ĐỀ THI Phạm Bá Thanh Hoa1112

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 - 2012 THANH HÓA §Ị CHÝNH THøC MƠN: TỐN Lớp thcs Thời gian làm 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng năm 2012 Câu I (4đ) æ x- æ x - +1 x +8 ữ ỗ ỗ ữ + : ỗ ỗ Cho biu thc P = ỗỗ ữ ỗx - x - - ữ ỗ ố3 + x - 10 - x ø è x- ö ÷ ÷ ÷ ÷ 1ø 1) Rút gọn P 2) Tính giá trị P x = 3+ 2 3− 2 −4 3−2 3+ 2 Câu II (4đ) Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1) Tính độ dài AB 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB Câu III (4đ)  x2  +x=2  y 1) Giải hệ phương trình  y + y =  x 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng: 1) ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2) KH ⊥ AM Câu V (2đ) Với ≤ x; y; z ≤ Tìm tất nghiệm phương trình: x y z + + = + y + zx + z + xy + x + yz x + y + z (Cán coi thi khơng giải thích thêm) ST: Nguyễn Xuân Chiến Họ tên thí sinh SDB SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02/2012 Câu 1:ĐK < x ¹ 10 1) P= x - +9 é x - +4ù ú :ê ê x- ú 10 - x x ê ú ë û P= 3( x - + 3) x - x - - 10 - x x - +4 P= x - 1( x - 10)( x - - 2) 3( x - 2) =2(10 - x)( x - 1- 4) 2( x - 5) ( b) x = 3+2 3- 2 ) 3- 2 = (3 + 2) 3+2 (3 - 2) = + 2 - 3- 2 => x= + - ( - 1) = x>1 Vậy P=0 Câu II: 1) Hồnh độ giao điểm nghiệm phương trình x2+x-2=0 => x=1 x=2 Vậy A(1,-1) B(-2;-4) A(-2;-4) vàB(1;-1) 2)Để (d’) cắt (P) điểm phân biệt phương trình x2-x+m=0 (1) có hai nghiệm phân biệt D > m < Ta có khoảng cách AB2 =18 để CD = AB (x1-x2)2+(y1-y2)2=18 (x1-x2)2=9 (x1+x2)2-4x1x2=9 1-4m-9=0=> m=-2(TM) Vậy C(-1,-3) D(2;0) D(-1;-3) C(2;0 Câu III 1,ĐK x ¹ 0, y ¹ Đặt x=ky ( k ¹ 0) ST: Nguyễn Xuân Chiến  x2 ïìï (k + k ) y = + x =  ï  y í  ïï ( +1) y = (1) ïỵ k y + y =  x Nếu k=-1 hệ phương trình (1) vơ nghiệm nên hệ phương trình cho vơ nghiệm Nếu k ¹ -1 (k + k )k =4 từ (1) => k +1 => k=2 k = -2 3 Nếu k=2 => ( x, y ) = ( ; ) Nếu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, Từ 2x6 + y2 – x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2 £ 320 mà x nguyên nên x £ Nếu x=1 x=-1 y khơng ngun (loại) Nếu x=2=> y=-2 y=6 Nếu x=-2 => y=-6 y=2 Vậy phương trình cho có cặp nghiệm (x;y) là(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) Câu IV: 1) Ta có Eµ = Fµ = 900 nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm (C1) trung điểm AH ¼ · EAH = sd EH (1) · · mà EAH (2) ( phụ với góc ACD) = CBE · · (3)( đương trung tuyến ứng với cạng huyền) MEB = CBE ¼ · = sd EH Từ (1), (2) (3) ta có MEH => ME tiếp tuyến đường tròn tâm (C1) ST: Nguyễn Xuân Chiến A F E N B K C D M C 2, gọi giao điểm AM với KH N trước tiên chứng minh điểm A,E,H,N,F thuộc đường tròn · E = ACB · · E = AFE · · · Ta thấy AF ; AN => ANE = ACB => nghĩa C,M,N, F thuộc đường tròn chứng minh A,E,N, B nội tiếp · KNM = 900 KH ⊥ AM Câu V:: vai trò x,y,z nên £ x £ y £ z £ y z + = + z + zy y + z y z 1 Nếu x= => => (1 + z - y + z ) + (1 + zy - y + z ) = y + z ( y - 1)( y +1 + z ) z2 - 1 => + = (1 + z )( y + z ) (1 + yz )( y + z ) y + z Ta có VT ³ mà VP < nên trường hợp khơng có nghiệm Nếu x khác mà £ x £ y £ z £ ⇔ ( z − 1)(1 − x ) ≤ + zx ≥ x + z >0 ⇔ x + z − zx − ≤ ⇔ x − zx + z − ≤ với ≤ x; z ≤ Dấu “=” xảy khi: x=z=1 + Ta có: + zx ≥ x + z ⇔ + y + zx ≥ x + y + z ⇒ x x ≤ + y + zx x + y + z ST: Nguyễn Xuân Chiến y y ≤ + z + xy x + y + z z z ≤ + x + yz x + y + z y x+ y+z x z ⇒ VT = + + ≤ = (1) + y + zx + z + xy + x + yz x + y + z + Mặt khác, vì: ≤ x; y; z ≤ ⇒ x + y + z ≤ 3 ⇒ VP = ≥ = Dấu “=” xảy : x=y=z=1 (2) x+ y+z + Từ (1) (2) ⇒ VT = VP khi: VT = VP = Khí x=y=z=1 * Vậy phương trình có nghiệm nhất: ( x; y; z ) = (1; 1; 1) + Tương tự: ST: Nguyễn Xuân Chiến ...Họ tên thí sinh SDB SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2011-2012 Mơn : TỐN Ngày thi :18/02/2012 Câu 1:ĐK < x ¹ 10 1) P= x - +9 é x - +4ù