tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bộ tự động hóa, điện tử, cơ điện tử, cơ khí chế tạo máy, lập trình nhúng, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
CHƯƠNG 118 Chương KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.1 Đònh nghóa Hệ thống gọi trạng thái ổn đònh, với tín hiệu vào bò chặn đáp ứng hệ bò chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO) Yêu cầu hệ thống ĐKTĐ hệ thống phải giữ trạng thái ổn đònh chòu tác động tín hiệu vào chòu ảnh hưởng nhiễu lên hệ thống Hệ phi tuyến ổn đònh phạm vi hẹp độ lệch ban đầu nhỏ không ổn đònh phạm vi rộng độ lệch ban đầu lớn Đối với hệ tuyến tính đặc tính trình độ không phụ thuộc vào giá trò tác động kích thích Tính ổn đònh hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại giá trò tín hiệu vào hệ tuyến tính tồn trạng thái cân Phân biệt ba trạng thái cân bằng: biên giới ổn đònh, ổn đònh không ổn đònh Trên hình 4.1 thay đổi nhỏ trạng thái cân cầu, chẳng hạn cho vận tốc ban đầu đủ bé cầu tiến tới trạng thái cân (Hình 4.1a), dao động quanh vò trí cân (Hình 4.1b d), không trở trạng thái ban đầu (Hình 4.1c) Trong CHƯƠNG 119 trường hợp đầu, ta có vò trí cân biên giới ổn đònh, trường hợp sau ổn đònh trường hợp thứ ba không ổn đònh Cũng vò trí b d hình 4.1, cầu với độ lệch ban đầu lớn không trở trạng thái cân ban đầu Hai trạng thái b d cầu ổn đònh phạm vò hẹp mà không ổn đònh phạm vi rộng Hình 4.1 Trong trường hợp việc khảo sát tính ổn đònh giới hạn cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó hệ thống mô tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số áp dụng nguyên lý xếp chồng 4.1.2 Ổn đònh hệ tuyến tính Một hệ thống ĐKTĐ biểu diễn phương trình vi phân dạng tổng quát: ao dn c(t) dtn + a1 dn−1c(t) dtn−1 + + anc(t) = bo bmr(t) dmr (t) dtm + b1 dm−1r(t) dtm−1 + + (4.1) Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống r(t) tín hiệu c(t) Hàm truyền đạt hệ thống mô tả (4.1) có dạng: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG G(s) = 120 b sm + b sm− r + + bm C(s) B(s) = o n n−1 = R(s) A(s) aos + a1s + + an (4.2) Nghiệm (4.1) gồm hai thành phần: c(t) = co(t) + cqđ(t) (4.3) đó: co(t) - nghiệm riêng (4.1) có vế phải, đặc trưng cho trình xác lập cqđ(t) - nghiệm tổng quát (4.1) vế phải, đặc trưng cho trình độ Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho trình n độ hệ thống: cqđ(t) = ∑ λi epit i =1 (4.4) pi nghiệm phương trình đặc tính: A(s) = aosn + a1sn−1 + + an = (4.5) pi nghiệm thực nghiệm phức liên hợp gọi nghiệm cực hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt A(s) bậc n hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, , n Zero nghiệm phương trình B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) đa thức bậc m (m< n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, , m Hệ thống ổn đònh nếu: lim cqđ(t) = t→∞ (4.6) Hệ thống không ổn đònh nếu: lim cqđ(t) = ∞ t→∞ (4.7) Trong phương trình (4.4) hệ số λ i số phụ thuộc vào thông số hệ trạng thái ban đầu Nghiệm cực pi viết dạng: pi = α i ± j βi lim λ epit = t→∞ i (4.8) neáu αi < Hệ ổn đònh pi nghiệm phức λi αi = pi nghiệm thực (Hệ biên giới ổn đònh) αi > Hệ không ổn đònh CHƯƠNG 121 Phân biệt ba trường hợp phân bố cực mặt phẳng phức số (H.4.2): 1- Phần thực nghiệm cực dương αi > 2- Phần thực nghiệm cực không αi = 3- Phần thực nghiệm cực âm αi < Ổn đònh hệ thống phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm zero, mẫu số hàm truyền đạt A(s) = gọi phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng hệ thống Hình 4.2 Phân bố cực mặt phẳng S Kết luận: 1- Hệ thống ổn đònh tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm: Re{pi} < 0, αi < nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức: A(s) = aosn + a1sn−1 + + an = (4.9) 2- Hệ thống không ổn đònh có dù nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) lại nghiệm có phần thực âm (nghiệm trái) KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 122 3- Hệ thống biên giới ổn đònh có dù nghiệm có phần thực không lại nghiệm có phần thực âm (một nghiệm cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo) Vùng ổn đònh hệ thống nửa trái mặt phẳng phức số S Đáp ứng độ dao động không dao động tương ứng với nghiệm phương trình đặc tính nghiệm phức hay nghiệm thực Tất phương pháp khảo sát ổn đònh xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo cách Tổng quát, ba cách đánh giá sau thường dùng để xét ổn đònh: 1- Tiêu chuẩn ổn đònh đại số Routh - Hurwitz 2- Tiêu chuẩn ổn đònh tần số Mikhailov - Nyquist Bode 3- Phương pháp chia miền ổn đònh phương pháp quỹ đạo nghiệm số 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4.2.1 Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh tất hệ số phương trình đặc trưng phải khác dấu Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: g s3 + 3s2 − 2s + = không ổn đònh g s4 + 2s2 + 5s + = không ổn đònh g s4 + 4s3 + 5s2 + 2s + = chưa kết luận 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng aosn + a1sn−1 + K + an−1s + an = Muốn xét tính ổn đònh hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: CHƯƠNG 123 - Bảng Routh có n+1 hàng - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số chẵn - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số lẻ - Phần tử hàng i cột j bảng Routh (i ≥ 3) tính theo công thức: cij = ci −2, j +1 − α i ⋅ ci −1, j +1 αi = với: ci −2,1 ci −11 , sn c11 = ao c12 = a2 c13 = a4 c14 = a6 … sn–1 c21 = a1 c22 = a3 c23 = a5 c24 = a7 … α3 = c11 c21 sn–2 c31 = c12 − α 3c22 c32 = c13 − α3c23 c33 = c14 − α3c24 c34 = c15 − α 3c25 … α4 = c21 c31 sn–3 c41 = c22 − α4c32 c42 = c23 − α 4c33 c43 = c24 − α4c34 c44 = c25 − α 4c35 … … … … … … … … αn = cn − 2,1 cn −1,1 s0 cn1 = cn− 2, − α n cn−1, Phát biểu tiêu chuẩn Routh Điều kiện cần đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức tất phần tử nằm cột bảng Routh dương Số lần đổi dấu phần tử cột bảng Routh số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức Ví dụ 4.1 Hãy xét tính ổn đònh hệ thống có phương trình đặc trưng là: s4 + 4s3 + 5s2 + 2s + = Giải: Bảng Routh KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG s4 s3 α3 = s2 − = α4 = s1 10 − = 9 81 20 s0 α5 = 124 Vì tất phần tử cột bảng Routh dương nên tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức, hệ thống ổn đònh Ví dụ 4.2 Hãy xét tính ổn đònh hệ thống tự động có sơ đồ khối sau: Hình 4.3 G(s) = 50 H (s) = s(s + 3)(s + s + 5) s+ Giải: Phương trình đặc trưng hệ thống + G(s) ⋅ H (s) = 50 =0 s(s + 3)(s + s + 5) (s + 2) 1+ ⋅ s(s + 3)(s2 + s + 5)(s + 2) + 50 = s5 + 6s4 + 16s3 + 31s2 + 30s + 50 = Baûng Routh α3 = s5 16 30 s4 31 50 s 16 − ⋅ 31 = 10, 83 30 − ⋅ 50 = 21, 67 CHƯƠNG 125 α4 = 10, 83 s2 31 − × 21, 67 = 18, 99 10, 83 α5 = 10, 83 18, 99 s1 21, 67 − s0 50 10, 83 × 50 = −6, 84 18, 99 50 Vì phần tử cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống không ổn đònh Ví dụ 4.3 Cho hệ thống có sơ đồ khối nhö sau G(s) = K s(s + s + 1)(s + 2) Hình 4.4 Xác đònh điều kiện K để hệ thống ổn đònh Giải: Phương trình đặc tính + G(s) = ⇔ 1+ K s(s + s + 1)(s + 2) =0 ⇔ s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 126 Bảng Routh s4 K s 3− ⋅ = 3 K α3 = s2 α4 = s1 s0 2− ⋅K K Điều kiện để hệ thống ổn đònh 2 − K > K > ⇔ 0< K < 14 Các trường hợp đặc biệt Trường hợp 1: có hệ số cột hàng 0, hệ số lại hàng khác ta thay hệ số cột số ε dương, nhỏ tùy ý, sau trình tính toán tiếp tục Ví dụ 4.4 Xét tính ổn đònh hệ thống có phương trình đặc trưng: s4 + 2s3 + 4s2 + 8s + = Giaûi: Baûng Routh α3 = α4 = s4 s3 s2 4− ⋅8= ⇒ s2 ε>0 ε s1 s0 8− ⋅ 3< ε Vì hệ số cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống không ổn đònh CHƯƠNG 127 Trường hợp 2: tất hệ số hàng - Thành lập đa thức phụ từ hệ số hàng trước hàng có tất hệ số 0, gọi đa thức Ap(s) - Thay hàng có tất hệ số hàng khác có hệ số hệ số dA p(s) Sau trình tính toán tiếp tục ds Chú ý: Nghiệm đa thức phụ Ap(s) nghiệm phương trình đặc trưng Ví dụ 4.5 Xét tính ổn đònh hệ thống có phương trình đặc trưng: s5 + 4s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + = Xác đònh số nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trục ảo mặt phẳng phức Giải: Bảng Routh s5 s α3 = s3 8− × = 7− × = α4 = s2 8− ×6= α5 = s1 6− ×4= ⇒ s1 CHƯƠNG 141 ⇒ da s3 + 6s2 + 400 s4 + 12s3 + 36s2 − 800s − 2400 =− = ds s2 + 6s (s2 + 6s)2 Do da = ⇔ s4 + 12s3 + 36s2 − 800s − 2400 = ds s1 = +6, ⇔ s2 = −2, s = −8 ± j 7, 48 3,4 (loại ) (loại ) Vậy QĐNS có điểm tách nhập –2,9 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 142 - Giao điểm QĐNS với trục ảo xác đònh cách thay s = j ω vào phương trình đặc tính (1) ⇔ s3 + 6s2 + 400 + as( s + 6) = ⇔ s3 + (6 + a) s2 + 6as + 400 = Thay s = j ω ta − j ω3 − (6 + a)ω2 + 6aj ω + 400 = ⇔ −(6 + a)ω2 + 400 = −ω + 6aω = ω = a = ∞ ⇔ ω = ±5, 85 a = 5,7 ω = ± j 8, 38 (loaïi) a = −11,7 Vậy giao điểm cần tìm s = ± j 5, 85 , tương ứng với giá trò giới hạn hệ số a agh = 5,7 - Góc xuất phát QĐNS cực phức p θ2 = 180 + (β1 + β2 ) − (β3 + β4 ) = 180 + (71, + 36,7) − (26, + 90) θ2 = 171,7° Hình 4.11 CHƯƠNG 143 4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ 4.4.1 Nguyên lý góc quay Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng: A(s) = aosn + a1sn−1 + + an = (4.17) Ña thức A(s) viết dạng: A(s) = ao(s – p1)(s – p2) (s – pn) với p1, p2, pn cực hệ thống, nghiệm phương trình đặc tính Thay s = jω vào (4.17) ta coù: A(jω) = ao(jω - p1)( jω - p2) ( jω - pn) Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), (n - m) nghiệm trái (có phần thực âm) Hình 4.12 Góc quay vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 144 n arg A(jω) = ∑ arg( j ω − pi ) i =1 Khi tần số ω thay đổi từ – ∞ đến + ∞ thay đổi góc quay vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) là: ∆arg A(jω) = n ∑ arg( j ω − pi ) i =1 -∞ < ω < +∞ - ∞ Ví dụ 4.18 Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode hình vẽ Hỏi hệ kín có ổn đònh không? Hình 4.22 155 CHƯƠNG Giải: Trên biểu đồ Bode ta xác đònh được: ωc = 5, (rad/sec), ω−π = (rad/sec) L (ω−π ) = 35dB ⇒ GM = −35dB ϕ(ωc ) = −270° ⇒ ΦM = 180° + (−270° ) = −90° Do GM < ΦM < nên hệ thống kín không ổn đònh ... theo c ch Tổng quát, ba c ch đánh giá sau thường dùng để xét ổn đònh: 1- Tiêu chuẩn ổn đònh đại số Routh - Hurwitz 2- Tiêu chuẩn ổn đònh tần số Mikhailov - Nyquist Bode 3- Phương pháp chia miền... + 5s2 + 2s + = ch a kết luận 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng aosn + a1sn−1 + K + an−1s + an = Muốn xét tính ổn đònh hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước... cấp n× n - Đường ch o ma trận Hurwitz hệ số từ a1 đến an - Hàng lẻ ma trận Hurwitz gồm hệ số có số lẻ theo thứ tự tăng dần bên phải đường ch o giảm dần bên trái đường ch o - Hàng ch n ma trận Hurwitz