tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bộ tự động hóa, điện tử, cơ điện tử, cơ khí chế tạo máy, lập trình nhúng, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC Chương 249 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 7.1.1 Khái niệm Chương đề cập đến loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, tín hiệu hay nhiều điểm chuỗi xung, hàm liên tục theo thời gian Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tín hiệu mà ta có loại hệ thống xử lý tín hiệu khác Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc Hệ thống xử lý loại tín hiệu gọi hệ thống rời rạc Nếu phép lượng tử hóa tiến hành theo thời gian theo biên độ kết nhận tín hiệu số Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi hệ thống số Trong hệ thống rời rạc hệ thống số, thông số điều khiển - biên độ tín hiệu xuất thời điểm rời rạc cách chu kỳ lấy mẫu tín hiệu Vì có thời gian trễ tất yếu lấy mẫu, việc ổn đònh hệ thống trở nên phức tạp so với hệ liên tục, đòi hỏi kỹ thuật phân tích thiết kế đặc biệt Sự phát triển mạnh mẽ kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý kỹ thuật máy tính làm cho ngày có nhiều hệ thống điều khiển số sử dụng để điều khiển đối tượng Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng thuật toán điều khiển phức tạp cách lập trình Máy tính số điều khiển nhiều đối tượng lúc Ngoài ra, giá máy tính ngày hạ tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày tăng lên góp phần làm cho việc sử dụng hệ thống điều khiển số trở nên phổ biến Hiện hệ thống điều 250 CHƯƠNG khiển số sử dụng rộng rãi, từ điều khiển đơn giản điều khiển nhiệt độ, điều khiển động DC, AC, đến hệ thống điều khiển phức tạp điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, hệ thống điều khiển trình công nghệ hóa học hệ thống tự động cho ứng dụng khác Hình 7.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối hệ thống điều khiển số thường gặp, hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục c(t), uR(t) tín hiệu số r(kT), cht(kT), u(kT) Trung tâm hệ thống máy tính số, máy tính có chức xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến xuất tín hiệu điều khiển đối tượng Vì cảm biến đối tượng hệ thống liên tục nên cần sử dụng chuyển đổi A/D D/A để giao tiếp với máy tính Do để phân tích thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học trình chuyển đổi A/D D/A Tuy nhiên, phương pháp cho phép mô tả xác trình chuyển đổi A/D D/A sai số lượng tử hóa biên độ, thay khảo sát hệ thống số hình 7.1 ta khảo sát hệ rời rạc hình 7.2 Hình 7.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc Trong sách này, phát triển phương pháp phân tích thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc Nếu độ phân giải phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 251 để bỏ qua sai số ta xem tín hiệu số tín hiệu rời rạc, điều có nghóa lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày hoàn toàn áp dụng để phân tích thiết kế hệ thống điều khiển số 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu Hình 7.3 Quá trình lấy mẫu liệu Lấy mẫu biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian Xét lấy mẫu có đầu vào tín hiệu liên tục x(t) đầu tín hiệu rời rạc x*(t) (H.7.3) Quá trình lấy mẫu mô tả biểu thức toán học sau: x*(t) = x(t).s(t) (7.1) s(t) chuỗi xung dirac: s(t) = +∞ ∑ δ ( t − kT ) k=−∞ (7.2) CHƯƠNG 252 Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử x(t) = t < 0, ta được: x * (t) = +∞ ∑ x( t) δ ( t − kT ) k=0 ⇒ x * (t) = +∞ ∑ x( kT ) δ ( t − kT ) (7.3) k=0 Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được: +∞ X * ( s) = ∑ x ( kT ) e− kT s (7.4) k= Biểu thức (7.4) biểu thức toán học mô tả trình lấy mẫu Đònh lý Shanon: Để phục hồi liệu sau lấy mẫu mà không bò méo dạng tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện: f= ≥2 T (7.5) c fc tần số cắt tín hiệu cần lấy mẫu Trong hệ thống điều khiển thực tế, bỏ qua sai số lượng tử hóa khâu chuyển đổi A/D khâu lấy mẫu 7.1.3 Khâu giữ liệu Khâu giữ liệu khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian Khâu giữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản sử dụng nhiều hệ thống điều khiển rời rạc khâu giữ bậc (Zero-Order Hold - ZOH) (H.7.4) Ta tìm hàm truyền khâu ZOH Để ý tín hiệu vào khâu ZOH xung dirac tín hiệu xung vuông có độ rộng T (H.7.4b) Ta có: R(s) = (vì r(t) laø haøm dirac) C ( s) = L −T s { c( t) } = L { u ( t) − u ( t − T ) } = − e− T s = − e s s s MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC C ( s) GZOH ( s) = R ( s) Theo đònh nghóa: −T s 1− e GZOH ( s) = s Do đó: 253 = − z−1 s (7.6) Biểu thức (7.6) hàm truyền khâu giữ bậc Trong hệ thống điều khiển thực tế, bỏ qua sai số lượng tử hóa khâu chuyển đổi D/A khâu giữ bậc (ZOH) a) b) Hình 7.4 Khâu giữ bậc (ZOH) Nhận xét: Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta mô tả trình lấy mẫu giữ liệu biểu thức toán học (7.4) (7.6) Tuy nhiên biểu thức toán học lại chứa hàm e x nên ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc phân tích, thiết kế hệ thống gặp nhiều khó khăn Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi Z trình bày thực điều CHƯƠNG 254 7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z 7.2.1 Đònh nghóa Cho x(k) chuỗi tín hiệu rời rạc Biến đổi Z x(k) là: X ( z) = Z{ x ( k) } = +∞ ∑ x ( k) z− k (7.7) k=−∞ đó: z = eTs (s biến Laplace) Z→ X ( z) Ký hiệu: x ( k) ← Neáu x(k) = 0, ∀k < biểu thức đònh nghóa trở thành: X ( z) = Z{ x ( k) } = +∞ ∑ x( k) z− k (7.8) k=0 g Miền hội tụ (Region of Convergence - ROC) ROC tập hợp tất giá trò z cho X(z) hữu hạn g Ý nghóa phép biến đổi Z Giả sử x(t) tín hiệu liên tục miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta chuỗi rời rạc x(k) = x(kT) Biểu thức lấy maãu x(t): X * ( s) = +∞ ∑ x( kT ) e− kT s (7.9) k=0 Biểu thức biến ñoåi Z: X ( z) = +∞ ∑ x( k) z− k (7.10) k= Vì z = eTs nên vế phải hai biểu thức (7.9) (7.10) nhau, chất việc biến đổi Z tín hiệu rời rạc hóa tín hiệu g Phép biến đổi Z ngược Cho X(z) hàm theo biến phức z Biến đổi Z ngược X(z) là: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 255 x ( k) = X ( z) zk−1dz 2jπ ∫ C với C đường cong kín nằm miền hội tụ ROC X(z) bao gốc tọa độ 7.2.2 Tính chất phép biến đổi Z 1- Tính tuyến tính Nếu: Z→ X ( z) x1 ( k) ← Z→ X ( z) x2 ( k) ← Z→ a X ( z) + a X ( z) a1x1 ( k) + a2 x2 ( k) ← 1 2 Thì: (7.11) 2- Dời miền thời gian Hình 7.5 Làm trễ tín hiệu k o mẫu Nếu: thì: Z→ X ( z) x ( k) ← Z→ z− ko X ( z) x ( k − ko ) ← (7.12) Nhận xét: Nếu miền Z ta nhân X(z) với z− k0 tương đương với miền thời gian trễ tín hiệu x(k) ko chu kỳ lấy mẫu Vì Z→ z−1 X ( z) x ( k − 1) ← CHƯƠNG 256 nên z mẫu –1 gọi toán tử làm trễ chu kỳ lấy 3- Tỉ lệ miền Z Nếu: thì: Z→ X ( z) x ( k) ← Z→ X ( a−1z) ak x ( k) ← (7.13) 4- Đạo hàm miền Z Nếu: thì: Z→ X ( z) x ( k) ← Z→ − z kx ( k) ← dX ( z) dz (7.14) 5- Đònh lý giá trò đầu Nếu: thì: Z→ X ( z) x ( k) ← x ( 0) = lim X ( z) z→∞ (7.15) 6- Đònh lý giá trò cuối Z→ X ( z) Nếu: x ( k) ← thì: x ( ∞ ) = lim( − z−1 ) X ( z) z→1 7.2.3 Biến đổi Z hàm 1- Hàm dirac u k =0 1 nế δ(k) = uk ≠0 0 nế Theo đònh nghóa: Z{ δ ( k) } = +∞ ∑ δ ( k) z− k = δ ( 0) z−0 = k=−∞ Z→1 (ROC: toàn mặt phẳng Z) Vậy: δ ( k) ← 2- Hàm nấc đơn vò Hàm nấc đơn vò (liên tục miền thời gian): u t ≥0 1 neá u(t) = u t TS=1; MS= [2 1]; G1 = tf (TS, MS, 0.2) G1=1/(2z+1, T = 0.2 sec Transfer function: -2z + Sampling time: 0.2 >> TS=1; MS= [2 1]; >> G1=tf (TS, MS, –1)%G1=1/(2z+1), T không xác đònh Transfer function: -2z + Sampling time: unspecified >> G2=tf ([4 1], conv ([2 1], [3 1]), –1)%G2= (4z + 1)/(2z+1) (3z+1) Transfer function: 4z+1 z^2 + z + Sampling time: unspecified Đơn giản hàm truyền: lệnh minreal Cú pháp: G=minreal(G) triệt tiêu thành phần giống tử số mẫu số để dạng hàm truyền tối giản Ví dụ: >> TS=[2 1]; MS=conv([2 1],[3 1]);G=tf(TS,MS,-1) Transfer function: z+1 z^2 + z + Sampling time: unspecified >> G=minreal (G) Transfer function: 0.3333 –––––––––– z + 0.3333 Sampling time: unspecified • Các lệnh ghép nối hệ rời rạc hoàn toàn giống CHƯƠNG 286 lệnh ghép nối hệ liên tục, cụ thể: - Tính hàm truyền hệ thống nối tiếp: lệnh series toán tử “*” Cú pháp: G=series(G1, G2) tính hàm truyền G = G1*G2 - Tính hàm truyền hệ thống song song: lệnh parallel toán tử “+” Cú pháp: G=parallel(G1,G2) tính hàm truyền G = G1+G2 - Tính hàm truyền hệ thống hồi tiếp: lệnh feedback Cú pháp: Gk=feedback(G1,G2,) tính hàm truyền hệ hồi tiếp âm Gk = G1/(1+G1*G2) Gk=feedback(G1,G2,+1) tính hàm truyền hệ hồi tiếp dương Gk = G1/(1–G1*G2) Ví dụ: >> G1=tf(1, [2 11,–1); % G1=1/ (2z+1) >> G2=tf([4 1],conv([1 01],[3 11]),–1); % G2=(4z+1)/z(3z+1) Transfer function: 4z+1 ––––––––––––––– z^3 + z^2 + z Sampling time: unspecified >> G=G1+G2 % gheùp song song Transfer function: 11 z^2 + z + –––––––––––––– z^3 + z^2 + z Sampling time: unspecified >> Gk=feedback(G2, G1) % he hoi tiep am Gk=G2/(1+G2*G1) Transfer function: z^2 + z + ––––––––––––––––––––––––– z^3 + z^2 + z + Sampling time: unspecified >> Gk=minreal (Gk) Transfer function: % don gian thua so chung MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 287 ––––– z Sampling time: unspecified • Tạo hệ thống mô tả phương trình trạng thái: lệnh ss (state space) Cú pháp: PTTT=ss(A,B,C,D,T) tạo hệ thống rời rạc mô tả phương trình trạng thái PTTT có ma trận trạng thái A, B, C, D chu kỳ lấy mẫu T Nếu không xác đòn T đặt T = –1 Ví dụ: >> A=[0 1; –0.7 –0.11; B=[0;2]; c=[1 0]; D=0; >> PTTT=ss(A,B,C,D,–1) a= x1 x2 x1 x2 –0.7 –0.1 b= u1 x1 x2 c= y1 x1 x2 d= u1 y1 Sampling time: unspecified Discrete-time model • Các lệnh biến đổi hàm truyền phương trình trạng thái hệ rời rạc hoàn toàn giống hệ liên tục - Biến đổi phương trình trạng thái dạng hàm truyền: lệnh tf Cú pháp: G=tf(PTTT) - Biến đổi hàm truyền dạng phương trình trạng thái: lệnh ss Cú pháp: PTTT=tf(G) CHƯƠNG 288 Ví dụ: (xem ví dụ 7.15) >> A=[0 1; –0.7 –0.1]; B=[0;2]; C=[1 0]; D=0; >> PTTT=ss(A,B,C,D,–1); >> G=tf(PTTT) Transfer function: –––––––––––––– z^2 + 0.1 z + 0.7 Sampling time: unspecified >> PTTT=ss (G) a= x1 x2 x1 –0.1 –0.35 x2 b= u1 x1 x2 c= y1 x1 x2 d= u1 y1 Sampling time: unspecified Discrete-time model Để ý sau biến đổi ngược từ hàm truyền dạng phương trình trạng thái ta ma trận trạng thái hoàn toàn khác với ma trận trạng thái nhập vào ban đầu, điều vô lý hệ thống tùy theo cách đặt biến trạng thái khác ta có phương trình trạng thái khác MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 289 ... thực tế ta thường áp dụng c ch sau: C ch 1: Phân t ch X ( z) thành tổng hàm bản, sau tra bảng biến đổi Z z Ví dụ 7.1 Cho X ( z) = Tìm x(k) ( z − 2) ( z − 3) Giải: Phân t ch X ( Z) , ta được: X (... C ch 2: Phân t ch X ( z) thành chuỗi lũy thừa Theo đònh nghóa biến ñoåi z: X ( z) == +∞ ∑ x( k) z− k = x(0)z0 + x( 1) z−1 + x( 2) z−2 + x( 3) z−3 + K k= Do phân t ch X ( z) thành tổng chuỗi... sử dụng chuyển đổi A/D D/A để giao tiếp với máy tính Do để phân t ch thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học trình chuyển đổi A/D D/A Tuy nhiên, phương pháp cho phép