đa thức với các hệ số nguyên

®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc KHOA HäC MAI THỊ PHƯƠNG LAN ĐA THỨC VỚI CÁC HỆ SỐ NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC th¸i nguyªn - n¨m 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc KHOA HäC MAI THỊ PHƯƠNG LAN ĐA THỨC VỚI CÁC HỆ SỐ NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Thái Ngun, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 1 - MỤC LỤC Chương 1 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUN - 4 - 1.1 Đa thức - 4 - 1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử - 8 - 1.3 Nghiệm của đa thức với hệ số ngun - 13 - 1.4 Các tiêu chuẩn về đa thức bất khả quy - 14 - 1.5 Đa thức với các hệ số ngun và đồng dư thức - 25 - Chương 2 CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUN - 31 - Dạng tốn 2.1 Xác định đa thức với hệ số ngun - 32 - Dạng tốn 2.1.1 Xác định đa thức với hệ số ngun với nghiệm  cho trước… 32 - Dạng tốn 2.1.2 Xác định đa thức với hệ số ngun thỏa mãn một số điều kiện - 38 - Dạng tốn 2.2 Các bài tốn liên quan đến tính chia hết - 40 - Dạng tốn 2.3 Phân tích đa thức với hệ số ngun ra thừa số - 42 - Dạng tốn 2.4 Các tính chất của đa thức với hệ số ngun - 49 - Dạng tốn 2.5 Đa thức bất khả quy - 56 - Dạng tốn 2.6 Các bài tập tổng hợp - 58 - Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc KHOA HäC MAI THỊ PHƯƠNG LAN ĐA THỨC VỚI CÁC HỆ SỐ NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC th¸i nguyªn - n¨m 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ®¹i häc th¸i nguyªn Tr-êng ®¹i häc KHOA HäC MAI THỊ PHƯƠNG LAN ĐA THỨC VỚI CÁC HỆ SỐ NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG Thái Ngun, 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 2 - MỞ ĐẦU Tốn học là một ngành khoa học hấp dẫn khiến hàng triệu con người trên thế giới đam mê. Đại số là một trong các lĩnh vực nghiên cứu của tốn học, trong đó đa thức là một trong những vấn đề quan trọng của đại số. Đa thức nói chung và đa thức với hệ số ngun nói riêng có nhiều tính chất hay, đẹp và có nhiều ứng dụng. Đa thức với hệ số ngun là lớp đa thức có nhiều tính chất đặc thù mà chỉ riêng lớp đa thức này mới có. Thí dụ, phân tích đa thức với hệ số ngun thành các đa thức thừa số với hệ số là số ngun, hay tiêu chuẩn để một đa thức với hệ số ngun là bất khả qui,…là các bài tốn khó, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau của đại số như lý thuyết đồng dư, đa thức bất khả quy,… và hiện nay vẫn được nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu. Mặt khác, các bài tập cụ thể về đa thức với hệ số ngun thường là các bài tốn thú vị, phát biểu đơn giản, chứng minh đẹp đẽ và sơ cấp, nhiều khi chỉ cần đến những kiến thức tốn phổ thơng nâng cao nhưng cần các suy luận độc đáo. Chính vì vậy mà dạng tốn này thường được ra trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Luận văn Đa thức với các hệ số ngun có mục đích trình bày tổng quan về một số kết quả đã biết về đa thức với hệ số ngun và ứng dụng trong giải tốn. Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm hai chương Chương 1 trình bày tổng quan về đa thức với hệ số ngun. Chương này trình bày đa thức với hệ số ngun: đa thức và nghiệm của đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức bất khả quy và các tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức, đa thức với hệ số ngun và đồng dư thức, Chương 2 trình bày các dạng tốn về đa thức với hệ số ngun và các bài tốn về đa thức với hệ số ngun trong các đề thi vơ địch quốc gia , quốc tế. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 3 - Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về đa thức với hệ số ngun và tập hợp một lượng khơng nhỏ (khoảng 50 bài) các bài tốn thi vơ địch quốc gia và quốc tế về đa thức với hệ số ngun. Tuy nhiên, luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, nên rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cơ, các bạn đồng nghiệp và độc giả quan tâm để tác giả hồn thiện luận văn tốt hơn. Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm túc của PGS TS Tạ Duy Phượng. Xin được bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, đã khơng chỉ hướng dẫn khoa học, mà còn động viên và khích lệ tác giả say mê học tập và nghiên cứu. Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun, đã trang bị cho tơi những kiến thức tốn học cơ bản trong thời gian học Cao học. Xin được cám ơn Trường Cao đẳng Cơng Nghiệp và Xây Dựng, Quảng Ninh, nơi tơi cơng tác, đã tạo mọi điều kiện để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập. Xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Cao học và viết Luận văn. Quảng Ninh, ngày 01.5.2014 Mai Thị Phương Lan Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 4 - Chương 1 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUN 1.1 Đa thức Trong luận văn này ta xét K là vành các số thực hoặc K là vành các số ngun . Từ nay về sau, khi nói vành ,K ta hiểu K là vành số thực hoặc vành các số ngun. Khi sử dụng vành số thực hoặc vành số ngun , ta sẽ nói cụ thể. Định nghĩa 1.1.1 Đa thức bậc n ( degPn ) trên vành K là biểu thức dạng 1 1 1 0 ( ) , nn nn P x a x a x a x a        với ,0 in a K a được gọi là hệ số cao nhất, 0 a được gọi là hệ số tự do. Định nghĩa 1.1.2 Đa thức với hệ số ngun là đa thức có dạng 1 1 1 0 ( ) , nn nn P x a x a x a x a        trong đó i a  là các hệ số ngun. Tập tất cả các đa thức với hệ số ngun là một vành, ký hiệu là   .x Giá trị của đa thức ()Px tại 0 x là 1 0 0 1 0 1 0 0 ( ) . nn nn P x a x a x a x a        Nghiệm của đa thức là số x sao cho   0.Px Nhận xét 1.1.1 Tổng các hệ số của 1 1 1 0 ( ) , nn n n i P x a x a x a x a a         là   1,P tức là 1 1 0 (1) . nn P a a a a       Và   0 0P a là hệ số tự do. Đa thức mơnic Nếu hệ số n a ứng với số hạng cao nhất n x của 1 1 1 0 ( ) nn nn P x a x a x a x a        bằng 1 thì ta gọi đa thức đó là đa thức mơnic (monic polynomial). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 5 - Định lý 1.1.1 (Euclid) Cho đa thức   Px bậc n và đa thức   Qx bậc m ( mn ) với các hệ số thực. Khi ấy tồn tại các đa thức duy nhất ()Sx và ()Rx sao cho   ( ). ( ) ( ),Q x S x RPx x (1.1) trong đó ()Rx có bậc r nhỏ hơn bậc của   ,Qx tức là .rm Chứng minh Sự tồn tại. Sự tồn tại của   Sx và   Rx thì suy ra từ thuật tốn dưới đây. Thực tốn chia đa thức   Px cho   Qx là thuật tốn tìm các đa thức   Sx và   Rx sao cho ta có biểu diễn (1.1). Đa thức   Sx được gọi là đa thức thương, đa thức   Rx được gọi là đa thức dư của   Px khi chia cho   .Qx Trường hợp 1 deg deg .PQ Đặt       0, .S x R x P x Hiển nhiên ta có phân tích (1.1). Trường hợp 2 deg deg .PQ Giả sử   1 10 , nn nn P x a x a x a         1 10 , 0 mm m m m Q x b x b x b b        và .nm Ký hiệu   . nm n m a H x x b   Khi ấy đa thức               1 11 1 0 1 0 11 1 0 1 0 n n m m n m n n n m m m n m n m n nm m P x P x Q x H x a a x a x a b x b x b x b a a x a b x b x b                        có bậc khơng vượt q 1,n  thực sự nhỏ hơn bậc của   ,Px hoặc   1 0.Px Nếu   1 0Px thì đa thức dư   0Rx và đa thức thương     .Q x H x Nếu   1 0Px ta tiếp tục làm tương tự với   1 ,Px ta được   2 , Px Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 6 - Dãy đa thức   1 ,Px   2 Px có bậc thật sự giảm dần. Cuối cùng ta đi đến một đa thức có bậc thực sự nhỏ hơn bậc của   .Qx Đa thức đó chính là đa thức dư   .Rx Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì đa thức dư   0.Rx Để thấy rõ hơn, ta viết các bước mà ta đã thực hiện để được dãy   1 ,Px   2 , Px         1 ,P x P x Q x H x         2 1 1 ,P x P x Q x H x         11 , k k k P x P x Q x H x   với   0 k Px hoặc deg deg . k PQ Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được               11 . kk P x Q x H x H x H x P x       Từ đây suy ra         11 , k S x H x H x H x          . k R x P x Tính duy nhất Giả sử   11 ( ). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ),Q x S x R x Q x S xP Rxx     với 1 deg degRQ nếu   1 0Rx (khơng đồng nhất bằng 0). Suy ra             11 0.Q x S x S x R x R x    (1.2) Nếu     1 R x R x thì ta có         1 0.Q x S x S x Vì   Qx khơng đồng nhất bằng 0 nên suy ra     1 0,S x S x tức là     1 .S x S x Giả sử     1 ,R x R x từ (1.2) suy ra             11 .R x R x Q x S x S x    Vậy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ - 32 - Chương 2 CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUN Dạng tốn 2.1 Xác định đa thức với hệ số ngun Dạng tốn 2.1.1 Xác định đa thức với hệ số ngun với nghiệm  cho trước Bài 2.1 Tìm một đa thức với hệ số ngun mà có nghiệm dạng x  2  5 Cách giải 1 Lũy thừa số  để làm mất căn Việc lũy thừa số  có thể phải thực hiện nhiều lần Đặt x  2  5 Ta có x2  7... một đa thức với các hệ số thuộc vành K Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ -9- Định nghĩa 1.2.3 Cho P  x  là đa thức với hệ số thuộc vành K Ta gọi P  x  là đa thức bất khả quy trên K nếu P  x  khơng phân tích được thành tích hai đa thức với các hệ số thuộc K và có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 Phân tích đa thức P( x) ra thừa số trên vành K là biểu diễn P( x) thành tích các. .. hai đa thức phức và  là một đường cong đóng khơng tự cắt trong mặt phẳng phức Nếu P( z )  Q( z )  P( z )  Q( z ) với mọi z   , thì số nghiệm (kể cả bội) của hai đa thức P( z ) và Q( z ) bên trong  là bằng nhau Chứng minh Xem [4], pp.1-2 1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử Định nghĩa 1.2.1 Cho đa thức P( x) với các hệ số thuộc vành K Nhân tử (thừa số) của P( x) là một đa thức Q( x) với các hệ số. .. thì tồn tại các đa thức U  x  ,V  x  với các hệ số ngun và số ngun m  0 sao cho U  x  P  x   V  x  P  x   m Hệ quả 1.5.6 Cho đa thức P  x  có các hệ số ngun, bất khả quy trong  x và khơng phải là hằng số Khi đó tồn tại vơ số số ngun tố p sao cho phương trình đồng dư P  x   0  mod p  có nghiệm x0 mà P  x0   0  mod p  Chứng minh Theo Định lý 5.6 tồn tại các đa thức U  x... minh rằng P  x   x n  18x n1  3x 2  2011 là đa thức bất khả quy với mọi số tự nhiên n  2 Chứng minh Vì 2011 là số ngun tố và 2011  1  18  3 nên theo tiêu chuẩn Osada P  x   x n  18x n1  3x 2  2011 là bất khả quy 1.5 Đa thức với các hệ số ngun và đồng dư thức Phần này được viết dựa theo [1] Cho đa thức P  x  với các hệ số ngun và số ngun tố p Chúng ta sẽ xét vấn đề về sự tồn tại nghiệm... hết cho 32000 Định lý 1.5.4 Cho các đa thức P  x  , Q  x  với các hệ số ngun và ngun tố cùng nhau (trong  x ) Khi đó tồn tại cá đa thức U  x  ,V  x  với các hệ số ngun và có số ngun tố m sao cho U  x  P  x   V  x  Q  x   m Định lý 1.5.5 Cho đa thức P  x  khác hằng số và có các hệ số ngun Khi đó tồn tại vơ số số ngun tố p sao cho phương trình đồng dư P  x   0  mod p  có nghiệm... cho các đa thức với hệ số trong (i), chứ khơng phải trong Vì vậy nhiều tác giả gọi Định lí trên là Tiêu chuẩn T Schưnemann- Eisenstein (xem, thí dụ, [5]) Áp dụng trực tiếp tiêu chuẩn Eisenstein ta có một số ví dụ sau đây Ví dụ 1.4.1 Chứng minh rằng đa thức x7  5x4  35 là bất khả quy Giải Ta chọn p  5 Ta thấy: 5 khơng chia hết hệ số của x 7 ; 5 chia hết các hệ số của x6 , x5 , , x0 , các hệ số đó... lý 1.3.1 (Mối liên hệ giữa nghiệm và nhân tử trong một đa thức với hệ số ngun) Giả sử x  m , (m, n)  1 (dạng phân số tối giản), là một nghiệm đa thức n P( x) với các hệ số ngun, thì (nx  m) là một nhân tử của P( x) 1 Ví dụ 1.3.1 Nghiệm của đa thức P( x)  3x 2  4 x  1 là x1  1 và x2   3 Suy ra ( x  1) và (3x  1) là hai nhân tử với hệ số ngun bất khả quy của P( x) Định lý 1.3.2 (về nghiệm... sử có một số ngun tố p thỏa mãn: i) Tồn tại số ngun k , 0  k  n sao cho a0 , a1, , ak 1 chia hết cho p và ak khơng chia hết cho p ii) a0 khơng chia hết p 2 Khi đó đa thức P  x  phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số ngun bất khả quy với bậc của một trong hai đa thức đó lớn hơn k Định lý 1.4.3 (Tiêu chuẩn Cohn, xem, thí dụ, [10]) Cho số ngun tố p mà biểu diễn trên hệ cơ số 10 có dạng... 1.5.6 Cho đa thức P  x  có các hệ số ngun, bất khả quy trong  x và khơng phải là hằng số Khi đó tồn tại các đa thức U  x  ,V  x  với các hệ số ngun và số ngun m  0 sao cho U  x  P  x   V  x  P  x   m Chứng minh Giả sử Q  x    P  x  , P  x    Q  x    x  Khi đó Q  x  là ước của P  x  và deg Q  x   deg P  x  Vì P  x  bất khả quy nên Q  x  là hằng số, Q  . dụng. Đa thức với hệ số ngun là lớp đa thức có nhiều tính chất đặc thù mà chỉ riêng lớp đa thức này mới có. Thí dụ, phân tích đa thức với hệ số ngun thành các đa thức thừa số với hệ số là số ngun,. bày đa thức với hệ số ngun: đa thức và nghiệm của đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức bất khả quy và các tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức, đa thức với hệ số ngun và đồng dư thức, . 1.5 Đa thức với các hệ số ngun và đồng dư thức - 25 - Chương 2 CÁC DẠNG TỐN VỀ ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUN - 31 - Dạng tốn 2.1 Xác định đa thức với hệ số ngun - 32 - Dạng tốn 2.1.1 Xác định đa thức