108 BÀI TOÁN TỔ HỢP VÀ PHƯƠNG PHÁP(đã in)

D ft TS Nguyạn Vôn Lủi (chừ biản)- Ngổ Thà Nh¢ Sigma - MATHS Sigma - MATHS Nhúng líi giÊi Ănh thực am mả! Thay cho lới nõi Ưu chúng tổi xin php cĂc bÔn ồc ữủc giợi thiằu B€I TON HAY - LÍI GIƒI •P cõa mët sè b i tªp lüa chån tø quyºn:  b i têp toĂn tờ hủp cho tĐt cÊ mồi ngữới (viát tưt l Q1) 108 Tổi nghắ mởt số nguyản x vợi < x < 17 PhÊi cƯn ẵt nhĐt bao nhiảu cƠu họi m ch ữủc php trÊ lới óng - sai º ng÷íi ta x¡c ành ÷đc tỉi nghắ án số no? Bi 5(Q1) Lới giÊi: CƯn c¥u häi Ta thay cho häi c¡c sè tø án 16 bơng tứ án 15 (thay vẳ họi cho x, ta häi cho sè x − V¼ lỵ k thuêt trẳnh by) Ta trẳnh by lới giÊi cho cĂc bÔn yảu tin hồc Chuyn cĂc số tứ án 15 và dÔng hằ ám cỡ số Những vêy ta cõ cĂc số 0, 1, 10, 11, 100, , 1111 Nhữ vêy chóng ta c¦n ỉ vøa õ º biºu cĂc số tứ án 15.CĂc dÂy kẵ tỹ cƯn x²t ¸n l  0000, 0001, 0010, 0011, , 1110, 1111 - K½ tü ð tr½ thù i l 1? (Họi nhữ vêy lƯn vợi Ch cƯn t cƠu họi: i = 1, 2, 3, 4) C¥u tr£ líi ch¿ câ thº l  ho°c Ghp chỳ số ta nhên ữủc số cƯn tẳm Ta chuyn sang cĂch họi dÔng thổng thữớng: Chia cĂc số thnh hai nhõm A v B rỗi t cƠu họi: Số cƯn tẳm cõ nhõm A? Sau ta nhên ữủc thổng tin, ta lÔi chia phƯn cõ chựa số cƯn tẳm thnh hai nhõm v tiáp tửc cƠu họi trữợc CĂch lm ny cụng ch số cƠu họi cƯn thiát l v khổng th ẵt hỡn 4, vẳ mội v trẵ cƯn mởt cƠu häi º x¡c ành Sigma - MATHS Líi gi£i ny cõ th tờng quĂt hõa: náu cõ n vêt cƯn tẳm v 2k1 < n 2k thẳ cƯn k cƠu họi Ơy cụng l mởt thuêt toĂn cỡ bÊn khoa hồc mĂy tẵnh Bi 7(Q1) Tổi nghắ hai sè giúa v  10 Häi ph£i c¦n bao nhiảu cƠu họi (dÔng úng sai)  bÔn cõ th biát hai số tổi nghắ l gẳ? Lới giÊi: CƯn cƠu họi Sỷ dửng kát quÊ cừa bi trản, ta ch cƯn xt cõ bao nhiảu cp số 25 < 45 < 26 nản cƯn cƠu họi C10 = 45 Vẳ Ghi chú: Vợi cĂch ữa tờ hđp v o x¥y düng líi gi£i nhúng cỉng vi»c t÷ðng chøng nh÷ vỉ cịng r­c rèi trð th nh mÔch lÔc Viằc chồn hay nhiÃu hỡn cĂc ỗ vêt khổng cỏn gƠy khõ khôn, vẳ  cõ thuêt toĂn ỡn giÊn Bi 8(Q1) Trản bn cớ ì cõ bao nhiảu hẳnh chỳ nhêt? Lới giÊi: C92 · C92 = 36 · 36 = 1296 Câ nhi·u cĂch ám thú v Ta cõ th tẵnh bơng tẵch số oÔn thng nơm ngang C9 v số oÔn th¯ng n¬m dåc C9 Ho°c cơng câ thº minh hồa lới giÊi bơng tẵch số cĂch chồn hai ữớng thng nơm ngang v số cĂc cĂch chồn hai ữớng thng nơm dồc Ghi chú: Bi toĂn s phực tÔp v thú v hỡn ta thay hẳnh chỳ nhêt bơng hẳnh vuổng: Trản bn cớ ì cõ bao nhiảu hẳnh vuổng? Cổng viằc bƠy giớ l ghp cĂc oÔn thng ở di nơm ngang vợi cĂc oÔn thng ở di nơm dồc Ta s³ câ cæng thùc - câ thº mð rëng cho bn cớ kẵch thữợc n ì n: S = 12 + 22 + · · · + 82 B i 9(Q1) Tr¶n gi¡ câ 10 quyºn s¡ch Câ bao nhi¶u c¡ch º l§y xng quyºn s¡ch khỉng câ hai quyn no  ựng cÔnh nhau? Lới giÊi Cõ C83 cĂch chồn Náu dũng cĂch liằt kả, bi ny tữỡng ối khõ CĂch tiáp cên vĐn à mợi sau Ơy l m cho líi gi£i trð th nh µp lung linh Ta lởi ngữủc quy trẳnh Thay cho viằc lĐy xuống quyºn s¡ch, ta l m cỉng vi»c °t s¡ch l¶n gi¡ B i to¡n s³ l : Tr¶n gi¡ câ quyºn s¡ch Câ bao nhi¶u c¡ch Sigma - MATHS º °t thảm quyn sĂch cho cĂc quyn mợi t khổng cõ hai quyn no ựng cÔnh nhau? Tứ Ơy lới giÊi cho bi toĂn tr nản rĐt ỡn giÊn Giúa c¡c quyºn s¡ch tr¶n gi¡ câ têng cëng v trẵ trống (trữợc v sau hng cụng cõ th °t) Ch¿ vi»c chån tr½ º t sĂch mợi vo Kát quÊ hin nhiản l C8 = 56 CĂch suy nghắ i ngữủc chiÃu thới gian nhữ bi trản gủi cho mởt phong cĂch: PHìèNG PHP TRUY HầI Bi toĂn sau th hiằn rĐt ró tĂc dửng khõ thiáu ữủc cừa phữỡng phĂp ny Cõ bao nhiảu cĂch i lản mởt cƯu thang bêc cho mội lƯn ch ữủc bữợc hoc bêc? Bi 12(Q1) Lới giÊi Ta bưt Ưu tứ bêc thự (thự n)  bữợc ữủc buợc cuối án bêc (bêc n 1) hoc bữợc bªc li·n tø bªc (tø bªc n − 2) Vêy số cĂch án bêc n (vợi F (n) bơng tờng số cĂch tứ bêc (n 1) v tứ (n 2)) Náu bêc l mởt cĂch, thẳ tứ án bêc cõ n) cõ hai cĂch: hoc bữợc mởt bữợc tứ bêc (bêc thự cĂch Tứ lản bêc cõ 1+1= cĂch v ta nhên ữủc cổng thực truy hỗi: F (n) = F (n − 1) + F (n 2) Ơy chẵnh l bi toĂn Fibonaci nời tiáng é cĂc nữợc phĂt trin bưt Ưu tứ cuối thá k XX Ưu thá k XXI mởt tro lữu chÔy ua ngƯm vổ sinh ởng ang diạn giỳa cĂc quốc gia: ữa khoa hồc mĂy tẵnh vo trữớng phờ thổng Ơy mợi chẵnh l mằnh lằnh tối mêt cừa cuởc cÊi cĂch giĂo dửc hiằn tÔi ang diạn vổ gĐp rút tÔi cĂc cữớng quốc Nữợc no tửt hêu cuởc chÔy ua ny, quốc gia õ vắnh viạn b xáp vo hÔng sau m khoÊng cĂch vốn  xa cĂch cng nợi rởng Nữợc ta khổng phÊi l nữợc ngho tri thực,  án lúc chĂu mẳnh cƯn phÊi tiáp cên vợi khoa hồc thá giợi m cử th õ l tro lữu khoa hồc mĂy tẵnh, náu khổng muốn thỹc sỹ l lỹc lữủng hÔng hai! MệC LệC Sigma - MATHS Mửc lửc Biu ỗ Venn  Logic Nguyản lỵ Dirichlet (chuỗng v thọ) I Nguyản lỵ dirichlet II CĂc bi ToĂn trản bn cớ 12 Hẳnh hồc tờ hủp 13 Chuy¶n · sè håc 15 Trá chìi  Games 16 Quy nÔp 18 Tờng hủp 19 10 Th¶m th¶m 22 11 Nhúng vi¶n ngåc cõa xù sð kim c÷ìng 25 Sigma - MATHS Biu ỗ Venn  Logic Giỳa cĂc số tỹ nhiản tứ án 1000 cõ bao nhiảu số chia hát cho: a) t nhĐt mởt số b) úng mởt sè c) t nh§t hai sè d) óng hai sè tø c¡c sè 2, 3, Câ bao nhi¶u số nguyản tố vợi 1200 v khổng quĂ 1200? Câ bao nhi¶u sè câ a) ba số b) bốn chỳ số biát rơng cĂc chỳ số cõa nâ ch¿ l  c) n sè 1, 2, tĐt cÊ Ãu cõ mt ẵt nhĐt mởt lƯn? Cõ bao nhiảu số cõ chỳ số m  c¡c sè cõa nâ c¡c sè hoc ẵt nhĐt cõ mởt số tham gia? Ngữới ta ghi cĂc số tỹ nhiản tứ án 10000 lản bÊng Sau õ ngữới ta xõa cĂc sè câ chùa sè ho°c Häi c¡c số b xõa v cĂc số cỏn lÔi nhõm no nhiÃu hỡn? Bẳnh khổng ỵ án ỗng phửc cừa mẳnh Trản chiác Ăo cõ diằn tẵch tờng th l 1m2  lƯn mà bÔn Đy phÊi vĂ nôm miáng vÊi mội miáng diằn tẵch 30dm , sĂu lƯn phÊi vĂ cĂc miáng vÊi 20dm2 Họi cõ tỗn tÔi khổng hai miáng vÊi phừ  lản ẵt nhĐt 3dm ? Cõ bao nhiảu cĂch bọ nhƯm nôm lĂ thữ vo chiác phong b¼ cho khỉng câ phong b¼ n o câ àa ch úng cừa lĂ thữ cƯn gỷi? ¡p sè: 5! − 5.4! + C 3! − C 2! + C 1! − C 0! Sigma - MATHS N«m c°p vđ chỗng ngỗi xung quanh mởt chiác bn trỏn Họi cõ bao nhiảu cĂch xưp xáp cho cĂc b khổng ngỗi cÔnh chỗng mẳnh (cĂc cĂch sưp xáp nhên ữủc tø bði ph²p quay khỉng t½nh l  kh¡c nhau)? ¡p sè: 9! − 5.2.8! + C 22.7! − C 23.6! + C 24.5! C 25.4! Mởt n lÔc  ang i theo hng dồc trản xa mÔc º cho h nh tr¼nh khäi nh m ch¡n ỉng chõ lú hnh mội hổm lÔi thay ời thự tỹ cĂc lÔc  cho ngy hổm khổng cõ no phÊi thĐy hổm qua i trữợc nõ TĐt nhiản i Ưu thẳ cõ th giỳ nguyản Họi cõ bao nhiảu cĂch sưp xáp du hnh on  khæng hæm n o gièng hæm n o? ¡p sè: 7! − 6.6! + C 5! − C 4! + C 3! − C 2! + C 6 1! Nguyản lỵ Dirichlet (chuỗng v thọ) I 10 NhiÃu nhĐt cõ th cho bao nhi¶u sè nguy¶n tè kh¡c nhau, cho giúa chúng cự bĐt kẳ ba số Ãu cõ tờng l mởt số nguyản tố? 11 Cõ th lĐp Ưy cĂc ổ cừa bÊng ì bơng cĂc số v  (-1) cho têng c¡c sè ð méi h ng v  méi cët l  kh¡c nhau? 12 Gi£ sû r¬ng giỳa mởt số cĂc ỗ vêt hai loÔi mu khĂc nhau, cõ hai loÔi hẳnh dÔng khĂc CMR chúng tỗn tÔi hai ỗ vêt khĂc cÊ và hẳnh dÔng v mu sưc Ăp số:  cõ lới gi£i tr¶n forum BTH  LG Sigma - MATHS 13 CMR: a) Tứ ba số bĐt kẳ luổn tẳm ữủc số cõ tờng chia hát cho b) Tứ nôm số bĐt kẳ luổn tẳm ữủc sè câ têng chia h¸t cho c) Tø b£y số bĐt kẳ luổn tẳm ữủc số cõ tờng chia hát cho 14 Trản hẳnh lữợi ổ vuổng cõ 40 hẳnh vuổng nhọ ữủc tổ mu Họi tứ cĂc hẳnh vuổng ữủc tổ mu ny cõ luổn tẳm ữủc 10 hẳnh vuổng cho khổng hai hẳnh no cõ im chung (khổng chung cÊ nh)? Hữợng dăn Chia mt phng lữợi thnh nhỳng bn cớ ì Ănh Đu cĂc v trẵ tữỡng ối theo cĂc số I,II, III v IV 15 Tứ bao nhiảu số chẵnh ph÷ìng ta câ thº chån ÷đc hai sè cho hi»u cõa chóng chia h¸t: a) cho 16 b) cho CMR phƯn phƠn cừa số c) cho cõ bở ba số liản tiáp v bở số ny xuĐt hiằn nhiÃu vỏng lƯn Hữợng dăn Số bở ba chỳ số l hỳu hÔn cĂc số sau dĐu phây cừa số l vổ hÔn 17 Cõ 21 số nguyản dữỡng khĂc v Ãu nhä hìn 70 CMR tªp c¡c hi»u cõa hai số no õ giỳa 21 số trản, cõ ẵt nhĐt số bơng 18* Cõ số tỹ nhiản kh¡c câ têng l  100 Chùng minh r¬ng câ sè câ têng tèi thiºu l  50 19* Câ 20 số nguyản dữỡng khĂc v Ãu nhọ hỡn 70 CMR tªp c¡c hi»u cõa hai sè n o õ giỳa 20 số trản, cõ ẵt nhĐt số bơng 20* BÔn Nam cõ 100 cĂi ắa nhọ, méi c¡i ÷đc ¡nh mët sè kh¡c tø ¸n 100 Nam muèn °t b n chi¸c cho tờng cĂc số hai chiác ny bơng tờng cĂc số cừa hai chiác Vẵ dử: (1) + (7) = (3) + (5) Những rĐt Ăng tiác 75 chiác ắa b thĐt lÔc Họi vợi 25 chiác cỏn lÔi cổng viằc cỏn thỹc hiằn ữủc khổng? 21 Sỡn cĂc im trản mt phng bơng hai mƯu xanh v ọ CMR tỗn tÔi hai im mu cõ khoÊng c¡ch l  Sigma - MATHS 22 Sìn c¡c im trản mt phng bơng mu Ch rơng câ mët m u n o â câ vỉ sè iºm ÷đc sỡn 23 Sỡn cĂc im trản mt phng bơng mƯu CMR vợi bĐt kẳ n nguyản dữỡng, tỗn tÔi a giĂc lỗi cõ n nh mu 24 a) Sỡn tĐt cÊ cĂc im bơng hai mƯu CMR tỗn tÔi hẳnh chỳ nhêt cõ cĂc nh ỗng mƯu b) GiÊi bi toĂn vợi n mƯu? c) Trong phƯn a) v  b) nâi tr¶n b i to¡n câ thº chùng minh ữủc vợi mởt số k cố nh (nhiÃu hỳu hÔn) cĂc im ữủc sỡn trản mt phng, Ãu cõ hẳnh chỳ nhêt cõ cĂc nh mƯu HÂy ch sè k tøng tr÷íng hđp ¡p sè: a) Lữợi ổ vuổng 3ì7 TMK ny b) Lữợi ổ vuổng kẵch thữợc 25 (n + 1)(n.C n+1 + 1) Kho£ng c¡ch ỉi mët cõa tªp nhi·u vỉ cịng c¡c iºm cơng câ nhi·u vỉ cịng gi¡ trà kh¡c 26 a) Trong mt phng lữợi ổ vuổng cõ th cho nhiÃu nhĐt bao nhiảu im nút lữợi  trung im cừa cĂc oÔn thng cĂc im ny khổng nơm trản nút lữợi b) Cụng cƠu họi õ vợi hằ lữợi lêp phữỡng 27 Trong hẳnh vuổng cÔnh 300 ỡn v cho 10 im CMR giỳa chúng tẳm ữủc iºm câ kho£ng c¡ch nhä hìn 142 ìn 28 Trản mt phng hẳnh vuổng cÔnh 70 cm cõ vát cừa 50 phĂt Ôn HÂy ch rơng cõ hai vát Ôn cĂch khổng quĂ 15 cm 29 é gi£i bâng ¡ V-Landi s¥n bâng câ chi·u rëng 39m, chiÃu di 91m CMR quĂ trẳnh thi Đu luổn ữủc hai cƯu thừ cõ v trẵ cĂch khổng qu¡ a) 19 m 30 b) 15 m Trong h¼nh vuổng cÔnh ỡn v cho 51 im bĐt kẳ CMR tỗn tÔi im nơm mởt vỏng trỏn bĂn k½nh Sigma - MATHS C¡c b i To¡n tr¶n b n cí 49 Tr¶n b n cí vua cõ th i quƠn m liản tiáp vo mội ổ mởt lƯn rỗi quay lÔi v trẵ ban Ưu? CĂi gẳ xÊy vợi cĂc bn cớ 50 Trản bn cí 5×5 × 4, × 5, × méi æ câ mët c¡nh cam Sau hi»u c¡c c¡nh cam chuyºn sang mët æ câ chung cÔnh vợi ổ vứa ựng Liằu sau i mội ổ cừa bn cớ văn cõ mởt khổng? 51 Mët b n cí × ð hai gâc ối diằn mội gõc mởt quƠn cớ Họi cõ thá phừ kẵn phƯn cỏn lÔi cừa bn cớ bơng nhỳng quƠn omino kẵch thữợc ì 2? 52 Mởt bn cí ð mët gâc câ mët qu¥n cí Häi câ thá phừ kẵn phƯn cỏn lÔi cừa bn cớ bơng nhỳng quƠn domino kẵch thữợc 53 ì 3? Cõ th t mởt quƠn cớ vo bn cớ  phƯn cỏn lÔi cõ th phừ kẵn bơng nhỳng quƠn domino kẵch thữợc ì 3? 54 Cõ th phừ bn cớ 10 ì 10 bơng cĂc quƠn domino ì 4? nh nghắa: Polimino l hẳnh ữủc ghp liÃn cÔnh cừa cĂc hẳnh vuổng ỡn v 55 Cõ bao nhiảu quƠn polimino cõ bà mt ỡn v (ghp cÔnh vợi cÔnh bơng hẳnh vuổng) Ăp số: hẳnh 12 Sigma - MATHS 56 TĐt cÊ cĂc quƠn polimino ỡn v mội quƠn sỷ dửng mởt lƯn cõ th ghp lÔi ữủc mởt hẳnh chỳ nhêt khổng? Ăp số: Khổng ữủc Chú ỵ: Polimino hẳnh chỳ T v cĂch tổ mu bn cớ 57 Cõ bao nhiảu quƠn polimino ỡn v? Ăp số: 12 quƠn 58.Tứ tĐt c£ c¡c qu¥n polimino ìn méi qu¥n sû dửng mởt lƯn cõ th ghp lÔi ữủc mởt hẳnh chỳ nhêt Minh hồa bơng hẳnh v Hẳnh chỳ nhêt õ kẵch thữợc bao nhiảu? Ăp số: ữủc VD 10 ì hoc ì 12 Hẳnh hồc tờ hđp 59 Tr¶n m°t ph¯ng cho n iºm khỉng câ im no thng hng CMR: a) Tỗn tÔi mởt ữớng thng phƠn chia k im riảng biằt tứ cĂc im cỏn lÔi b) Tỗn tÔi ữớng trỏn chựa úng k iºm b¶n 60 Cho n iºm têng qu¡t tr¶n m°t ph¯ng (khỉng câ ba iºm n o th¯ng h ng) CMR tỗn tÔi mởt vỏng trỏn chÔy qua ẵt nhĐt ba iºm m  khỉng chùa iºm n o b¶n 61 Cho iºm têng qu¡t tr¶n m°t ph¯ng khỉng cịng nơm trản mởt ữớng trỏn CMR cõ th chồn iºm cho ÷íng trán i qua ba iºm cỏn lÔi phƠn chia hai im nõi trản (mởt trong, mët b¶n ngo i) 13 Sigma - MATHS 62 Cho im tờng quĂt trản mt phng.Nối tĐt cÊ cĂc cp hai im bơng nhỳng oÔn thng Cõ th sỡn cĂc oÔn thng bơng mu cho tứ mội nh luổn cõ nôm cÔnh xuĐt phĂt hay khổng? 63 Cho n iºm têng qu¡t tr¶n m°t ph¯ng CMR câ thº sìn b¬ng k m u cho nèi c¡c im mu bơng oÔn thng cõ chẵnh mu nh thẳ cĂc oÔn thng khĂc mu khổng cưt 64 Tr¶n m°t ph¯ng cho n iºm têng qu¡t Häi cõ th k nhiÃu nhĐt bao nhiảu ữớng thng tứ c¡c iºm n y? 65 Cho iºm C¡c ÷íng th¯ng qua trung im cĂc oÔn thng ữủc xĂc nh bi sĂu im trản cõ th tÔo nản bao nhiảu giao im? 66 Cho ữớng thng Xt cĂc ữớng phƠn gi¡c cõa c¡c ÷íng th¯ng n y Häi c¡c ÷íng n y cõ th cõ nhiÃu nhĐt bao nhiảu giao im? Ăp sè: 67 40 + 60 + 10 = 110 giao im Xt mởt a giĂc lỗi GiÊ sỷ khổng cõ ữớng cho no ỗng quy Họi cĂc ữớng cho cưt tÔi bao nhiảu im? Ăp số: C 10 68 V trản mt phng n ữớng trỏn HÂy sỡn nhỳng phƯn mt phng giợi hÔn bi cĂc cung trỏn bơng mu cho nhỳng phƯn mt ph¯ng câ chung cung trán th¼ câ m u sìn kh¡c 69 Mët c¡i b¡nh ga tỉ h¼nh hëp nhêt mởt chiÃu b cưt bơng nhĂt v mởt chiÃu khĂc b cưt bơng nhĂt Peter ữủc cưt mởt nhĂt theo mởt ữớng thng Cêu ta ữủc lĐy tĐt cÊ cĂc phƯn m dao chÔm phÊi Họi nhiÃu nhĐt cõ th ữủc ôn bao nhiảu miáng? 70 N ữớng thng chia mt phng nhiÃu nhĐt thnh bao nhiảu mi·n? 14 Sigma - MATHS Chuy¶n · sè håc 71 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 10 cõ th chồn nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho c¡c sè n y hi»u cõa b§t ký hai sè ·u cho gi¡ trà kh¡c nhau? 72 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 10 cõ th chồn nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho c¡c sè n y têng cõa b§t ký hai sè ·u cho gi¡ trà kh¡c nhau? 73 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 20 câ thº chồn nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho cĂc số ny tờng cừa bĐt ký hai số khổng nơm c¡c sè ¢ chån? 74 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 20 câ thº chån nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho cĂc số n y hi»u cõa b§t ký hai sè khỉng l  7? 75 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 20 cõ th chồn nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho khổng cõ số no l ữợc cừa tẵch cừa cĂc số cỏn lÔi? 76 Tứ cĂc số 1, 2, 3, · · · , 20 câ thº chån nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho khổng cõ số no m mởt số l ữợc cừa số kia? 77 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 20 cõ th chồn nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho khæng câ sè n o m  mët sè gĐp lƯn số kia? 15 Sigma - MATHS 78 Tø c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 20 cõ th chồn nhiÃu nhĐt bao nhiảu số cho tẵch cừa chúng khổng chia hát cho 10? 79 Bä mët sè c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 10 cho tø c¡c sè cán lÔi cõ th chia thnh hai nhõm, m tẵch cĂc số mội nhõm bơng Số b loÔi l sè n o? 80 Bä mët sè c¡c sè 1, 2, 3, · · · , 16 cho tø cĂc số cỏn lÔi cõ th chia thnh hai nhõm, m tẵch cĂc số mội nhõm bơng Số b loÔi l số no? 81 Trỏ chỡi  Games Cho mởt a giĂc lỗi 12 nh Hai ngữới chìi Hå thay nèi c¡c ÷íng ch²o cho nhỳng ữớng cho mợi nối khổng cưt cĂc ữớng cho  cõ miÃn cừa a giĂc Ngữới thua l ngữới khổng th tiáp tửc v thảm Họi ngữới no cõ chián thuêt  luổn thưng trên? TÔi sao? Hữỡng dăn: dũng ối xựng 82 Cõ mởt sổ-cổ-la hẳnh bn cớ 8ì8 v ổ phẵa trản trĂi b nhiạm ởc Hai ngữới chỡi án lữủt ai, ngữới õ chồn mởt ổ rỗi b hát phƯn sổ - cỉ la tø ỉ â sang b¶n ph£i v  xng dữợi Ngữới thua cuởc l ngữới phÊi chồn ổ b nhiạm ởc HÂy ch thuêt toĂn luổn Êm bÊo ngữới i Ưu tiản thưng 16 Sigma - MATHS 83 Hai ngữới chỡi mội ngữới cõ mởt mƯu en hoc ọ, hồ thay tổ mội lƯn cÔnh cừa mởt khối hởp lêp phữỡng bơng mu cừa mẳnh Ngữới thưng l ngữới sỡn ữủc cÊ cÔnh cừa mởt mt no õ bơng mu cừa mẳnh Họi cõ khÊ nông thưng trên? Ăp số: Ngữới i thự cõ th cựu vÂn tẳnh thá bơng thừ hỏa 84 Trản bn cớ lữợi ổ vuổng ì Hai ngữới chỡi Mội lƯn án lữủt ngữới no i, ngữới õ phÊi chồn im lữợi (nút lữợi ổ vuổng)  cõ th v ữủc mởt tam giĂc khổng cõ im chung vợi cĂc tam giĂc  v³ Ng÷íi th­ng l  ng÷íi i sau cịng Ai câ th thưng trên? 85 Hai ngữới chỡi Tứ cĂc số 1, 2, 3, , 101 méi ng÷íi lĐy số Sau 11 lƯn i cỏn lÔi số Ngữới Ưu tiản thưng náu hiằu cừa hai số ny l 55 Liằu ngữới Ưu tiản luổn luổn thưng trên? Ăp số: Cõ th 86 Trản bn cõ 24 viản sọi Cõ th lĐy k viản (k > 0) náu k v số sọi trản bn nguyản tố Hai ngữới chỡi Ngữới lĐy viản cuối l ngữới thưng Ai cõ th thưng trên? Náu số säi thay êi c¡c gi¡ trà n kh¡c th¼ sao? 87 Peter v Pal chỡi: Trữợc tiản Peter nõi mởt số nguyản cõ mởt chỳ số lợn hỡn 1, sau õ Pal nhƠn số ny vợi mởt số nguyản câ mët sè lỵn hìn Sau â Peter cụng lÔi lm nhữ vêy lĐy kát quÊ cừa Pal nhƠn vợi mởt số nguyản cõ mởt chỳ số lợn hỡn Cuởc chỡi cự tiáp tửc nhữ vêy cho án cõ mởt ngữới no õ Ôt ữủc kát qu£ l  mët sè lỵn hìn 2000 Häi Peter ph£i bưt Ưu bơng số no  luổn thưng trên? 88 Hai ngữới chỡi Mội ngữới lƯn lữủt chiám mởt số nguyản Ngữới thưng cuởc l ngữới chiám ữủc trữợc mởt bë câ ba sè li·n Ai câ kh£ nông thưng trên? 89 Cõ hai nưm sọi trản bn Mët n­m vi¶n v  n­m 12 vi¶n Hai ngữới chỡi Mội lƯn mội ngữới ch ữủc lĐy tứ mởt ống no õ vi viản (ẵt nhĐt viản) Họi cõ khÊ nông thưng trên? 17 Sigma - MATHS 90 Cõ vi nưm sọi trản bn Vẵ dử c¡c n­m câ 4, 6, 11, 15, 17, 18 vi¶n Hai ngữới chỡi Mội lƯn mội ngữới ữủc lĐy tứ mët sè n­m, méi n­m ch¿ vi¶n Ai l  ngữới thưng trên? 91 Viát cĂc số nguyản dữỡng thnh h ng tr¶n m°t ph¯ng °t mët váng trán xanh v o sè v  váng trán ä v o sè 13 Hai ng÷íi chìi Méi ng÷íi chån mët hai c¡i váng v  thay êi ché cho luæn °t v o sè b hỡn trữợc õ v số cõ vỏng xanh luổn lợn hỡn số cõ vỏng ọ Ngữới thưng l ngữới sau i câ ä ð sè v  xanh ð sè Ai l  ng÷íi th­ng cc? Quy nÔp 92 Cõ th xáp khổng cĂc têp hủp cừa mởt têp hủp n phƯn tỷ lản mởt ữớng trỏn cho cĂc têp cÔnh cõ khổng qu¡ mët ph¦n tû kh¡c nhau? 93 Cho H = {2, 3, , n}, x²t t§t c£ nhúng tªp hđp khỉng réng cõa H, méi têp hủp nhƠn tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ vợi rỗi lĐy tờng nghch Êo cừa cĂc giĂ tr õ Họi kát quÊ nhên ữủc l bao nhiảu? Vẵ dử: n = th¼: 1 1 1 + + + + + + = 12 24 94 Ng÷íi ta muèn m­c mët r±m cûa sê º chia c¡c kho£ng cĂch cho thêt Ãu nhau, Ưu tiản ngữới ta mưc hai Ưu tĐm rm rỗi chia ổi v mưc tÔi im giỳa, cự tiáp tửc nhữ thá, ngữới ta mưc im giỳa cừa cĂc oÔn tiáp theo Họi cƯn cõ bao nhiảu cĂi mưc  phữỡng phĂp ny thỹc hi»n ÷đc? 18 Sigma - MATHS 95 Chia mët tam gi¡c th nh c¡c tam gi¡c nhä khæng câ iºm chung cho khæng câ ba ¿nh n o th¯ng h ng Chùng minh r¬ng sè tam gi¡c nhä ch¿ câ thº l  sè l´ 96 Câ b , méi b  bi¸t mởt chuyằn ch cõ th nõi chuyằn ữủc vợi qua iằn thoÔi  trao ời vợi bÔn cƠu chuyằn cừa mẳnh (hai chiÃu) Họi cƯn ẵt nhĐt bao nhiảu cú iằn thoÔi  tĐt cÊ mồi ngữới biát ữủc cĂc cƠu chuyằn cừa mội ngữới (mội b k chuyằn cừa mẳnh v nhỳng chuyằn  ữủc nghe tứ b khĂc trữợc õ)? 97 Chựng minh rơng tứ cĂc sè 1, 2, , 3k luæn câ thº chån 2k c¡c sè kh¡c cho trung bẳnh cởng cừa bĐt ký hai số ữủc chồn khổng nơm cĂc số  chồn 98 a) Nhỳng số chđn no cõ th viát ữủc thnh tờng cừa hai số chđn dữỡng v cĂc số ny l hủp số b) Số chđn no cõ th viát thnh tờng cừa ba sè d÷ìng l´ m  c¡c sè n y ·u l  hđp sè? Têng hđp 99 a) H¢y °t 15 im ọ lản cĂc cÔnh cừa mởt lửc giĂc cho mội cÔnh cõ số im ọ bơng b) Gi£i b i to¡n tr÷íng hđp 16 iºm c) Tr÷íng hủp 2003 im d) 15 im ối vợi mởt thĐt gi¡c (7 ¿nh) 100 °t 10 iºm ä v  14 im xanh lản cĂc cÔnh cừa mởt hẳnh lửc giĂc cho trản mội cÔnh số im ọ bơng số iºm xanh 19 Sigma - MATHS 101 Hai ng÷íi chìi thay êi hå ghi c¡c d§u (−), (+) v o dÂy sau (k cÊ trữợc số 1): a) Ngữới bưt Ưu chỡi mửc ẵch l kát thúc bơng tờng Ôi số cuối cừa dÂy khổng chia hát cho Ngữới thự hai thẳ cố gưng  tờng chia hát cho Họi phÊi chỡi nhữ thá no? Ai cõ lủi thá hỡn? b) Tẳnh trÔng s thá no náu thay ời vai trỏ ngữới i Ưu thưng náu tờng khổng chia h¸t cho 102 K¸t thóc mët cc chìi tĐt cÊ mồi ngữới bưt tay và Giỳa chứng cõ mởt ngữới quen cừa mởt v khĂch án õn bÔn ngữới õ bưt tay vợi nhỳng ngữới m quen biát Vẳ thá cõ tờng cởng 68 cĂi bưt tay Họi ngữới mợi án quen bao nhiảu ng÷íi cc chìi? 103 S¡u ëi bâng tham gia mët gi£i bâng t§t c£ c¡c ëi ·u g°p mởt lƯn Kát thúc giÊi cĂc ởi Ôt ữủc 12, 10, 9, 8, v  iºm Häi b¶n th­ng ữủc bao nhiảu im náu hỏa ữủc im, thua ÷đc iºm? 104 ·u Hai ng÷íi chìi, ng÷íi ta thay v³ c¡c ÷íng ch²o cõa mët a giĂc 2000 nh CĐm khổng ữủc v nhỳng ữớng cho cưt cĂc ữớng cho  v trữợc õ Ngữới thua l ngữới sau bữợc i cừa thẳ xuĐt hi»n mët tù gi¡c m  ch÷a câ ÷íng ch²o n o ữủc v Ai cõ chián thuêt  thưng trên? 105 Câ hay khỉng mët bi g°p m°t m  b§t cù ngữới no cụng cõ úng ngữới bÔn v bĐt ký hai ngữới no Ãu cõ úng hai ngữới bÔn chung? 106 a) Lotto ð v÷ìng qc Ngåc Anh tø số ngữới ta lĐy số lm giÊi thững Họi phÊi mua bao nhiảu v  chưc chưn cõ ẵt nhĐt mởt v cõ số trúng thững (mội v ữủc Ănh số tũy ỵ)? b) Cụng ð v÷ìng qc n y câ mët trá chìi kh¡c tø bây số ngữới ta ch rút hai số lm giÊi thững ngữới chỡi trản mội v ữủc Ănh số Họi cƯn mua bao nhiảu v  chưc ch­n tróng gi£i (tróng c£ hai sè)? 20 Sigma - MATHS 107 Ngồc Anh ữủc cĂc bÔn lợp tng cho bổng hoa: bổng hỗng, bổng thừy tiản, bổng lan Cổ ta cõ bẳnh ỹng hoa: mët b¼nh sù Trung Quèc, mët b¼nh xù B¡t Trng, mởt bẵnh xự n ở a) Náu mội bẳnh ch cưm mởt bổng hoa thẳ cõ bao nhiảu cĂch? b) Náu khổng cõ iÃu kiằn rng buởc trản thẳ cõ bao nhiảu cĂch? 108 é vữỡng quốc Ngồc Anh ng÷íi ta tê chùc Tombola Rót sè tø 45 sè: 1, 2, 3, , 45 a) Ngữới ta tẵnh rơng náu mội cổng dƠn ghi mởt v phiáu mởt cĂch khĂc Thẳ cõ th x£y tr÷íng hđp khỉng tróng gi£i ëc ­c Họi vữỡng quốc ny cõ nhiÃu nhĐt bao nhiảu cổng dƠn? b) é vữỡng quốc ny bĂc John cõ tĐt c£ c¡c v² sè ghi ba sè Häi câ bao nhiảu phiáu trúng thững ẵt nhĐt hai số c) BƠy gií ð xù Ngåc Anh thay êi c¡ch chìi lotto, tø 45 sè ph£i rót 42 sè Häi ph£i chỡi bao nhiảu v  chưc chưn ữủc giÊi full (tẳm ữủc tĐt cÊ cĂc số) c) Cõ bao nhiảu v² kh¡c chung 41 sè? Chung 40 sè? 21 Sigma - MATHS 10 Thảm thảm 108.1 BÊn ỗ dữợi ¥y l  Henry Poter ang sinh sèng H» thống ữớng giao thổng l cĂc ữớng thng cừa lữợi æ vuæng Méi khèi nh  câ b· m°t 100m C¡c bÔn cừa Poter cĂc v trẵ A, B, C, D (trản hẳnh v) Họi hồ têp trung hởi hồp chộ no  tờng chiÃu di quÂng ữớng mội ngữới phÊi i l ẵt nhĐt? 22 Sigma - MATHS 108.2 BÊn ỗ xự Khổng Khổng ThĐy cõ 35 thnh phố (cĂc dĐu trỏn trản bÊn ỗ)- cĂc ữớng giao thổng l  c¡c ÷íng nèi c¡c th nh C¡c th nh cÔnh cõ khoÊng cĂch l 5km Nh Vua cõ hựa vợi dƠn chúng l s chồn mởt số thnh phố v õ xƠy dỹng cĂc trÔm cựu họa cho khổng cõ thnh phố no cĂch trÔm cựu họa gƯn nhĐt quĂ 5km Họi cƯn cõ ẵt nhĐt bao nhiảu trÔm cựu họa  Ăp ựng dỹ Ăn ny? 108.3 Trong hẳnh l bÊn ỗ cừa hỏn Êo Cyberland câ th nh Kho£ng c¡ch c¡c ÷íng tø th nh n y sang th nh kh¡c ÷đc ghi trản sỡ ỗ Trong cĂc cuởc dÔo chỡi xuĐt phĂt tø mët àa iºm v  tham quan c£ th nh phố rỗi quay lÔi nỡi xuĐt phĂt Hnh trẳnh no cõ chiÃu di nhọ nhĐt ( tiát kiằm km nhĐt)? 23 ... Ưu chúng tổi xin php cĂc bÔn ồc ữủc giợi thiằu BI TON HAY - LÍI GIƒI •P cõa mët sè b i tªp lüa chån tø quyºn:  b i tªp to¡n tờ hủp cho tĐt cÊ mồi ngữới (viát tưt l Q1) 108 Tổi nghắ mởt... mởt thuêt toĂn cỡ bÊn khoa hồc mĂy tẵnh Bi 7(Q1) Tổi nghắ hai số giỳa v 10 Họi phÊi cƯn bao nhiảu cƠu họi (dÔng úng sai)  bÔn cõ th biát hai số tổi nghắ l gẳ? Lới giÊi: CƯn cƠu họi Sỷ dửng kát... ữủc số cõ tờng chia hát cho 14 Trản hẳnh lữợi ổ vuổng cõ 40 hẳnh vuổng nhọ ữủc tổ mu Họi tứ cĂc hẳnh vuổng ữủc tổ mu ny cõ luổn tẳm ữủc 10 h¼nh vng cho khỉng hai h¼nh n o câ iºm chung (khổng