vài bài toán bất đẳng thức hay

Cm BDT nhanh, dễ hiểu, các BDT thi vào lớp 10 chuyên.Tuyển tập Bất đẳng thức với khoảng bốn trăm bài toán bất đẳng thức chọn lọc được gửi tới từ các bạn trẻ và thầy cô yêu toán trên mọi miền tổ quốc. Ở đó bao gồm các bài bất đẳng thức mới sáng tạo, các ... Điều đó tạo nên sự hấp dẫn, tính cập nhật và thời đại của tài liệu này. Hy vọng nó sẽ đem đến cho mọi người một trải ..

1 Vài tốn Bất đẳng thức hay khó – Bài 1: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: 1 ab bc ac      a b c c  ab a  bc b  ac (Diễn đàn K2pi) Lời giải: Giâ sử b  max a; b; c 1 ab  1 bc  1 ac  Bất đẳng thức tương đương       0  a c  ab   c a  bc   b b  ac   a  c   a  c  bc  ab  ac    b  c  b  a   Hay   ac a2  bc c  ab   b b2  ac  (đúng b  max a; b; c ) Dấu đẳng thức xây a  b  c  Bài 2: Cho a , b , c số nguyên dương tùy ý thỏa mãn a2  b2  c 1  ab  Chứng minh rằng: ac (Diễn đàn K2pi) Lời giải:   Giâ sử a  c , suy a2  c  b ac  b   ac  b   Mà ac b số nguyên dương nên b  ac  , suy b b  ac  b  ac   Vậy a2  c  b ac2  b   ac2 hay c  a2  ac  Do a , c số nguyên dương nên c  a2  ac  c 1  a   a2  Vậy, điều giâ sử sai Ta có điều phâi chứng minh Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó –  Bài 3: Cho a , b số thực dương tùy ý thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: aabb  3ab  (Vasile Cirtoaje) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng, ta có a b a b  a b  aa b ab b ab ab , a  b    a b  a b  ab ab  ab ab a b a  b  2a b    ab  2 2  a2  b2  a b   a b   Do vậy, aabb  3ab    ab   3ab   ab  ab  1  Dấu đẳng thức xây a  b   Bài 4: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a       b b  c a  c  a  b  c   a b  b 2c  a 2c 2 (Diễn đàn K2pi) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2ab  4a2b2 a2  b2 Áp dụng tương tự ta  ab  bc  ac   4a2b2 4b c 4a2 c   , a2  b2 b2  c a2  c Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó – a  b  c  a2  b2  c  4a2b2 4b c 4a2c   a2  b2 b2  c a2  c Vậy, ta cần chứng minh a  4a2b2 4b c 4a 2c   b2 b2  c a2  c  a2  b2  c  2  2  2   a2b2  b2c  a 2c a b b c a c       Tương đương với a2b2 a2  b2     b2 c b2  c    a2c a2  c    (đúng) a  b  Dấu đẳng thức xây a  b  c   hoán vị c    Bài 5: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a b c ab bc     1 b c a bc ab (Belarusia MO 1998) Lời giải: Bất đẳng thức tương đương a a  b b  c c  b  b  b  c    c  b  c    a  a  b   a  b  1,       ac b2 bc a  2b    b b  c  c b  c  a  a  b a  b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có ac b2 a  c b2  a  b  c       bb  c  c b  c  c b  c   b a  c a  b Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó – ab  c Vậy, ta cần chứng minh c ba  c bc   a  2b   (đúng) a ac Dấu đẳng thức xây a  b  c  Bài 6: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a3 b3 c3    a3  abc  b3 b3  abc  c a3  abc  c (Nguyễn Văn Thạch) Lời giải: Nhân câ vế có bất đẳng thức cho a3  b3  c  abc để ý  a a3  b3  c  abc a3  abc  b3  a 3c  a3 , 3 a  abc  b ta a 3c a 3b b 3c    abc , a3  abc  b3 b3  abc  c a3  abc  c  a2c b a3  abc  b3    a 2b2 c b3  abc  c    b2c a a3  abc  c   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schawrz, ta  a2c   b a3  abc  b3   Mà   ac    bc  a 2     bc a3  abc  b3          ac  2   abc  b3 Vậy ta có điều phâi chứng minh Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó – Dấu đẳng thức xây a  b  c  Bài 7: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a4 b4 c4 abc    3 3 3 a b b c a c (VQBC – Phương pháp Cauchy-Schwarz chứng minh BĐT) Lời giải: Nhân câ vế có bất đẳng thức cho a3  b3  c , bất đẳng thức viết dạng    a  b  c  a3  b3  c a4c a b c  3  a b 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz AM-GM, ta có a ac  b3 a b  b c  a c   c  a  b   a b  c   ba 2 2 3 2 3 c    a 2b2    a b3  c  Vậy, ta suy a   a4c   a2b2   a b3  c 3 b Như ta cần chứng minh   4 a  4 a b   a b  c    a  tương đương với  a    b4  4a2b2  3ab a2  b2   hay   a a  ,   ab  b2  a  b   (đúng) Dấu đẳng thức xây a  b  c  Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó – Bài 8: Cho a , b , c số thực dương tùy ý thỏa mãn abc  Chứng minh rằng:  1  18      a  b  c  a 1 b 1 c 1 (Diễn đàn Mathscope) Lời giải: Bất đẳng thức tương đương  a2 b2 c2  18       a  b  c   54  a  bc b  ac c  ab  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a  b  c a2 b2 c2    2 2 a  bc b  ac c  ab a  b  c  ab  bc  ac Ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM để có 18  a  b  c   a  b  c  18  a  b  c  a2  b2  c  ab  bc  ac a2  b2  c  ab  bc  ac Vậy ta cần chứng minh a  b  c    81 2 a  b  c  ab  bc  ac Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta a  b  c      27 a2  b2  c  ab  bc  ac   81abc a2  b2  c  a  b  c  Suy a  b  c    81 a2  b2  c    81 2 a  b  c  ab  bc  ac Vậy ta có điều phâi chứng minh Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài tốn Bất đẳng thức hay khó – Dấu đẳng thức xây a  b  c  Bài 9: Cho a , b , c số thực dương tùy ý thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1    5a  ab  bc 5b  bc  ac 5c  ac  ab (Diễn đàn Mathscope) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 4a  b  c b  c 1     2 5a  ab  bc 5b  bc  ac 5c  ac  ab  b  c  5a2  ab  bc   b  c  5a2  ab  bc 2      Vậy ta cần chứng minh 28  a  b  c   3  b  c  5a2  ab  bc , 2 28 a4  58 a3b  85 ab3  156 a2b2  15abc  a  b  c  Ta có đánh giá sau 58 a3b  58 ab3  116 a2b2 , 27  a4  27  ab3  54 a2b2 , a  14 a2b2  15abc  a  b  c  Cộng vế theo vế đánh giá trên, ta có điều phâi chứng minh Dấu đẳng thức xây a  b  c  Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :)))  Vài tốn Bất đẳng thức hay khó –  Bài 10: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: bc ac ab    2a  bc 2b  ac 2c  ab a  b  c (Diễn đàn Mathscope) Lời giải: Nhân câ vế cûa bất đẳng thức cho  a  b  c  để ý  b  c  a  b  c  2a2  bc  a  2b  2c   2a2  bc  a2 , 2a2  bc nên ta cần chứng minh   a  2b  2c  2a2  bc  24   a2 2a2  bc Ta chứng minh bất đẳng thức sau a2 b2 c2    1, 2a2  bc 2b2  ac 2c  ab  a  2b  2c    a  b  2c    a  2b  c  2a2  bc * Chứng minh bất đẳng thức thứ 2b2  ac 2c  ab  25 a2 b2 c2    2a2  bc 2b  ac 2c  ab Ta có bất đẳng thức tươn đương bc ac ab   1 2a  bc 2b  ac 2c  ab Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài tốn Bất đẳng thức hay khó –  ab  bc  ac  bc ac ab    1 2a  bc 2b  ac 2c  ab 2abc  a  b  c   a 2b  b 2c  a 2c 2  a  2b  2c    a  b  2c    a  2b  c  * Chứng minh bất đẳng thức thứ hai Giâ sử c  a; b; c Đặt t  2a2  bc 2b2  ac 2c  ab  25 bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có  a  b  c    a  b  2c  2a2  bc 2b2  ac   b  a  2b  2c   a  2a  b  2c  4t  ab  2tc   2 2a b  3tabc  4t 3c b2 2a2  bc  a2 2b2  ac     Chú ý tc  ab  t nên     3t  2tc 2a2b2  3tabc  4t 3c  2t  3t 3c  4t 3c  t  ab 2t  2ab  3tc  2t  3t 3c  4t 3c , suy  a  b  c    a  b  2c  2a2  bc Mặt khác  a  2b  c  2c  ab 2b2  ac  4t  c     4t  ab  2tc 2t  3t 3c  4t 3c    2t  3t 3c  4t 3c   3t  2c  2t  tc t  2c Vậy, ta suy  a  2b  2c    a  b  2c    a  2b  c  2a2  bc 2b2  ac 2c  ab   3t  2c  2t  tc  4t  c   t  2c  c  31t  16c  t  c   t  2t  c  t  2c Ta có điều phâi chứng minh Dấu đẳng thức xây a  b  c   Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :)))   25  25 10 Vài tốn Bất đẳng thức hay khó – Chứng minh rằng: Bài 11: Cho a , b số thực không âm tùy ý thỏa mãn a  b  1 a 1 b 1 a  b   1 1 a 1 b 1 a  b (Diễn đàn Mathscope) Lời giải: Bình phương hai vế bất đẳng thức trên, ta có bất đẳng thức tương đương 1  a 1  b    a  b   1  a 1  b   a  b 1 a 1 b  2 1 a 1 b 1 a  b , 1 a  b   ab   a  b  ab 2  a  b  ab 1 a  b  2  a  b  ab  a  b 1 a  b Đặt u  ab v  a  b Khi ta cần chứng minh 1  u 1 v  u 2 1 v  u 1 v  2 , 1 v  u 1 v 1 v tương đương  1 v  u u  v 1 u  v 1 v 1 v      ,  u  v  v   v   v  u    v  u  v   1 v  u u  v 2uv 1 v      1  v  u1  v  1  v 1  v  u   v  u  v  Nếu u  bất đẳng thức hiển nhiên Xét u  , ta có bất đẳng thức tương đương 2v 1 v  u 1 v   2v 1 v  u 1 v Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) 11 Vài tốn Bất đẳng thức hay khó – Ta có đánh giá sau 2v 1 v 1 v  u 1 v (đúng)  2   2v 1 v 1 v  u 1 v Ta có điều phâi chứng minh  Bài 12: Cho a1 , a2 , , a100 số thực thỏa mãn a12  a22   a100   a1  a2   a100   101 Chứng minh rằng: a1  10 (Rumani 2004) Lời giải: Giâ sử a1  10 hay a12  100 Từ giâ thiết ta suy 2 101  a12  a22   a100   a1  a2   a100   100  a22   a100   a1  a2   a100  , 2 a22   a100   a1  a2   a100   Ta có a1   a1  a2   a100    a2   a100  , suy 2  a12   a1  a2   a100   a2   a100   100  a1  a2   a100   a22   a100  100   Vậy, điều giâ sử sai Ta có điều phâi chứng minh  Link facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) ...2 Vài tốn Bất đẳng thức hay khó –  Bài 3: Cho a , b số thực dương tùy ý thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng: aabb  3ab  (Vasile Cirtoaje) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM suy rộng,... https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó – ab  c Vậy, ta cần chứng minh c ba  c bc   a  2b   (đúng) a ac Dấu đẳng thức xây a  b  c  Bài 6: Cho a , b , c số thực... facebook: https://www.facebook.com/Nguyen.Duc.Thang.Ca.Mau Xct :))) Vài toán Bất đẳng thức hay khó – Dấu đẳng thức xây a  b  c  Bài 7: Cho a , b , c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a4 b4