Ta chia thành 2 nhóm.. Giả sử không có số chính phương nào trong 312 số chọn ra.
Trang 2HƯỚNG DẪN Câu 1.
a) với a, b là số dương ta có
a 2018
a + = b 2018 ⇒ = a 2018 b − < 2018 → >
tương tự b > 2018
mà
ab 2018a 2018b ab 2018a 2018b 2018 2018
a b 2018 2018 b 2018 2018 a 2018 b 2018 2018
(a 2018 b 2018) ( ) 2018 2 a 2018 b 2018( ) ( ) 2.2018
a 2018 2 a 2018 b 2018 b 2018 a b
b) với a là nghiệm dương của pt
6x + 3x − 3 0 = ⇔ 6a + 3a − 3 0 = ⇔ 6a = 3 1 a −
36a 3 a 2a 1 36a 36a 72 3a 30a 75 36 a a 2 3 a 5
4
Mặt khác ta có
A=
a 2
a 2
6A 6 a a 2 6a
+ + + −
Câu 2
a) ĐK: x 1 ≤
pt trở thành:
x 2 x
x
−
= + −
* ta thấy x = 0 là nghiệm của pt
Xét x khác 0, chia hai vế cho x ta được:
3
2 x
−
= ⇒ − = + −
+ −
Đặt 3 2 x− = ⇒ = − ⇔ − = −a a3 2 x a3 1 1 x
Ta có pt a 1 = + a 3 − ⇔ − − 1 a 1 (a 1 a − ) ( 2 + + = ⇔ a 1) 0 a 1 − ( a 1 − − a 2 + + = a 1) 0
2
a 1 0
− =
⇔
− − + + =
*) a 1 0− = ⇔ = ⇔a 1 3 2 x 1− = ⇔ =x 1(t / m)
* a 1− − a2 + + = ⇔ − = + + ⇔a 1 0 a 1 a2 a 1 a2+ =2 0(vô nghiệm)
Vậy pt đã cho có nghiệm là x = 0; x = 1
Trang 3b) 4 3 2 ( 2 )2 ( 2 )
y − 6y + 11y − 6y = y − 3y + 2 y − 3y
Đặt y2 −3y a= pt trở thành:
x 2018 − − + a 1 = − ⇔ 1 x 2018 a 1 x 2018 a 1 − + + − − − = − 1
=>
x 2018 a 1 1
x 2018 a 1 1
− + + =
− − − = −
x 2018 a 1 1
x 2018 a 1 1
− + + = −
− − − =
x 2018
=
− − − = − − + + = = − =
x 2018
y 0
y 3
=
⇒ =
=
⇒(x; y) (= 2018;0 ; x; y) ( ) (= 2018;3)
x 2018
=
− − − = − + + = − = − − = −
x 2018
y 1
y 2
=
⇒ =
=
⇒(x; y) (= 2018;1 ; x; y) ( ) (= 2018;2)
Vậy cặp số nguyên(x;y) thỏa mãn đề bài là: (2018;0 ; 2018;3) ( ) ; 2018;1 ; 2018;2( ) ( )
Câu 3
a)
1
x; y
2
−
≥
Từ pt (3x 2y y 1 + ) ( + = −) 4 x 2 ⇔ 3xy 3x 2y + + 2 + 2y x + 2 − = 4 0
Do
1
x; y
2
−
≥
=> x 2y 4 0+ + > nên x y 1 + − = 0 y = 1 – x thay vào pt (1) ta được
ĐKXĐ:
x
− ≤ ≤
Đặt 2x 1+ + 3 2x− = t > 0 =>
Do đó ta có pt:
t 8t
8
−
Vì t > 0 => t = 2 hoặc t = − +1 5
+ + − = ⇒ = = => = =
Trang 4* Với t = − +1 5=> 2x 1 + + 3 2x − = 5 1 − ⇒ − 4x 2 + 4x 3 1 + = − 5 0 < (vô lý)
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm là
b) ta có:
2z 4y 6x
+ + = + ÷+ + ÷+ + ÷≥ + +
x
Do đó
3yz 4zx 5xy
4
x + y + z ≥
Dấu ‘=’ xảy ra x = y = z =
1 3
Câu 4.
a) Chứng minh: AK.AI = AE.AC
ta có tứ giác BDEC nội tiếp => góc B = góc AED
mà góc B = góc AIC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
=> góc AED= góc AIC => tg AKE đồng dạng với tg ACI
=> AK/AC = AE/AI => AK.AI = AE.AC
b) Tính AK theo R
Trong (O) có cát tuyến ACE nên có hệ thức : AC.AE = OA2 – R2 = 4R2 – R2 = 3R2
(đều bằng bình phương tiếp tuyến vẽ từ A tới (O))
Mặt khác Dễ thấy tg AOB đồng dạng tg COI => OA/OC = OB/OI
=> OA.OI = OB.OC = R2 (1) => OI = R2/OA = R2/2R = R/2 => AI = OA + OI = 2R + R/2 = 5R/2 => AK = AC.AE/AI = 3R2/(5R/2) = 6R/5
c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE thuộc đường thẳng cố định
OA cắt (O) tại M, N (M nằm giữa A và K) =>
MK = AK - AM = 6R/5 - R = R/5
NK = AN - AK = 3R - 6R/5 = 9R/5
Trang 5Vì EMDN nội tiếp (O) nên tương tự (1) ta có : DK.EK = MK.NK = 9R2/25
Mặt khác gọi J là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác AED và AO ta có:
AK.KJ = EK.DK =>JK = ED.EK/AK = (9R2/25)/( 6R/5) =3R/10 => J cố định => tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn chạy trên đường thẳng trung trực của đoạn AJ cố định
Câu 5.
Ta chia thành 2 nhóm Nhóm 1 từ 1 đến 312, nhóm 2 từ 313 đến 625
Giả sử không có số chính phương nào trong 312 số chọn ra
Giả sử ta chọn ra k số ở nhóm 1 Để ý rằng mỗi số ở nhóm 1 luôn tồn tại 1 số nhóm 2 sao cho tổng của chúng bằng 625 do đó ở nhóm 2 ta chỉ có thể chọn được thêm 312 - k số ( do đó tổng mỗi cặp không bằng 625 )
cách chọn 1 số ở nhóm 2
Vậy tóm lại là số cách chọn của nhóm 2 chỉ có thể là 311 - k nên tổng số số của
2 nhóm là 311 - k +k =311 ( vô lí )
=> đpcm
Cách khác:
Ta chia 625 số đó thành 313 tập hợp là {1;624},{2;623}, ,{625}
Giả sử trong 312 số ta chọn không có số chính phương, vậy 312 số đó phải thuộc 312 tập hợp {1;624},{2;623}, {312;313} do 625 là số chính phương, đồng thời cũng không có 2 số nào thuộc cùng 1 trong 312 tập hợp trên vì nếu có, sẽ có 2 số có tổng là
625, vậy mỗi số ta chọn nằm ở mỗi tập hợp khác nhau trong 312 tập trên, vậy sẽ có
số thuộc tập {225;400} mà cả 2 số này đều là SCP=>đpcm