Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Ngun, Tri Thủy, Phú Xun, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” Lời mở đầu Trong chương trình trung học phổ thơng, giới thiệu công thức Niutơn – Laibơnit thiết lập mối tương quan tích phân nguyên hàm Đa số tốn tính tích tính phân cần tìm ngun hàm thay số tính tốn, bạn đọc cần tìm hiểu kỹ phần tìm nguyên hàm(tôi giới thiệu) Trong tài liệu này, phần đơn tìm ngun hàm thay số tính tích phân tơi xin khơng đề cập nhiều ví dụ, mà tơi tập trung vào dạng tốn hướng tích phân nhiều hơn, tơi sâu giới thiệu dạng tập phần trắc nghiệm tích phân Ở cuối mục có phần tập tự luyện, xin bạn đọc tự làm để rèn luyện, áp dụng kiến thức mục Mặc dù đa số dòng máy tính cầm tay tính tính phân phép mang vào phòng thi, xu đề hạn chế nhiều việc sử dụng trực tiếp máy tính cầm tay tìm đáp án, câu hỏi đòi hỏi người làm phải có kỹ – kiến thức thực làm tốn Vì tơi mong bạn đọc dành thời gian tìm hiểu, tiếp thu kiến thức thực hạn chế tối đa việc phụ thuộc vào máy tính cầm tay Trước đọc tài liệu xin bạn đọc đọc phần A: NGUYÊN HÀM viết để việc đọc tài liệu hiệu Lời cuối: tài liệu xuất online lần đầu nên khơng tránh sai sót, bạn đọc tìm lỗi sai, xin bạn đọc liên hệ qua kênh chân trang để chỉnh sửa lại https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Nguyên, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” Mục lục Tài liệu tham khảo Lý thuyết tích phân 1.1 Định nghĩa tích phân 1.2 Các tính chất tích phân Tính tích phân phương pháp phân tích Tính tích phân phương pháp đổi biến số Tính tích phân phương pháp tích phân phần Ứng dụng tích phân(trọng điểm) 10 5.1 5.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong 10 5.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong 11 5.2 Tính thể tích vật thể 14 5.2.1 Tính thể tích vật thể từ cơng thức diện tích thiết diện 14 5.2.2 Tính thể tích khối tròn xoay 15 5.3 Tính diện tích hình phẳng 10 Một số toán thực tế 17 Giới thiệu số tập định dạng trắc nghiệm (trọng điểm) 23 6.1 Trắc nghiệm lý thuyết tích phân 23 6.2 Trắc nghiệm liên quan tính tích phân trực tiếp 31 6.3 Trắc nghiệm liên quan ứng dụng tích phân 44 Tài liệu tham khảo Lê Hồng Đức, L H (2006) Phương pháp giải tốn Tích Phân Internet (không ngày tháng) Tuyển tập đề thi thử, đề minh họa, đề thức GD ĐT Trần Văn Hạo (không ngày tháng) Sách giáo khoa giải tích 12 nhà xuất giáo dục https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Ngun, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” B: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lý thuyết tích phân 1.1 Định nghĩa tích phân Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Khi hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân từ a đến b hàm số f(x) 𝑏 Kí hiệu: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) Gọi a cận dưới; b cận trên; f(x) hàm số dấu tích phân *Dưới số ví dụ: 1/ ∫1 2𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 |12 = 22 − 12 = 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 1 2𝜋 2/ ∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥 = − cos 2𝑥| = − cos 1 2 𝜋 − (− cos ) = 2 3/ ∫0 2𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 3𝑥 | = 𝑒 − 𝑒 = 𝑒 − 𝑥2 4/ ∫−1(𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ( + 𝑥)| 22 −1 (−1)2 = ( + 2) − ( + (−1)) = 1.2 Các tính chất tích phân 𝑎 𝑏 1/ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑏 𝑏 𝑏 𝑐 𝑏 𝑏 4/ ∫𝑎 [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 3/ ∫𝑎 𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 2/ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 5/ ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 với 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 6/ Tích phân không phụ thuộc vào biến số mà phụ thuộc vào cận Tức là: 𝑏 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑎 𝑎 *Một số VD minh họa 1/ ∫1 (3𝑥 − 2𝑥 + 1)𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑥 + 𝑥)|12 = (23 − 22 + 2) − (13 − 12 + 1) = 𝜋 2/ ∫06 (cos2 2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝜋 1 = (2 tan 2𝑥 − 𝑥)| = (2 tan 2𝜋 𝜋 − ) − (2 tan − 0) = √3 𝜋 −6 3/ ∫0 (𝑒 2𝑡 + 𝑡+1) 𝑑𝑡 https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Ngun, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” 1 1 1 = (2 𝑒 2𝑡 + ln|𝑡 + 1|)| = (2 𝑒 + ln 2) − (2 + 0) = 𝑒 + ln − 4/ ∫0 |𝑥 − 2|𝑑𝑥 = 𝐼 Ta có: |𝑥 − 2| = { 𝑥 − 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ −𝑥 + 𝑛ế𝑢 𝑥 < 2 𝐼 = ∫0 (−𝑥 + 2)𝑑𝑥 + ∫2 (𝑥 − 2)𝑑𝑥 = (− 𝑥2 2 𝑥2 + 2𝑥)| + ( − 2𝑥)| = (−2 + 4) − + (8 − 8) − (2 − 4) = Tính tích phân phương pháp phân tích Xin bạn đọc đọc cách tìm ngun hàm phương pháp phân tích tài liệu “nguyên hàm” mục Tơi xin khơng chi tiết cách tìm ngun hàm mà đưa kết phân tích Xin bạn đọc tự phân tích để so sánh kết tài liệu Một số ví dụ: ln 1/ ∫0 (𝑒 𝑥 + 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ln ln = ∫0 (𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 = (2 𝑒 2𝑥 + 𝑒 𝑥 )| 2/ ∫0 = √2𝑥+1 ∫0 (2𝑥 1 (2𝑥+1)2 + 1) 𝑑𝑥 = (2 4 )| = √2𝑥 + 1|0 = √9 − √1 = 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 −2𝑥 +1 = ∫1 𝑑𝑥 − (𝑥 −1) 3/ ∫1 = (2 𝑒 2ln2 +𝑒 ln ) − (2 + 1) = 𝑥 2 𝑥4 𝑑𝑥 = ∫1 (𝑥 − 2𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 = ( − 𝑥 + ln|𝑥|)| 24 = ( − 22 + ln 2) − (4 − + 0) = ln + *Rõ ràng phần tìm ngun hàm, tích phân thay số mà thơi 𝜋 𝑥 𝑥 4/ ∫04 (sin − cos 2) 𝑑𝑥 𝜋 𝑥 𝑥 𝑥 𝜋 𝜋 𝑥 𝜋 = ∫04 (sin2 + cos2 − sin cos 2) 𝑑𝑥 = ∫04 (1 − sin 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 + cos 𝑥)|04 = + 12 2𝑥+1 5/ ∫10 𝑥 +𝑥−2 12 1 = ∫10 (𝑥+2 + 𝑥−1) 𝑑𝑥 = (ln|𝑥 + 2| + ln|𝑥 − 1|)|12 10 = (ln|14| + ln 11) − (ln 12 + ln 9) = ln 7+6𝑥 6/ ∫0 3𝑥+2 −1 𝑑𝑥 12 𝑥−1+𝑥+2 𝑑𝑥 (𝑥−1)(𝑥+2) = ∫10 √2 14.11 12.9 77 = ln 54 𝑑𝑥 https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tôn 2(3𝑥+2)+3 = ∫0 3𝑥+2 𝑑𝑥 = ∫0 (2 + 3𝑥+2) 𝑑𝑥 = (2𝑥 + ln|3𝑥 + 2|)|10 = + ln − ln = + ln 2𝑥 +5𝑥−2 7/ ∫0 ĐC: Hoàng Nguyên, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” 𝑥 +2𝑥 −4𝑥−8 𝑑𝑥 2𝑥 +5𝑥−2 𝑑𝑥 (𝑥+2)2 (𝑥−2) = ∫0 1 1 1 = ∫0 ((𝑥+2)2 + 𝑥+2 + 𝑥−2) 𝑑𝑥 = (− 𝑥+2 + ln|𝑥 − 4|)| 1 = (− + ln 3) − (− + ln 4) = ln + 8/ ∫0 |𝑥 − 𝑥|𝑑𝑥 = 𝐼 Ta có: |𝑥 − 𝑥| = {𝑥 −2 𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 0⋁𝑥 ≥ −𝑥 + 𝑥 𝑛ế𝑢 < 𝑥 < 1 𝐼 = ∫0 (−𝑥 + 𝑥)𝑑𝑥 + ∫1 (𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥 = (− 1 𝑥3 + 𝑥2 𝑥3 )| + ( − 𝑥2 )| 1 = (− + 2) − + (3 − 2) − (3 − 2) = *Bài tập tự luyện 𝑥(2+𝑥) ∫1 (𝑥+1)2 𝑥 −2 1−𝑥 ∫ 𝑑𝑥 𝜋 𝑑𝑥 2|𝑥−2|+1 𝑥 𝑥𝑑𝑥 ∫2 𝑥 −1 ∫0 10𝑥 𝑑𝑥 ∫04 sin 3𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫−22 𝑥(𝑥+3) 𝑑𝑥 ∫1 (𝑥 + √𝑥 ) 𝑑𝑥 ∫0 |𝑥 − 4𝑥 + 3|𝑑𝑥 ∫1 2𝑥+1 −5𝑥+1 ∫0 𝑑𝑥 𝜋 ∫03 (1 + sin2 𝑥)𝑑𝑥 ln ∫ln (2 + 𝑒 3𝑥 )2 𝑑𝑥 𝑥 +1 ∫1 ( ∫1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 +5𝑥+4 𝜋 1−sin 𝑥 𝜋 sin2 𝑥 𝜋 𝑑𝑥 𝜋 cos2 𝑥.sin2 𝑥 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 1+√𝑥+1 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫ ∫1 (√𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 −1 ∫−2 (𝑥 + 𝑥 − 2√𝑥) 𝑑𝑥 3𝑥 +5𝑥−1 ∫−1 𝑥−2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫−1 √1−𝑥 𝑥 +𝑥+1 ∫3 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥2 ∫0 𝑥+1 𝑑𝑥 3𝑥−1 ∫0 𝑥 +6𝑥+9 𝑑𝑥 ∫0 (|3𝑥 − 1| − 2|𝑥|)𝑑𝑥 Tính tích phân phương pháp đổi biến số Xin bạn đọc đọc lại phần tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến tài liệu “Nguyên Hàm” mục Cách làm đổi biến tích phân hồn tồn tương tự đổi biến nguyên hàm thêm bước đổi cận để thay số Một số ví dụ minh họa ln 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 1/ 𝐼 = ∫0 𝑒 𝑥 +2 𝑥=0→𝑢=3 Đặt 𝑢 = 𝑒 𝑥 + (∗); 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Đổi cận(thay x vào (*)): 𝑥=ln 4→𝑢=6 https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tôn 𝑑𝑢 𝐼 = ∫3 ĐC: Hoàng Nguyên, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” = ln|𝑢||63 = ln − ln = ln 𝑢 2/ 𝐼 = ∫0 (𝑥 − 1)9 𝑥𝑑𝑥 Đặt 𝑢 = 𝑥 − 1; 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝐼 = ∫−1 𝑢9 𝑑𝑢 𝑢10 = | 20 =0− −1 𝑑𝑢 = 𝑥𝑑𝑥 Đổi cận: 𝑥=0;𝑢=−1 𝑥=1;𝑢=0 (−1)10 = − 20 20 𝜋 3/ 𝐼 = ∫02 sin3 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑥=0;𝑢=0 Đặt 𝑢 = sin 𝑥 ; 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 Đổi cận: 𝑥=𝜋;𝑢=1 𝐼 = ∫0 𝑢3 𝑑𝑢 = 𝑎 4/ 𝐼 = ∫0 𝑑𝑥 𝑎2 +𝑥 𝑢4 | =4 ;𝑎 > Đặt 𝑥 = atan 𝑡 ; 𝑑𝑥 = 𝑎 (1 + tan2 𝑡)𝑑𝑡 Đổi cận: 𝜋 𝐼 = ∫0 𝑎(1 + tan 𝑡) 𝑎2 (1+tan2 𝑡) 𝑑𝑡 𝑥=0;tan 𝑡=0⇒𝑡=0 𝜋 𝑥=𝑎;tan 𝑡=1;𝑡= 𝜋 𝑑𝑡 = ∫0 𝑎 √7 𝑥 𝑑𝑥 5/ 𝐼 = ∫0 √1+𝑥 Đặt 𝑢 = √1 + 𝑥 ; 𝑢3 = + 𝑥 ⇒ 3𝑢2 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇔ 𝑥𝑑𝑥 = 3𝑢2 𝑑𝑢 𝑥=0;𝑢=1 Đổi cận: 𝑥=√7;𝑢=2 √7 𝑥 𝑥𝑑𝑥 𝐼 = ∫0 √1+𝑥 ln 6/ 𝐼 = ∫ln (𝑢3 −1) 3𝑢2 𝑑𝑢 = ∫1 𝑢 𝑢5 23 = ∫1 (𝑢4 − 𝑢)𝑑𝑢 = ( − 𝑢2 25 )| = [( − 22 1 ) − (5 − 2)] = 141 20 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 +2𝑒 −𝑥 −3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ln Nhân tử mẫu với 𝑒 𝑥 ta được: 𝐼 = ∫ln ln (𝑒 𝑥 )2 −3𝑒 𝑥 +2 = ∫ln 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 (𝑒 𝑥 −1)(𝑒 𝑥 −2) 3;𝑢=2 Đặt 𝑢 = 𝑒 𝑥 − 1; 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Đổi cận: 𝑥=ln 𝑥=ln 6;𝑢=5 𝐼 = ∫2 𝑑𝑢 𝑢(𝑢−1) 1 = ∫2 (𝑢−1 − 𝑢) 𝑑𝑢 = (ln|𝑢 − 1| − ln|𝑢|)|52 = (ln − ln 5) − (0 − ln 2) = ln 22 − ln + ln = ln − ln 5 7/ 𝐼 = ∫1 𝑑𝑥 𝑥√3𝑥1 Đặt 𝑢 = √3𝑥 + 1; 𝑢2 = 3𝑥 + ⇒ 𝑥 = 𝑢2 −1 ; 𝑑𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢 Đổi cận: 𝑥=1;𝑢=2 𝑥=5;𝑢=4 https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tôn 2𝑢 𝐼 = ∫2 ĐC: Hoàng Nguyên, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” 𝑢2−1 𝑑𝑢 = ∫2 𝑢 𝑢2 −1 1 𝑑𝑢 = ∫2 (𝑢−1 − 𝑢+1) 𝑑𝑢 = (ln|𝑢 − 1| − ln|𝑢 + 1|)|42 = (ln − ln 5) − (0 − ln 3) = ln − ln 𝑒 √ln 𝑥+1.ln 𝑥 8/ 𝐼 = ∫1 𝑥 𝑑𝑥 Đặt 𝑢 = √ln 𝑥 + 1; 𝑢2 = ln 𝑥 + ⇒ ln 𝑥 = 𝑢2 − 1; 𝑑𝑥 𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢 𝑥=1;𝑢=1 Đổi cận: 𝑥=𝑒;𝑢=√2 √2 𝑢5 √2 𝐼 = ∫1 𝑢 (𝑢2 − 1) 2𝑢𝑑𝑢 = ∫1 2(𝑢4 − 𝑢2 )𝑑𝑢 = ( − 𝑢3 √2 )| 4√2 = [( 2√2 − 1 ) − (5 − 3)] 2√2+2 = 2( 15 ) *Tóm lại: bước quan trọng tìm nguyên hàm *Bài tập tự luyện 𝑒 ∫1 ln 𝑥𝑑𝑥 𝜋 𝜋 ∫0 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 ln ∫𝑜 cos 𝑥 ∫0 ∫1 √𝑒 𝑥 − 1𝑑𝑥 𝜋 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 ∫0 𝑥√𝑒 + 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 sin2 𝑥−5 sin 𝑥+6 2𝑥+1 ∫−1 √𝑥 +𝑥+1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∫0 √𝑥 +16 đặt 𝑥 = ∫0 𝑒 √3𝑥+1 𝑑𝑥 𝜋 𝑒 ln2 𝑥 ∫0 3𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥(ln 𝑥+2)2 ∫1 𝑥√4 − 𝑥 𝑑𝑥 tan 𝑡 ∫0 cos √𝑥 𝑑𝑥 cos 𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 ∫0 sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫𝜋2 sin 𝑥+1 ∫0 √1+3 ln 𝑥 𝑑𝑥 ∫1 𝑥 ∫0 √2𝑥+1−5 𝑑𝑥 ∫02 √1+cos 𝑥 (PT sin 2𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥) 𝑥 +𝑥 𝑥𝑑𝑥 ∫0 ∫0 𝑥 +1 13 ∫0 √1 𝜋 − 𝑥 𝑑𝑥 sin 2𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 (𝑥+1)3 𝑑𝑥 ∫1 𝑥(1+√𝑥) ∫0 𝑑𝑥 √𝑥 +1 2 ∫0 𝑥 √𝑥 1+√𝑥+10 + 1𝑑𝑥 Tính tích phân phương pháp tích phân phần Cũng giống hai phương pháp: phân tích đổi biến, phương pháp tích phân phần yêu cầu bước quan trọng tìm ngun hàm Tơi xin đưa số ví dụ để bạn đọc xem cách tính 𝑒 1/ 𝐼 = ∫1 (𝑥 + 1) ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑢 = ln 𝑥 Đặt { ⇒{ 𝑥2 𝑑𝑣 = 𝑥 + 𝑣 = +𝑥 𝑥2 𝑒 𝑒 𝑥2 𝐼 = ( + 𝑥) ln 𝑥| − ∫1 ( + 𝑥) 𝑒2 𝑑𝑥 𝑥 𝑒 𝑥2 𝑒 𝑥2 𝑒 𝑥 𝑥2 𝑒 = ( + 𝑥) ln 𝑥| − ∫1 (2 + 1) 𝑑𝑥 = ( + 𝑥) ln 𝑥| − ( + 𝑥)| 𝑒2 1 = ( + 𝑒) ln 𝑒 − (2 + 1) ln − [( + 𝑒) − (4 + 1)] = https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai 𝑒2 +𝑒− 𝑒2 −𝑒+4= 𝑒2 +4 Trang Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Ngun, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” ln 𝑥 2/ 𝐼 = ∫1 𝑥3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑢 = ln 𝑥 Đặt { ⇒ { 𝑥 −2 𝑑𝑣 = 𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑣 = −2 𝐼= 𝑥 −2 2 𝑥 −2 𝑑𝑥 −2 ln 𝑥| − ∫1 1 −2 𝑥 = 𝑥 −2 −2 2 2 ln 𝑥| + ∫1 𝑥 −3 𝑑𝑥 = − 2𝑥 ln 𝑥| + (− 4𝑥 )| 1 1 1 = (− ln − (− ln 1)) + (− 16 − (− 4)) = − ln + 16 𝑥 3/ 𝐼 = ∫0 (3𝑥 − 1)𝑒 𝑑𝑥 Đặt { 𝑢 = 3𝑥 − 𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑑𝑥 ⇒{ 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 𝑥 𝑣 = 2𝑒 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝐼 = 2𝑒 (3𝑥 − 1)| − ∫0 6𝑒 𝑑𝑥 = 10𝑒 − (−2) − 12𝑒 | = 10𝑒 + − [12𝑒 − 12] = 14 − 2𝑒 0 𝑒 4/ 𝐼 = ∫1 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 Ta tìm ngun hàm trước tính tích phân Gọi 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑢 = ln 𝑥 Đặt { ⇒ { 𝑥3 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑑𝑥 𝑣= 𝐹(𝑥) = 𝑥3 ln 𝑥 − ∫ 𝑥3 𝐼 = ( ln 𝑥 − 𝜋 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥3 𝑥3 𝑒3 )| = ( − ln 𝑥 − 𝑥3 +𝐶 𝑒3 ) − (0 − 9) = 2𝑒 +9 𝑥 5/ 𝐼 = ∫04 cos2 𝑥 𝑑𝑥 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Đặt {𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 ⇒ { 𝑣 = tan 𝑥 cos 𝑥 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝜋 𝐼 = 𝑥 tan 𝑥|04 − ∫04 tan 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 tan 𝑥|04 − (− ln|cos 𝑥|)|04 = (𝑥 tan 𝑥 + ln|cos 𝑥|)|04 𝜋 = ( + ln √2 )− 𝜋 (0 + 0) = − ln Nếu bạn đọc chưa rõ xin xem lại phần nguyên hàm lượng giác tài liệu nguyên hàm 6/ 𝐼 = ∫0 ln(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Đặt { 𝑑𝑢 = 𝑥+1 𝑢 = ln(𝑥 + 1) ⇒{ 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣 = 𝑥 + 1(𝑐ℎọ𝑛 𝐶 = 1) https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Ngun, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” 𝐼 = (𝑥 + 1) ln(𝑥 + 1)|10 − ∫0 𝑑𝑥 = (𝑥 + 1) ln(𝑥 + 1)|10 − 𝑥|10 = (2 ln − 0) − (1 − 0) = ln − *Bài tập tự luyện 𝜋 ∫02 (𝑥 + 1) sin 𝑥 𝑑𝑥 ∫0 (𝑥 − 2𝑥 − 1)𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ∫𝜋2 (2 − 𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥 ∫0 𝑥 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 𝜋 ln 𝜋 𝑒 1+𝑥.ln 𝑥 ∫0 ln(2𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ∫1 ∫0 𝑥 cos2 𝑥 𝑑𝑥 ∫0 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫1 ∫−3 (𝑥 + 4) ln(𝑥 + 4) 𝑑𝑥 ∫0 sin6 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 ∫0 𝜋 𝜋 𝑒−4 𝜋 𝑥 𝜋 sin2 𝑥 ∫ 𝑒 ln 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑒 3𝑥 𝜋 ∫1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 ∫02 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 ln(1+𝑥) ∫1 𝑑𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑒 1+2 ln 𝑥 ∫1 𝑥 𝑑𝑥 ∫1 ln(9 − 𝑥 ) 𝑑𝑥 Ứng dụng tích phân(trọng điểm) Trong phần tơi xin trình bày chi tiết phần ứng dụng đưa cơng thức tính, phần tính tốn tích phân tơi xin trình bày bước đưa kết 5.1 Tính diện tích hình phẳng 5.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Cho hàm số f(x) có đồ thị (C) liên tục [a; b] Diện tích S giới hạn đồ thị f(x) với trục hoành (Ox) hai đường thẳng x=a; x=b là: 𝑏 𝑆 = ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 𝑎 Các bước tính: +, xác định đoạn +, xác định khoảng f(x) nhận giá trị dương âm để phá trị tuyệt đối (vẽ đồ thị kẻ bảng biến thiên cần) +, Tính tích phân sau phá dấu giá trị tuyệt đối Một số ví dụ: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 , trục hoành, hai đường thẳng 𝑥 = −1; 𝑥 = Giải Ta có: 𝑆 = ∫−1|𝑥 |𝑑𝑥 |𝑥 | = 𝑥 |𝑥| = { 𝑥 3𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ −𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 < 0 Vậy: 𝑆 = ∫−1 −𝑥 𝑑𝑥 + ∫0 𝑥 𝑑𝑥 = 17 https://www.facebook.com/thaygiaoton https://www.youtube.com/c/TonLai Trang 10 Lại Văn Tơn ĐC: Hồng Nguyên, Tri Thủy, Phú Xuyên, Hà Nội ĐT: 0973056109 “Những điều tốt đến với người biết cố gắng” *Các bạn viết dấu trị tuyệt đối máy tính cách ấn: SHIFT+hyp 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn 𝑦 = 𝑥 − 2𝑥; 𝑥 = −2; 𝑥 = Giải 𝑆 = ∫−2|𝑥 − 2𝑥|𝑑𝑥 |𝑥 − 2𝑥| = {𝑥 −2 2𝑥 𝑛ế𝑢 𝑥 ≥ ∨ 𝑥 ≤ −𝑥 + 2𝑥 𝑛ế𝑢 < 𝑥 < 𝑆 = ∫−2(𝑥 − 2𝑥)𝑑𝑥 + ∫0 (−𝑥 + 2𝑥)𝑑𝑥 = 22 ln 𝑥 3/ Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi: 𝑥 = 1; 𝑥 = 𝑒; 𝑦 = √𝑥 Giải 𝑒 ln 𝑥 𝑆 = ∫1 |2 𝑥| 𝑑𝑥 √ ln 𝑥≥0 𝑛ế𝑢 𝑥≥1 Nhắc lại: ln 𝑥