GIAI TICH 12UD TICH PHAN

NGÀY SOẠN: NGÀY GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A.MỤC TIÊU: -Học sinh nắm ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng -Từ biết áp dụng làm tập B.NỘI DUNG CỤ THỂ: I.Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x),trục ox hai đường thẳng x=a,x=b 1/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục đoạn Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích S tính theo cơng thức : (1) ** Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối  Nếu  Nếu  Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau : -Cách 1: Dùng định lí “dấu nhị thức bật nhất” , định lí “dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f(x) ; đơi phải giải bất phương trình f(x) ≥ , f(x) ≤ đoạn -Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn để suy dấu f(x) đoạn  Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hồnh  Nếu đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hồnh -Cách Nếu f(x) không đổi dấu [a ; b] ta có : 2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Vd : Tính Xét dấu nhị thức bậc f(x) = 2x + x -∞ -2 +∞ f(x)=2x + +  + Suy Do Vd : Xét dấu tam thức f(x) = - x2 + 2x – , có , a = - < Suy f(x) < x f(x)= -x2 + 2x - -∞ +∞ - -2 - -5 - Suy Vd Cách Xét dấu tam thức f(x) = x2 – 3x + , có a = > ; x -∞ +∞ f(x)= x - 3x + + + 0 + Suy Do : =-=1 Cách 3/ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hoành Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2x + , trục hoành , đường thẳng x = - , x = y f x = 2x+4 x -2 O Hình Giải Diện tích S hình phẳng Từ hình vẽ , suy Do (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y= - 2x - , trục hoành Ox, trục tung Oy đường thẳng x = - y -2 O fx  = -2x-4 Hình Giải x Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = -2x – , trục hoành hai đường thẳng x = - , x = Diện tích S hình phẳng Từ hình vẽ , suy Do (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng (được tơ màu ) sau : y -2 O f x  = x A x B Hình ĐS:9/2 (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng (có tơ màu ) sau y f x = x2 -2 O A 1B x Hình Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 , trục hoành hai đường thẳng x = , x = Diện tích S hình phẳng Vì (đvdt) Bài tốn5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) hàm số y = x3 –x2 + , trục hoành Ox đường thẳng x = - ; x = y fx = x3-x2+2 A -2 -1 B O x Hình ĐS:85/12 (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành đường thẳng x = -1 ; x = y f x  = -x-2 x-1 x B -2 -1 A O -4 Hình 10 LG: (đvdt) Bài tốn Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục hoành đường thẳng x = -1 , x = y f x  = x -2 A O -1 B 3/2 Hình 11 Giải Diện tích S hình phẳng Từ hình vẽ , suy (đvdt) Ghi nhớ 3x Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu khơng đổi Khi để tính tích phân ta tính sau : Bài tốn Cho hàm số y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C ) (Hình 12) y fx = x3-3x2+2 -2 -1 A O1 x B (C) Hình 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , trục hoành , trục tung đường thẳng x = Giải Trục tung có phương trình x = Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , trục hoành hai đường thẳng x = , x = tính cơng thức : *Cách tính Dựa vào đồ thị , suy đoạn [ ; ] đồ thị (C ) cắt trục hồnh điểm có hoành độ x = Hơn x3 -3x2 + ≥  x  [ ; ] x3 -3x2 + ≤ x [ ; ] Do (đvdt) * Cách tính (đvdt) Bài tốn Cho hàm số y = -x + 5x - có đồ thị (C ) (Hình 14) y -2 A -1 O B f x = -x 4+5x 2-4 (C) -4 x Hình 14 a/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị (C ) với trục hoành b/Tính diện tích hình phẳng tơ màu Giải a/ ( -2 ; 0) , ( -1 ; 0) , ( ; 0) , (2 ; 0) b/ Hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) ,trục hoành hai đường thẳng x =- , x = Dựa vào đồ thị , suy -x4 +5x2 - ≥  x  [ -2 ; -1] [ 1; 2] - x4 + 5x2 – ≤  x  [ -1 ; ] Do (đvdt) Bài tốn 10 Tính diện tích hình phẳng sau , biết đồ thị (C ) đồ thị hàm số y (C) fx = 5x+4 x -2 -1 O 1B Hình 19 LG: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành , hai đường thẳng x = , x = Vì ≥ với ĐS:38/15 (đvdt) Bài tốn 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành , hai đường thẳng x = - , x = y (C) f x  = -4 -2 -1 x-1 x O Hình 22 LG : Diện tích S cần tìm x+2 Ta có Mà II/ Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x) **Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số : Cho hai đồ thị hai hàm số y = f(x) , y = g(x) hai đường thẳng x = a ,x =b (a nên Vậy hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho x = e Trên đoạn phương trình xlnx – x = có nghiệm x = e Hình phẳng giới hạn bốn đường y =xlnx , y = x hai đường thẳng x = 1, x = e có diện tích S tính theo cơng thức : Vì nên (đvdt) Vd2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số : , hai đường thẳng x = , x = Giải: Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình : (đvdt) Vd3: y (C) x -1 -2 f x  = -x 4+5x2-4 O B -4 Hình 25 Cho hàm số y = - x + 5x – có đồ thị hình Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số cho với trục hồnh Giải : Xét phương trình : Diện tích hình phẳng cần tìm : Từ hình đồ thị suy : ĐS:+ Vd4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 -3x + đường thẳng y = x – y (C) x -3 -2 -1 O -1 -2 d -3 Hình 26 ĐS: (đvdt) Vd5: Cho hình phẳng hình 25 a/ Viết phương trình đường thẳng d b/ Tính diện tích hình phẳng , biết đồ thị (C ) có phương trình y = x3 – 3x + y (C) x -3 -2 -1 d O -1 -2 -3 a/ĐS:d : y = x + b/ Diện tích hình phẳng : (đvdt) Vd6 Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C ) a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b/ Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C ) điểm có hồnh độ c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , đường thẳng x = tiếp tuyến  y (C) -3 -2 x -1 -1 O -2 -3 -5 Hinh 28 Giải : b/ y = x3 – 3x + Khi x = ta có y(2) = – + = y’ = 3x2 - y’(2) = 12 – = Phương trình tiếp tuyến (C ) điểm (2 ; ) y = 9(x -2) + hay y = 9x - 14 c/ Diện tích hình phẳng cần tìm : Vd7: Hình phẳng sau giới hạn đồ thị (C ) : đường thẳng y = x Hãy tính diện tích hình phẳng y x O -3 -2 -1 d -1 -2 (C) -3 Hình 29 Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị cho : Diện tích hình phẳng cho : y , Tương tự ta có (đvdt) Bài tập tương tự : Bài Hình phẳng sau giới hạn đồ thị hàm số y = , đường thẳng y = , y = -2x – (Hình 29).Tính diện tích hình phẳng x −10 −8 −6 −4 −2 −2 Hình 31 Bài Hình phẳng sau giới hạn đường y = 2x2 - 3x + , y = , x = - , x = Tính diện tích hình phẳng -5 10 10 y Hình 33 -5 x Bài Cho hình phẳng sau giới hạn parabol (P) trục hoành.Biết (P) qua ba điểm (0 , 0) ; (2 , 0) (2 , 4) -2 y x -10 -5 -2 Hình 34 a/ Viết phương trình parabol (P) b/ Tính diện tích hình phẳng cho Bài Cho hình phẳng (H) giới hạn hai đường parabol (P) đường thẳng (d) hình vẽ sau : -4 -6 Hình 35 Biết parabol (P) qua gốc toạ độ O(0,0) điểm (2; -4) ; đường thẳng (d) qua hai điểm (2 ; -4 ) (-2 ; 0) a/ Viết phương trình đường thẳng (d) parabol (P) b/Tính diện tích hình phẳng cho Bài 5.Cho hình phẳng sau : y x Hinh 36 a/ Viết phương trình parabol b/ Tinh diện tích hình phẳng cho - Bài Cho hình phẳng sau giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) = x(x +1)(x-2) trục hoành -6 -4 -2 Hinh 37 a/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số y =f(x) với trục hồnh b/ Tính diện tích hình phẳng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau : ,y=0, ; Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ; y = x -3x2 + 3x tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ x = Bài9 Tính diện tích hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + , tiếp tuyến với parabol điểm M(3 ; 5) trục tung Bài 10 Cho hình phẳng giới hạn đường sau y = , trục tung đường thẳng x =1 Tính diện tích hình phẳng Bài11 Cho hình phẳng giới hạn đường y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng Bài 12.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y =x3 , y = - x2 , x = Bài13.Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = + sinx , y = , x = , x = Tính diện tích hình phẳng Bài 14 Cho hình phẳng sau giới hạn đường qua hai điểm (-2 ;0) , ( ;2) , y = đường thẳng (d) Hình 38 a/ Viết phương trình đường thẳng (d) b/ Tính diện tích hình phẳng Bài 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ; y = x -3x2 + 3x - tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ x = Bài 16 Tính diện tích hình phẳng giới parabol y = x2 - 2x + , tiếp tuyến với parabol điểm M(3 ; 5) trục tung Bài 17 Tính thể tích vật thể tròn xoay , sinh hình phẳng giới đường sau quanh trục Ox : a/ y = , y = 2x - x2 b/ y = sin2x , y = , x = , x = Bài 18 Cho hình phẳng giới hạn đường sau y = , trục tung đường thẳng x =1 a/ Tính diện tích hình phẳng b/ Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục Ox Bài 19 Cho hình phẳng giới hạn đường y = sinx , trục hoành , trục tung đường thẳng Bài 20.Tính diện tích hình phẳng giới hạn2 đường y =x3 , y = - x2 , x = Bài 21.Cho hình phẳng (H) giới đường - hạn- 4bởi -2 y = + sinx , y = , x =0 , x = -2 Tính diện tích hình phẳng Bài 22 Cho hình phẳng sau giới hạn đường , y = đường thẳng (d) qua hai điểm (-2 ;0) , ( ;2) y x Hình 39 a/ Viết phương trình đường thẳng (d) b/ Tính diện tích hình phẳng Bài 23 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho x -6 -4 -2 b/Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn - đồ thị (C ) c/Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với đường thẳng -2 y = -x + -3 -4 Bài 24.Tính diện tích hình phẳng sau : y Hình 40 x Bài 25 Cho hàm số -1 a/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) -của hàm số cho b/ Viết phương trình tiếp tuyến (d) đồ- thị (C ) điểm uốn c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn -bởi đồ thị (C ) , trục tung tiếp tuyến (d) -6 -4 -2 Hình 41 NGÀY SOẠN: NGÀY GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY HÌNH PHẲNG A.MỤC TIÊU: -Học sinh nắm ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể tròn xoay -Từ biết áp dụng làm tập B.NỘI DUNG CỤ THỂ: I Cơng thức tính vật thể tròn xoay / Vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục hoành **Chú ý : Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b , ( a < b) Quay hình phẳng (H)quay quanh trục hồnh ta vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức : Bài tốn Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x2 , y = , x = , x = Giải: (đvtt) Bài toán Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x2 – 2x , y = , x = , x = (đvtt) Bài tốn Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox y = x3 – 3x , y = , x = , x = (đvtt) Bài toán Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox , y = , x = , x = (đvtt) Bài toán Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox , y = , x = , x = (đvtt) Bài toán Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox , y = , x = , x = (đvtt) Bài toán Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành Ox , y = , x = , x = e (đvtt) Đặt Do e  I e I  ln xdx Đặt Suy = (e – 2) Bài tập tương tự (đvtt) Bài Cho hình phẳng sau giới hạn parabol (P) đường thẳng d a/ Viết phương trình parabol (P) đường thẳng d b/ Tính diện tích hình phẳng c/ Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng sau quanh trục hoành y d (P) -3 -2 x -1 -1O -2 -3 Hình 44 Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay , sinh hình phẳng giới đường sau quanh trục Ox : a/ y = , y = 2x - x2 b/ y = sin2x , y = , x = , x = Bài Cho hàm số có đồ thị (C ) Hình phẳng sau giới hạn đồ thị (C ) , tiệm cận xiên  đường thẳng x = , x=3 Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh trục hồnh y x O -3 d -2 -1 -1 -2 -3 (C) Hình 46 Bài Cho hàm số y = x – 3x + có đồ thị (C ) a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b/ Viết phương trình tiếp tuyến  đồ thị (C ) điểm có hồnh độ c/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) , đường thẳng x = tiếp tuyến  d/ T ính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng quanh trục hoành y (C) -3 -2 x -1 -1 O -2 -3 -5 Hình 47 2/ Vật thể tròn xoay quanh hình phẳng quanh trục tung **Giả sử (H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x = g(y) , trục tung hai đường thẳng y = m , y = n , ( m < n) Quay hình phẳng (H) quanh trục hồnh ta vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tính theo cơng thức : Bài tốn Cho hình phẳng giới hạn các đường sau : , trục tung , hai đường thẳng y = , y = Tính thể vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung Giải : Ta có Do thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng tạo đồ thị hàm số , trục tung hai đường thẳng y = , y = : (đvtt) Bài tốn Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C ) : , trục tung , hai đường thẳng x = , y = Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng quanh trục tung y (E) O -2 x Hình 48 Giải Ta có Gọi V1 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn nửa elip (E ) , trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung (đvtt) Gọi V2 thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn đường thẳng y = , trục tung hai đường y = , y = quanh trục tung (đvtt) Thể tích vật thể cần tính : (đvtt) 3/ Thể tích khối cầu , khối trụ ,khối nón , khối nón cụt a/ Thể tích khối cầu Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình (P ) : x2 + y2 = r2 với r > y ≥ (hình 49) Quay nửa hình tròn quanh trục hồnh ta mặt cầu có bán hính r Thể tích mặt cầu : (đvtt) y (P) -r x -2 -1 O r -1 Hinh 49 Thật : Giải : Ta có Với y ≥ ta có : có đồ thị nửa đường tròn phía trục hồnh Và có diện tích (đvtt) b/ Thể tích khối trụ : Cho hình phẳng ( hình chữ nhật )giới hạn đường thẳng y = r ( r > 0) ; trục hoành đường thẳng x = ; x = h ( h > 0) Quay hình phẳng quanh trục hồnh ta khối trụ có bán kính đáy r chiều cao h Thể tích vật thể tròn xoay ( khối trụ )này : (đvtt) c/ Thể tích khối nón tròn xoay Cho hình phẳng (H) ( tam giác vuông ) giới hạn đồ thị hàm số ; trục hoành hai đường thẳng x = ; x = h (hình 50) Quay hình phẳng (H ) quanh trục hồnh ta khối nón có bán kính đáy r chiều cao h Khi thể tích khối nón : (đvtt) y (d) r x O h Hình 50 d/ Thể tích khối nón cụt y (d) R r O x a b Hình 51 Cho hình thang vng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x = a ; x = b ( b > a > ; R > r > ) Hình 51 Quay hình thang vng quanh trục hồnh ta khối nón cụt có bán kính đáy lớn R , bán kính đáy nhỏ r chiều cao h = b – a Thể tích khối nón cụt tạo thành : Vì x = a ta có y = r x = b ta có Do ( đvtt) Chú ý :