NGHIỆM NGUYÊN TOÁN THCS NGHIỆM NGUYÊN tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...
Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Chuyên đề: Phơng trình nghiệm nguyên Phần I: Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn 2.Phơng trình đợc đa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phơng trình f ( x) m với m.n = k � �g ( x ) n 3.Ph¬ng trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dơng ta giả sử x y z 4.Kh«ng tån số phơng nằm hai số phơng liên tiếp B dạng toán Thờng gặp Dạng 1: Sư dơng phÐp chia hÕt vµ chia cã d Hai vế phơng trình nghiệm nguyên chia cho số có số d khác phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau x y (1) Giải: Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1) NÕu x0 , y0 �0 vµ ( x0 , y0 ) lµ nghiƯm cđa (1) Gäi d ( x0 , y0 ) , suy �x0 y0 � � , � �d d � 2 x �x � �y � x �y � Ta cã: x y � � � � �� ch½n � M4 chẵn, vô lý d d d � d �d � 2 VËy ph¬ng trình (1) có nghiệm nguyên (0,0) Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau x2 y (1) Gi¶i: 2 2 1)NÕu xM5 th× y x 5 M5 � y M5 � x y M25 v« lý ta cã x ��1(mod 5) vµ y ��1(mod 5) suy th× tõ y M 2)NÕu x M x y ��1, �3(mod 5) VËy phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 3: Chứng minh tổng bình phơng ba số nguyên phép chia cho có d từ suy phơng trình x 25 y 144 z 2007 kh«ng có nghiệm nguyên Giải: , 4(mod 8) nên x �0,1, 4(mod8) Gi¶ sư: x y z 7(mod 8) mµ x �0, �1, �2, �� suy y z 7, 6,3(mod 8) nhng y z 0,1, 2, 4,5, (mod 8) v« lý VËy 7(mod 8) x2 y z M Ph¬ng trình cho viết: (2 x)2 (5 y)2 (12 z ) �125 Từ suy phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 4: Giải phơng trình sau tập sè nguyªn: x14 x2 x7 2008 Giải: 1)Nếu x = 2k xM16 2)NÕu x = 2k + th× x ( x 1)( x 1)( x 1) M16, v× ( x 1)( x 1) M8 vµ ( x 1)M2 VËy x �0;1(mod16) Do ®ã chia tỉng x14 x2 x7 cho 16 cã số d không vợt 7, 2008 8(mod16) Suy phơng trình nghiệm nguyên Dạng 2: Phơng pháp phân tích Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c Z ) (1) a a2 Ta cã: (1) � cxy ay b � y (cx a ) (cx a ) b c c � (cx a)(cy a) a bc Ph©n tÝch a bc m.n víi m, n Z, sau ®ã lần lợt giải hệ: cx a m � � cy a n � VÝ dô 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 2( x y ) 16 3xy Gi¶i: Ta cã: 2( x y ) 16 3xy � 3xy x y 16 � y (3x 2) (3x 2) 16 � (3 x 2)(3 y 2) 52 3 Gi¶ sư: x �y ®ã �3 x �3 y vµ 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta cã c¸c hƯ sau: 3x � ; � y 52 � 3x � ; � y 26 � 3x � ; y 13 Giải hệ ta đợc nghiệm nguyên dơng phơng trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2); Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: (2 x y 1)(2 x y x x ) 105 Giải: Vì 105 số lẻ nên x y lẻ suy y chẵn mµ x x x( x 1) chẵn nên x lẻ x = Với x = ta có phơng trình ( 5y + ) ( y + ) = 21.5 Do ( 5y + 1, ) =1 nªn Chuyªn đề : Phơng trình nghiệm nguyên y 21 y 21 � � � y Thư l¹i ta thÊy x = 0, y = - y �y 5 nghiÖm nguyên phơng trình Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diện tích chu vi Giải: Gọi x, y, z cạnh tam giác vuông : �x �y z Ta cã: �x y z (1) � �xy 2( x y z )(2) Tõ (1) ta cã: z ( x y )2 xy ( x y ) 4( x y z ) � ( x y )2 4( x y ) z z � ( x y 2)2 ( z 2)2 � x y z ( x y �2) Thay z x y vào (2) ta đợc: � �x �x � � � � �y �y 12 � � ( x 4)( y 4) cặp: ( x, y, z ) (5,12,13);(6,8,10); � � �x �x � � � � y � � � �y VÝ dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: p( x y ) xy với p số nguyên tè Gi¶i: 2 Ta cã: p( x y) xy � xy px py p p � x p y p p Mµ p p p ( p).( p) p ( p ).(1) Từ phơng trình cho có nghiệm nguyên là: ( x, y) (0, 0);(2 p, p);( p 1, p p);( p p, p 1);( p p , p 1);( p 1, p p ); Dạng 3: Phơng trình đối xứng Để tìm nghiệm nguyên phơng trình đối xứng ta gi¶ sư x y z chặn ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y z xyz (1) Giải: Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta giả sử x y z Tõ (1) suy ra: 1 1 � � x xy yz zx x �y �y �� �z �z Víi x = ta cã y z yz � ( y 1)( z 1) � � VËy (1) có nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 5( x y z t ) 10 xyzt (1) Giải: Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta giả sử x y z t 1 Tõ (1) suy ra: 2 t 1 � 5 10 30 � �� t2 xyz xzt xyt xyzt t � *)Víi t ta cã: 5( x �� y � z ) 15 xyz xy yz xz 15 xyz 30 z2 z 15 z 1 � � z � � z 3 � 1)Víi z = ta cã: � x 65 � � �x 35 � � � � 2y 5 1 � �y � � 5( x y ) 20 xy � (2 x 5)(2 y 5) 65 � � � � x 13 � �x � � � � 2y 5 � � � �y Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phơng trình nghiệm nguyên dơng z ) 20 xyz *) Víi t , ta cã: 5( x y� xy yz xz 20 xyz 35 z2 z2 35 Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên z ( z �t 2) Khi ®ã: 5( x y ) 30 xy � (8 x 5)(8 y 5) 265 Do x �y �z �t �2 nªn x �8 y �11 , mµ 265 = 53.5 Trêng hợp phơng trình nghiệm nguyên dơng Ví dụ 3: Một tam giác có số đo độ dài đờng cao mhững số nguyên dơng đờng tròn nội tiếp tam giác có bán kính Chứng minh tam giác tam giác Giải: §Ỉt a = BC, b = CA, c = AB Gọi độ dài đờng cao ứng với cạnh a, b, c tam giác Bán kính đờng tròn néi tiÕp b»ng nªn x, y, z > Gi¶ sư x y z > 2 2 DiƯn tÝch tam gi¸c ABC: S a.x b y c.z (1) Mặt khác: S S AOB S BOC S AOC (a b c)(2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: 1 �� � x y z z z a.x b y c.z a b c � a b c z Thay z = vµo � a b c a bc 1 1 1 x y z x y z 1 ta đợc: x y z � 2x � � � 2y 1 � � 3( x y ) xy � (2 x 3)(2 y 3) � � � � x y 2x � � � 2y � � � �x ( Loai ) � � �y � � �x � � �y � VËy x = y = z = 3, ®ã a = b = c VËy tam giác ABC tam giác Dạng 4: Phơng pháp loại trừ Tính chất: Nếu có số nguyên m cho m n (m 1) n số phơng Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 1! 2! 3! 4! x ! y Gi¶i: Víi x x! có chữ số tận nªn: 1! 2! 3! 4! 5! x ! 33 5! x ! Cã ch÷ số tận nên số chinh, Vậy x phơng trình cho nghiện nguyên dơng Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phơng trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6 3x3 y Giải: Rõ ràng x = 0, y = nghiệm nguyên phơng trình +)Với x > ta có: ( x 1)2 x x x x3 y ( x3 2)2 � x y x ( v« lý ) 3 +)Víi x - th× : ( x 2) y ( x 1) � x y x ( v« lý ) +)Víi x = - : y , ( vô lý ) Vậy phơng trình cho có hai cặp nghiÖm ( 0; ); ( 0; -1 ) VÝ dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x ( x 1)2 y ( y 1)4 Giải: Khai triển rút gọn hai vế ta đợc: x( x 1) y y y y � x x y ( y 1) y ( y 1) � x x ( y y 1) (1) +)NÕu x > th× tõ x x x ( x 1) suy x x kh«ng số phơng nên (1) nghiệm nguyên +)NÕu x < - th× tõ ( x 1) x x x suy (1) nghiệm nguyên Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên y0 y 1 � +)NÕu x = hc x = - th× tõ (1) suy y y �1 � � VËy ph¬ng trình có nghiệm nguyên ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 ); Dạng 5: Phơng pháp xuống thang Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y z Gi¶i: Gi¶ sư x0 , y0 , z0 nghiệm nguyên phơng trình x0 M3 đặt x0 3x1 thay x0 x1 vào (1) ta đợc: x13 y03 z03 y0 M3 đặt y0 y1 � z0 M3, ®ã: z0 3z1 x13 27 y13 3z0 � 3x13 y13 z03 � z0 M3 đặt đó: x13 y13 z13 �x y z � VËy � , , �còng lµ nghiƯm cđa phơng trình 3 x y z Quá trình tiếp tục đợc: k0 , k0 , 0k nghiệm nguyên 3 (1) với k điều xảy x0 y0 z0 VËy ( 0, 0, ) lµ nghiƯm nhÊt cđa phơng trình cho Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y z t xyzt (1) Gi¶i: Gi¶ sö x0 , y0 , z0 , t0 nghiệm nguyên phơng trình đó: x0 y0 z0 t0 x0 y0 z0t0 (1) số chẵn nên số x0 , y0 , z0 , t0 phải có số chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu x0 , y0 , z0 , t0 lẻ th× ( x0 y0 z0 t0 )M4 , ®ã 4 x0 y0 z0t0 M Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên +)Nếu số x0 , y0 , z0 , t0 có hai số lẻ ( x0 y0 z0 t0 ) �2(mod 4) , ®ã x0 y0 z0t0 M4 VËy x0 , y0 , z0 , t0 phải số chẵn, đặt x0 x1 , y0 y1 , z0 z1 , t0 2t1 phơng trình trở thành: x12 y12 z12 t12 x1 y1 z1t1 (1) Lý luËn t¬ng tù ta cã: x2 y2 z2 t2 x2 y2 z2t2 (1) Víi x2 x y z t x1 y z t , y2 , z2 , t2 , tiÕp tôc ta cã: xn 0n , yn n0 , zn 0n , tn 0n , 2 2 2 2 Là số nguyên vơi n, điều xảy x0 y0 z0 t0 VËy ( 0, 0, 0, ) lµ nghiƯm nhÊt cđa phơng trình cho Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x y 50 Gi¶i: Ta thÊy �x, y �50 tõ y 50 x ta cã y 50 x 50 x 50 x 10 x 50 k 25.(k Z ) Vì y nguyên nên x 4k � x 2k (k �Z ) víi 2k ��� k chØ cã thĨ nhËn giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; Lựa chọn k số để thoả mãn phơng trình ta đợc nghiệm: ( x; y ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32; 2);(50;0) Dạng 7: Một số dạng khác Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y 12(1) Gi¶i: Ta cã: (1) � 3( x 1) 5(3 y ) Do (3, 5) = nªn ( x 1)M5 vµ (3 y )M3 §Ỉt x 5k , y 3l Ta cã: 3.5k 5.3l � k l (k , l �Z ) � �x 5k �0 � k� � � � k l VËy x = 2, y = Do ®ã: � �y 3l �0 � l Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Phơng trình có hai nghiệm nguyên ( 2, ); ( -2, ) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x xy y 16 Gi¶i: Tac cã: x xy y 16 � ( x y ) y 16 �x y �4 �x y hc � �y �y Vì: 16 42 02 nên Giải hệ phơng trình ta đợc nghiệm nguyên phơng trình là: ( x; y ) (4;0);(4;0);(8; 4);(8; 4); Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3( x xy y ) x y Giải: Phơng trình cho đợc viết lại là: 3x (3 y 1) x y y 0(1) Phơng trình (1) có nghiệm chØ khi: (3 y 1)2 12(3 y y ) �0 � 27 y 90 y �0 Do y nguyªn nªn �y �3 � y � 0;1; 2;3 +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x = +)Víi y = y = ta có không tìm đợc x nguyên Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên lµ ( x ; y ) = ( ; ); ( ; ); Phần II: Bài tập Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có d Giải phơng trình tập số nguyên a) x y 17 b) x y 17 c) x y d) x 122 y 32 e)15 x y f) x x y 37 Dạng 2: Phơng pháp phân tích Giải phơng trình tập số nguyên 10 Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên a) 5( x y ) 3xy b) 2( x y ) 3xy c) x y 91 d) x x y e) x y 169 e) x y 1999 Dạng 3: Phơng trình đối xứng Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau a) x y xyz x b) x y z xyz y x d) y 1 z t e) c) x y z t xyzt f) 1 1 x y z t Dạng 4: Phơng pháp loại trừ Giải phơng trình trªn tËp sè nguyªn a) x xy 13 y 100 b)1 x x x3 y x x x3 x y d) x y ( y 1)( y 2)( y 3) c) e) ( x 2) x y f) x( x 1)( x 7)( x 8) y D¹ng 5: Phơng pháp xuống thang Giải phơng trình tập sè nguyªn a) x3 y z b) x y z u c) x y z xyz Dạng Dạng Giải phơng trình tập số nguyên a) ( x y 1) 3( x y 1) x y 1 z b) x y z xy yz z c) x y z 11 ... sè d không vợt 7, 2008 8(mod16) Suy phơng trình nghiệm nguyên Dạng 2: Phơng pháp phân tích Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b,... nghiện nguyên dơng Với x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phơng trình có nghiệm (1,1) (3,3) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6 3x3 y Giải: Rõ ràng x = 0, y = nghiệm nguyên. .. x 1) suy x x không số phơng nên (1) nghiệm nguyên +)Nếu x < - th× tõ ( x 1) x x x suy (1) nghiệm nguyên Chuyên đề : Phơng trình nghiệm nguyên y0 y 1 � +)NÕu x = hc x = - th×