click vào để :: Trường THCS Trần Văn Ơn :: | Tin tức | Dạy và Học | Toán | Tham khảo môn Toán

Lời giải ADMC cân A (CDM = DCM = 15°) = DM = MC va DMC Mặt khéc c6: ADM = ADC - GDM BCM = BCD Xét AADM va ABCM cé:AD - DCM = 75° = 150° A B = 75° = BC (ABCD hình vng), ADM = BCM (=75°); DM = MC Do dé AADM = ABCM (c.g.c) > AM = BM = AABM can tai M Như để chứng minh tam giác ABM đều, cần chứng minh thêm AM = AB BM = AM góc tam gidc ABM bang 60° Dat AB = BC = CD = DA=a Cách, 1: Giả sử AABM không déu suy AM > a hay AM a AABM có AB < AM = BM = ADB = ACB = sảAB < MAB = AB > AMB M< 60° AAM cé AD B < AM = AMD < ADM = 75° ABMC có BC < BM = BMC < BCM = 75° Tu dé suy ra: AMB + BMC + CMD + DMA < 60° + 7ð? ¿ 150 + 7õ2 = 360° (vơ lí) : AM = BM < a hợp 2ờng Trư AABM có AB > AM = BM => AMB > MAB = ABM = AMB > 600 AAM có AD >D AM = AMD > ADM = 75° ABMC có BC > BM = BMC > BCM = 75° Từ d6 suy ra: AMB + BMC + CMD +DMA > 60° + 75° + 150°+ 75° = 360° (vơ lí) Điều giả sử sai Do AABM tam giác Cách 2: Giả sử AABM không Suy AMB > 60° hay AMB Trường hợp 1: AMB > 60°= MAB = ABM < 60° Ta có: AMB = AMD + GMD + BMC = BMC + DMA = 360° = = (360° - CMD — AMB) = AMD = BMC < 75° AAMB co ABM < AMB > AM AMD = AM> AD =a Từ (1) (2) suy điều vơ lí ! Trường hợp 2: AMB Ta có AMD = BMC < 60°= MAB >600 = = (360° - CMD — AMB)> AAMB c6 ABM > AMB > AM>AB=.a AAMD có ADM < AMD > AM ADM’ = AMD = (180° _ DAM') = 75° = MDC’ = 15°=> M' thuoc tia DM tia CM Chứng minh tương tự ta có M'CD = 15°=> M’ thuéc AABM Từ có M' giao điểm hai tia DM CM > M' =M = Ké AH | DM tai H Goi Mr điểm đối xứng D qua H, suy ADAM’ can tai A ; = 30° ADAM’ cén tai A cé ADM’ = 75°=> DAM’ B A Cách -> WAB = 600 Tam giác M'AB có:M'A = AB (=AD) va M’AB = 60° Suy AABM' => ABM’ M = 60° va BM’ = a Cc D AM'BO cân B (do BM' = BC = a) va M’BC = 90°- ABM’ = 30° tia CM Suy BCM’ = BMC’ = (180° — 30°) = 75° suy M’CD = 15° = M' thu6c Vay M’ la giao diém cia hai tia DM va CM suy M = M= Cách õ Vẽ đường tròn (A, a) cắt DM M' (M' AAMB A D) z B Ta có DC L AD suy DC tiếp tuyến đường tròn (A) = DAM' =2MDC = 30° M’AB = 60° => AABM’ déu (AM ' = AB =a va M’AB = 60°) — BM’ = a= M' « (B, a) va M’BC = 90° ABM’ = 30° /M M CD L BG suy CD tiếp tuyến (B, a) , e Suy MDC = s MBC = 1B° = M' e tia CM =M = AAMB Vậy M' giao diém cia hai tia DM va CM suy M' B A Cách 6: Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng CD có chứa điểm A, dựng tam giác DEC cân tai M) Ta có: ED = EC (ADEC déu); MD = MC (ADMC trực trung đường Suy đường thẳng qua E M đoạn thẳng CD = EM DC ma DC AD>EM/ AD = Tứ giác ADME hình thang AADE Cc D cé AD = DE (=DC) "B A > AADE can = DAE = ABD = 5180" - ADE) = 30° - 60°° mà ẤDE = 90°— EDC = 90 = DAE = (180° — 30°) = 75° M Ta có ADM = 75° => ADM = DAE =a= AB Do ADME hình thang cân => AM = DE Do AAMB tam giác Cách 7: Trên nửa mặt phẳng có bờ dường thẳng CD khơng chứa điểm A, dựng tam giác DEC Ta có: ADME = ACME (c.c.c) (do DM = MC, DE = EC, ME chung) = DME = CME = DMC = 75° ADEM cé6 MDE = MDC + CDE = 15° + 60°= 75° => MDE = DME = ADEM can tai E > DE = ME=a Mặt khác AADM = AEDM (c.g.c) (do AD = DE = a,ADM = MDE = 75°, DM chung) => AM = ME = a = AB Do vay AABM tam giác Cách 8: Trên nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B, dựng tam giác AND Ta có ADNC cân D (DN = DC = AD) va NDC =90°- AND = 90° — 60°= 30° => DCN = DNG = (180° - NDC) = (180° ~ 309) = 75° Suy NCB = 90°— NCD = 90° — 75° = 15° Chứng minh tương tự có NBC Xét ABNC ADMC có: SAML Sexy „ ÂMAI BLBN _ gq _ pc = 15° a), NCB = MCD ( BM = DN = a Do vay AABM tam giác Cách 9: Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa C, dựng tam giác BND Ta c6 ABCN = ADCN (c.c.c) (do BC = CD, BN = DN, CN (chung)) = BNC = DNC = = BND = = 60° = 30° A B Ta lại có: CDN = BDN - BDC = 60°- 45° = 15° => CDN = DCM (= 15°) > MC // DN = MCND hình thang Do MDN = MDC + GDN = 15° + 15° = 30° Do MCND hình thang cân = MD = CN D Ta có: ABDM = ABNC (c c-g‹c) (do BD= BN, BDM = BNC= 15°, DM = CN) > BM=DC Vậy AABM Cách = Cc N =a tam giác 10: Trên nửa mặt phẳng bờ AB hình vng ABEF tam giác ABN không chứa C vẽ F NFE = 15° F Ta c6: AAFN can tai A (AN = AF = a) FAN = FAB - NAB = 90° - 60° = 30° = AFN = FNA = = (180° 30°) = 75° Tuong tu cé NEF = 15° AFNE = ADMC (g.c.g) (Vi FNE= MDC, EF = DC ( FN= DM Xét AFAN va DAM cé: FA= DM, AFN = ADM (= 75°), FN = DM Do dé AFAN = ADAM(c.g.c) > AM = AN =a N E l Do AAMB tam giác Ngồi cịn tìm số cách A B ‘ F chứng minh tương tự sau: Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ đường thẳng BC dựng hình vng BCEF tam giác BCN tam giác BNE tam giác CEN (Xem hình vẽ) A B D D A d b C N M D Cc E B F N C E Cách 11: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa A, dựng tam giác déu DMI Ta có: ADI = ÃDC - IDM - MDE = 90° ~ 600 ~ 189 = 189 Xét AADI va ACDM A B D C cé: AD = DC, ADI = CDM, DI = DM (ADMI déu) Do AADI = ACDM (c.g.c) > AID = DMC = 150° Do dé: AIM = 360°-— AID — DIM = 360° — 150° — 60° =150° Suy AAID = AAIM (c.g.c) (Do ID = IM, AID = AIM = 150°, AT 1a canh chung) = AM = AD = a Ti có AABM Cách 12: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa A dựng tam giác DMI Tacé: IMC = 360°- DMI - DMC = 360°- 60°- 150°= 150°, B AIMC = ADMC (c.g.c) (IM = DM, IMC = DMC, MC (chung)) > IC = DC =a Ma AADM = ACDI (c.g.c) (do AD = CD, ADM = IDC (= 75°), DM = DI) I Suy AM = CI = a Từ có AABM Cách 13: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa A D Cc A B dung hinh vuéng DMEF Và AFE = AFD - DFE= DMC - DFE = 150 - 902 = 609 Suy AAEF (do AF = FE AFE = 609) = AE = EF = EM = AF va AEF = 60° => AEM = QEF + FEM = 60° + 90° = 150° Ta cé AAME = AADF (c.g.c) (do AE = AF, AEM = AEF + AFD = 150°, EM = FD) => AM = AD = a Do dé AABM tam giác mỹ ø D = a Xét AADF ACDM có: AD = DC, ADF = CDM (=15°), DF = DM Do AADF = ACDM (c.g.c) = AF = MC = DM = EF nu san eee Cách 14: Trên nửa mặt phẳng bờ DM có chứa C dựng hình vng DMEF Ta có : CME = DMC = DME = 150° - 90° = 60° = ACME tam giác (MC = ME (= MD), CME = 60°) A l B => CE = CM va MEC = 60= FEC = FEM + MEC = 150° Ta có: AFCE = ADCM (c.g.c) (do FE = DM, FEC = DMC Ta có : AADM = ACDF (c.g.c) nh = 150°, EC =CM)>FC=DC=a =, a pes D (do AD = DC, ADM = GDF = 90°- MDC = 75°, DM = DF) | Suy AM = CF = a Do AABM tam giác Cách 1ã: Gọi E giao điểm tia DM cạnh BC Ặ by F điểm đối xứng E qua C; H chân đường vng góc hạ từ F dén DE Ta có: ADEF cân D (DC vừa đường cao, vừa đường Sane tuyén) = DF = DE va EDF = 2EDC = 2.15° = 30° đỗ AMEC can tai M(MEC = 90°- MDC = 75° = MCE) A B => ME = MC = MD ADHF 1a nita tam gidc déu (DHF = 90° va HDF = 30°) H wv => HF = [DF = [DE = ME = MC li = DC.EC= ME.MC = BC.EC = ME.MC> : BC _ ME MC z = "A Ta c6 Spor = {DC.EF = + FH.DE m © CE Ta có ABCM AMEC (cg.e) (do CC = ME va BGM = MEC = 75°) MC CE = BMC = MCE = 75°= ABMC cân B => BM Vay AABM tam giác Cách 16: Dựng điểm PB, F, H cách 15 Vẽ AK L DM K Ta có: AADK ADEC (g.g) = BC =a A B (do AKD = DCE = 90°, ADE= DEC =i" AD _ DE > DK ~ EC -› AD.EC= DC.EC = HE DE = = DE Tu d6 suy DK.DE = = DE? > DK = DE = = DM = DK = KM D kẽ: C > Do ADAM cân A (AK vừa đường cao vừa đường trung tuyến) = AM = AD = a Vậy AABM tam giác Cách 17: Gọi B giao điểm tia DM BC A Vé EI | BD tai I Dat MD = MC = ME =x Ta cé: DIE = 90°, IDE = BDC — EDC = 45°— 15° = 30° = IB = 4DE=x;DI= “DE = 8x ABIE tam giác vuông cân I (do BIE = 909, IBE = 45°) = BI = IE =x, BE = x2.IE= v2x B I = —(2BD? + 2BE?— DE”) (ban doc tự chứng minh) fk + ABDE cé: BM’ ~I2BD? + 2(V2x )?— (2x)?] = -(2BD? +4x? — 4x2) = = BD" ” „(42a ? = a’ (do BD = J2 BC) A Từ suy BM = a Vay AABM tam giác B ø Cách 18: Từ cách 17 có: BD = DI + IB = JV3.x+x=(J3 + 1)x Mà BD= /2a=> 2.a=(V3 VI +1)x Ta c6: ADCE vuéng tai C > EC? = DE?.DC? = (2x)? — a? = 4x” — V3 | + ì e x 4+ 2/3 ody SO 2° = 4#”= (2+ v3)x? «(9— vã »Ẻ= 2/8 i ˆ - 1) x? = EC = (8 M — 1)x Ta cing 6: ME.MC = CE.CB @ x? = (V3 — 1x (V3 + Dx o x = x? (đúng) M8 /2 = ME CB va MEC = BOM —— CE = —— CM va =7 Do d6 AMEC ~ ABCM = BCM = BMC = 75° => ABCM cân B _— Suy BM = BC = a Vay AABM la tam giác e Cach 19: Gọi E giao điểm cia DM va BC _ Trên nửa mặt phẳng bờ DE có chứa M, dựng tam giác DIE vuông cân I Suy ID = IE = = 2.x Mà BE = V2.x (cach 17) A Ngoài ra: BEI = 180°- IED — DEC = 180° — 45° — 75° = 60° Suy ABEI tam giác (BE = IE = /2.x va BEI = 60°) B V2.x = IBE = 60° va IB = BE Tam giác DIE vuông tai I cé IM đường trung tuyến E => IM & = DE = ME Ta có: ABIM = = IBM= EBM "¬ (c.c.c) (do BI = BE, MI = ME, BM chung) D C = : IBE = 5-60" = 30° Suy ABM = 90°— MBE = 90° — 30° = 60° Do AABM tam giác ø©Ồ Cách 20: Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = BE Từ suy AK = BC = - BE Ta có AADK= ACDE (do AD = CD = a, KAD= ECD = 90°, AK = CE) (c.g.c) => DK = DE, ADK = CDE = 15° => KDE = 90°- ADK — GDE = 90° ~ 15°- 15° = 60° AK B Do AKDE tam giác Mà KM đường trung tuyến ADKE nên EKM làlà đường cao Do tứ giác AI ADMK nội tiếp (KAD= KMD = 90°) = KAM = KMD = 60° (hai góc nội tiếp chắn cung KM) AABM can tai M cé BAM = 60° suy AABM tam giác E D = Cc Tiếp tục tìm kiếm chúng tơi tin cịn có nhiều cách giải khác (Tạp chí giới ta, số 87, 88, tháng 5, năm 2009) ... = MDC’ = 15°=> M'' thuoc tia DM tia CM Chứng minh tương tự ta có M''CD = 15°=> M’ thuéc AABM Từ có M'' giao điểm hai tia DM CM > M'' =M = Ké AH | DM tai H Goi Mr điểm đối xứng D qua H, suy ADAM’... DCN = DNG = (180° - NDC) = (180° ~ 309) = 75° Suy NCB = 90°— NCD = 90° — 75° = 15° Chứng minh tương tự có NBC Xét ABNC ADMC có: SAML Sexy „ ÂMAI BLBN _ gq _ pc = 15° a), NCB = MCD ( AM = AN =a N E l Do AAMB tam giác Ngoài cịn tìm số cách A B ‘ F chứng minh tương tự sau: Trên nửa mặt phẳng không chứa A bờ đường thẳng BC dựng hình vng BCEF tam giác BCN tam