I1 ) (1) (4.35) (2) (4.36) | I0 = is ψn(2) (v0 , α, jt ) ≤ γE e−v0 R γ −1 = inf z≥0 ∞ R0 x dH(x) z e , eR0 z H(z) (2) (2) (α)(1+I1 ) | I0 = jt (0 < γ ≤ 1) n = 1, 2, Chứng minh Với α ∈ (0, 1), ta có γ −1 = inf z≥0 ∞ R0 x dH(x) z e eR0 z H(z) = inf 109 z≥0 ∞ αR(1) (α)x dH(x) z e eαR(1) (α)z H(z) −1 ∞ αR(1) (α)x dH(x) z e (1) eαR (α)z H(z) H(z) = ≤ γe−αR (1) ∞ (α)z eαR (1) e ∞ −αR(1) (α)z eαR (1) (α)x dH(x) z (α)x dH(x) (4.37) z ≤ γe−αR (1) (α)z E eαR (1) (α)X1 (4.38) Thay z α1 (u0 (1 + ik ) + αy) vào (4.38) sử dụng (4.28), ta có N1 (1) ψ1 (u0 , α, is ) (1) rsk ≤ k=0 ∞ γE eαR (1) e−R (α)X1 (1) (α)(u0 (1+ik )+αy) dF (y) N1 = γE e αR(1) (α)(X1 −Y1 ) = γE e−u0 R (1) (1) (α)(1+I1 ) e−u0 R k=0 (1) | I0 (1) (α)(1+ik ) (1) (1) P(I1 = ik | I0 = is ) = is (4.39) Với giả thiết quy nạp ψn(1) (u0 , α, is ) ≤ γE e−u0 R (1) (1) (α)(1+I1 ) (1) | I0 = is (4.40) Ta chứng minh (4.40) với n + Thật vậy, với ≤ x < α1 (u0 (1 + ik ) + αy), ta thay u0 u0 (1 + ik ) + α(y − x) is thay ik vào (4.40), ta có ψn(1) (u0 (1 + ik ) + α(y − x), α, ik ) ≤ γE e−(u0 (1+ik )+α(y−x))R ≤ γe−(u0 (1+ik )+α(y−x))R (1) (1) (α) (1) (α)(1+I1 ) (1) | I0 = ik (4.41) Từ (4.28), (4.41) z thay α1 (u0 (1 + ik ) + αy) vào (4.37), ta có N1 (1) ψn+1 (u0 , α, is ) (1) rsk ≤ k=0 N1 (1) rsk + k=0 ∞ ∞ γe−R (α)(u0 (1+ik )+α(y−x)) dH(x)dF (y) α (u0 (1+ik )+αy) α (u0 (1+ik )+αy) ∞ (1) 110 γe−R (1) (α)(u0 (1+ik )+α(y−x)) dH(x)dF (y) N1 (1) rsk = k=0 ∞ ∞ γe−R (1) (α)(u0 (1+ik )+α(y−x)) dH(x)dF (y) N1 =E e αR(1) (α)(X1 −Y1 ) γe−u0 R (1) (α)(1+ik ) (1) rsk k=0 = γE e−u0 R (1) (1) (α)(1+I1 ) (1) | I0 = is (4.42) Vì vậy, (4.35) chứng minh Tương tự, H(z) ≤ γe−(1−α)R Thay z 1−α (2) (α)z E e(1−α)R (2) (α)X1 (4.43) (v0 (1 + jk ) + (1 − α)y) vào (4.43) sử dụng (4.31), ta có (2) ψ1 (v0 , α, jt ) ≤ γE e−v0 R (2) (2) (α)(1+I1 ) (2) | I0 = jt (4.44) Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh ψn(2) (v0 , α, jt ) ≤ γE e−v0 R (2) (2) (α)(1+I1 ) (2) | I0 = jt với n = 1, 2, , Đặt L4 = ∈ R | < γe−u0 R0 (1+i∗ ) ; < γe−v0 R0 (1+j∗ ) ; ≥ γe−u0 R0 (1+i∗ )−v0 R0 (1+j∗ ) (4.45) i∗ = {i0 , i1 , , iN1 } j∗ = {j0 , j1 , , jN2 } (1) (2) Hệ 4.2.3 Nếu ∈ L4 tồn α để ψn (u0 , α, is ) ≤ ψn (v0 , α, jt ) ≤ với s = 0, 1, , N1 t = 0, 1, , N2 Đặc biệt, = γe−u0 R0 (1+i∗ )−v0 R0 (1+j∗ ) α = u0 (1+i∗ ) u0 (1+i∗ )+v0 (1+j∗ ) Chứng minh Do < γe−u0 R0 (1+i∗ ) suy Giả thiết ∈ L4 < γ < γe−u0 R0 (1+i∗ ) điều tương đương với −u0 R0 (1 + i∗ ) < ln γ 111 (4.46) Tương tự, điều kiện < γe−v0 R0 (1+j∗ ) cho ta 0