Lý thuyết trò chơi

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN VĂN CHUNG LÝ THUYET TRỊ CHI LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi, 2013 B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN VĂN CHUNG LÝ THUYET TRỊ CHƠI Chun ngành: Tốn giái tích Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa hoc: GS TSKH Nguyen Xuân Tan Hà N®i, 2013 LèI CÁM ƠN Trưóc trình bày n®i dung cna khóa lu¾n, tơi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói GS TSKH Nguyen Xn Tan, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tơi có the hồn thành khóa lu¾n Tơi xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, thay giáo giáng day chun ngành Tốn giái tích trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tơi suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia ỡnh, ong nghiắp, ban bố ó đng viờn v tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2013 Nguyen Văn Chung LèI CAM ĐOAN Dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Nguyen Xuân Tan lu¾n văn Thac sĩ chuyên ngành Tốn giái tích vói đe tài “Lý thuyet trò chơi” đưoc hồn thành bói sn nh¾n thúc cna bán thân, khơng trùng vói bat cú lu¾n văn khác Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc đong nghiắp vúi sn trõn v biet n H Nđi, tháng năm 2013 Nguyen Văn Chung Mnc lnc Báng kí hi¾u Má đau Chương Kien thNc bán 1.1 M®t so khơng gian thưòng dùng 1.1.1 Không gian Metric 1.1.2 Không gian đ%nh chuan 11 1.1.3 Không gian Hilbert 14 1.1.4 Không gian tôpô tuyen tính loi đ%a phương Hausdorff 15 1.2 1.3 Nón hàm véctơ 17 M®t so đ%nh lý ve điem bat đ®ng 22 Chương Bài toán cân bang 25 2.1 Bài tốn cân bang vơ hưóng 25 2.2 Bài toán cân bang véctơ đa tr% 31 Chương Lý thuyet trò chơi 42 3.1 Trò chơi khơng hop tác vơ hưóng 42 3.2 Trò chơi khơng hop tác véctơ đa tr% 48 Ket lu¾n 57 Tài li¾u tham kháo 58 BÁNG KÍ HIfiU R đưòng thang thnc R đưòng thang thnc mó r®ng Rn khơng gian Euclid n - chieu d (x, y) khoáng cách giua x y (x, y) tích vơ hưóng cna x y "x" chuan cna x ∂C biên cna t¾p C conv C bao loi cna t¾p C o intC( C) y C phan cna t¾p C bao đóng cna t¾p C f −1 hàm ngưoc cna hàm f inf f c¾n dưói cna hàm f sup f c¾n cna hàm f f giá tr% nhó nhat cna hàm f max f giá tr% lón nhat cna hàm f rge f ánh cna hàm f Gr f dom f đo th% cna hàm f mien huu hi¾u cna hàm f Mé ĐAU Lí chon đe tài Lý thuyet trò chơi m®t bđ phắn cna Toỏn hoc ỳng dung, oc hỡnh thnh tù nhung ý tưóng ve cân bang kinh te, lý thuyet giá tr% cna Edgeworth tù năm 1881, Pareto tù năm 1906 mơ hình kinh te Nash tù núa sau the ký 20 Ngành nghiên cúu tình huong chien thu¾t đoi thn lna chon hành vi khác đe co gang làm toi thieu ton that đưa Lý thuyet trò chơi đưoc phát trien manh tù John Von Neumann hình thúc hóa thòi kỳ trưóc Chien tranh lanh, chn yeu áp dung chien lưoc quân sn, noi tieng nhat khái ni¾m phá hny nhanh muc tiêu cna đ%ch Bat đau tù nhung năm 1970, lý thuyet trò chơi đưoc áp dung nghiên cỳu sn sinh ton cna the giúi đng vắt, sn phát trien cna loài qua chon loc tn nhiên Sau đó, lý thuyet trò chơi đưoc áp dung tr% hoc, đao đúc hoc triet hoc Gan đây, lý thuyet trò chơi thu hút sn ý cna nhà khoa hoc máy tính úng dung cna trí tu¾ nhân tao đieu khien hoc Cơ só tốn hoc cna lý thuyet nhung khơng gian có thú tn đưoc đưa bói Cantor năm 1897, Hausdorff năm 1906 hàm véctơ m®t khơng gian có thú tn thố mãn nhung tính chat nhat đ%nh Ta có the mơ tá lý thuyet trò chơi m®t b® hình thúc: G = N, (Ai)i , ∈N (fi) i∈N đó: (i) N t¾p ngưòi chơi; (ii) i ∈ N , Ai t¾p chien lưoc chơi cna ngưòi chơi thú i, a = N (a1, , aN ) Q Ai chien lưoc chơi cna cu®c chơi; ∈ i=1 N (iii) fi hàm tù Q Ai đen R vói ∀i ∈ N đưoc goi hàm ton that i=1 cna ngưòi chơi Ngày nay, nhieu nhà khoa hoc the giói van muon tìm thêm moi quan h¾ cna tốn vói toán toi ưu hàm đơn tr% hay hàm véctơ, toán cân bang, bat thúc bien phân tna bien phân, Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu m®t so van đe ve tốn cân bang vơ hưóng, tốn cân bang véctơ đa tr%, tù đưa phương pháp tìm điem cân bang trò chơi khơng hop tác vơ hưóng, trò chơi không hop tác véctơ đa tr% úng dung cna lý thuyet trò chơi Nhi¾m nghiên cNu Quy vi¾c tìm điem cân bang cna trò chơi ve viắc tỡm iem bat đng cna ỏnh xa a tr% Qua đó, làm noi b¾t đưoc vai trò cna lý thuyet trò chơi lý thuyet kinh te ngành khoa hoc khác Đoi tưang pham vi nghiên cNu Các toán cân bang vơ hưóng, tốn cân bang véctơ đa tr%, úng dung cho tốn trò chơi khơng hop tác vơ hưóng, khơng hop tác véctơ đa tr% Phương pháp nghiên cNu Nghiên cúu lý thuyet: Thu th¾p tài li¾u, sú dung tính chat cna nón, ánh xa đa tr% m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%, lý thuyet tốn cân bang vơ hưóng, tốn cân bang véctơ đa tr % NhĐng đóng góp mái cúa đe tài Tong hop lý thuyet đe chí sn ton tai cna điem cân bang tốn trò chơi khơng hop tác vơ hưóng khơng hop tác véctơ đa tr% Chương Kien thNc bán Trong toỏn hoc, mđt bi toỏn oc luụn gan vói m®t khơng gian ánh xa tù khơng gian vào khơng gian khác Chính v¾y, vi¾c nghiên cúu tốn hoc, hay tìm lòi giái cho tốn cu the, trưóc het ta phái quan tâm tói khơng gian cna tốn Trong chương này, ta nhac lai nhung khơng gian bán hay g¾p nghiên cúu giái tích hi¾n đai kien thúc liên quan Phan chi tiet chúng minh cho h¾ q có the tham kháo tài liắu so [1], [3], [4] 1.1 Mđt so khụng gian thưàng dùng 1.1.1 Không gian Metric Van đe bán cna khụng gian l khỏi niắm khoỏng cỏch, mđt khụng gian metric l mđt ú cú xỏc %nh "khống cách" giua c¾p phan tú, vói nhung tính chat thơng thưòng cna khống cách hình hoc Đe hieu rõ hơn, ta có khái ni¾m sau: Đ%nh nghĩa 1.1.1.1 Ta goi hop X = cựng vúi mđt ánh xa ρ(x, y) : X × X → R m®t khơng gian metric neu thố mãn: (i) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = ⇔ x = y, (tính đong nhat); (ii) (∀x, y ∈ X) ρ(x, y) = ρ(y, x), (tính đoi xúng); (iii) (∀x, y, z ∈ X) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z)+ρ(z, y), (bat thúc tam giác) Ánh xa ρ(x, y) đưoc goi metric X, so thnc ρ(x, y) goi khoáng cách giua hai phan tú x y Không gian metric đưoc ký hi¾u M = (X, ρ) Ví dn: (i) T¾p M bat kỳ cna t¾p so thnc R, vói khống cách d(x, y) = |x − y| (đ® dài đoan noi x vói y) m®t khơng gian metric (ii) Tong qt hơn, khơng gian n chieu Rn, có the xác đ%nh khoáng cách giua hai điem x = (x0, , xn) y = (y0, , yn) d (x, y) = n (x y )2 i i i=1 Ta thay trờn cựng mđt cú the lna chon nhung metric khác đe có nhung khơng gian metric khác Chang han, t¾p Rk, ngồi metric Euclide, có the xác đ%nh metric sau đây: vói hai phan tú bat kỳ x = (x1, x2, , xk) , y = (y1, y2, , yk) thuđc Rk, ta 1(x, y) = k |xj − yj|, ρ2(x, y) = max |xj − yj| 1≤j≤k j=1 Các h¾ thúc xác đ%nh metric Rk Trong khơng gian có khống cách, ta có the a khỏi niắm dóy hđi tu nh sau: %nh nghĩa 1.1.1.2 Cho không gian metric M = (X, ρ), dãy điem {xn} cna không gian metric M goi h®i tu tói điem x0 cna khơng gian neu (∀s > 0) (∃n0 ∈ N∗) (∀n ≥ n0) lim n→∞ ρ(xn, x0) < s, kí hi¾u xn = x0 hay xn → x Điem x0 goi giói han cna dãy {xn} không gian M Đ%nh nghĩa 1.1.1.3 Cho không gian metric (M, ρ), a ∈ M , so r > Ta goi: T¾p S(a, r) = {x ∈ M : ρ(x, a) < r} hình cau mó tâm a, bán kính r; T¾p Sr(a, r) = {x ∈ M : ρ(x, a) ≤ r} hình cau đóng tâm a, bán kính r Đ%nh nghĩa 1.1.1.4 T¾p M khơng gian metric X đưoc goi b% j∈N Ar r j r j∈ , vói Ar = Ai\ (bi), vói moi j khác i ta , f N có r r r r = Aj , vói moi to hop chien lưoc a vói moi j thu®c N A ta có fj (a ) = fj (a ) M¾nh đe 3.1.15 Cho G = N, , (fi) i∈ N ∈N m®t trò chơi chuan (Ai)i tac, i ngưòi chơi thu®c N bi ∈ Ai chien lưoc b% áp đáo ng¾t cna ngưòi chơi i Goi Gr trò chơi thu đưoc tù G loai bó chien lưoc bi Khi đó, cân bang Nash cna G Gr trùng Chúng minh (i) Lay a = (aj )j∈N m®t NE cna G Tù M¾nh đe 3.1.9, chien lưoc khơng b% áp đáo ng¾t, nên ƒ= bi To hop chien lưoc a có the thu®c Gr Vói moi ngưòi chơi j thu®c N , aj phương án tot nhat đáp lai a−j G, vói moi chien lưoc cna j Gr chien lưoc G nên aj chien lưoc tot nhat đáp lai a−j Gr Nên a cân bang Nash cna Gr (ii) Lay a = (aj )j∈N cân bang Nash cna Gr, a có the ó G Vói moi ngưòi chơi j thu®c N\ {i}, aj phương án tot nhat đáp lai a−j Gr Arj = Aj , nên aj phương án tot nhat đáp lai a−j G Ta thay rang phương án tot nhat đáp lai a−i G Ta có: ∀ci ∈ Ai\ {bi} , fi (ai, a−i) “ fi (ci, a−i) Lai có bi chien lưoc b% áp đáo ng¾t G, nên ton tai ci Ai\ {bi} cho: fi (bi, a−i) < fi (ci, a−i) ™ fi (ai, a−i) Ket ta có: ∀ci ∈ Ai, fi (ai, a−i) “ fi (ci, a−i), phương án tot nhat đáp lai a−i G Nên a cân bang Nash cna G Ta có đieu can chúng minh Q 3.2 Trò chơi không hap tác véctơ đa tr% Đ%nh nghĩa 3.2.1 Cho Xi, i ∈ I Y không gian Hausdorff loi đ%a phương thnc M®t trò chơi khơng hop tác véctơ đa tr% đưoc mơ tá bói G = I, Y i∈I Di, (fi)i ∈ I , đó: (i) I t¾p chí so huu han đưoc goi t¾p ngưòi chơi; (ii) Vói moi i ∈ I, t¾p loi đóng, khác rong Di ⊂ Xi đưoc goi t¾p chien lưoc chơi cna ngưòi chơi i; Q (iii) Đ¾t D = Di Vói moi i ∈ I, ánh xa đa tr% fi : D → Y goi i∈I hàm loi ích cna ngưòi chơi i Đ%nh lý 3.2.2 Neu X khơng gian đ%nh chuan, D t¾p hop loi compac đ%a phương, C, Y đưoc giá thiet Đ%nh lý 2.2.4, G : D × D → 2Y H : D × D → Y hàm thóa mãn đieu ki¾n: (i) ∈ G (x, x) vói moi x ∈ D; (ii) G hàm đơn đi¾u vói G (x, y) compac vói moi x, y ∈ D; (iii) Vói x, y ∈ D co đ%nh, hàm [0, 1] → 2Y đưoc đ%nh nghĩa bói g (t) = G (ty + (1 − t) x, y) (−C) -liên tuc tai t = 0; (iv) Vói x ∈ D co đ%nh hàm G (x, ) : D → 2Y C-loi dưói Cliên tuc dưói D; (v) H (x, x) = vói moi x ∈ D; (vi) Vói y co đ%nh hàm H (., y) : D → Y (−C)-liên tuc D; (vii) Vói x ∈ D co đ%nh, hàm H (x, ) C-loi; (viii) Ton tai a ∈ D cho vói moi dãy {xn} ⊂ D mà "xn" = lim n →∞ +∞, m®t đieu ki¾n sau thóa mãn: (1) Ton tai n0 > đe G (xn0 , a) + H (xn0 , a) ⊆ −C; (2) Ton tai n0 > y ∈ D vói "y − a" < "xn0 − a" đe G (xn0 , y) + H (xn0 , y) ⊆ −C; (3) Ton tai n0 > y ∈ D đe G (y, xn) − H (xn, y) ⊆ C vói moi n “ n0, ton tai x ∈ D đe G (x, y) + H (x, y) ⊆ − int C vói moi y ∈ D Chúng minh Ta kí hi¾u Dn = {x ∈ D| "x − a" ™ n} vói moi n = 1, 2, , Dn t¾p loi, compac, khác rong X Sú dung Đ%nh lý 2.2.4 Nh¾n xét ó trên, ta suy ton tai xn ∈ Dn, vói n = 1, 2, , cho G (xn, y) + H (xn, y) ⊆ − int C vói moi y ∈ Dn (3.1) Neu ton tai so n mà "xn − a" ™ n, xn ∈ CoreDDn Đ%nh nghĩa hàm Φ : D → 2Y bói: Φ (x) = G (xn, x) + H (xn, x) vói x ∈ D (3.2) Φ C loi dưói Φ (xn) = G (xn, xn) + H (xn, xn) ⊆ −C Hơn nua, theo (3.1) Φ (x) ⊆ − int C vói moi x ∈ Dn Theo Bo đe 2.2.7 Φ (x) ⊆ − int C vói moi x ∈ D Đieu có nghĩa xn nghi¾m cna tốn (WEP,C) Như v¾y, ta chí can xét trưòng hop "xn − a" = n vói moi n “ Trưóc het, ta giá sú rang đieu ki¾n (1) đúng, vói dãy {xn} ton tai n0 thóa mãn (1) Ta chí rang xn0 nghi¾m cna tốn (WEP,C) De dàng thay rang xn0 nghi¾m cna tốn Dn0 Lay x ∈ D\Dn0 bat kỳ Ton tai so dương t ∈ (0, 1] cho z = ta + (1 − t) x ∈ Dn0 Ta có G (xn0 , ta + (1 − t) x) + H (xn0 , ta + (1 − t) x) ⊆ t (G (xn0 , a) + H (xn0 , a)) + (1 − t) G (xn0 , x) + H (xn0 , x) − C Vì G (xn0 , a) + H (xn0 , a) ⊆ −C, nên Neu G (xn0 , ta + (1 − t) x) + H (xn0 , ta + (1 − t) x) ⊆ (1 − t) G (xn0 , x) + H (xn0 , x) − C G (xn0 , x) + H (xn0 , x) ⊆ − int C, G (xn0 , ta + (1 − t) x) + H (xn0 , ta + (1 − t) x) ⊆ − int C, y G (xn0 , z) + H (xn0 , z) ⊆ − int C Đieu trái vói giá thiet xn0 nghi¾m cna tốn (WEP,C) Dn0 Vì v¾y ta suy G (xn0 , x) + H (xn0 , x) ƒ⊆ − int C vói moi x ∈ D\Dn0 V¾ y G (xn0 , x) + H (xn0 , x) ƒ⊆ − int C vói moi x ∈ D Túc xn0 nghi¾m cna tốn (WEP,C) D Tiep theo, giá sú đieu ki¾n (2) Vói dãy {xn} ton tai n0 > y ∈ D vói "y − a" < "xn0 − a" cho G (xn0 , y) + H (xn0 , y) ⊆ −C (3.3) Ta đ%nh nghĩa hàm Φ (3.2) Do "y − a" < n nên y ∈ CoreDDn0 theo (3.3) Φ (y) ⊆ −C Hơn nua, theo (3.10) Φ (y) ƒ⊆ − int C vói moi x ∈ Dn0 Tù đó, áp dung Bo đe 2.2.7 ta khang đ%nh Φ (y) ƒ⊆ − int C vói moi x ∈ D Đieu có nghĩa G (xn0 , x) + H (xn0 , x) ƒ⊆ − int C vơi moi x ∈ D Như v¾y xn0 nghi¾m cna toán (WEP,C) D Cuoi cùng, giá sú đieu ki¾n (3) Ta chúng minh đieu ki¾n (2) thóa mãn Th¾t v¾y, giá sú ton tai n0 > y ∈ D cho G (y, xn) + H (xn, y) ⊆ C, vói n “ n0 Do tính đơn đi¾u cna G nên G (xn, y) + G (y, xn) ⊂ −C Tù G (xn, y) + H (xn, y) ⊂ H (xn, y) − G (y, xn) − C ⊂ −C Mà vói n đn lón "y − a" < "xn − a" Đieu có nghĩa đieu ki¾n (2) thóa mãn V¾y đ%nh lý đưoc chúng minh Q H¾ 3.2.3 Cho X không gian Banach phán xa, D ⊂ X t¾p hop loi, đóng, khác rong, C, Y đưoc cho Đ%nh lý 2.2.4, G : D × D → 2Y H : D × D → Y hàm thóa mãn đieu ki¾n: (i) ∈ G (x, x) vói moi x ∈ D; (ii) G hàm đơn đi¾u vói G (x, y) compac vói moi x, y ∈ D; (iii) Vói x, y ∈ D co đ%nh hàm g: [0, 1] → 2Y đưoc đ%nh nghĩa bói g (t) = G (ty + (1 − t) x, y) (−C) -liên tuc tai t = 0; (iv) Vói x ∈ D co đ%nh hàm G (x, ) : D → 2Y C-loi dưói Cliên tuc dưói yeu D; (v) H (x, x) = vói moi x ∈ D; (vi) Vói y co đ%nh, hàm H (., y) : D → Y C-liên tuc yeu D; "xn" = (vii) Vói x ∈ D co đ%nh, hàm H (x, ) C-loi; (viii) Ton tai a ∈ D cho vói moi dãy {xn} ⊂ D mà lim n →∞ +∞ đe m®t đieu ki¾n (1) - (3) cna Đ%nh lý 2.2.4 đưoc thóa mãn, ton tai x ∈ D đe G (x, y) + H (x, y) ƒ⊆ − int C vói moi y ∈ D Chúng minh H¾ q đưoc suy trnc tiep tù Đ%nh lý 2.2.4 Q H¾ 3.2.4 Cho X không gian Banach phán xa, D ⊂ X t¾p loi, đóng Cho Y khơng gian Banach C nón loi, đóng, nhon Y vói nón cnc C r nón đa di¾n nhon Cho G, H ánh xa thóa mãn gia thiet tù (i) đen (vii) Đ%nh lý 2.2.4 vói tính (−C)liên tuc cna H (., y) giá thiet (vi) đưoc thay bang tính (−C)liên tuc yeu Giá thiet G (x, y) − C loi vói moi x, y ∈ D giá thiet rang ton tai a ∈ D cho vói moi dãy {xn} mà lim "xn" = +∞ m®t n →∞ đieu ki¾n (1), (2), (3) cna Đ%nh lý 2.2.4 đưoc thóa mãn Khi đó, ton tai x ∈ D cho G (x, y) + H (x, y) ƒ⊆ − int C vói moi y ∈ D Chúng minh Vói x co đ%nh tù giá thiet (iv) cna Đ%nh lý 2.2.4 suy G (x, ) C-loi dưói C-liên tuc dưói Suy G (x, ) C-liên tuc dưói yeu D Ket hop giá thiet cna H¾ q 3.2.3 đưoc thóa mãn V¾y h¾ đưoc chúng minh Q M¾nh đe 3.2.5 Neu Y khơng gian Banach, C nón loi, đóng, nhon Y , nón cnc C r cna C nón đa di¾n nhon vói moi i ∈ I đieu ki¾n sau thóa mãn: (i) fi C-liên tuc (−C)-liên tuc; i (ii) Hàm fi x , C-loi, fi (., yi) C-lõm hàm fi (.) C-loi; (iii) Ton tai t¾p loi, khác rong, compac yeu Ki ∈ Di, i ∈ I x ∈ K\CoreDK cho vói moi K= Y Ki , i∈I ta có the tìm đưoc điem a ∈ CoreDK đe fi xi, − fi (x) ∈ −C, i∈I ton tai cân bang Nash yeu Hơn nua, neu C thóa mãn đieu ki¾n (∗), ton tai điem cân bang Nash Chúng minh Đ¾t X= Y X i i∈I Ta đ%nh nghĩa hàm G, H : D × D → Y sau: G (x, y) = 0, H (x, y) = fi xi, yi − fi (x) i∈I vói moi x = (xi)i∈I , y = (yi)i∈I ∈ D Sú dung giá thiet ta suy H (., y) (−C)-lõm Nên H (., y) (−C)-liên tuc yeu D Cho nên, G, H thóa mãn giá thiet cna Đ%nh lý 2.2.4 tôpô yeu cna X V¾y theo đ%nh lý ton tai x = (xi)i∈I cho G (x, y) + H (x, y) ∈/ − int C (∀y ∈ D) , túc −i fi x , yi − fi (x) ∈/ − int C ∀y = (yi) i∈ I ∈D , i∈I vói moi i ∈ I, yi ∈ Di tùy ý Thay y = (xi, yi) vào h¾ thúc ta suy −i fi x , yi − fi (x) ∈/ − int C V¾y x điem cân bang Nash yeu Phan lai suy tù ket tương úng cna Đ%nh lý 2.2.4 Q M¾nh đe 3.2.6 Cho Xi, i ∈ I Y không gian đ%nh chuan, Di ⊆ Xi, i ∈ I t¾p loi, khác rong, compac đ%a phương, C nón loi, đóng, nhon Y Vói moi i ∈ I, fi : D → Y thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) fi C-liên tuc (−C)-liên tuc; (ii) Các hàm fi xi, C-loi; (iii) Giá sú ton tai điem a = (ai)i∈I ∈ D cho vói moi dãy j∈ , I x = D mà lim "xn" = +∞, n , ⊂ →+∞ x(j,n) m®t đieu ki¾n sau đúng: (1) Ton tai n0 > cho ) ∈ −C; − (xn fi (j,n0), fi i x i∈I (2) Ton tai n0 > y = (yi)i∈I ∈ D vói "y − a" < "xn0 " cho fi (j,n0), yi − (xn ) ∈ −C; xi fi i∈I (3) Ton tai n0 > y = (yi)i∈I ∈ D cho fi (j,n), yi − (x ) ∈ −C n xi fi i∈I Khi đó, ton tai điem cân bang Nash yeu Hơn nua, neu C thóa mãn đieu ki¾n (∗), ton tai điem cân bang Nash Q Chúng minh Đ¾t X = Xi, đ%nh nghĩa hàm G, H : D × D → Y sau i∈I G (x, y) = 0, H (x, y) = i fi x , yi − fi (x) , vói moi x = (xi) i∈ I ,y= (yi) i∈ I ∈ D i∈I Tù Đ%nh lý 3.3.2 ta có ket lu¾n Q M¾nh đe 3.2.7 Cho Xi, i ∈ I không gian Banach phán xa, Di ⊂ Xi, i ∈ I t¾p loi, đóng, khác rong, Y khơng gian Banach C nón loi, đóng, nhon Y nón cnc C r cna C nón đa di¾n nhon Giá sú vói moi i ∈ I, hàm fi : D → Y thóa mãn giá thiet (i), (ii) cna Mắnh e 3.2.5 v mđt cỏc giỏ thiet (1), (2), (3) cna M¾nh đe 3.2.6 Khi đó, ton tai điem cân bang Nash yeu Hơn nua, neu C thóa mãn đieu ki¾n (∗) ton tai cân bang Nash Q Chúng minh Bang cách đ¾t X = Xi đ%nh nghĩa hàm G, H : i∈I D ì D Y nh Mắnh e 3.3.2 ú trên, ta suy H (., y) (−C)-liên tuc yeu D Sú dung H¾ 3.2.2 ta suy ket Q KET LU¾N Lu¾n văn trình bày kien thúc bán ve lý thuyet trò chơi Cu the: Chương 1: Nhac lai khơng gian thưòng dùng, khái ni¾m tính chat cna nón hàm véctơ, m®t so đ%nh lý điem bat đ®ng Chương 2: Trình bày m®t so khái ni¾m, tính chat ve tốn cân bang vơ hưóng tốn cân bang véctơ đa tr% Chương 3: Trình bày ve trò chơi khơng hop tác vơ hưóng trò chơi khơng hop tác véctơ đa tr% Măc dù rat co gang, thòi gian bán thân han che, nên lu¾n văn cna tơi khơng tránh khói thieu sót Tơi rat mong đưoc thay ban đoc đóng góp ý kien Tài li¾u tham kháo Tieng Vi¾t: [1] Pham Quỳnh Anh (2006), Lu¾n văn thac sy, Điem bat đ®ng úng dnng, Đai hoc Thái Nguyên - Đai hoc Sư pham [2] Đồn Văn Soan (2006), Lu¾n văn thac sy, Đ%nh lý điem bat cân bang Blum - Oettli m®t so mó r®ng, Đai hoc Thái Nguyên - Đai hoc Sư pham [3] Nguyen Xuân Tan - Nguyen Bá Minh (2006), M®t so van đe lý thuyet véctơ đa tr%, NXB Giáo duc [4] Hoàng Tuy (1979), Giái tích hi¾n đai, Vi¾n Tốn hoc, Hà N®i Tieng Anh: [5] Bierman, H S and L Fernandez (1998), Game Theory with economic applications, Addison-Wesley [6] Blum E and Oettli W (1993), From optimization and varia- tional innequalities to equilibrium problems, The Math Student 64, 1-23 [7] Blum E and Oettli W., Variational principles for equilibrium problems, parametric optimization and related topies III (to appear) [8] Brouwder F E (1962), "The fixed point theory of multivalued mappinbs in topological vector spaces", Math Ann., (117), 283- 301 [9] Fan K (1961), "A generalization of Tychonoffs fixed point theorem", Math Ann., (142), 305-310 [10] Fan K (1972), A minimax inequality and application, in Inequalities III, O Shisha (Ed), Academic Press, New-York, pp 33 [11] Minty G-J (1978), On variational inequalities for monotone operators, I Avances in Math 30, 1-7 [12] Nash, John (1950), Equilibrium points in n-person games, Proceedings of the National Academy of the USA [13] Tan N X and P N Tinh (1998), "On the existence of equilibrium points of vector functions", Numer Funct Anal and Opt., (19), 141-156 ... pháp tìm điem cân bang trò chơi khơng hop tác vơ hưóng, trò chơi không hop tác véctơ đa tr% úng dung cna lý thuyet trò chơi Nhi¾m nghiên cNu Quy vi¾c tìm điem cân bang cna trò chơi ve viắc tỡm iem... tá lý thuyet trò chơi m®t b® hình thúc: G = N, (Ai)i , ∈N (fi) i∈N đó: (i) N t¾p ngưòi chơi; (ii) i ∈ N , Ai t¾p chien lưoc chơi cna ngưòi chơi thú i, a = N (a1, , aN ) Q Ai chien lưoc chơi. .. b¾t đưoc vai trò cna lý thuyet trò chơi lý thuyet kinh te ngành khoa hoc khác Đoi tưang pham vi nghiên cNu Các toán cân bang vơ hưóng, tốn cân bang véctơ đa tr%, úng dung cho tốn trò chơi khơng