Giáo trình hình học họa hình

HÌNH HỌC HOẠ HÌNH là môn học nghiên cứu những phương pháp biểu diễn các hình không gian (hay các vật thể không gian) trên các mặt (thông thường là trên các mặt phẳng) và cách giải các bài toán trên hình biểu diễn (như xác định vị trí của các điểm, đường, xác định độ dài đoạn thẳng hay tìm giao tuyến của hai mặt... ). Môn học này nhằm rèn luyện cho sinh viên khả năng tư duy không gian đồng thời cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để học môn VẼ KỸ THUẬT. Môn học Vẽ Kỹ Thuật sẽ cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ bản về vẽ kỹ thuật, bồi dưỡng khả năng lập và đọc bản vẽ “ Ngôn ngữ của kỹ thuật “

BÀI : MỞ ĐẦU - CÁC PHÉP CHIẾU (2T) 1.1 Giới thiệu môn học tài liệu 1.1.1 Vị trí, vai trò mơn học HÌNH HỌC HOẠ HÌNH môn học nghiên cứu phương pháp biểu diễn hình khơng gian (hay vật thể khơng gian) mặt (thông thường mặt phẳng) cách giải tốn hình biểu diễn (như xác định vị trí điểm, đường, xác định độ dài đoạn thẳng hay tìm giao tuyến hai mặt ) Môn học nhằm rèn luyện cho sinh viên khả tư không gian đồng thời cung cấp cho sinh viên kiến thức để học môn VẼ KỸ THUẬT Môn học Vẽ Kỹ Thuật cung cấp cho sinh viên hiểu biết vẽ kỹ thuật, bồi dưỡng khả lập đọc vẽ “ Ngôn ngữ kỹ thuật “ 1.1.2 Nội dung môn học ký hiệu dùng môn học Nội dung gồm 11 thời gian 30 tiết, với tập nhà BTL Bài Mở đầu – Các phép chiếu Bài Biểu diễn điểm Bài Đường thẳng Bài Mặt phẳng Bài Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Bài Các phép biến đổi hình chiếu Bài Biểu diễn đường mặt Bài Giao tuyến mặt phẳng với mặt Bài 10 Giao đường thẳng với mặt Bài 11 Giao hai mặt Một số ký hiệu, chữ viết tắt dùng môn học: A, B, C, 1, 2, 3, điểm khơng gian A1, B1, C1, 11, 21, 31, hình chiếu đứng điểm A2, B2, C2, 12, 22, 32, hình chiếu điểm a, b, c, ,m, n, đường không gian a1, b1, c1, ,m1, n1, : hình chiếu đứng đường khơng gian a2, b2, c2, ,m2, n2, : hình chiếu đường không gian A, B, C, ., P, Q, R, : mặt phẳng không gian v2A, v2B, v2C, , v2P, v2Q, v2R, vết mặt phẳng 1.1.3 Tài liệu tham khảo: 1- Hình học hoạ hình Tập – NXB Giáo dục 2006 Nguyễn Đình Điện 2- Hình học họa hình – NXB GTVT 2006 Nguyễn Sỹ Hạnh 3- Bài tập hình học hoạ hình – HVKTQS 1988 4- Bài tập lớn hình học hoạ hình – HVKTQS 2007 1.2 Mở rộng không gian Ơ-cơ-lit chiều Mở rộng không gian Ơcơlit chiều cách bổ sung yếu tố vô tận: Tại phải mở rộng không gian ơclit chiều ? Ở phổ thông ta không xét tới yếu tố vơ tận khơng gian Do đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng điểm chung với mặt phẳng điều dẫn tới tượng là: Trong phép chiếu xuyên tâm điểm nằm mặt phẳng Q qua tâm chiếu S song song với mặt phẳng chiếu P khơng có hình chiếu! Để tránh tượng Hình Học Họa Hình khơng gian nghiên cứu KHƠNG GIAN ƠCLIT CHIỀU MỞ RỘNG Đó không gian Ơclit chiều bao gồm yếu tố vô tận Nghĩa là: Trên đường thẳng có điểm vơ tận Hai đường thẳng song song hai đường thẳng cắt điểm vô tận Trên mặt phẳng có đường thẳng vơ tận Đường thẳng song song với mặt phẳng đường thẳng cắt mặt phẳng điểm vô tận Như Hình1 ta thấy điểm M có hình chiếu điểm vơ tận M’∞ - Trong khơng gian có mặt phẳng vô tận Hai mặt phẳng song song hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến đường thẳng vơ tận Vai trò yếu tố hữu hạn vơ tận Trên hình ta thấy hình chiếu điểm M (Hữu hạn) điểm vơ tận Trong hình chiếu điểm vô tân N∞ thuộc đường thẳng d lại điểm hữu hạn N’ S 1.3 Các phép chiếu A 1.3.1 Phép chiếu xuyên tâm * Cách thành lập: -Trong không gian lấy mặt phẳng P điểm S không thuộc P Chiếu điểm A bất A′ P Hình kỳ khơng gian từ điểm S lên P thực bước sau: Vẽ đường thẳng SA, xác định giao điểm A′ = SA ∩ P (Hình 1) - Các tên gọi: Phép chiếu điểm A từ tâm S lên mặt phẳng P nêu gọi phép chiếu xuyên tâm Mặt phẳng P gọi mặt phẳng hình chiếu S gọi tâm chiếu SA gọi tia chiếu A′ gọi hình chiếu xuyên tâm điểm A - Phép chiếu xuyên tâm hoàn toàn xác định biết mặt phẳng hình chiếu tâm chiếu Để xác định hình chiếu hình người ta vẽ hình chiếu yếu tố xác định hình đường bao quanh hình chiếu * Tính chất: Phép chiếu xun tâm có tính chất sau: Hình chiếu điểm điểm Điểm thuộc mặt phẳng có hình chiếu trùng với Hình chiếu đường thẳng không qua tâm chiếu đường thẳng Hình chiếu đường thẳng qua tâm chiếu điểm, người ta gọi đường thẳng đường thẳng chiếu Mặt phẳng qua tâm chiếu gọi mặt phẳng chiếu Hình chiếu mặt phẳng chiếu đường thẳng Trong phép chiếu xuyên tâm bảo tồn tỷ số kép bốn điểm thẳng hàng Nghĩa với điểm thẳng hàng A, B, C, D có hình chiếu A’, B’, C’, D’ Thì ta có CA DA C ' A' D' A' : = : Viết gọn (ABCD)=(A’B’C’D’) CB DB ' C ' B ' D' B' 1.3.2 Phép chiếu song song * Định nghĩa: Phép chiếu song song phép chiếu mà tia chiếu song song với theo hướng l A′ l Cho mặt phẳng hình chiếu P hướng chiếu l (l đường thẳng cắt P) hướng l lên mặt phẳng P qua điểm A ta vẽ đường Chiếu điểm A theo thẳng song song với l tìm giao điểm A’ đường A′ P Hình thẳng với mặt phẳng P A’ hình chiếu A mặt phẳng P * Tính chất: Ta nhận thấy, phép chiếu song song thực phép chiếu xuyên tâm tâm chiếu vô có đầy đủ tính chất phép chiếu xun tâm ngồi có thêm số tính chất sau: Hình chiếu song song đường thẳng song song với hướng chiếu suy biến thành điểm Hai đường thẳng song song không nằm mặt phẳng chiếu hình chiếu chúng đường thẳng song song Phép chiếu song song bảo tồn tỷ số đơn điểm thẳng hàng Nghĩa điểm A, B, C thẳng hàng A’, B’, C’ hình chiếu ta có: CA C ' A' = Viết gọn thành (ABC) = (A’B’C’) CB C ' B ' Từ hai tính chất ta đưa hệ sau: Tỷ số hai đoạn thẳng song song tỷ số hai đoạn thẳng hình chiếu chúng Nghĩa Khi AB, CD hai đoạn thẳng song song có hình chiếu A’B’, C’D’ : AB A' B ' = CD C ' D' 1.3.3 Phép chiếu thẳng góc * Định nghĩa: Phép chiếu thẳng góc phép chiếu song song hướng chiếu l thẳng góc với mặt phẳng hình chiếu P * Tính chất: Phép chiếu thẳng góc có tất tính chất phép chiếu song song, ngồi có thêm tính chất quan trọng sau đây: Điều kiện cần đủ để góc vng xOy chiếu thẳng góc thành góc vng x’O’y’ góc vng xOy khơng nằm mặt phẳng chiếu có có cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu * Hình chiếu thẳng góc đường tròn Hình chiếu thẳng góc hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu song song với mặt phẳng đường tròn đường tròn (bằng đường tròn đó) Hình chiếu thẳng góc hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu vng góc với mặt phẳng đường tròn đoạn thẳng đường kính đường tròn Hình chiếu thẳng góc hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu khơng song song khơng vng góc với mặt phẳng đường tròn elíp có: + Tâm elíp hình chiếu tâm đường tròn + Trục dài hình chiếu đường kính song song với mặt phẳng hình chiếu + Trục ngắn hình chiếu đường kính vng góc với đường kính song song với mặt phẳng hình chiếu BÀI 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM 2.1 Biểu diễn điểm hai mặt phẳng hình chiếu *Cách thành lập đồ thức định nghĩa: Trong không gian lấy hai mặt phẳng P,P vng góc với làm hai mặt phẳng hình chiếu Trong P mặt phẳng thẳng đứng, P mặt phẳng nằm ngang, giao tuyến chúng đường thẳng x (Hình 2.1 a) P1 II A1 A1 A I x Ax Ax III IV A2 x A2 P a) b) Hình 2.1 Giả sử có điểm A khơng gian - Chiếu thẳng góc điểm A lên P A1, lên P A2 - Quay P quanh trục x cho nửa trước P trùng với nửa P Khi ta hình 2.1 b Vì mặt phẳng (AA1A2) vng góc với đường thẳng x Ax nên hình 2.1b A1A2 vng góc với x Ax Cặp điểm (A1, A2) mà A1A2 ⊥ x = Ax gọi đồ thức điểm A - P1 mặt phẳng hình chiếu đứng - P2 mặt phẳng hình chiếu - x = P1∩ P2 gọi trục phép chiếu - A1 hình chiếu đứng điểm A - A2 hình chiếu điểm A - A1A2⊥x Ax đường dóng thẳng đứng P - Khoảng cách từ A đến gọi độ xa A Độ xa điểm dương, khơng âm điểm phía trước, thuộc phía sau mặt phẳng P Trên hình 2.1b độ xa điểm A A2 Ax = AA1 - Khoảng cách từ A đến P gọi độ cao A Độ cao điểm dương, khơng âm điểm phía trên, thuộc phía mặt phẳng P Trên hình 2.1b độ cao điểm A A1 Ax = AA2 - Hai mặt phẳng P P2 chia không gian làm bốn phần ta gọi chúng góc phần tư: góc phần tư I không gian giới hạn trước P1 P2 góc phần tư II sau P1 P2 góc phần tư III sau P1 P2 góc phần tư IV trước P1 P2 - Mặt phẳng phân giác góc phân tư I III gọi mặt phẳng phân giác I, kí hiệu G 1,3 Mọi điểm thuôc mặt phẳng G 1,3 ln có hai hình chiếu đối xứng qua trục x - Mặt phẳng phân giác II IV gọi mặt phẳng phân giác II, kí hiệu G 2,4 Mọi điểm thuôc mặt phẳng G2,4 ln có hai hình chiếu đối trùng * Tính chất đồ thức: Nếu có cặp điểm (A1, A2) xác định điểm A khơng gian, ngược lại, có điểm A có duyE cặp điểm (A1,A2) đồ thức B1 Một vài ví dụ vị trí hai hình chiếu: G1 A1 B2 * Luyện tập C2 G2 A2 H1 D2 C1 D1 E2 F1 ≡ F2 Hình 2.2 H2 Hãy cho biết điểm A, B, , H thuộc góc phần tư hay mặt phẳng 2.2 Biểu diễn điểm ba mặt phẳng hình chiếu * Cách thành lập đồ thức định nghĩa - Trong không gian ta chọn mặt phẳng đôi vng góc mặt phẳng thẳng đứng, P mặt phẳng - Giả sử có điểm A khơng gian Chiếu thẳng góc điểm A lên P A1, lên làm mặt phẳng hình chiếu Trong P P,P,P nằm ngang giao tuyến: P x = P1∩ P y = P2∩ P z = P3∩ P 1 A2 lên P3 A3 (Hình 2.3a) P1 z A1 A Ax x A2 z A1 Az A3 Az A3 P3 Ay y x Ay Ax y Ay A2 P2 y b) a) - Quay P Hình 2.3 quanh trục x cho nửa trước P trùng với nửa P , nửa sau P trùng với nửa P1 - Quay P quanh trục z cho nửa trước P trùng với nửa phải P , nửa sau P trùng với nửa trái P1 - Sau quay ta ba hình chiếu (A 1, A2, A3) biểu diễn điểm A mà A 1A2 ⊥ x Ax, A1A3 ⊥ z Az (Hình 2.3b) gọi đồ thức điểm A hệ thống mặt phẳng hình chiếu (Hình 2.3b) Ngồi tên gọi tính chất mục 2.1 ta có thêm số tên gọi sau: - A3 hình chiếu cạnh điểm A - P3 mặt phẳng hình chiếu cạnh - A1, A3 thuộc đường dóng nằm ngang vng góc với trục chiếu z Az - Khoảng cách từ A đến P cạnh 0, điểm phía trái gọi độ xa cạnh với quy ước điểm thuộc P có độ xa cạnh dương, điểm phía phải P có độ xa có độ xa P cạnh âm Trên hình vẽ (Hình 2.3a) ta có độ xa cạnh A là: AA3 = A1 AZ = A2 Ay * Tính chất đồ thức - Nếu có điểm A tồn ba hình chiếu (A1A2A3), ngược lại - A3AZ = A2Ax=0Ay * Cách vẽ hình chiếu thứ ba cách vẽ: Giả sử có hệ thống mặt phẳng hình chiếu biểu diễn mặt phẳng trục x, y, z Ta có hình chiếu điểm A, (A 1, A2) Để vẽ A3 ta tiến hành sau: C1: Từ A2 kẻ đường // với x cắt trục y thẳng đứng Ay Lấy O làm tâm, quay cung bán kính OAy cắt trục y nằm ngang Ay Từ Ay trục y nằm ngang này, kẻ đường thẳng // trục z Từ A1 kẻ đường thẳng vng góc với trục z Az, đường kéo dài cắt đường thẳng từ Ay A3 A3 hình chiếu thứ (hình chiếu cạnh A) C2: Từ A2 kẻ đường // với x cắt trục y thẳng đứng A y Qua Ay kẻ đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc xOz (hay yOy) cắt trục y nằm ngang A y Từ Ay trục y nằm ngang này, kẻ đường thẳng // trục z Từ A kẻ đường thẳng vng góc với trục z Az, đường kéo dài cắt đường thẳng từ A y A3 A3 hình chiếu thứ (hình chiếu cạnh A) Các phần trình bày hệ thống mặt phẳng hình chiếu Đối với số trường hợp đặc biệt dùng mặt phẳng hình chiếu cạnh * Luyện tập BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG (3T) 3.1 Biểu diễn đường thẳng thường Người ta biểu diễn đường thẳng điểm đường thẳng Ví dụ: đường thẳng p xác định hai điểm A B đồ thức đường thẳng p cặp (p 1, p2) với p1 xác định A1B1, p2 xác định A2B2 (Hình 3.1a) Căn vào vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu, người ta chia đường thẳng thành hai loại: đường thẳng thường đường thẳng đặc biệt P A1 B1 p1 A1 B p x A p1 B1 x p2 B2 A2 p2 P a) A2 Hình 3.1 B2 b) Đường thẳng thường đường thẳng khơng song song, khơng thẳng góc với mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.1b) Đường thẳng đặc biệt đường thẳng song song vng góc với mặt phẳng hình chiếu 3.2 Vết đường thẳng Định nghĩa: Vết đường thẳng giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.2a) + Vết đứng đường thẳng giao điểm đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng + Vết P đường thẳng giao điểm củaMđường thẳng với mặt phẳng hình chiếu M1 ≡ M d1 d1 d hai vết N1của đường thẳng (Hình x Cách xác x định 3.2b): M2 M2 d2 d2 N2 ≡ N P a) Hình 3.2 b) N1 N2 10 c) Mặt cầu - Định nghĩa: mặt cầu quỹ tích vị trí đường tròn quay quanh trục qua tâm đường tròn, đồng thời trục luôn nằm mặt phẳng chiếu chứa đường tròn - Biểu diễn mặt cầu: Mặt cầu biểu diễn hình chiếu tâm cầu bán kính Đường bao hình chiếu đường tròn có bán kính cầu giới hạn thấy khuất mặt cầu mặt phẳng hình chiếu - Cách xác định điểm thuộc mặt cầu: gắn điểm vào mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu, tìm gíao tuyến phụ mặt phẳng mặt cầu d) Mặt xuyến - Định nghĩa: Mặt xuyến tạo đường tròn (v) quay xung quanh đường thẳng (i) thuộc mặt phẳng chứa đường tròn nằm ngồi đường tròn Đường tròn (v) gọi đường tròn sinh mặt xuyến - Biểu diễn mặt xuyến ta cần biểu diễn hình chiếu mặt hình chiếu song song với vng góc với trục - Xác định điểm thuộc mặt xuyến: gắn vào mặt phẳng vng góc với trục mặt xuyến BÀI 9: GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG VỚI CÁC MẶT (2T) K/n giao tuyến: Giao tuyến mặt phẳng với mặt tập hợp điểm vừa thuộc mặt phẳng vừa thuộc mặt Khi tìm giao tuyến, ngun tắc ta phải tìm tất điểm thuộc giao tuyến, thực tế tìm số điểm đủ lớn nối với thành đường gần 64 Nếu biết dạng giao tuyến, ta cần xác định yếu tố để vẽ giao tuyến Ví dụ: đa giác cần xác định đỉnh, elíp cần xác định trục 9.1 Mặt phẳng cắt đa diện - Nhận dạng giao tuyến: giao tuyến mặt phẳng với đa diện hay nhiều đa giác phẳng mà cạnh giao mặt phẳng với mặt bên đa diện đỉnh giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng - Cách vẽ giao tuyến: + C1: Xác định đỉnh giao tuyến cách tìm giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng cắt Chú ý nối điểm thuộc mặt bên đa diện + C2: Xác định cạnh giao tuyến cách tìm giao tuyến mặt bên đa diện với mặt phẳng cắt + Xét thấy, khuất: cạnh đa giác giao tuyến thấy thuộc mặt thấy đa diện, khuất thuộc mặt khuất đa diện (Quy toán bản: giao hai mặt phẳng, giao đường thẳng với mặt phẳng) Ví dụ cho mặt phẳng mp chiếu (đã biết) + Để dễ vẽ giao tuyến mặt bên đa diện với mặt phẳng cắt, ta vẽ thêm hình chiếu hệ thống mặt phẳng cắt đa diện (hình chiếu gọi hình chiếu phụ) cho hệ thống biết trước hình chiếu giao tuyến (để đưa mặt phẳng cắt thành mặt phẳng chiếu đa diện (nếu lăng trụ) dạng lăng trụ chiếu Dựa vào hình chiếu phụ ta dễ dàng suy hình chiếu phải tìm giao Ví dụ 1: Xác định giao mặt phẳng Q(v Q ,v Q) với hình chóp SABC Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chiếu chứa cạnh SABC cắt Q để tìm giao điểm cạnh với SABC Ta tìm 1=AC∩ Q, 2=SC∩ Q, 3=BC∩ Q Tam giác 123 giao tuyến mp Q chóp SABC 65 Ví dụ 2: Tìm giao mặt phẳng Q(v1Q ,v2Q) với hình chóp SABC Giải: Q mặt phẳng thường nên để dễ dàng tìm giao điểm cạnh hình chóp S ABC với Q ta biến đổi sang hệ thống chiếu cho Q mặt phẳng chiếu Vì Khi biết trước hình chiếu giao tuyến Gọi 1= SC ∩ mp Q, biết 1’ 1= S’1C’1∩ v’1Q ⇒12∈ S2C2 ⇒11 ∈ S1C1, tương tự gọi = CB ∩ mp Q, = AC ∩ mp Q, ta xác định 2’ = C’ B’ ∩ 1 v’1Q, 3’1= A’1C’1∩ v’1Q từ suy 22∈ C2B2, 32∈ A2C2 ⇒ 21 ∈ C1B1, 31 ∈ A1C1 giao mặt phẳng Q với hình chóp SABC tam giác 123 9.2 Mặt phẳng cắt mặt cong 9.2.1 Giao mặt phẳng với mặt nón: Dạng giao tuyến - Là đường sinh (Khi mặt cắt qua đỉnh nón cắt đường chuẩn hai điểm) (Vẽ nhanh hình chiếu ) - Là Elíp (Khi mặt phẳng cắt cắt đường sinh nón, trường hợp đặc biệt đường tròn) (Cách xác định trục elíp, Vẽ nhanh hình chiếu ) - Là Parabôn (Khi mặt phẳng cắt song song với đường sinh nón)(Vẽ nhanh hình chiếu ) - Là Hypebôn (Khi mặt phẳng cắt song song với đường sinh nón)(Vẽ nhanh hình chiếu ) - Là đường sinh mp tiếp xúc với măt nón Cách vẽ giao tuyến Đã học Ví dụ 1: Tìm giao mặt phẳng chiếu đứng R với mặt nón tròn xoay Giải : Mặt phẳng R cắt tất đường sinh nón nên giao elíp Trục dài AB elíp xác định cách tìm giao điểm A,B hai đường sinh SM, SN nón với mặt phẳng R Tâm O elíp trung điểm đoạn AB Trục ngắn CD elíp có 66 hình chiếu đứng C1 ≡ D1≡ O1 Để tìm C2 D2 ta gắn C, D vào đường tròn thuộc nón 9.2.2 Giao mặt phẳng với mặt trụ: có dạng sau: - Là đườngsinh (Khi mặt phẳng cắt song song với đường sinh trụ cắt đường chuẩn hai điểm) - Là elíp (Khi mặt cắt cắt đường sinh trụ) - Là đường sinh Ví dụ : Tìm giao mặt phẳng R với mặt trụ tròn xoay có trục đường thẳng chiếu Giai : Mặt phẳng R không song song với đường sinh trụ nên giao R với trụ elíp (e) hình chiếu (e) trùng với hình chiếu trụ Hình chiếu đứng (e) elip có hai đường kính liên hợp A1B1 C1D1, CD thuộc đường bằng, EF thuộc đường dốc R so với mặt phẳng chiếu nên E điểm thấp F điểm cao 9.2.3 Giao mặt phẳng với mặt cầu: đường tròn có tâm hình chiếu thẳng góc tâm cầu mặt cắt phẳng cắt Tùy theo vị trí mặt phẳng cắt 67 mặt phẳng hình chiếu mà hình chiếu đường tròn giao tuyến đoạn thẳng, hình tròn elíp Ví dụ : Tìm giao mặt phẳng chiếu đứng R với tâm cầu Giải : Gọi giao tuyến R với mặt cầu đường tròn (G) Hình chiếu đứng (G) đoạn thẳng A1B1 Hình chiếu C elíp có trục ngắn A2B2 trục dài C2D2 = A1B1 đường kính (G) Một phần (G) nằm nửa cầu nên thấy hình chiếu bằng, phần (G) thuộc nửa cầu nên có hình chiếu khuất Giới hạn phần thấy khuất điểm E, F 9.2.4 Giao tuyến mặt phẳng với mặt với mặt xuyến: - Là đường sinh mp qua trục - Là hai đường tròn mp vng góc với trục - Là đường cong ko định dạng (còn lại) Các điểm thuộc giao tuyến mặt phẳng chiếu đứng R với mặt xuyến gắn vào đường tròn Trên hình vẽ, điểm 6, 6’,7, 7’ giới hạn khuất thấy giao tuyến hình chiếu Điểm 1, 2, 3, giới hạn thấp nhất, cao giao tuyến 9.3 Bài tập nhà BÀI 10: GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI CÁC MẶT (2T) 68 Giao đường thẳng với mặt tập hợp điểm vừa thuộc đường thẳng, vừa thuộc mặt Nhiều tốn thực tế dẫn đến việc tìm giao đường thẳng với đa diện mặt cong 10.1 Trường hợp đặc biệt (Một hình chiếu giao điểm biết) a) Giao đường thẳng chiếu với đa diện - Cách giải: Đã biết I1 ≡ K1 ≡ d1, để tìm hình chiếu I2, K2, ta gắn chúng vào đường đường SI, SK mặt bên đa diện - Ví dụ: Xác định giao điểm đường thẳng chiếu đứng d với đa diện SABC b) Giao đường thẳng chiếu với mặt nón - Cách giải: Đã biết I1 ≡ K1 ≡ d1, để tìm I2, K2 ta gắn I, K vào đường sinh SI, SK đường tròn qua I,K - Ví dụ: Xác định giao điểm đường thẳng chiếu đứng d với nón tròn xoay hình bên c) Giao đường thẳng chiếu với mặt trụ xiên giao điểm đường thẳng với mặt trụ chiếu 69 - Cách giải: hai trường hợp biết trước hình chiếu giao điểm I, K Ta gắn I, K vào hai đường sinh, tìm hình chiếu lại nhờ liên thuộc điểm đường thẳng - Ví dụ: Xác định giao đường thẳng chiếu với mặt trụ xiên giao điểm đường thẳng với mặt trụ chiếu d) Giao đường thẳng chiếu với mặt cầu - Cách giải: Đã biết I1 ≡ K1 ≡ d1, để tìm I2, K2 ta gắn I, K vào đường tròn qua giao điểm I,K - Ví dụ: Xác định giao điểm đường thẳng chiếu với mặt cầu e) Giao đường thẳng chiếu với mặt xuyến - Cách giải: Biết trước d1 ≡ I1 ≡ I’1 ≡ K1 ≡ K’1 Để tìm hình chiếu giao điểm, ta gắn chúng vào đường tròn qua chúng - Ví dụ: 70 10.2 Trường hợp tổng quát a) Giao đường thẳng với đa diện - Cách giải: giao điểm I, K tìm thơng qua bước sau + Qua d lập mặt phẳng phụ trợ R chiếu đứng (hoặc chiếu bằng) + Xác định giao tuyến phụ mặt phẳng R cắt tháp SABC 1, 2, + Xác định giao điểm I, K d cắt 123 xét thấy, khuất d SABC - Ví dụ: Tìm giao điểm đường thẳng d với tháp SABC b) Giao đường thẳng với mặt nón - Cách giải: + Lập mặt phẳng phụ trợ R qua đỉnh S đường thẳng d xác định giao tuyến phụ R cắt nón * R cắt mặt phẳng chứa đáy nón theo đường thẳng EF * EF cắt đáy nón điểm 1,2 * Các đường sinh S1, S2 giao tuyến phụ R cắt nón + Xác định giao điểm cần tìm I, K d cắt S1 S2, sau xét thấy khuất 71 - Ví dụ: Xác định giao điểm đường thẳng d nón tròn xoay Giải: - Do mặt phẳng đáy nón Q mặt phẳng bằng, nên ta dễ dàng xác định giao tuyến EF mặt phẳng với mặt phẳng R cách E = Q ∩ d, lấy d điểm M, F = Q ∩ SM - Ta xác định điểm 1, giao EF với đáy nón Rồi xác định I, K giao d với đường S1, S2 đồ thức c) Giao đường thẳng mặt trụ xiên - Cách giải: + Dựng mặt phẳng phụ trợ R qua đường thẳng d song song với đường sinh trụ + Xác định giao tuyến phụ R cắt trụ: • R cắt mặt phẳng chứa đáy theo đường thẳng EF • EF cắt đáy nón điểm 1, • Các đường sinh qua 1, giao tuyến phụ R cắt trụ + Xác định giao điểm I, K cần tìm giao d với đường sinh qua điểm 1, xét thấy, khuất - Ví dụ: Xác định giao điểm đường thẳng d với mặt trụ xiên Giải: - Dựng mặt phẳng phụ trợ R qua d // đường sinh trụ xiên Từ điểm M ∈ d kẻ đường thẳng t // với đường sinh trụ, đường thẳng ∈R 72 - Giao tuyến mặt phẳng đáy trụ xiên với R EF, E = t cắt mp đáy trụ, F = d cắt mp đáy trụ Biết E1, F1 suy E2, F2 - Có EF suy điểm 1, giao EF với đáy trụ - Ta có giao điểm I, K d mặt trụ giao d đường sinh qua điểm 1, d) Giao đường thẳng với mặt cầu - Cách giải: + Lập mặt phẳng phụ trợ R mặt phẳng chiếu đứng qua d R cắt cầu theo đường tròn tâm E + Thay mặt phẳng hình chiếu để xác định đường tròn đó, đồng thời xác định hình chiếu d nhờ điểm A, B thuộc d 73 + Xác định hình chiếu giao điểm I’2, K’2 đưa hệ thống chiếu cũ xét thấy khuất - Ví dụ: Xác định giao điểm đường thẳng d với mặt cầu (Hình vẽ) BÀI 11: GIAO CỦA HAI MẶT (6T) 11.1 Dạng giao tuyến trường hợp - Đa diện cắt đa diện: giao tuyến hay nhiều đường gãy khúc ghềnh khép kín Đỉnh đường gãy khúc giao cạnh đa diện với mặt bên đa diện Mỗi cạnh đường gãy khúc giao tuyến hai mặt bên hai đa diện Một cạnh giao tuyến thấy giao hai mặt thấy hai đa diện - Đa diện cắt mặt cong: giao tuyến hay nhiều đường cong ghềnh, gãy khúc, khép kín Các điểm gãy giao điểm cạnh đa diện với mặt cong Giới hạn điểm gãy giao tuyến mặt bên đa diện với mặt cong Nếu đoạn đường cong thuộc mặt thấy đa diện thuộc phần thấy mặt cong thấy - Mặt cong cắt mặt cong: giao tuyến nói chung hay nhiều đường cong ghềnh, khép kín 11.2 Xác định giao tuyến 11.2.1 Trường hợp đặc biệt (khi biết hình chiếu giao tuyến) a) Đa diện cắt đa diện Trường hợp thường xảy đa diện (thường lăng trụ) lăng trụ chiếu (đứng bằng) Khi muốn tìm hình chiếu thứ hai giao tuyến ta gắn điểm giao tuyến vào đường mặt thứ hai Ví dụ: Xác định giao tuyến lăng trụ chiếu đứng abcd hình chóp SABC Giải: 74 - Ta tìm giao điểm SA, SB, SC với mặt phẳng chiếu đứng ad, bc, cd điểm 1,2,3,4,5,6 giao đường thẳng chiếu đứng c với mặt SAC, SBC điểm 7,8 Trong hình chiếu đứng giao điểm biết - Để tìm hình chiếu giao điểm đến 6, ta gắn chúng vào đường SA, SB, SC Riêng hai điểm 7, ta gắn chúng vào đường thẳng S7, S8 thuộc mặt phẳng SBC SAC - Nối đỉnh lại theo quy tắc: điểm thuộc hai mặt hai hình nối lại, ta nối với 2, với 3, với Nối với 5, với 7, với 6, với 8, với Như giao tuyến hai hình gồm đoạn thẳng gãy khúc khép kín: 1231 (phẳng) 457684 (ghềnh) - Xét thấy khuất theo quy tắc ta có hình bên 11.2.2 Trường hợp tổng quát a) Phương pháp mặt cắt phụ trợ Để vẽ giao hai mặt φ ψ làm sau: - Cắt hai mặt φ ψ mặt Ω Mặt Ω gọi mặt phẳng phụ trợ - Vẽ giao tuyến g, l φ ψ với Ω, giao tuyến gọi giao tuyến phụ - Các giao điểm g l điểm thuộc giao hai mặt cho Từ dạng giao tuyến hai đa diện ta thấy muốn xác định giao tuyến hai đa diện ta xác định cạnh giao tuyến cách vẽ giao mặt đa diện với đa diện lại xác định đỉnh giao tuyến cách tìm giao cạnh đa diện với đa diện lại Việc vẽ giao tuyến hai đa diện quy 75 vẽ giao mặt phẳng với đa diện (hay giao đường thẳng với đa diện) giới thiệu trước Khi nối đỉnh giao tuyến cần lưu ý: - Chỉ nối hai đỉnh đoạn thẳng hai đỉnh thuộc hai mặt bên hai đa diện - Để xét khuất thấy giao tuyến ta có nhận xét cạnh đường gãy khúc giao hai mặt thấy hai đa diện cạnh cạnh thấy * Trường hợp đặc biệt (khi biết hình chiếu giao tuyến) Trường hợp thường xảy đa diện (thường lăng trụ) lăng trụ chiếu (đứng bằng) Khi muốn tìm hình chiếu thứ hai giao tuyến ta gắn điểm giao tuyến vào đường mặt thứ hai Ví dụ: Xác định giao tuyến lăng trụ chiếu đứng abcd hình chóp SABC Giải: - Ta tìm giao điểm SA, SB, SC với mặt phẳng chiếu đứng ad, bc, cd điểm 1,2,3,4,5,6 giao đường thẳng chiếu đứng c với mặt SAC, SBC điểm 7,8 Trong hình chiếu đứng giao điểm biết - Để tìm hình chiếu giao điểm đến 6, ta gắn chúng vào đường SA, SB, SC Riêng hai điểm 7, ta gắn chúng vào đường thẳng S7, S8 thuộc mặt phẳng SBC SAC - Nối đỉnh lại theo quy tắc: điểm thuộc hai mặt hai hình nối lại, ta nối với 2, với 3, với Nối với 5, với 7, với 6, với 8, với Như giao tuyến hai hình gồm đoạn thẳng gãy khúc khép kín: 1231 (phẳng) 457684 (ghềnh) - Xét thấy khuất theo quy tắc ta có hình bên * Trường hợp tổng quát 76 Ta tìm giao điểm cạnh đa diện thứ với đa diện thứ 2, ngược lại Bài tốn quy tìm giao điểm đường thẳng với đa diện Có thể dùng phương pháp mp phụ trợ biến đổi hình chiếu (nếu có đa diện lăng trụ) để đưa lăng trụ chiếu Ví dụ: Tìm giao tuyến hình chóp SABC với hình chóp TDEF Giải: - Ta tìm giao cạnh hình chóp SABC với hình chóp TDEF phương pháp dùng mặt phẳng phụ trợ mặt phẳng chiếu đứng qua cạnh Ta thấy tất cạnh khơng cắt hình chóp TDEF - Ta tìm giao điểm cạnh hình chóp TDEF với hình chóp SABC, có cạnh TD, TE, TF cắt đa diện điểm 1,2,3,4,5,6 Nối điểm xét thấy khuất theo quy tắc hình vẽ 11.2.2 Đa diện cắt mặt cong Có thể tìm giao đa diện với mặt cong cách tìm giao mặt bên đa diện với mặt cong Bài toán quy xác định giao điểm đường thẳng với mặt cong giao tuyến mặt phẳng với mặt cong giới thiệu trước Ta nghiên cứu trường hợp biết hình chiếu giao điểm (đa diện lăng trụ chiếu mặt cong trụ chiếu) Giao tuyến giao điểm cạnh đa diện với mặt cong hay nhiều đường cong ghền, gãy khúc, khép kín 77 Các điểm gãy giao điểm cạnh đa diện với mặt cong, đoạn đường cong (giới hạn hai điểm gãy) giao tuyến mặt bên đa diện với mặt cong Nếu đoạn đường cong thuộc mặt thấy đa diện phần thấy mặt cong thấy a) Đa diện cắt mặt nón 78 ... khảo: 1- Hình học hoạ hình Tập – NXB Giáo dục 2006 Nguyễn Đình Điện 2- Hình học họa hình – NXB GTVT 2006 Nguyễn Sỹ Hạnh 3- Bài tập hình học hoạ hình – HVKTQS 1988 4- Bài tập lớn hình học hoạ hình. .. phẳng hình chiếu * Hình chiếu thẳng góc đường tròn Hình chiếu thẳng góc hình tròn lên mặt phẳng hình chiếu song song với mặt phẳng đường tròn đường tròn (bằng đường tròn đó) Hình chiếu thẳng góc hình. .. với mặt phẳng hình chiếu P2 ký hiệu v Q (Hình 4.2a Hình 4.2b) P v 1 Q xQ v2 Q P v1 Q x v2 b) Q a) Hình 4.2 x v1Q trùng + Hình chiếu đứng v1Q trùng với nó, hình chiếu với trục x + Hình chiếu v