Quy lạ về quen phá đảo phương trình hệ phương trình bất phương trình

LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Quy lạ quen phá đảo PT-Hệ PT-Bất PT” chủ yếu xoay quanh việc tận dụng kiến thức cũ phối hợp với để giải toán Trong tài liệu chủ yếu đề cập đến việc giải tốn Phƣơng trình,Hệ phƣơng trình Bất phƣơng trình,tài liệu đề cập đến nhiều kiến thức tổng hợp số cách định hƣớng cho toán ,dạng toán câu xoay quanh PT,Hệ PT,Bất PT số toán liên quan đến đến vấn đề !Tài liệu đƣợc soạn thảo dựa kiến thức,kinh nghiệm thân nên chắn nhiều thiếu sót ! Mong độc giả đón nhận góp ý để tài liệu hồn thiện ! Dƣới tơi xin nói vài nét tên gọi “ Quy lạ quen”,với giáo viên hay ngành sƣ phạm tên phƣơng pháp dạy học giải tập toán học nhằm nâng cao khả giải toán cho học sinh ,củng cố nâng cao kiến thức đồng thời giúp học sinh khơng qn kiến thức cũ,những tốn tƣởng chừng khó hay phức tạp trở lên đơn giản nhiều đƣa thứ quen thuộc mà học sinh đƣợc thấy đƣợc học trƣớc Ở ,tôi xin lấy ví dụ để độc giả dễ hình dung : “Ở bậc học Tiểu học,chúng ta đƣợc làm quen với tốn tìm Số lớn, Số bé biết tổng hiệu ,ví dụ nhƣ : Tìm hai số tự nhiên biết số lớn số bé đơn vị tổng hai số 10 Và cách giải gọi tổng hai số T hiệu chúng H ta có H=10, T=2 cơng thức tính : SL  T  H 10  T  H 10    6, SB   4 2 2 Vậy kết số lớn 6,số bé ” Đến bậc THCS ,học sinh gặp lại tốn hệ phƣơng trình nhƣ :  x  y  10   x y 2 Nhìn vào đề ta thấy x+y tổng x-y hiệu nên tiềm thức ta thấy hình bóng toán Tiểu học sử dụng lại kết bậc Tiểu học.Sau đó,ta nhận giải tốn Tiểu học giải hệ phƣơng trình bậc hai ẩn thơng qua đặt ẩn phụ phƣơng pháp cộng đại số.” Nguyễn Anh Tú I.Các vấn đề liên quan đến phương trình bậc cao 1.Phương trình bậc ba Ở mục tơi khơng đề cập đến cách giải phƣơng trình bậc ba có nghiệm ngun cơng việc máy tính hỗ trợ bạn đọc ! Tôi xin đề cập số cách giải phƣơng trình bậc ba tổng quát để bạn đọc tham khảo ! 1.1.Phương pháp Cardano Cho phƣơng trình bậc ba tổng quát dạng : ( )( ) Do a khác nên chia hai vế (1) cho a ta đƣợc : Sau thực bƣớc biến đổi sau : ( ( ) ( )( ) ) Bằng cách đặt ẩn phụ { Ta đƣa (1) dạng Giờ ta giả sử (2) có nghiệm z = ( )   Ta chọn ( ) lúc ta có : ( ) ( ) ( ( )( cho : { ) ) hay { Nhớ lại định lý Vi-ét đảo ta thấy nghiệm phƣơng trình bậc ( ) (3) có = Vậy z = √ √  ta chọn √  √ √  √ nghiệm (2) **** Phần chứng minh cho ta công thức phức tạp giải tốn phƣơng trình bậc ba ta phải chứng minh công thức Đặc biệt,vấn đề phát sinh phƣơng trình bậc ba t chƣa nghiệm thực tốn  giá trị âm lúc ta phải giải tính tốn số phức ! Sau đây, tơi xin trình bày cách để giải tiếp ! Do z nghiệm (2) nên hay ta đƣợc : )( ) ( nên hai nghiệm lại (2) (do phƣơng trình bậc ba có tối đa nghiệm) nghiệm phƣơng trình ( ).(ta hồn tồn giải đƣợc z đƣợc tính theo giá trị hệ số thực) Nhận xét : p >  > (4) vơ nghiệm (4) bình phƣơng thiếu cộng thêm số dƣơng.Vậy p > (2) có nghiệm thực hay ta kết luận (1) có nghiệm thực Còn p=0, ta thay trực tiếp vào (2) bạn đọc tự rút nhận xét ! Vì phần mang tính chất tham khảo công thức nghiệm phức tạp nên khơng lấy ví dụ ! Điều mà tơi muốn nói đến đâu việc sử dụng tính chất liên quan đến tổng tích để xây dựng đƣợc cơng thức nghiệm cho phƣơng trình bậc ba ! Hệ thống đƣợc gọi phƣơng pháp Cardano **** cách trình bày cá nhân tơi ! 1.2.Sử dụng lượng giác để giải phương trình bậc ba Ý tƣởng : Theo 1.1 ,mọi phƣơng trình bậc ba đƣa dạng Mà ta có nên phải có phép biến đổi để giải phƣơng trình bậc ba lƣợng giác ! Mời bạn đọc tơi khám phá thơng qua ví dụ : VD1: Giải phƣơng trình ( ) Nhận thấy hình bóng nên ta nhận định đổi biến ] thành nhƣng chắn (1) có nghiệm đoạn [ Ở lớp 11 chúng biết đƣợc hệ : Nếu hàm số f liên tục ] f(a).f(b) < tồn điểm c thuộc (a,b) cho đoạn [ f(c)=0 ] Áp dụng vào toán xét hàm ( ) [ ].Khi đặt ta hồn tồn đƣợc (1) có nghiệm thuộc đoạn [ ta đƣa (1) dạng  ( ) Đến ] mà khó xử thƣờng mắc sai lầm quên đặt điều kiện t [ lý nghiệm ,điều kiện xuất phát từ việc nên phải thuộc đoạn [ ].Vậy ta chọn đƣợc t ( ),do phƣơng trình bậc ba có tối đa nghiệm mà t ứng với nghiệm nên tất nghiệm (1) Khi giải toán khác ví dụ nhƣ ta lại phải đặt ta giải tốn phƣơng trình bậc ba cách đặt ẩn phụ ( ) ? Thật áp dụng cho phƣơng trình Ta thử đặt ( )thì phƣơng trình có dạng : đặt nhƣ với mục đích tìm a cho ta nhóm đƣợc đại lƣợng ( ) đó,chú ý đến công thức quan trọng ta chọn a cho  Vậy với cách thử ta dễ dàng tìm đƣợc cách đặt ẩn phụ Tuy nhiên ,phƣơng pháp bị hạn chế ví dụ toán sau : Đặt ẩn phụ nhƣ toán (1) ta thu đƣợc Trong việc giải phƣơng trình lại liên quan đến vấn đề số phức với lƣợng giác ,một vấn đề nằm phạm vi kiến thức THPT,THCS Vậy nên dù tiện lợi nhƣng giải đƣợc số dạng định.Qua đó,ta thấy việc giải phƣơng trình bậc ba tổng qt đƣợc đề cập mang tính tham khảo 1.3 Một số phương trình bậc ba giải cách đưa tổng hiệu lập phương Tuy hay nhƣng phần không dễ để thực , gặp hay đƣợc giao làm toán thƣờng gặp dạng dễ nhận biết thông qua đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) VD1 : Giải phƣơng trình sau : Việc nhận hƣớng giải toán nằm việc hình dung ta việc ) nhận hình bóng đẳng thức : ( nhìn vào số hạng ta nhóm thành : ( ) Hay ( )  √  √ Ví dụ dạng tốn hay gặp đặc biệt ( ) đƣợc nhận dạng qua số hạng khai triển đẳng thức xử lý hệ số A,B,C thuộc Z A+B ,dĩ nhiên hệ số thuộc tập số thực khó Trong số trƣờng hợp nhƣ có dạng sau: ( ) ( ) Với A,B,C,D thuộc Z dễ thấy có nghiệm máy tính xử lý đƣợc (A+C A+C=0 phƣơng trình bậc hai ) Độ khó việc nhận diện trình bày theo cách tƣ ngƣợc vai ngƣời đề : ( ) ( ) Nếu đƣa số -3 vào đẳng thức số vô tỉ nhƣng khai triển ta lại đƣợc hệ số nguyên phƣơng trình bậc ba tổng quát ! Ta giải phƣơng pháp hệ số bất định với ẩn ,đối với bạn chƣa biết phƣơng pháp theo dõi tiếp tài liệu phần Phƣơng trình bậc sau ! 2.Phương trình bậc 2.1.Phương trình trùng phương dạng phương trình bậc cao quy phương trình bậc hai BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÙNG PHƢƠNG ( ) -Dạng tổng quát : + Điều kiện vô nghiệm { { { Bao gồm trƣờng hợp (1) vơ nghiệm,có hai nghiệm âm nghiệm kép âm + Điều kiện có nghiệm (1) có nghiệm khơng âm a.Điều kiện có nghiệm{ tức (1) có nghiệm =0 b.Điều kiện có nghiệm { { Bao gồm trƣờng hợp cho (1) có nghiệm dƣơng (1) có nghiệm trái dấu (1) có nghiệm kép dƣơng c.Điều kiện có nghiệm { (1) có nghiệm nghiệm dƣơng d.Điều kiện có nghiệm{ (1) có nghiệm dƣơng phân biệt Đây dạng tốn quen thuộc nên tơi đề cập đến điều kiện định số nghiệm phƣơng trình bậc trùng phƣơng Dƣới phần mở rộng số phƣơng trình đƣa dạng bậc bốn trùng phƣơng ! Vấn đề đề cập chủ yếu xoay quanh phƣơng trình bậc bốn đƣa dạng phƣơng trình bậc hai Ta nhận diện số tốn đƣa phƣơng trình bậc hai thơng qua dạng tổng qt : ( ) Sau số ví dụ VD1 : Giải phƣơng trình Cùng nhớ lại công cụ đẳng thức việc khai triển ( ) có đồng thời số hạng bậc bốn ,bâc ba bậc hai theo biến phải ý đồ tốn Ta thử nhóm đẳng thức nhƣ sau : ( ) ( ) ( ) Giờ cách đặt ẩn phụ ta đƣa tốn dạng : Vậy gặp phƣơng trình bậc bốn ta thử nhóm số hạng bậc ba,bậc bốn thành đẳng thức trƣớc để kiểm tra Các ví dụ sau minh họa nhiều vấn đề VD2 : Giải phƣơng trình Nhận xét hệ số trƣớc số phƣơng hệ số trƣớc 12 tách thành 2.2.3 nên ta lại bắt đầu công việc thử nhóm đẳng thức : ( ) ) ( ) ( Bài toán đến đƣợc định hƣớng ,những dạng tốn tơi đề cập liên quan nhiều đến đẳng thức super soi hệ số nên chủ yếu dựa vào kinh nghiệm , để có đƣợc điều ta cần làm nhiều tập để có đƣợc phản xạ với dạng tốn ! VD3: Giải phƣơng trình Tuy hệ số trƣớc khơng phải số phƣơng nhƣng ta thấy hệ số trƣớc 12 chia hết ta thử tìm kiếm hội cách đặt thừa số chung.Thật ,ta thực nhƣ sau : ( ) ( ) ) ( )  ( Đây kĩ thuật để định hƣớng cho dạng tốn Bài tốn tơi muốn đề cập tới việc nhóm thành nhiều đẳng thức để tận dụng triệt để tính chất nhìn chung phần xoay quanh việc nhóm từ bậc cao Mời bạn đọc theo dõi : VD4 : Giải phƣơng trình ) , Bài tốn khơng có bậc ba nên ta nghĩ tới cách nhóm ( ta lần lƣợt nhóm từ bậc cao : ( ) Nhiều bạn đặt câu hỏi lại biết tách nhƣ câu trả lời có mục quan trọng phần này,đó cách giải phƣơng trình bậc bốn dạng tổng quát ! Đến bạn đọc tự nhóm !  Các phƣơng trình bậc bốn đặc biệt 1.Phƣơng trình có dạng ( )( ) thỏa mãn ( ) ( )( ) Dạng tốn có hai dạng đặc biệt thƣờng gặp : ( ) ( ) với tên gọi phƣơng trình bậc bốn hồi quy phản hồi quy Tơi xin trình bày bƣớc chung cho dạng toán : Bƣớc : Ta thử có phải nghiệm phƣơng trình (1) khơng - Nếu e =0,d=0 thỏa mãn (*) nhƣng ta nhóm đƣợc nhân tử chung giải ln Nếu e=0,d≠0 phƣơng trình có nghiệm không thỏa mãn (*) - Nếu e.d thỏa mãn (*) khơng phải nghiệm (1) nên chia hai vế (1) cho làm bƣớc ( Bƣớc : Ta thu đƣợc phƣơng trình hay ( ) ( ) ( ) ) ( Từ (*) ta lại biến đổi đƣợc (2) thành hay (( hay ( ) ) ) ( ( ( ) ) ( ) ) ) Bƣớc : Đặt ẩn phụ Ta xem vài ví dụ : VD5 : Giải phƣơng trình để đƣa (2) phƣơng trình bậc hai ẩn y ( ) ) Bài tốn giải cách nhóm ( nhanh Nhƣng xin đƣợc hƣớng dẫn nhanh theo bƣớc Do nghiệm phƣơng trình nên chia vế (3) cho hay ( ta đƣợc hay ( ) ) ( ) VD6 : Giải phƣơng trình ( ) Do khơng phải nghiệm phƣơng trình nên chia vế (3) cho ta đƣợc ( ) ( ) hay ( ) ( ) Chủ yếu việc biến đổi khiến ta lƣu ý việc cho ta số ta vận dụng cho tốn sau khác sau ví dụ nhƣ dạng : ( ( ( ) ( ( ) ) ) ( ( ) ) ) ( Bài Tập Tự Luyện ) Phƣơng trình bậc bốn có dạng : ( ) ( ) Ta giải dạng toán cách đặt ẩn phụ trình (1) dạng ( Nhị thức Newton sau : ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) (1) để đƣa phƣơng ,tận dụng hệ khai triển (*) ta viết gọn Đây phƣơng trình trùng phƣơng trình trùng phƣơng ẩn Ta làm số ví dụ sau : VD1: ( ) ( ) =4 (2) Đây trƣờng hợp đặc biệt a+b=0 ta khơng cần đặt ẩn phụ mà khai triển trực tiếp.Đối với bạn chƣa học nhị thức Newton ta chứng minh : ( ) ( ) ( ) ( ) Tƣơng tự ta có : ( ) Cộng lại ta đƣợc (*) nên (2) đƣợc khai triển thành VD2: ( ) ( ) =24 (3) Đặt ,ta đƣa (3) dạng : ( ) ( ) =24 Và khai triển để thu đƣợc : ** Do tính đối xứng việc khai triển hệ thức Newton ta có định hƣớng giải dạng toán ( ) ( ) ( ) Sau tơi xin giới thiệu phƣơng trình đặc biệt : ( ) ( ) ( ) Phƣơng trình có nghiệm m m+1 ,ta chứng minh phƣơng trình khơng nghiệm khác,đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - Nếu ( ) ( ) ( ) - Nếu ( ) - Nếu m < < m+1 < 0< => ( ) Bài Tập Tự Luyện Giải phƣơng trình sau : ( ) ( ) 10 3.Phƣơng trình bậc bốn có dạng ( )( )( )( ) thỏa mãn (*) )( )( Từ (*) ta nhân ( )( ) để thu đƣợc dạng : ( ( ) )( ( ) ) Do nên ta đƣợc : ( )( ) Đặt ẩn phụ ta thu đƣợc phƣơng trình dạng : ( ) Ta vào ví dụ để làm quen với dạng tốn : ( )( )( )( ) VD1: )( )( )( )ta đƣợc : Ta chọn việc nhân ( ( )( ) Lƣu ý : Phép nhân có tính giao hốn nên ta cần lựa chọn nhóm hợp lý để thu đƣợc phƣơng trình đơn giản ( )( ) VD2: Đây phƣơng trình hay có nhiều cách giải tơi xin trình bày cách làm để bạn đọc có thêm nhiều nhận định việc định hƣớng giải dạng phƣơng trình đặc biệt Cách : Bài tốn khơng dạng nhƣng tơi áp dụng cách phân tích : ( )( ) ( )( ) Nhóm hợp lý ta đƣợc phƣơng trình dạng : ( )( ) Cách : Tơi xin đề cập đến dạng phƣơng trình bậc biệt có dạng : ( )( ) ( )(1) Để giải dạng ta cần nhận xét xem có phải nghiệm (1) không dĩ nhiên điều xảy có nhân tử chung Nếu ( ,ta chia vế (1) cho )( ) Chia phân phối ta đƣợc ( Đặt ẩn phụ , ta có : ( ) ( tốn đƣợc giải 11 ) ( ) ) Áp dụng cho toán ta thu đƣợc dạng : ( )( Đến bạn đọc giải dễ dàng ) Cách : Cách tận dụng tối ƣu việc nhìn nhận nhóm ghép đẳng thức , quan sát ta thấy dấu ngoặc có tích tổng hiệu nhìn điều ta áp dụng đẳng thức số quen thuộc ( )( ),ta nhóm lại nhƣ sau : ( )( ) ) -61 =0 ( Ta khai triển tiếp phƣơng trình trùng phƣơng áp dụng tiếp đẳng thức số thu đƣợc ( )( ) √ √ Qua ,ta thấy đƣợc tốn có nhiều hƣớng giải ta xây dựng phƣơng pháp giải đƣa kiến thức hay vận dụng phép biến đổi để làm sáng lối cho tốn ! Đây số dạng phƣơng trình bậc bốn đặc biệt thƣờng gặp có phƣơng pháp giải nhƣng tùy tốn bạn nên có suy nghĩ để tìm thêm nhiều cách giải ! Bài Tập Tự Luyện Giải phƣơng trình ( ( ) ( )( ) ) 12 2.2.Phương pháp hệ số bất định ứng dụng việc sử dụng máy tính cầm tay giải phương trình bậc Phần chủ yếu nêu ứng dụng phƣơng pháp hệ số bất định giải phƣơng trình bậc bạn đọc ứng dụng nhiều toán , dạng toán khác Giới thiệu sơ lƣợc : Xét phƣơng trình bậc dạng tổng qt (a≠0) (1) Mọi phƣơng trình bậc có phân tích thành hai tam thức bậc hai nên giả sử (1) đƣợc tách thành ( )( ) Nhân đa thức với đa thức đồng hệ số ta thu đƣợc hệ phƣơng trình : ( ) ( ) { n ( ) Tơi xin trình bày thơng qua vài ví dụ sau : VD1 : Giải phƣơng trình (2) Có kinh nghiệm hệ số trƣớc là ta thƣờng giả sử (2) đƣợc )( ) tách thành ( ,đồng ta thu đƣợc hệ phƣơng trình : { Việc giải hệ khơng khả thi nhƣng với mong muốn tốn có a,b,c,d ngun ta lựa chọn số nguyên thay vào ta thƣờng chọn từ tích b.d chọn b,d ƣớc ngun thay vào phƣơng trình ad+bc=-1 Ví dụ ta chọn b=1,d=2 ta có hệ { (II) 13 { (II) tƣơng đƣơng với { )( ) nên (2) đƣợc phân tích thành ( (2) vơ nghiệm nên tơi lƣu ý giải phƣơng trình bậc bạn nên xét xem có nghiệm khơng thơng qua cách nhóm đẳng thức tơi nêu mục nhóm từ cao xuống thấp,ở (2) đƣa : ( ) Đây nên thói quen bƣớc đơn giản thành thạo Ví dụ cho ta thấy phƣơng trình bậc dù vơ nghiệm (trong R) phân tích thành nhân tử sau tơi xin trình bày số biến đổi thƣờng dùng : ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Những biến đổi thƣờng đƣợc sử dụng việc sáng tạo toán ta nên nhớ làm quen dù nhiều biến đổi khác nhƣng ý tƣởng dựa nhóm tách số hạng cho tạo thành đẳng thức ! Ví dụ ta kèm việc sử dụng máy tính cầm tay để hỗ trợ cùng, tốn ví dụ khơng có nghiệm ngun việc phƣơng trình có nghiệm ngun có lẽ quen thuộc với bạn ! VD2 : Giải phƣơng trình (3) Khi hệ số trƣớc khơng phải ta chọn ƣớc nguyên ) ( ) ( ) ( ) a ,ở a nên ta thử cặp ( )( ) Giả sử (3) đƣợc phân tích thành ( : { Do bd=-1 nên chọn d =1, b = -1 ta đƣợc : { 14 { )( ) Vậy (3) đƣợc phân tích thành ( Ta sử dụng công cụ Casio hỗ trợ , thực hƣớng dẫn máy : NHẬP vào máy NHẤN SHIFT CALC bạn thấy Solve for X số hàng dƣới ( ) Tơi ấn sau ấn dấu xuất dòng + Dòng phƣơng trình (3) + Thứ hai giá trị X =0,2192235936… + Cuối L – R =0 ,cho ta thấy X nghiệm (3) Ta lƣu X cách nhấn SHIFT nhấn RCL nhấn tiếp (– ) đến xuất dòng Ans  A ( bạn phí chỗ nút (– ) ) Để lại A bạn nhấn ALPHA (– ) ,bạn ý ALPHA nút để ký hiệu đƣợc in bên phải nút Tƣơng tự ta lại sử dụng SHIFT – Solve vừa nhƣng nhấn lần nhận đƣợc X =2,224744871… ta lƣu lại vào B ((   (  ) ( )) Sử dụng lần tơi nhấn -3 đƣợc X =-0,224744871… lƣu vào C Nếu bạn chọn nhập A +B A.B đề số vơ tỉ mục đích tìm X nghiệm đa thức bậc hai tách từ (3) thông qua định lý Vi-ét,ta thấy B + C = B.C = nên mà B,C nghiệm (3) nên (3) có nhân tử chung dùng chia đa thức cho đa thức ) (3) đƣợc phân tích thành ( )( Ở nhấn ta thu đƣợc X =2,280776406… lƣu D Thì từ A D ta tìm đƣợc nhân tử chung Khi xem xét cách nhờ máy tính Casio cách thấy ta chọn cặp ( ) ( ) ta thu đƣợc hệ có nghiệm phân số lẫn nguyên chọn (b,d)= (1,-1) không thu đƣợc kết phải chọn (b,d) ( ) ( ) Điều khó chọn nên việc sử dụng hệ số bất định tùy thuộc ta chọn hệ số hợp lý nhƣng nhờ cơng cụ Casio ta làm nhanh ! Bài Tập Tự Luyện 15 2.3.Giải phương trình bậc bốn dạng tổng qt Đây nói phƣơng pháp giải phƣơng trình bậc bốn đơn giản lấy ý tƣởng từ việc tạo tổng hiệu bình phƣơng thơng qua lý thuyết phƣơng trình bậc hai ! Mời bạn theo dõi ! Cho phƣơng trình bậc bốn dạng tổng quát : ( )( ) Ta biến đổi liên tiếp (1) nhƣ sau : ( ) ( ) ( Ta cần biến đổi cho ( Ta tim y ( ) ) ) ) ( ) bình phƣơng nên ( Cộng vào vế biểu thức ( ( ) ( ta đƣợc : ( ) ) ( ) ) bình phƣơng hay có =-=0 Tơi xin làm tốn để ta thấy đƣợc hiệu :  ) ( ) ( ) ( Đến toán đƣợc giải nhƣng phân tích ta thấy ta đƣợc : ( )( ) √ √ √ √ Với hệ số vơ tỉ nhƣ việc sử dụng hệ số bất định bất khả thi nhƣng áp dụng phƣơng pháp ta cần tìm đƣợc y vấn đề đƣợc gỡ rối ! Mình xin trình bày toán ! Cộng vào hai vế biểu thức ta đƣợc : ( ) Ta tìm y cho bình phƣơng đa thức,coi tam thức ta tính  16 ( ) Ta có :  Đây phƣơng trình bậc ba dễ nhẩm thấy có nghiệm y = tổng hệ số ta tìm đƣợc y = Thay ngƣợc trở lại ta thu đƣợc (2) Trở ngại phƣơng pháp việc   phƣơng trình bậc ba nên kèm với khó khăn việc giải phƣơng trình bậc ba mà nêu phần Tuy nhiên ,việc toán kỳ thi không mức độ tổng quát mà nêu toán đặc biệt mà mức độ cao ta tìm đƣợc y số hữu tỉ Đây phần kết cho mục liên quan đến phƣơng trình bậc cao ! Cơng thức dựa thành nhà Toán học Ý Ferrari kỷ XVI ,ông dựa thành ngƣời tìm cơng thức giải phƣơng trình bậc ba Nicolo Tartaglia thầy ơng Girolamo Cardano tìm cách giải phƣơng trình bậc bốn tổng quát ! Đến kỷ XIX ,hai nhà toán học trẻ Abel ngƣời Na Uy Galois ngƣời Pháp chứng minh khơng thể giải phƣơng trình lớn bậc bốn thức vốn hƣớng cho phƣơng trình bậc ba bậc bốn 17 ... phƣơng pháp theo dõi tiếp tài liệu phần Phƣơng trình bậc sau ! 2 .Phương trình bậc 2.1 .Phương trình trùng phương dạng phương trình bậc cao quy phương trình bậc hai BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH... phƣơng trình ( ( ) ( )( ) ) 12 2.2 .Phương pháp hệ số bất định ứng dụng việc sử dụng máy tính cầm tay giải phương trình bậc Phần chủ yếu nêu ứng dụng phƣơng pháp hệ số bất định giải phƣơng trình. .. cho phƣơng trình bậc ba ! Hệ thống đƣợc gọi phƣơng pháp Cardano **** cách trình bày cá nhân tơi ! 1.2.Sử dụng lượng giác để giải phương trình bậc ba Ý tƣởng : Theo 1.1 ,mọi phƣơng trình bậc ba