DE VA DAP AN HSG VINH PHUC 2012

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ———————————— Câu (3,0 điểm) Cho f  x   x3 Hãy tính giá trị biểu thức sau:  3x  3x   A f    2012    f     2012   2010  f   2012   2011  f   2012  x2 x x 1 1 2x  x   x x 1 x x  x  x x2  x Tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Cho biểu thức P  Câu (1,5 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương  x ; y  thỏa mãn  x  y    x  y   Câu (1,5 điểm) Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn điều kiện: abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d  2012 Chứng minh rằng:  a  1 b  1 c  1 d  1  2012 Câu (3,0 điểm) Cho ba đường tròn  O1  ,  O2   O  (kí hiệu  X  đường tròn có tâm điểm X) Giả sử  O1  ,  O2  tiếp xúc với điểm I  O1  ,  O2  tiếp xúc với  O  M , M Tiếp tuyến đường tròn  O1  điểm I cắt đường tròn  O  điểm A, A ' Đường thẳng AM cắt lại đường tròn  O1  điểm N1 , đường thẳng AM cắt lại đường tròn  O2  điểm N Chứng minh tứ giác M N1 N M nội tiếp đường thẳng OA vng góc với đường thẳng N1 N Kẻ đường kính PQ đường tròn  O  cho PQ vng góc với AI (điểm P nằm cung  AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM , QM khơng song song đường thẳng AI , PM QM đồng quy Câu (1,0 điểm) Tất điểm mặt phẳng tô màu, điểm tơ màu xanh, đỏ, tím Chứng minh ln tồn tam giác cân, có đỉnh thuộc điểm mặt phẳng mà đỉnh tam giác màu đôi khác màu —Hết— Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………… Câu 1 Chứng minh: f(x) + f(1-x) = 1, f  x   x3  3x  3x Mà f(1006/2012) = f(1/2) = 1/2 Từ đó: A = 2011/2 Cho biểu thức P  ĐKXĐ: x  0; x  Rút gọn: P  x 2 x2 x x 1 1 2x  x   x x 1 x x  x  x x2  x = 1+ 1 x x  x 1 x  x 1 Dễ thấy  P  Từ P = P = 2, từ x = x = (Loại) Vậy không tồn x để P nhận giá trị nguyên Câu 2: x  y  n Vì x , y ngun dương nên ln tồn số n thỏa mãn   x  y   n x  y  x  Đặt –n = a ta tìm a = suy    x  y   8  y  Vậy cặp số nguyên dương cần tìm (x,y) = (1,3) Bài 3: Ta có: ta suy n  2012   abc  bcd  cda  dab  a  b  c  d     ab  1 c  d    cd  1 a  b   2 2 2   ab  1   a  b    cd  1   c  d      2 2 2 2   a b  a  b  1 c d  c  d  1   a  1 b  1 c  1 d  1 Từ suy điều phải chứng minh Bài 4: Câu a: Áp dụng tính chất đoạn tiếp tuyến cát tuyến cắt nhau: + Trong (O1): AI2 = AN1.AM1 + Trong (O2): AI2 = AN2.AM2 Do đó: AN1.AM1= AN1.AM1 nên tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp Gọi H giao OA với N1N2 Ta suy góc A N1N2 = HN1 A  N1 AH  900  AHN1  900  OA  N1 N b) Gọi K giao điểm PM1 với QM2 ta chứng minh PQ // O1O2 Suy 900 suy  O1M1I’ =  O1I’M1 nên tam giác O1M1I’ cân ( I’ giao điểm QM1 O1O2) Suy O1I’ = O1M1 Suy I  I’ nên Q, I, M1 thẳng hàng suy QM1  PK Chứng minh tương tự ta có PM2  KQ nên I trực tâm tam giac KPQ suy PQ  KI mà AI  PQ nên K, I, A thẳng hàng Vậy PM1, QM2, AI đồng quy K QM2 không song song với PM1 Bài 5:Cách 1: Vẽ ngũ giác ABCDE Theo nguyên lý Dirichle tồn đỉnh cung màu Gỉa sử đỉnh A B màu xanh + đỉnh B,C,D có màu xanh suy điều phải chứng minh + Nếu ba đỉnh B,C,D khơng tơ xanh mà tơ màu suy đpcm + Nếu đỉnh B, C, D có hai đỉnh màu ( Giả sử D,C tơ đỏ B tơ tím) tam giác DEB thoa mãn đkđb Ta có điều phải chứng minh Cách 2: Vẽ Hình vng ABCD có tâm O Lập luận tương tự cách với điểm A,B,C,D,O Ta đpcm  ... dụng tính chất đoạn tiếp tuyến cát tuyến cắt nhau: + Trong (O1): AI2 = AN1 .AM1 + Trong (O2): AI2 = AN2 .AM2 Do đó: AN1 .AM1= AN1 .AM1 nên tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp Gọi H giao OA với N1N2 Ta suy góc... 5:Cách 1: Vẽ ngũ giác ABCDE Theo nguyên lý Dirichle tồn đỉnh cung màu Gỉa sử đỉnh A B màu xanh + đỉnh B,C,D có màu xanh suy điều phải chứng minh + Nếu ba đỉnh B,C,D không tô xanh mà tô màu suy đpcm...Câu 1 Chứng minh: f(x) + f(1-x) = 1, f  x   x3  3x  3x Mà f(1006 /2012) = f(1/2) = 1/2 Từ đó: A = 2011/2 Cho biểu thức P  ĐKXĐ: x  0; x  Rút gọn: P  x 2 x2