Đề + đáp án HSG lớp 9 toán 20172018

Đề + đáp án HSG lớp 9 toán 20172018 Đã thi tháng 112017, có hướng dẫn chi tiết (đề có vẻ hơi khó) Rất phù hợp cho GV và HS thi

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 24/10/2017 (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1: (4,0 điểm) � �2x  x  2x x  x  x � �   � �: � 1 x x � � 1 x 1 x x � � Cho biểu thức A  � a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x  17  12 c) So sánh A với A Câu 2: (4,0 điểm) 3x  x  12  x  10 x    x  x b) Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: xy  x  y   x  y  xy a) Giải phương trình : Câu 3: (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn: a + b + c = 24102017 Chứng minh rằng: a5 + b5 + c5 chia hết cho b) Cho a, b, c, d số hữu tỉ khác thỏa mãn điều kiện: a  b  c  d  Chứng minh rằng: M  (ab  cd )(bc  da )(ca  bd ) số hữu tỉ Câu 4: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh rằng:  AEF   ABC S AEF  cos  S ABC  2 b) Chứng minh : S DEF   cos A  cos B  cos C S ABC c) Nếu HA HB HC   = BC AC AB tam giác ABC tam giác gì? Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC; điểm D, E thuộc cạnh AC, AB cho � BD cắt CE P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Câu 6: (2,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x  xyz  y  xyz  z  xyz  xyz – Hết – Họ tên thí sinh: ……………………… ………………… Số báo danh:………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THIỆU HÓA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 24/10/2017 (Đề thi gồm 01 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Ý a 2,0đ (4 điểm) Tóm tắt cách giải ��2x  x  2x x  x  x � � � � A �   x  0;x � ;x � � � � �: � � 1 x x �� 1 x x � � 0,25 � � 1 x �          x x    x 1      x 1             : x 1 :  1 x   1 :   xx   xx   0,5 0.25 0,5 1 x  x x 0,5 Ta có A 1,0đ  1 x  x  x 1 x   1 x   1 x 1     1,0đ x  17 12  3 2 � x  c  � x 2x  x  � x  1 x � 2x  x  x  �  :  � x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  x � � � � x x 1 x 1 � x 1 � x 1 x 1 �  :  � x x 1 1 x 1 x 1 x 1 x  x � � � � � � x 1 � x  : �2 x  �  � � � 1 x 1 x  x � x x 1 � � � �  b Điểm   1 3 2  17 12 3 2  3 2  3 2  3 2   0,5 15 10 3 2   5 3 2 3 2 1 x  x  x 1 x x 1  víi mäi x  0;x ;x Chứng minh đợc x x BiÕn ®ỉi A  �A  x  1 1� A  1� A  1 � A x  0,25  A 1  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 � A  A  0� A  A Ta có: VT  a  2đ x  x  12  x  10 x  3( x  1)   5( x  1)  �  5 Dấu "=" xảy x  1 VP   x  x   2( x  1) �5 Dấu "=" xảy x  1 � VT  VP � x  1 Vậy phương trình có nghiệm x  1 b 2đ 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: xy  x  y   x  y  xy 0,25  y  x  1  x x  1  y  x  1  0 (1) Nhận thấy x = nghiệm PT (1) Chia vế phương trình cho x – 1, ta được: (4 điểm) 2y2  x  y  0 x PT có nghiệm x, y nguyên, suy nên x – �   1;1  x – = -1  x =  x–1=1 x=2 (2) nguyên x 1 Thay x = vào PT(2) ta được: y  y  0  y 1 ; y  x ; y � 0;1 ; 2;1       Vậy phương trình cho nghiệm nguyên  0,25 0,5 0,25 Thay x = vào PT(2) ta được: y  y  0  y 1 ; y  a (4 điểm) 2đ Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + a(a2 - 1) =a(a - 1) (a + 1)(a -2) (a +2) + a( a - 1)( a+ 1) Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + số nguyên liên tiếp nên có số (*) chia hết cho suy (a  2)(a  1)a(a  1)(a  2)M Mặt khác 5a(a  1)(a  1)M5 (**) 5 (1) Từ (*) (**) suy a  aM tương tự ta có mà a  b  c  2410 0,5 0,25 0,25 0,5 (2) ; c5  cM (3) 0,25 a5  a  b5  b  c5  cM 0,25 b5  bM Từ (1) (2) (3) suy 0,25 2017 M5 nên a b c M 5 5 0,5 b Ta có: a  b  c  d  � ad  bd  cd  d  (vì d �0) 2đ 0,5 � ad  d  bd  cd � �� bd  d  cd  ad � cd  d  ad  bd � 0,25  ( ab  d  ad  bd )(bc  d  bd  cd )(ca  d  cd  ad ) 0,25 M  (ab  cd )(bc  da)(ca  bd )  ( a  d )(b  d )(b  d )(c  d )(a  d )(c  d )   (a  d )(b  d )(c  d )   (a  d )(b  d )(c  d ) Vì a, b, c, d số hữu tỉ nên (a  d )(b  d )(c  d ) số hữu tỉ Vậy M  (ab  cd )(bc  da )(ca  bd ) số hữu tỉ 0,25 0,25 0,5 (5điểm) A E F 0,5 H B 0,5 D C 0,5 0,5 AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC AE AF � AEF : ABC (c.g c) Suy = AB AC S AEF �AE �  AEF :  ABC  * Từ suy � � cos A S ABC �AB � a) Tam giác ABE vuông E nên cosA = 1 0,25 S S 0,25 2 CDE BDF b) Tương tự câu a, S  cos B, S  cos C ABC ABC Từ suy SDEF S ABC  S AEF  S BDF  SCDE    cos A  cos B  cos C S ABC S ABC 0,25 0,25 2 Suy S DEF    cos A  cos B  cos C  S ABC HC CE HC.HB CE.HB S HBC c) Từ AFC : HEC � AC  CF � AC AB  CF AB  S ABC HB.HA S HA.HC S HAC HAB Tương tự: AC.BC  S ; AB.BC  S Do đó: ABC ABC HC HB HB.HA HA.HC S HBC  S HCA  S HAB 1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC  Ta chứng minh được: (x + y + z)2 �3(xy + yz + zx) (*) HA HB HC   �3 Áp dụng (*) ta chứng minh được: BC AC AB Dấu xảy tam giác ABC 5 (1 điểm) Kẻ EF  AC F, DG  BC G Theo giả thiết S ADPE  S BPC � S ACE  S BCD �  DCG �  600 Mà AC  BC � EF  DG EAF Suy AEF  CDG � AE  CG �  ECA � Do AEC  CDB (c  g  c) � DBC 0,25 0,25 0,25 �  PBC �  PCB �  PCD �  PCB �  600 � BPE Áp dụng BĐT cơsi ta có (2 điểm) x  xyz  xyz  x  x �    x  yz  yz  x ( x  z )( x  y )  yz   0,25 x( x  y  z )  yz  yz  0,25 � 1� �x  y  x  z y  z � � �  �x  � � � �x  � � 3� 2 � � 3� � (Vì x + y + z =1) Chứng minh tương tự: y  xyz  xyz � 0,25 3� 1� �y  � � 3� � 1� z  xyz  xyz � �z  � � 3� 0,25 0,25 x yz � Mà xyz � � � � � 0,5 � 3 5    1 x  y  z   3 3 Vậy GTLN A = x = y = z = 3 Do A � 0,5 (Lưu ý: Học sinh có cách giải khác cho số điểm tương đương) ... a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - + 5) = a( a2- 1)( a2 - 4) + a(a2 - 1) =a(a - 1) (a + 1)(a -2) (a +2 ) + a( a - 1)( a+ 1) Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + số nguyên liên tiếp nên... Do đó: ABC ABC HC HB HB.HA HA.HC S HBC  S HCA  S HAB 1 + + = S ABC AC AB AC.BC AB.BC  Ta chứng minh được: (x + y + z)2 �3(xy + yz + zx) (*) HA HB HC   �3 Áp dụng (*) ta chứng minh được:... HUYỆN THIỆU HĨA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi 24/10/2017 (Đề thi gồm 01