Phần 4.Dùng đa thức phụ.Bài toán 10. Cho đa thức f(x) bậc 4 với các hệ số cao nhất là 1 và thỏa mãnf(1) = 10,f(2)=20,f(3)=30. Tính Lời giải. Đặt g(x)=f(x)10x g(1)=g(2)=g(3)=0 do bâc f(x) là 4 nên bậc g(x) là 4 và từ g(x) chia hết cho (x1), (x2), (x3) suy ra g(x)=(x1)(x2)(x3)(xx ). Từ đó f(x)=g(x)+10x=(x1)(x2)(x3)(x )+10x.Tính được: =1984+15=1999.Trong lời giải trên có vẻ thiêú tự nhiên ở chỗ đặt đa thức phụ g(x) = f(x)10x.Tại sao lại tìm được đa thức phụ g(x)=f(x)10x như thế? Để trả lời câu hỏi này ta đưa ra thuật toán “ tìm đa thức phụ”Bước 1. Đặt g(x)=f(x)+h(x) ở đó h(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của f(x), đồng thời bậc cuả h(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của f(x). Trong đề bài h(x) có bậc nhỏ hơn 3, nghĩa là g(x) = f(x)+ax +bx+c.Bước 2. Tìm a,b,c để g(1)=g(2)=g(3)=0 tức là: Giải hệ này được a=0, b=10, c=0, theo phương pháp hệ số bất định suy ra h(x)=10x hay g(x)=f(x)10x.Bằng phương pháp dùng đa thức phụ như trên, ta có thể giải được các bài toán khác dưới đây.Bài toán 11. Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x là một số nguyên, thỏa mãn f(1999)=2000 và f(2000)=2001. Chứng minh rằng f(2001)f(1998) là hợp số.(Thi vàò chuyên toán ĐHSPHNI,1999).Lời giải. Tìm đa thức phụ.Đặt g(x)=f(x)+ ax+b. tìm a,b để g(1999)=g(2000)=0 tương đương với a,b là nghiệm của hệ giải hệ ta được a=b=1 nên đặt g(x)=f(x)x1.Tính giá trị f(x).Giả sử k Z, k 0 là hệ số của x cuả đa thức f(x). Do bậc của f(x) bằng 3 nên bậc của g(x) bằng 3 và g(x) chia hết cho (x1999), (x2000) nên.g(x)=k(x1999)(x2000)(xx ). f(x)=k(x1999)(x2000)(xx )+x+1.Tính được giá trị của f(2001)f(1998)=3(2k+1) là hợp số.
BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Lời giới thiệu Những năm gần đây, kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thành phố hay có dạng tốn đa thức Khi gặp loại toán em thường nhanh chóng giải phương pháp chia đa thức hay dùng hệ số bất định để đưa đến việc tìm hệ số đa thức vào việc giải hệ phương trình Việc giải hệ phương trình khó khăn gặp hệ phương trình , ẩn đối học sinh lớp Vấn đề đặt : có cách xác định nhanh chóng hệ số đa thức cần tìm hay khơng ? Bài viết nhằm trang bị sở cho em vài phương pháp giải tốn đa thức với nội dung : + Định lí Bơ-zu đa thức: +Phương pháp hệ số bất định + Phương pháp nội suy NEWTON + Dùng đa thức phụ Để giúp cho tất học sinh học thi đạt kết tốt, nghiên cứu đưa chuyên đề “ Một số dạng tập đa thức” Về nội dung chuyên đề , sau giới thiệu phương pháp có ví dụ cụ thể, tơi giới thiệu tập có lời giải vận dụng phương pháp Với nội dung cách trình bày trên, hy vọng đề tài khơng tài liệu hướng dẫn học sinh THCS mà cịn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên việc giảng dạy trường THCS sau Tên sáng kiến: “Một số dạng tập đa thức” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Đỗ Xuân Hoàn – Lê Thị Phú - Địa chỉ: Trường THCS Tích Sơn-Vĩnh Yên-Vĩnh Phúc - Số điện thoại 0978023942-Email: Dohoan1976@gmail.com Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Đỗ Xuân Hoàn – Lê Thị Phú Chức vụ: Giáo viên Lĩnh vức áp dụng sáng kiến: Bộ mơn tốn lớp lớp trường THCS Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu hoạc dùng thử: Ngày 25 tháng năm 2016 Mô tả chất sáng kiến 7.1 Về nội dung sáng kiến 7.1.1 Cơ sở lý luận: Để nghiên cứu đề tài vào số sở lý luận sau: - Học sinh lúng túng giải toán đa thức - Đề thi học sinh giỏi thường có tập đa thức học sinh cịn chưa tìm cách giải -Trong chuyên đề đưa số dạng tốn đa thức thường gặp chương trình toán lớp lớp thi học sinh gii.Trang bị cho học sinh số dạng giải áp dụng để làm tập Chn lc số tập hay gặp phù hợp cho phương pháp giải, cách biến đổi Tôi hi vọng đề tài giúp ích cho học sinh trờng THCS việc học giải tập đa thức Qua em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải tốn sai cịn lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao 7.1.2 Cơ sở khoa học Để thực đề tài sử dụng số kiến thức sau: a Một số khái niệm : - Đa thức Đa thức tổng đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức Ví dụ: Biểu thức: f(x) = 5x - x + 3x + đa thức biến (ẩn) x Biểu thức: g(y) = 7y + 3y - đa thức biến (ẩn) y Biểu thức: h(x,y) = 5x3y - 3x2y2- 2y3 + đa thức hai biến (ẩn) x y b Định lý Bơ - zu ứng dụng - Định lý Bơ-zu : Phần dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc x – a giá trị đa thức điểm a tức f(a) Chứng minh : Gọi phần dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức bậc x - a r(x) Do bậc đa thức dư nhỏ bậc đa thức chia nên r(x) số r ta có : f(x) = (x - a ) q(x) + r Thay x = a ta : f(a) = ( a - a ) q(a) + r f(a) = r ( đpcm ) - Hệ : Nếu a nghiệm f(x) f(x) M ( x -a ) c Phương pháp hệ số bất định Theo định nghĩa hai đa thức f(x) g(x) chúng nhận giá trị giá trị biến x Rõ ràng f(x) g(x) có bậc với hệ số x tương ứng f(x) g(x) Người ta chứng minh điều ngược lại Cụ thể : f(x) = anxn + an-1xn-1 + .+ a1x1 + a0 g(x) = bnxn + bn-1xn-1 + .+ b1x1 + b0 f(x) = g(x) � = bi với i = o n d Phương pháp nội suy NEWTON Trong mơn phương pháp tính - Tốn cao cấp - có phương pháp xác định nhanh hệ số đa thức phương pháp nội suy NEWTON Nội dung phương pháp nội suy NEWTON : Để tìm đa thức P(x) bậc khơng q n biết giá trị đa thức n+1 điểm C1 ,C2 , , Cn+1 ta biểu diễn P(x) dạng: P(x)= b0 + b1(x - C1)+ b2(x - C1)(x - C2) + + bn(x -C1)(x -C2) (x - Cn) Bằng cách x giá trị C , C2 , , Cn+1vào biểu thức P(x) ta tính hệ số b0 , b1 , , bn Ở ta khơng diễn giải việc tìm tịi chứng minh phương pháp mà vận dụng để giải toán xác định đa thức 7.1.3 Thực trạng vấn đề nghiên cứu a.Thực trạng Qua gần gũi tìm hiểu em học sinh cho biết muốn học mơn tốn, xong nhiều em chưa biết cách tư sáng tạo việc biến đổi đa thức, giải phương trình, tìm đa thức, khai thác toán b Nguyên nhân Về giáo viên Chưa khai thác hết cách xác định đa thức,các dạng toán đa thức cho học sinh Về học sinh Kỹ thực phép tính đa thức cịn chậm Áp dụng phương pháp dạng toán đa thức chậm 7.1.4 Các giải pháp thực Phần : Định lý Bơ - zu ứng dụng Bài tốn : Tìm a , b để đa thức 2x3+ax+b chia cho x+1 dư -6 chia cho x-2 dư 21 Lời giải : Đặt f(x) = 2x3+ax+b Theo định lý Bơ-zu ta có : f(x):(x+1) dư -6 � f(-1) =-6 � 2(-1)3 + a(-1)+b = -6 � -a+b = -4 f(x): (x-2) dư 21 � f(2) = 21 � 2.23 + a.2 + b = 21 � 2a +b = Để tìm a , b ta giải hệ phương trình sau : a b a b a b a 3 a 3 a b 5 3a b Vậy đa thức cần tìm f(x) = 2x3+3x-1 Bài toán 2: Đa thức f(x) chia cho x + dư , chia cho x2 + dư 2x + Tìm số dư chia f(x) cho (x + 1)(x2 + 1) Lời giải: Theo định lý Bơ - zu , ta có : f(x) : (x+1) dư � f(-1) = Do bậc đa thức chia nên bậc đa thức dư có bâc nhỏ Vì ,đa thức dư có dạng ax2 + bx + c Theo định nghĩa phép chia cịn dư ta có : f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + a - a + bx + c = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a Mà f(x) : (x2 + 1) dư 2x + Vậy ta phải có : b 2 b 2 b 2 c a 3 c c a 3 a b c 4 a c 6 a x 2x 2 Vậy đa thức dư cần tìm : Bài tốn : Cho đa thức A(x) = x4 + ax2 + b a Hãy xác định hệ số a , b đa thức A(x) biết A(x) chia hết cho đa thức B(x) = x2 - 3x + b Xác định thương phép chia Lời giải : a Ta có : B(x) = x2 - 3x +2 = (x -1)(x-2) Theo định lý Bơ-zu , ta có : A(1) 0 14 a.12 b 0 a b a AMB a.22 b 0 A( 2) 0 4a b 16 b 4 Vậy đa thức A = x4 - 5x2 + b) b Để tìm thương phép chia trên, ta đặt phép chia A(x) :B(x): Thương phép chia A cho B x2 + 3x + Nhận xét : Qua tốn ta rút lời nhận xét: Khi sử dụng định lý Bơ-zu giúp ta giải nhanh việc tìm hệ số đa thức cần tìm Thơng thường, nhờ định lý Bơ-zu đưa việc tìm hệ số đa thức việc giải hệ phương trình 2, ẩn Đối với hệ phương trình ẩn trở lên cần trang bị thêm cho học sinh cách giải hệ phương pháp Gau-xơ Thơng qua việc giải dạy trực tiếp mình, tơi nhận thấy học sinh dễ dàng nắm bắt tốt giải tốt số toán xác định hệ số đa thức biết số dư chia cho đa thức khác hay tìm số dư phép chia đa thức cho đa thức Phần : Phương pháp hệ số bất định Bài toán : Xác định a , b để đa thức ax + 12x2 + bx + luỹ thừa bậc đa thức khác Lời giải: Vì đa thức ax3 + 12x2 + bx + luỹ thừa bậc đa thức khác , nên bậc đa thức cần tìm phải bậc Hay đa thức cần tìm có dạng: mx + n Theo ta có : ax3 + 12x2 + bx + = ( mx + n )3 = m3x3 + 3m2x2n + 3mxn2 + n3 Theo phương pháp hệ số bất định ta phải có : � m 2 � � � � am a 8 � a m3 � � � �2 � � b 6 3m n 12 m 4 � � � �� �� � m2 3mn b 3m b � � � � � � � � a 8 n 1 n3 � � � � � � b6 � � Vậy có hai đa thức thoả mãn điều điện tốn : 8x3 + 12x2 + 6x2 + = (2x + 1)3 - 8x3 + 12x2 - 6x2 + = (-2x + 1)3 Bài tốn : Tìm số a , b , c để x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) Lời giải: Theo ta có : x3 - ax2 + bx - c = (x - a)(x - b)(x - c) = (x2 - bx - ax + ab)(x - c) = x3 - bx2 - ax2 + abx - cx2 + bcx + acx - abc = x3 - (a + b + c)x2 +(ab + bc + ca)x - abc Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có : a a b c b c 0 b ab bc ca b a (b c) bc c abc c abc b c 0 b bc c abc Do b = bc nên b(1 - c) = có hai trường hợp xảy : - Nếu b = c = a tuỳ ý - Nếu b c = a = -1 ; b = -1 Bài toán : Cho đa thức A = ax3 + 6x2 + bx – 10 a Hãy xác định hệ số a , b đa thức A, biết A chia hết cho đa thức B= x2 - 3x+ b Xác định thương phép chia Lời giải : a Do bậc đa thức A bậc đa thức B nên bậc đa thức thương phải bậc có dạng : mx + n Theo ta có : AM B � ax3 + 6x2 + bx - 10 = (x2 - 3x + 2)(mx + n) = mx3 + nx2 - 3mx2 - 3nx + 2mx + 2n = mx3 + ( n -3m ) x2 + (2m -3n ) x + 2n Dùng phương pháp hệ số bất định,ta phải có : 11 a a m a m n 3m m 11 b 2m 3n b 2m 15 23 10 2n n b n 11 23 x x x 10 Vậy đa thức cần tìm là: A = 3 11 x b Đa thức thương phép chia A cho B : Nhận xét: Đây phương pháp “chủ lực” học sinh lới giải toán xác định đa thức Cần lưu ý “cân bằng” bậc đa thức giải hệ phương trình Phần : Phương pháp nội suy NEWTON Bài toán : Tìm đa thức bậc , P(x) biết : P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = ; P(3) = Lời giải : Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(0) = d , suy d = 10 P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(1) = 10 + c , suy c = P(x) = 10 + 2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(2) = 10 + + 2b , suy b = -5 P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(3) = 10 + - 30 + 6a , suy a = 5/2 P(x) = 10 + 2x - 5x(x-1) + 5/2 x(x-1)(x-2) Rút gọn ta đa thức cần tìm : 25 P( x) x3 x 12 x 10 2 Bài toán : Cho đa thức P(x) bậc thoả mãn : P(-1) = P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) a Xác định P(x) b Suy giá trị tổng sau (n số nguyên dương) S = 1.2.3 + 2.3.4 + +n(n+1)(n+2) Lời giải : a.Cho x = ,Suy P(0) - P(-1) = mà P(-1) =0 , P(0) = Cho x giá trị x = -1 ; x = ; x = , ta nhận P(-1) = � P(-2)=0 ;P(1) = ; P(2) = 36 Đặt P(x) = e + d(x+2) + c(x+2)(x+1) + b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = -2 , P(-2) = e , suy e = Cho x = -1 , P(-1) = d , suy d = Cho x = , P(0) = 2c , suy c = Vậy P(x) = b(x+2)(x+1)x + a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = , P(1) = 6b , b = Cho x = , P(2) = 24 + 24a = 36 a = 1/2 2 Đa thức cần tìm : P(x)= x.( x 1) ( x 2) b Theo : P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Cho x = ; ; ; n ta có : P(1) - P(0) = 1.2.3 P(2) - P(1) = 2.3.4 P(n) - P(n-1) = n(n+1)(n+2) Cộng vế với vế ta : P(n) - P(0) = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) Do S = P(n) = n.(n 1) (n 2) Bài toán : Xác định đa thức bậc f(x) thoả mãn f(x) - f(x-1) = x2 Từ suy cơng thức tính tổng S = 12 + 22 + + n2 Lời giải : Đặt f(x) = d + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , suy f(0) = d Cho x = , suy f(1) = d+c f(1) - f(0) = nên (d+c)-d = � c = Khi f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 2, suy f(2) = d+2+2b f(2) - f(1) = nên (d+2+2b)-(d+1) = � b = 3/2 Khi f(x) = d+x+3/2 x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , suy f(3) = d +3+9+6a = d + 12 + 6a f(3) - f(2) = nên (d+12+6a)-(d+5) = � a = 1/3 Theo ta có :f(x) - f(x-1) = x2 3 Khi f(x)=d+x+ x(x-1)+ x(x-10(x-2)= x + x + x+d (d �R ) Cho x = , , , n ta f(1) - f(0) = 12 f(2) - f(1) = 22 f(n) - f(n-1) = n2 Cộng vế với vế ta : f(n) - f(0) = 12 + 22 + +n2 1 2n3 3n n 1 Suy S n3 n n d d 6 3 n n 1 2n 1 S Vì f(0)=d Nhận xét : Phương pháp nội suy NewTơn hay toán xác đa thức Nhờ phương pháp đặt “khéo léo” f(x) tính giá trị điểm mà ta nhẩm thuận tiện, giúp ta nhanh chóng việc xác định hệ số đa thức Phần 4.Dùng đa thức phụ Bài toán 10 Cho đa thức f(x) bậc với hệ số cao thỏa mãn f(1) = 10,f(2)=20,f(3)=30 Tính f (12) f ( 8) 15 10 Lời giải Đặt g(x)=f(x)-10x g(1)=g(2)=g(3)=0 bâc f(x) nên bậc g(x) từ g(x) chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3) suy g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-x ) Từ f(x)=g(x)+10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x- x0 )+10x Tính được: f (12) f ( 8) 15 =1984+15=1999 10 Trong lời giải thiêú tự nhiên chỗ đặt đa thức phụ g(x) = f(x)-10x Tại lại tìm đa thức phụ g(x)=f(x)-10x thế? Để trả lời câu hỏi ta đưa thuật toán “ tìm đa thức phụ” Bước Đặt g(x)=f(x)+h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc f(x), đồng thời bậc cuả h(x) nhỏ số giá trị biết f(x) Trong đề h(x) có bậc nhỏ 3, nghĩa g(x) = f(x)+ax +bx+c 10 a b c Bước Tìm a,b,c để g(1)=g(2)=g(3)=0 tức là: 20 4a 2b c số 30 bất 9ađịnh 3b suy c Giải hệ a=0, b=-10, c=0, theo phương pháp hệ h(x)=-10x hay g(x)=f(x)-10x Bằng phương pháp dùng đa thức phụ trên, ta giải toán khác Bài toán 11 Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x số nguyên, thỏa mãn f(1999)=2000 f(2000)=2001 Chứng minh f(2001)-f(1998) hợp số (Thi vàò chun tốn ĐHSPHNI,1999) Lời giải -Tìm đa thức phụ Đặt g(x)=f(x)+ ax+b tìm a,b để g(1999)=g(2000)=0 tương đương với a,b 2000 1999a b 2001 2000a b nghiệm hệ giải hệ ta a=b=-1 nên đặt g(x)=f(x)-x-1 -Tính giá trị f(x) Giả sử k Z, k hệ số x cuả đa thức f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x-1999), (x-2000) nên g(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x ) f(x)=k(x-1999)(x-2000)(x-x )+x+1 Tính giá trị f(2001)-f(1998)=3(2k+1) hợp số Bài toán 12 Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thỏa mãn f(1)=3; f(3)=11; f(5)=27 Tính giá trị f(-2)+7f(6) Lời giải -Tìm đa thức phụ Đặt g(x)=f(x)+ ax +bx+c Tìm a,b,c để g(1)=g(3)=g(5)=0 a,b,c nghiệm 3 a b c hệ: 11 9a 3b c 27 25a 5b c Giải hệ ta a=-1, b=0, c=-2 nên đặt g(x)=f(x)-x -2 -Tính giá trị f(x) Bậc f(x) bậc nên bậc g(x) = g(x) chia hết cho (x-1), (x-3), (x-5) nên g(x) = (x-1)(x-3)(x-5)(x-x ) f(x) =(x-1)(x-3)(x-5)(x-x )+x +2 Tính f(-2)+7f(6)=1112 Bài tốn13 Tìm đa thức f(x) bậc biết f(0)=10, f(1)=12, f(2)=4, f(3)=1 Lời giải -Tìm đa thức phụ Đặt g(x)=f(x) +ax +bx+c Tìm a,b, c để g(0)=g(1)=g(2)=0 a, b, c nghiệm 10 c hệ phương trình 12 a b c 4a 2b c Giải hệ ta được: a=5, b=-7, c=-10 nên đặt g(x)=f(x)=5x -7x-10 với g(0)=g(1)=g(2)=0 -Xác định f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho x, (x-1),(x-2) Gọi m hệ số x đa thức f(x) g(x)=mx(x-1)(x-2) f(x)=mx(x-1)(x-2)-5x +7x+10 5 25 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x x 12 x 10 2 Mặt khỏc theo gi thit f(3)=1 m= Bài toán 14 :Tìm đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x-1), (x2), (x-3) dư f(-1)= -18 Lời giải -Tìm đa thức phụ The định lí Bơ-zu ta có f(1)=f(2)=f(3)=6 Đặt g(x)=f(x)+ ax +bx+c Ta tìm a,b,c nghiệm hệ phương trình 6 a b c 6 4a 2b c 6 9a 3b c Giải hệ ta a=b=0, c=-6 nên đặt g(x)=f(x)-6 với g(1)=g(2)=g(3)=0 -Xác định f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3) suy g(x) =m(x-1)(x-2)(x-3) n hệ số x đa thức f(x) f(x)=m(x-1)(x-2)(x-3)+6 Mặt khác f(-1)=-18 m=1 f(x)=x -6x +11x Bài tập Bài Tìm đa thức f(x) bậc hai biết f(0)=19, f(1)=5, f(2)=1995 Bài Tìm đa thức f(x) bậc biết f(0)=2, f(1)=9, f(2)=19, f(3)=95 7.2 Về khả áp dụng sáng kiến : 10 15, 4,4 13,3 31 % 4,4 13,3 31 69 13, 8,9 15,6 29 64,4 % SL % % 71,1 SL SL 30 SL 11,1 45 % SL 2,2 % % 8E SL % 8D % SL SL - Sáng kiến áp dụng tiết dạy toán lớp lớp buổi bồi dưỡng học sinh giỏi đại trà Những thông tin bảo mật: không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến - Giáo viên cần linh hoạt việc áp dụng sáng kiến - Máy tính, máy chiếu, phiếu học tập 10 Đánh giá lợi ích thu - Qua giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính xác, lực nhận xét, phân tích phán đốn, tổng hợp kiến thức Đa số học sinh hình thành kỹ tìm đa thức giải tập đa thức - Kết cụ thể dạy lớp 8D,8E Trước thực Sau thực Lớp SS Giỏi Khá TB Yếu Giỏi Khá TB Yếu 69 13,3 11,1 Để kiểm tra kết việc áp dụng sáng kiến mơn tốn, tơi lấy ý kiến học sinh lớp mà trực tiếp giảng dạy chuyên đề ‘Một số dạng tập đa thức’ Kết cụ thể sau : Bảng ý kiến học sinh học chuyên đề Bảng ý kiến học sinh trước sau thực giải pháp trên: 20 44,4 17 37,8 17,8 8D 45 20 44,4 21 46,7 8,9 8B 45 21 46,7 16 35,5 17,8 8E 45 22 48,9 20 44,4 6,7 Cộng 90 41 45,6 33 36,6 16 17,8 Cộng 90 42 46,7 41 45,6 7,7 11 % Khơng thích SL % Thích SL SL Khơng thích % Tổng số 45 Thích SL Khối lớp 8A % Rất thích SL Rất thích % Mức độ SL Mức độ % Năm học 2017 – 2018 Tổng số Năm học 2016 – 2017 11 Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: Số Tên tổ chức/cá nhân Địa Phạm vi/Lĩnh vực TT áp dụng sáng kiến Trường THCS Tích Sơn Phường Tích Sơn, Thành phố Vĩnh n Mơn tốn trường THCS Đỗ Xn Hồn Trường THCS Tích Sơn Mơn toán trường THCS Lê Thị Phú Trường THCS Tích Sơn Mơn tốn trường THCS Tích Sơn, ngày tháng năm 2017 Thủ trưởng đơn vị Tích Sơn, ngày 17 tháng 11 năm 2017 Tác giả sáng kiến Nguyễn Thị Cẩm Tú Đỗ Xuân Hoàn - Lê Thị Phú 12 ... Cho x = , suy f(0) = d Cho x = , suy f(1) = d+c f(1) - f(0) = nên (d+c)-d = � c = Khi f(x) = d+x+bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = 2, suy f(2) = d+2+2b f(2) - f(1) = nên (d+2+2b)-(d+1) = � b = 3/2... a(x+2)(x+1)x(x-1) Cho x = , P(1) = 6b , b = Cho x = , P(2) = 24 + 24a = 36 a = 1/2 2 Đa thức cần tìm : P(x)= x.( x 1) ( x 2) b Theo : P(x) - P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Cho x = ; ; ; n ta có : P(1) - P(0) = 1.2.3... P(0) = 10 ; P(1) = 12 ; P(2) = ; P(3) = Lời giải : Đặt : P(x) = d + cx + bx(x - 1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(0) = d , suy d = 10 P(x) = 10 + cx + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x = , P(1) = 10 +