Giáo trình hình học họa hình

HÌNH HỌC HOẠ HÌNH là môn học nghiên cứu những phương pháp biểu diễn các hình không gian (hay các vật thể không gian) trên các mặt (thông thường là trên các mặt phẳng) và cách giải các bài toán trên hình biểu diễn (như xác định vị trí của các điểm, đường, xác định độ dài đoạn thẳng hay tìm giao tuyến của hai mặt... ). Môn học này nhằm rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy không gian đồng thời cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn VẼ KỸ THUẬT. Môn học Vẽ Kỹ Thuật sẽ cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ bản về vẽ kỹ thuật, bồi dưỡng khả năng lập và đọc bản vẽ “ Ngôn ngữ của kỹ thuật “

BÀI 1 : MỞ ĐẦU - CÁC PHÉP CHIẾU (2T) 1.1 Giới thiệu môn học và tài liệu

1.1.1 Vị trí, vai trò của môn học

- HÌNH HỌC HOẠ HÌNH là môn học nghiên cứu những phương pháp biểudiễn các hình không gian (hay các vật thể không gian) trên các mặt (thôngthường là trên các mặt phẳng) và cách giải các bài toán trên hình biểu diễn(như xác định vị trí của các điểm, đường, xác định độ dài đoạn thẳng hay tìmgiao tuyến của hai mặt )

- Môn học này nhằm rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy không gian đồngthời cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn VẼ KỸTHUẬT Môn học Vẽ Kỹ Thuật sẽ cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơbản về vẽ kỹ thuật, bồi dưỡng khả năng lập và đọc bản vẽ “ Ngôn ngữ của kỹthuật “

1.1.2 Nội dung của môn học và các ký hiệu dùng trong môn học

Nội dung gồm 11 bài trong thời gian 30 tiết, cùng với các bài tập về nhà và BTL

Bài 1 Mở đầu – Các phép chiếu Bài 2 Biểu diễn điểm

Bài 3 Đường thẳngBài 4 Mặt phẳngBài 5 Vị trí tương đối của hai mặt phẳngBài 6 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳngBài 7 Các phép biến đổi hình chiếu

Bài 8 Biểu diễn đường và mặtBài 9 Giao tuyến của mặt phẳng với các mặtBài 10 Giao của đường thẳng với các mặtBài 11 Giao của hai mặt

Một số ký hiệu, chữ viết tắt dùng trong môn học:

A, B, C, 1, 2, 3, các điểm trong không gian

A1, B1, C1, 11, 21, 31, hình chiếu đứng của các điểm

A2, B2, C2, 12, 22, 32, hình chiếu bằng của các điểm

a, b, c, ,m, n, các đường trong không gian

a1, b1, c1, ,m1, n1, : hình chiếu đứng các đường trong không gian

a2, b2, c2, ,m2, n2, : hình chiếu bằng các đường trong không gian

A, B, C, , P, Q, R, : các mặt phẳng trong không gian

1

v2A, v2B, v2C, , v2P, v2Q, v2R, vết bằng của các mặt phẳng

1.1.3 Tài liệu tham khảo:

1- Hình học hoạ hình Tập 1 – NXB Giáo dục 2006 Nguyễn Đình Điện

2- Hình học họa hình – NXB GTVT 2006 Nguyễn Sỹ Hạnh

3- Bài tập hình học hoạ hình – HVKTQS 1988

4- Bài tập lớn hình học hoạ hình – HVKTQS 2007

1.2 Mở rộng không gian Ơ-cơ-lit 3 chiều

Mở rộng không gian Ơcơlit 3 chiều bằng cách bổ sung các yếu tố vô tận:

Tại sao phải mở rộng không gian ơclit 3 chiều ?

Ở phổ thông ta không xét tới các yếu tố vô tận của không gian Do đó đường thẳng songsong với mặt phẳng là đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng điều này sẽ dẫntới một hiện tượng là: Trong phép chiếu xuyên tâm những điểm nằm trong mặt phẳng Q

đi qua tâm chiếu S và song song với mặt phẳng chiếu P sẽ không có hình chiếu!

Để tránh hiện tượng trên trong Hình Học Họa Hình không gian được nghiên cứu sẽ làKHÔNG GIAN ƠCLIT 3 CHIỀU MỞ RỘNG Đó là không gian Ơclit 3 chiều bao gồm

cả các yếu tố vô tận Nghĩa là:

- Trên mỗi đường thẳng có một điểm vô tận Hai đường thẳng song song là haiđường thẳng cắt nhau tại điểm vô tận

- Trên mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vô tận Đường thẳng song song vớimặt phẳng là đường thẳng cắt mặt phẳng tại điểm vô tận Như vậy trên Hình1

ta thấy điểm M có hình chiếu là điểm vô tận M’∞

- Trong không gian có một mặt phẳng vô tận Hai mặt phẳng song song là haimặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng vô tận

Vai trò của các yếu tố hữu hạn và vô tận là như nhau Trên hình 2 ta thấy hình chiếu của điểm M (Hữu hạn) là điểm vô tận Trong khi đó hình chiếu của điểm vô tân N∞ thuộc đường thẳng d lại là điểm hữu hạn N’

1.3 Các phép chiếu

1.3.1 Phép chiếu xuyên tâm

* Cách thành lập:

-Trong không gian lấy mặt phẳng P và một

điểm S không thuộc P Chiếu một điểm A bất

2

P

S A

A ′

Hình 1

kỳ trong không gian từ điểm S lên P là thực

hiện các bước sau: Vẽ đường thẳng SA, xác

định giao điểm A′ = SA ∩ P (Hình 1)

- Các tên gọi: Phép chiếu điểm A từ tâm S lên mặt phẳng P nêu trên gọi là phép chiếuxuyên tâm Mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng hình chiếu S gọi là tâm chiếu SAđược gọi là tia chiếu A′ gọi là hình chiếu xuyên tâm của điểm A

- Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn được xác định khi biết mặt phẳng hình chiếu và tâm

chiếu Để xác định hình chiếu của một hình người ta vẽ hình chiếu của các yếu tố xácđịnh hình đó và đường bao quanh hình chiếu của nó

* Tính chất:

Phép chiếu xuyên tâm có các tính chất cơ bản sau:

- Hình chiếu của một điểm là một điểm Điểm thuộc mặt phẳng có hình chiếutrùng với chính nó

- Hình chiếu của một đường thẳng không đi qua tâm chiếu là một đường thẳng.Hình chiếu của một đường thẳng đi qua tâm chiếu là một điểm, người ta gọiđường thẳng đó là đường thẳng chiếu

- Mặt phẳng đi qua tâm chiếu gọi là mặt phẳng chiếu Hình chiếu của mặtphẳng chiếu là một đường thẳng

- Trong phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tỷ số kép của bốn điểm thẳng hàng.Nghĩa là với 4 điểm thẳng hàng A, B, C, D có hình chiếu A’, B’, C’, D’ Thì

ta có

''

'':''

'''

:

B D

A D B C

A C DB

DA CB

CA = Viết gọn là (ABCD)=(A’B’C’D’).

1.3.2 Phép chiếu song song

* Định nghĩa:

Phép chiếu song song là phép chiếu mà các tia

chiếu song song với nhau theo một hướng l nào đó

Cho mặt phẳng hình chiếu P và hướng chiếu l (l là

một đường thẳng cắt P) Chiếu một điểm A theo

hướng l lên mặt phẳng P là qua điểm A ta vẽ đường

thẳng song song với l và tìm giao điểm A’ của đường

thẳng này với mặt phẳng P A’ chính là hình chiếu của A trên mặt phẳng P

* Tính chất:

Ta nhận thấy, rằng phép chiếu song song thực ra là phép chiếu xuyên tâm khi tâm chiếu ở

vô cùng vì vậy nó có đầy đủ tính chất của phép chiếu xuyên tâm ngoài ra nó có thêm một

''

''

B C

A C CB

CA

= Viết gọn thành (ABC) = (A’B’C’)

Từ hai tính chất trên ta có thể đưa ra hệ quả sau:

Tỷ số của hai đoạn thẳng song song bằng tỷ số của hai đoạn thẳng hình chiếu củachúng Nghĩa là Khi AB, CD là hai đoạn thẳng song song có hình chiếu A’B’, C’D’thì :

''

''

D C

B A CD

Phép chiếu thẳng góc có tất cả các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra nó còn

có thêm tính chất quan trọng sau đây:

Điều kiện cần và đủ để góc vuông xOy chiếu thẳng góc thành góc vuông x’O’y’ là gócvuông xOy không nằm trong mặt phẳng chiếu và có ít nhất và có một cạnh song songvới mặt phẳng hình chiếu

* Hình chiếu thẳng góc của đường tròn

- Hình chiếu thẳng góc của hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu song song vớimặt phẳng đường tròn là đường tròn (bằng chính đường tròn đó)

- Hình chiếu thẳng góc của hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu vuông góc vớimặt phẳng đường tròn là đoạn thẳng bằng đường kính của đường tròn

- Hình chiếu thẳng góc của hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu không songsong và không vuông góc với mặt phẳng đường tròn là một elíp có:

4

+ Tâm elíp là hình chiếu của tâm đường tròn

+ Trục dài là hình chiếu của đường kính song song với mặt phẳng hìnhchiếu

+ Trục ngắn là hình chiếu của đường kính vuông góc với đường kính songsong với mặt phẳng hình chiếu

5

BÀI 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM 2.1 Biểu diễn điểm trên hai mặt phẳng hình chiếu

*Cách thành lập đồ thức và các định nghĩa:

Trong không gian lấy hai mặt phẳng P1, P2 vuông góc với nhau làm hai mặt phẳnghình chiếu Trong đó P 1 là mặt phẳng thẳng đứng, P 2 là mặt phẳng nằm ngang, giaotuyến của chúng là đường thẳng x (Hình 2.1 a)

Giả sử có điểm A trong không gian

- Chiếu thẳng góc điểm A lên P 1 được A1, lên P 2 được A2

- Quay P 2 quanh trục x sao cho nửa trước P 2 trùng với nửa dưới P 1 Khi đó tađược hình 2.1 b

Vì mặt phẳng (AA1A2) vuông góc với đường thẳng x tại Ax nên trên hình 2.1b A1A2

vuông góc với x tại Ax

Cặp điểm (A1, A2) mà A1A2 ⊥ x = Ax gọi là đồ thức của điểm A

- P1 là mặt phẳng hình chiếu đứng

- P2 là mặt phẳng hình chiếu bằng

- x = P1∩ P2 gọi là trục phép chiếu

- A1 là hình chiếu đứng của điểm A

- A2 là hình chiếu bằng của điểm A

P2

P1

x I

III IV II

- A1A2⊥x tại Ax là đường dóng thẳng đứng

- Khoảng cách từ A đến P1 gọi là độ xa của A Độ xa của một điểm dương, bằngkhông hoặc âm nếu điểm đó ở phía trước, thuộc hoặc ở phía sau mặt phẳng P 1 Trênhình 2.1b độ xa của điểm A là A2A x = AA1

- Khoảng cách từ A đến P2 gọi là độ cao của A Độ cao của một điểm dương, bằngkhông hoặc âm nếu điểm đó ở phía trên, thuộc hoặc ở phía dưới mặt phẳng P 2 Trênhình 2.1b độ cao của điểm A là A1A x = AA2

- Hai mặt phẳng P1 và P2 chia không gian làm bốn phần và ta gọi chúng là các gócphần tư: góc phần tư I là không gian giới hạn trước P1 và trên P2

góc phần tư II sau P1 và trên P2

góc phần tư III sau P1 và dưới P2

góc phần tư IV trước P1 và dưới P2

- Mặt phẳng phân giác của góc phân tư I và III được gọi là mặt phẳng phân giác I, kíhiệu là G1,3 Mọi điểm thuôc mặt phẳng G1,3 luôn có hai hình chiếu đối xứng nhauqua trục x

- Mặt phẳng phân giác II và IV được gọi là mặt phẳng phân giác II, kí hiệu là G2,4.Mọi điểm thuôc mặt phẳng G2,4 luôn có hai hình chiếu đối trùng nhau

* Tính chất đồ thức: Nếu có một cặp điểm (A1, A2) thì xác định duy nhất một điểm Atrong không gian, và ngược lại, nếu có một điểm A thì có duy nhất một cặp điểm(A1,A2) là đồ thức của nó

Hãy cho biết các điểm A, B, , H thuộc các góc

phần tư hay các mặt phẳng nào

2.2 Biểu diễn điểm trên ba mặt phẳng hình chiếu

* Cách thành lập đồ thức và các định nghĩa

- Trong không gian ta chọn 3 mặt phẳng P1, P2, P3 từng đôi một vuông góc nhaulàm các mặt phẳng hình chiếu Trong đó P1 là mặt phẳng thẳng đứng, P2 là mặt phẳngnằm ngang và các giao tuyến:

x = P1∩ P2

y = P2∩ P3

z = P3∩ P1

- Giả sử có điểm A trong không gian Chiếu thẳng góc điểm A lên P1 được A1, lên

P2 được A2 và lên P3 được A3 (Hình 2.3a)

- Quay P2 quanh trục x sao cho nửa trước P2 trùng với nửa dưới P1, nửa sau P2

trùng với nửa trên P1

A

y A

z A

x A y A

y A

- Quay P3 quanh trục z sao cho nửa trước P3 trùng với nửa phải P1, nửa sau P2

trùng với nửa trái P1

- Sau khi quay ta được bộ ba hình chiếu (A1, A2, A3) biểu diễn điểm A mà A1A2 ⊥ xtại Ax, A1A3⊥ z tại Az (Hình 2.3b) gọi là đồ thức của điểm A trong hệ thống 3 mặt phẳnghình chiếu (Hình 2.3b)

Ngoài những tên gọi và tính chất ở mục 2.1 ta có thêm một số tên gọi mới như sau:

- A3 là hình chiếu cạnh của điểm A

- P3 là mặt phẳng hình chiếu cạnh

- A1, A3 cùng thuộc đường dóng nằm ngang vuông góc với trục chiếu z tại Az

- Khoảng cách từ A đến P3 gọi là độ xa cạnh với quy ước điểm thuộc P3 có độ xacạnh bằng 0, điểm ở phía trái P3 có độ xa cạnh dương, điểm ở phía phải P3 có độ xacạnh âm Trên hình vẽ (Hình 2.3a) ta có độ xa cạnh của A là:

y

Z A A A

2 cách vẽ: Giả sử có hệ thống 3 mặt phẳng hình chiếu biểu diễn trên mặt phẳng bằng

3 trục x, y, z Ta đã có 2 hình chiếu của điểm A, đó là (A1, A2) Để vẽ A3 ta tiến hành nhưsau:

C1: Từ A2 kẻ đường // với x cắt trục y thẳng đứng tại Ay Lấy O làm tâm, quay cungbán kính OAy cắt trục y nằm ngang tại Ay Từ Ay trên trục y nằm ngang này, kẻ đườngthẳng // trục z Từ A1 kẻ đường thẳng vuông góc với trục z tại Az, đường kéo dài này sẽcắt đường thẳng từ Ay tại A3 A3 chính là hình chiếu thứ 3 (hình chiếu cạnh của A)

C2: Từ A2 kẻ đường // với x cắt trục y thẳng đứng tại Ay Qua Ay kẻ đường thẳngvuông góc với đường phân giác góc xOz (hay yOy) cắt trục y nằm ngang tại Ay Từ Ay

trên trục y nằm ngang này, kẻ đường thẳng // trục z Từ A1 kẻ đường thẳng vuông góc với

9

trục z tại Az, đường kéo dài này sẽ cắt đường thẳng từ Ay tại A3 A3 chính là hình chiếu thứ

3 (hình chiếu cạnh của A)

Các phần tiếp theo sẽ trình bày trong hệ thống 2 mặt phẳng hình chiếu Đối với một

số trường hợp đặc biệt mới dùng mặt phẳng hình chiếu cạnh

* Luyện tập

BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG (3T) 3.1 Biểu diễn đường thẳng thường

Người ta biểu diễn một đường thẳng bằng 2 điểm của đường thẳng đó Ví dụ: đườngthẳng p được xác định bằng hai điểm A và B thì đồ thức của đường thẳng p là cặp (p1, p2)với p1 xác định bởi A1B1, p2 xác định bởi A2B2 (Hình 3.1a)

Căn cứ vào vị trí tương đối giữa đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu, người tachia đường thẳng thành hai loại: đường thẳng thường và đường thẳng đặc biệt

Đường thẳng thường là đường thẳng không song song, không thẳng góc với mộttrong các mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.1b)

Đường thẳng đặc biệt là đường thẳng song song hoặc vuông góc với một trong cácmặt phẳng hình chiếu

+ Gọi vết đứng của đường thẳng d là M Để xác định nó trước hết ta tìm: M2 = x ∩ d2

rồi từ M2 dóng lên tìm M1 thuộc d1

+ Gọi vết bằng cña đường thẳng d là N Để xác định nó trước hết ta tìm N1 = x ∩ d1

+ Hình chiếu đứng của đường bằng luôn song song với trục chiếu x: b1//x

+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường bằng b có độ dài bằng độ dài hình chiếu bằngcủa nó: AB= A2B2

+ Góc hợp bởi đường bằng với mặt phẳng hình chiếu đứng là α bằng góc hợp bởihình chiếu bằng của nó với trục chiếu x: α = (b, P1) = (b2, x)

b //1

2

b

b x

- Tính chất: (Hình 3.3b)

+ Hình chiếu bằng đường mặt m luôn song song với trục chiếu x: m2//x

+ Một đoạn thẳng AB thuộc đường mặt m có độ dài bằng độ dài hình chiếu đứngcủa nó: AB= A1B1

+ Góc hợp bởi đường mặt và mặt phẳng hình chiếu bằng P2 bằng góc hợp bởihình chiếu đứng của nó với trục chiếu x: β = (m, P2) = (m1, x)

2

B2

c2A

Hình 3.5

)

+ Góc hợp bởi đường cạnh với hình chiếu bằng là β bằng góc hợp bởi trục y vàhình chiếu cạnh của nó.

+ Góc hợp bởi đường cạnh và hình chiếu đứng là α bằng góc hợp bởi trục z vàhình chiếu cạnh của nó

+ Đường cạnh luôn được biểu diễn bởi 2 điểm của nó trong hệ thống hai mặtphẳng hình chiếu

1

B x

2 A B

d ≡ ≡ P2

1

B x

- Tính chất: (Hình 3.7b)

+ Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng suy biến thành một điểm:

1 1

Hình 3.8

)

+ Đoạn thẳng AB thuộc đường thẳng chiếu cạnh n có độ dài bằng độ dàihình chiếu bằng hoặc độ dài hình chiếu đứng của nó AB= A1B1 = A2B2

3.4 Điều kiện điểm thuộc đường thẳng

3.4.1 Đường thẳng không phải là đường cạnh

Điểm A thuộc đường thẳng m tương đương với trên đồ thức A1∈ m1 và A2∈ m2 (A1

)( 1 1 1 2 2 2

2 2 2

1 1 1

C B A C B A

B A C

B A C

1 1 1

B A C

B A C

222

B A C

B A C

Ví dụ: Cho điểm C thuộc đường cạnh AB, đã biết hình chiếu đứng C1 hãy tìm hìnhchiếu bằng C2

Giải

Cách1: áp dụng định lý 1 vẽ tia A2m bất kỳ đặt trên tia này

các đoạn thẳng A2C’ = A1C1 ; C’B’ = C1B1 Vẽ C’C2 // B’B2

Cách 2: áp dụng định lý 2 Ta vẽ hình chiếu cạnh A3B3, Tìm

hình chiếu cạnh C3 (C1C3//x) rồi suy ra C2

3.5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

3.5.1 Hai đường thẳng cắt nhau

a) Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là các hình chiếucùng tên của chúng cắt nhau tại các điểm cùng thuộc một đường dóng (Hình 3.12)

I d l

I d l I d l

2 1

2 2 2

1 1 1

b) Đối với một trong 2 đường thẳng là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để đường thẳng l cắt đường cạnh CD tại I là:

2 2 2 2

1 1 1 1

I D C I D C

I D C l

I D C l

3.5.2 Hai đường thẳng song song

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là các hìnhchiếu cùng tên của chúng song song nhau

a) Đối với 2 đường thẳng không phải là đường cạnh, áp dụng định lý trên ta có:

1 1

//

//

//

b a

b a b

b) Đối với 2 đường thẳng cạnh

+ Xét trong hệ ba mặt phẳng hình chiếu thì điều kiện để hai đường thẳngcạnh song song nhau là hình chiếu cạnh của chúng song song nhau

+ Xét trong hệ 2 mặt phẳng hình chiếu: hai đường thẳng cạnh CD//EF thìbốn điểm C, D, E, F đồng phẳng Khi đó C1F1∩ D1E1 = O1, C2F2∩ D2E2 = O2 và O1O2⊥x

3.5.3 Hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng không thỏa mãn các điều kiện về song song và cắt nhau thì chúngchéo nhau (Hình 3.14)

Các đồ thức sau là đồ thức của hai đường thẳng chéo nhau:

3.6 Tìm độ dài thật của đoạn thẳng bằng phương pháp tam giác vuông

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB bởi (A1B1, A2B2) Hãy xác định độ dài AB và gócnghiêng của AB với các mặt phẳng hình chiếu

- Vẽ BA0 // B2A2, do đó BA0⊥AA2

Xét ∆ABA0 vuông ở A0 có:

2 2 2 0 2 0

2 2

0

BB AA A A AA

AA

A B

A và B; Góc β đối diện với hiệu độ cao là góc nghiêng của AB với mặt phẳng hình chiếu bằng P2(Hình 3.16)

- Vẽ AB0 // A1B1, AB0⊥ BB1

Xét ∆ABB0 vuông ở B0

1 1 0 1 0

1 1

0

AA BB BB BB

BB

B A

Để biểu diễn mặt phẳng người ta biểu diễn các yếu tố xác định mặt phẳng đó

Tương ứng với 4 trường hợp xác định mặt phẳng ta có:

+ Ba điểm không thẳng hàng A, B, C (Hình 4.1a)

+ Một điểm A và một đường thẳng l không chứa A (Hình 4.1b)

+ Hai đường thẳng cắt nhau: m∩n=O (Hình 4.1c)

+ Hai đường thẳng song song: a // b (Hình 4.1d)

4.3 Biểu diễn các mặt phẳng có vị trí đặc biệt

v1Q

v2Q

x x

Q v

Q

v1

Q v

C B A ABC Q

C B A

//

,,,

,

2 2 2 2

1 1 1

C B A ABC Q

C B A

//

,,,

,

1 2 2 2

2 2 2

Q có A1, B1, C1 thẳng hàng trên đường dóng vuông góc với trục x

+ Độ lớn của một hình phẳng thuộc mặt phẳng cạnh được bảo toàn trên hìnhchiếu cạnh của nó ∆ABC =∆A3B3C3

4.3.7 Mặt phẳng phân giác G13 và G24

- Khái niệm:

23

+ Mặt phẳng hình chiếu đứng P1 và mặt phẳng hình chiếu bằng P2 chia khônggian ra làm 4 phần: góc phần tư I ở phía trước P1 và phía trên P2; góc phần tư thứ II

ở phía sau P1 và phía trên P2; góc phần tư thứ III ở phía sau P1 và phía dưới P2; gócphần tư thứ IV ở phía trước P1 và phía dưới P2

+ Mặt phẳng phân giác thứ nhất G13 là mặt phẳng phân giác góc phần tư I vàgóc phần tư III, mặt phẳng phân giác thứ 2 G24 là mặt phẳng phân giác góc phần tư

II và góc phần tư IV

- Tính chất:

+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm (hoặc một đường thẳng,hoặc một mặt phẳng) trùng nhau thì điểm đó (hoặc đường thẳng đó, hoặc mặt phẳng đó)thuộc mặt phẳng G24

+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm (hoặc một đường thẳng,hoặc một hình phẳng) mà đối xứng nhau qua trục chiếu x thì điểm đó (hoặc đường thẳng

đó, hoặc hình phẳng đó) thuộc mặt phẳng G13 và ngược lại

+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đường thẳng tạo với trục xnhững góc bằng nhau thì đường thẳng đó nghiêng đều so với mặt phẳng hình chiếu đứng

và mặt phẳng hình chiếu bằng (song song với mặt phẳng phân giác thứ nhất G13) vàngược lại

+ Nếu hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đường thẳng song song nhauthì đường thẳng đó song song với mặt phẳng phân giác thứ hai G24 và ngược lại

+ Nếu vết đứng và vết bằng của mặt phẳng mà đối xứng nhau qua trục x thì nóvuông góc với mặt phẳng phân giác thứ nhất G13 và ngược lại Nếu trùng nhau thì vuônggóc với mặt phẳng phân giác thứ hai G24 và ngược lại Hai trường hợp này mặt phẳng sẽnghiêng đều so với mặt phẳng hình chiếu đứng và mặt phẳng hình chiếu bằng

24

4.4 Điều kiện trên đồ thức để điểm và đường thẳng thuộc mặt phẳng

- Để xem xét một điểm hoặc một đường thẳng có thuộc một mặt phẳng hay khôngngười ta dựa trên hai mệnh đề sau đây:

+ Điểm thuộc mặt phẳng khi điểm đó thuộc một đường thẳng của mặt phẳng.+ Đường thẳng thuộc mặt phẳng khi đường thẳng đó đi qua hai điểm thuộc mặtphẳng

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng Q xác định bởi hai đường thẳng song song a và b Biết A1

của điểm A∈Q Tìm A2

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng Q bởi vết Biết A1 của điểm A∈Q Tìm A2.

Ví dụ 3: Mặt phẳng Q cho bởi hai vết Hãy vẽ đường mặt m ∈Qcó độ xa bằng 3đơn

)

4.5.3 Đường dốc nhất

a) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

- Định nghĩa: Đường dốc nhất d của mặt phẳng Q đối với mặt phẳng hình chiếuđứng P1 là đường thẳng thuộc Q đồng thời vuông góc với đường mặt hoặc vết đứng củamặt phẳng Q (Hình 4.11a)

- Tính chất: (Hình 4.11b)

+ Hình chiếu đứng của đường dốc nhất d của mặt phẳng Q đối với mặtphẳng P1 vuông góc với vết đứng của mặt phẳng (hoặc hình chiếu đứng đường mặt củamặt phẳng) d1 ⊥v1Q

Q Q

+ Vết đứng của đường dốc nhất của Q đối với P1 thuộc v1Q

+ Góc α hợp bởi đường dốc nhất của d của mặt phẳng Q với mặt phẳng hìnhchiếu đứng P1 bằng góc nhị diện hợp bởi mặt phẳng Q với mặt phẳng hình chiếu đứng

P1

b) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

- Định nghĩa: Đường dốc nhất d của mặt phẳng Q đối với mặt phẳng hình chiếubằng P2 là đường thẳng thuộc Q đồng thời vuông góc với đường bằng hoặc vết bằng củamặt phẳng Q (Hình 4.12a)

)

a

)

b

- Tính chất: (Hình 4.12b)

+ Hình chiếu bằng của đường dốc nhất d của mặt phẳng Q đối với mặtphẳng P2 vuông góc với vết bằng của mặt phẳng (hoặc hình chiếu bằng đường bằng củamặt phẳng) d2 ⊥v2Q

+ Vết bằng của đường dốc nhất của Q đối với P2 thuộc vết bằng v2Q

+ Góc β hợp bởi đường dốc nhất của d của mặt phẳng Q với mặt phẳng hìnhchiếu bằng P2 bằng góc hợp bởi mặt phẳng Q với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

5.1.1 Trường hợp đặc biệt (biết 1 hình chiếu của giao tuyến)

Ví dụ 1: Xác định giao tuyến của mặt phẳng Q (m ∩ n) với mặt phẳng bằng R (a ∩ b)

28

Hình 5.1

Lời giải:

Gọi giao tuyến cần tìm là g(g1, g2) được xác định bằng hai điểm Do R (a ∩ b) là mặt phẳng bằng nên ta biết trước g1≡ a1 ≡ b1 Ta tìm g2 dựa vào sự liên thuộc của điểm và đường thẳng:

+ Điểm thứ nhất của g là E = m ∩ R Vì R là mặt phẳng bằng nên ta biết

Hình 5.2

Lời giải:

Gọi giao tuyến cần tìm là g(g1, g2) được xác định bằng hai điểm Do R (a ∩ b) là mặt phẳng bằng nên ta biết trước j1≡ a1 ≡ b1 Ta tìm j2 dựa vào sự liên thuộc của điểm và đường thẳng như sau:

+ Điểm thứ nhất của j là C = l ∩ R Vì R là mặt phẳng bằng nên ta biết C1=l1∩R1

5.1.2 Trường hợp tổng quát (giao tuyến của hai mặt phẳng thường)

Hình 5.3

Bài toán: Hãy xác định giao tuyến h của hai mặt phẳng P(l // k) và Q(m∩n)

Rõ ràng, giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng h (Hình 5.3) Nhưng đểxác định được h thì rất khó, do P(l // k) và Q(m∩n) là hai mặt phẳng bất kỳ Ta thấyrằng, nếu xác định 2 giao tuyến phụ của P với R và Q với R (R do ta chọn tùy ý), thìgiao điểm của 2 giao tuyến phụ này sẽ thuộc h Việc xác định giao tuyến P với R và Qvới R sẽ dễ dàng hơn nhiều do ta chọn R tùy ý, nên sẽ chọn ở những vị trí đặc biệt,chẳng hạn mặt phẳng bằng, đã trình bày ở trên Tương tự, ta chọn thêm R’song song với

R sẽ được thêm một điểm thuộc h nữa, tức là tìm được h

31

Cụ thể, các bước trình bày trên họa đồ sẽ được trình bày dưới đây: (Hình 5.4)

Hình 5.4

5.2 Hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng song song với nhau khi chúng chứa hai cặp đường thẳng cắt nhautương ứng song song với nhau

Giả sử mặt phẳng P xác định bởi (a ∩ b) và Q xác định bởi (a’ ∩ b’) Nếu a // a’ và

b // b’ thì P//Q (Hình 5.5)

32

Trong trường hợp các mặt phẳng biểu diễn bằng vết thì các mặt phẳng song song

nhau khi các vết cùng tên của chúng song song nhau Với hai mặt phẳng chiếu cạnh thì

các vết cạnh của chúng song song nhau (Hình 5.6)

5.3 Hai mặt phẳng vuông góc nhau

Mặt phẳng P vuông góc với mặt phẳng Q khi và chỉ khi nó chứa ít nhất một đường

thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng Q

Trong các cặp mặt phẳng P và Q sau đây, cặp nào vuông góc với nhau:

x

y

Hình 5.6

- Mọi đối tượng được biểu diễn kể cả các mặt phẳng hình chiếu đều đục (không trongsuốt)

Từ hai qui ước trên ta suy ra:

- Nếu hai điểm cùng nằm trên một đường thẳng chiếu đứng thì hình chiếu đứng củađiểm nào có độ xa lớn hơn sẽ thấy Trên hình 6.1 A1 thấy, B1 khuất

- Nếu hai điểm cùng nằm trên một đường thẳng chiếu bằng thì hình chiếu bằng củađiểm nào có độ cao lớn hơn sẽ thấy Trên Hình 6.1 C2 thấy, D2 khuất

34

Hình 6.1

6.1.2 Trường hợp đặc biệt (biết trước một hình chiếu của giao điểm)

Ví dụ 1: Xác định giao điểm của đường thẳng l với mặt phẳng chiếu bằng Q

Ví dụ 2: Xác định giao điểm của đường thẳng chiếu bằng l với mặt phẳng P(i∩ j)

Gọi giao điểm của đường thẳng m với mặt phẳng P là K Trong trường hợp này cảhai hình chiếu của giao điểm đều chưa biết Để tìm K ta thường dùng phương pháp mặtphẳng phụ trợ để xác định giao điểm qua các bước sau:

- Gắn đường thẳng m vào một mặt phẳng R tùy ý (thường dùng R mặt phẳngchiếu)

- Việc xác định giao điểm g = R∩ P sẽ dễ dàng vì ta chọn mặt phẳng R ở đây làmặt phẳng chiếu, sẽ biết trước một hình chiếu của giao điểm

- Đường thẳng m và g đều thuộc R nên sẽ cắt nhau tại K – chính là giao điểm của

m với P Việc xác định K nhờ sự liên hệ của điểm và đường thẳng như ở hình6.5:

Hình 6.5

37

6.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để nhận biết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ở đồ thức, người ta dựa vào haimệnh đề sau:

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với haiđường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (và vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặtphẳng)

- Một góc vuông chiếu thẳng góc thành một góc vuông khi góc vuông có ít nhất mộtcạnh song song với mặt phẳng hình chiếu, cạnh còn lại không thẳng góc với mặt phẳngchiếu

a) Trường hợp mặt phẳng không phải là mặt phẳng chiếu cạnh

Gọi d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Q, theo hai mệnh đề trên, hình chiếuđứng của d vuông góc với hình chiếu đứng của đường mặt m, hình chiếu bằng của dvuông góc với hình chiếu bằng của đường bằng b của mặt phẳng Q (Hình 6.6a)

2 2

1 1

//

;//

;

P b P m

Q b Q m

b d

m d Q d

Trường hợp mặt phẳng Q biểu diễn bằng vết ta có (Hình 6.6b)

Q v d Q d

2 2

1 1

38

a) b)

Hình 6.6 b) Trường hợp Q là mặt phẳng chiếu cạnh

Khi đó đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng chiếu cạnh Q phải là đường thẳngcạnh Do đó để vẽ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Q ta có phương pháp đơngiản nhất là dùng mặt phẳng chiếu cạnh

AB ta phải xét điều kiện để AB vuông góc với một đường thẳng khác của Q (không phải

là đường bằng, đường mặt), chẳng hạn ta xét điều kiện để AB vuông góc với một đườngcạnh CD của Q Ta có mệnh đề sau đây:

Điều kiện ắt có và đủ để hai đường cạnh AB và CD vuông góc với nhau là:

1 1

2 2 2

2

1 1

D C

D C B

A

B A

−

=

39