tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bộ tự động hóa, điện tử, cơ điện tử, cơ khí chế tạo máy, lập trình nhúng, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 31 Chương PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC A PHÂN TÍCH HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 8.1 ĐIỀU KIỆN ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC Hệ thống gọi ổn đònh tín hiệu vào bò chặn tín hiệu bò chặn (ổn đònh BIBO – Bounded Input Bounded Output) Ta biết hệ thống điều khiển liên tục ổn đònh tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức Do quan hệ biến z biến s z eT s nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên vòng tròn đơn vò Do hệ thống điều khiển rời rạc ổn đònh tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên vòng tròn đơn vò He� tho� ng r� � i ra� c o� n �� nh z Miền ổn đònh hệ thống liên tục Miền ổn đònh hệ thống rời rạc (8.1) CHƯƠNG 32 Cần nhớ - Hệ thống rời rạc cho sơ đồ khối Phương trình đặc tính là: (8.2) GH ( z) 0 - Hệ thống rời rạc cho hệ phương trình biến trạng thái x(k 1) Ad x(k) Bd r(k) c(k) Cd x(k) Phương trình đặc tính là: det( zI Ad ) 0 (8.3) 8.2 TIÊU CHUẨN ROUTH - HURWITZ MỞ RỘNG - Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz cho phép đánh giá phương trình đại số aoxn a1xn L an 1x an 0 coù nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hay không - Ta sử dụng kết để đánh giá nghiệm phương trình đặc tính hệ liên tục aosn a1sn L an 1s an 0 Nếu phương trình có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức hệ liên tục không ổn đònh - Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh– Hurwitz để đánh giá tính ổn đònh hệ rời rạc miền ổn đònh hệ rời rạc nằm bên đường tròn đơn vò - Muốn dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn đònh hệ rời rạc ta phải thực phép đổi bieán z w1 w z 1 w z Với cách đổi biến trên, miền nằm vòng đơn vò mặt phẳng z tương ứng với nửa trái mặt phẳng w Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz phương trình đặc tính theo biến w: không tồn nghiệm w PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 33 nằm bên phải mặt phẳng phức không tồn nghiệm z nằm vòng tròn đơn vò hệ rời rạc ổn đònh Miền ổn đònh hệ thống rời rạc theo biến z Miền ổn đònh hệ thống rời rạc theo biến w Ví dụ 8.1 Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính 5z3 2z2 3z 0 Xét tính ổn đònh hệ thống Giải: Đổi biến z 1 w , phương trình đặc tính trở thành 1 w w 1 w 1 w 1 5 2 3 0 w 1 w 1 w 1 w 1 3 w 1 w 1 w 1 0 5 w 1 w 1 w3 3w2 3w w3 w2 w 3 w w2 w 1 w 3w 3w 0 11w3 11w2 13w 0 Baûng Routh w3 11 13 11 0 w w w Do tất hệ số cột bảng Routh dương nên hệ ổn đònh CHƯƠNG 34 Hoặc Ma trận Hurwitz a1 a3 a a o a1 11 0 11 13 0 a3 11 5 g 1 11 g 11 13 11 g 5 Do đònh thức dương nên hệ ổn đònh 8.3 TIÊU CHUẨN JURY Xét ổn đònh hệ rời rạc có phương trình đặc tính: aozn a1zn L an 1z an 0 Bảng Jury 1- Hàng hệ số phương trình đặc tính theo thứ tự số tăng dần 2- Hàng chẵn (bất kỳ) gồm hệ số hàng lẻ trước viết theo thứ tự ngược lại 3- Hàng lẻ thứ i 2k ( k 1 ) gồm có ( n k ) phần tử, phần tử cij xác đònh công thức: cij ci 21 , ci 2,n j k3 ci 2,1 ci 11 , ci 1,n j k3 (8.5) Phát biểu tiêu chuẩn Jury Điều kiện cần đủ để hệ thống ổn đònh tất hệ số hàng lẻ, cột bảng Jury dương Ví dụ 8.2 Cho hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính 5z3 2z2 3z 0 Xét tính ổn đònh hệ thống PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 35 Giải: Bảng Jury Hàng 5 Haøng Haøng 15 4, 51 15 1, 51 15 2, 51 Haøng 2,6 1.4 4,8 Haøng 4, 2, 3, 39 4, 2, 4, 4, 1, 0, 61 4, 2, 1, 0,61 3,39 Haøng Haøng 3, 39 0, 61 3, 28 3, 39 0, 61 3, 39 Do hệ số hàng lẻ cột bảng Jury dương nên hệ thống ổn đònh 8.4 QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ Quỹ đạo nghiệm số tập hợp tất nghiệm phương trình đặc tính hệ thống có thông số hệ thay đổi từ Xét hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính 1 K N ( z) 0 D( z) Go( z) K Đặt: (8.6) N ( z) D( z) Gọi n số cực Go(z), m số zero cuûa G0(z) (8.6) Go( z) 0 Go( z) 1 Go( z) (2l 1) �ie� u kie� n bie� n �o� �ie� u kie� n pha (8.7) Chú ý: Nếu phương trình đặc tính hệ dạng (8.6) ta phải biến đổi tương đương dạng (8.6) trước áp dụng qui tắc vẽ QĐNS Vì dạng phương trình đặc tính hệ liên tục học chương phương trình đặc tính (8.6) (chỉ CHƯƠNG 36 thay biến s biến z) nên qui tắc vẽ QĐNS nhau, khác qui tắc 8, thay hệ liên tục ta tìm giao điểm QĐNS với trục ảo hệ rời rạc ta tìm giao điểm QĐNS với đường tròn đơn vò Sau 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số hệ thống rời rạc có phương trình đặc tính có dạng (8.6) Qui tắc 1: Số nhánh quỹ đạo nghiệm số = bậc phương trình đặc tính = số cực Go(z) = n Qui tắc 2: Khi K = 0: Các nhánh quỹ đạo nghiệm số xuất phát từ cực Go(z) Khi K tiến đến + : m nhánh quỹ đạo nghiệm số tiến đến m zero Go(z), n-m nhánh lại tiến đến theo tiệm cận xác đònh qui tắc Qui tắc 3: Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực Qui tắc 4: Một điểm trục thực thuộc quỹ đạo nghiệm số tổng số cực zero Go(z) bên phải số lẻ Qui tắc 5: Góc tạo đường tiệm cận quỹ đạo nghiệm số với trục thực xác đònh (2l 1) ( l 0, 1, 2,K ) n m (8.8) Qui tắc 6: Giao điểm tiệm cận với trục thực điểm A có tọa độ xác đònh n c zero c�� OA i 1 n m m pi zi i 1 (8.9) n m (pi zi cực zero G0(z)) Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) quỹ đạo nghiệm số nằm trục thực nghiệm dK 0 phương trình: (8.10) dz Qui tắc 8: Giao điểm quỹ đạo nghiệm số với đường tròn đơn vò xác đònh hai cách sau đây: - Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz mở rộng tiêu chuẩn Jury PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 37 - Thay z a jb (điều kiện: a2 b2 1) vào phương trình đặc tính (8.6), cân phần thực phần ảo tìm giao điểm với đường tròn đơn vò giá trò Kgh Qui tắc 9: Góc xuất phát quỹ đạo nghiệm số cực phức pj xác đònh m j 180 n arg( pj zi ) i 1 arg( pj pi ) i 1 i j (8.11) Dạng hình học công thức j = 180o + (góc từ zero đến cực pj ) – (góc từ cực lại đến cực pj) (8.12) Qui tắc 10 Tổng nghiệm số K thay đổi từ + Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số xác đònh từ điều kiện biên độ K N ( z) 1 D( z) (8.13) Ví dụ 8.3 Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối hình vẽ, đó: - Hàm truyền khâu liên tục G(s) 5K s(s 5) - Chu kỳ lấy mẫu T 0,1sec Hãy vẽ QĐNS hệ thống K thay đổi từ đến Tính Kgh Giải: Phương trình đặc tính hệ có sơ đồ khối là: G( z) 0 CHƯƠNG 38 e T s 5K G( z) Z GZOH (s)G(s) Z s s(s 5) đó: K (1 z )Z s (s 5) 0.5 0,5 0,5e 0,5 )] z z[(0,5 e )z (1 e K 5( z 1)2( z e 0,5 ) z G( z) K 0, 021z 0, 018 ( z 1)( z 0, 607) Phương trình đặc tính 1 K 0, 021z 0, 018 0 ( z 1)( z 0, 607) (8.14) - Các cực: p1 1 , p2 0, 607 (n = 2) - Caùc zero: z1 0, 857 (m = 1) - Góc tạo tiệm cận trục thực (2l 1) (2l 1) (l = 0) n m 2 - Giao điểm tiệm cận với trục thực OA c zero (1 0, 607) ( 0, 857) c�� 2, 464 n m 2 - Điểm tách nhập nghiệm phương trình dK 0 dz Ta có: K (8.14) ( z 1)( z 0, 607) z2 1, 607z 0, 607 0, 021z 0, 018 0, 021z 0, 018 dK z2 1,607z 0, 607 dz 0, 021z 0, 018 (2z 1, 607)(0, 021z 0, 018) ( z2 1, 607z 0, 607)(0, 021) (0, 021z 0, 018)2 0, 021z2 0, 036z 0, 042 (0, 021z 0, 018)2 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 39 z1 2,506 dK 0 dz z2 0,792 Cả hai nghiệm thuộc QĐNS có hai điểm tách nhập - Giao điểm QĐNS với đường tròn đơn vò (8.14) ( z 1)( z 0,607) K (0, 021z 0,018) 0 z2 (0, 021K 1, 607)z (0, 018K 0, 607) 0 Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng Đổi biến z w1 , ta được: w w 1 w 1 w (0, 021K 1, 607) w (0, 018K 0, 607) 0 0, 039Kw2 (0,786 0, 036K )w (3, 214 0, 003K ) 0 Điều kiện để hệ thống ổn đònh là: K 0 K 0 0,786 0, 036K K 21, 83 K gh 21, 83 3, 214 0, 003K K 1071 Thay K gh 21, 83 vào phương trình đặc tính, ta được: z2 1,1485z 0 z 0,5742 j 0, 8187 Vậy giao điểm QĐNS với vòng tròn đơn vò z 0,5742 j 0, 8187 Cách 2: Thay z a jb vào phương trình trên, ta (a jb)2 (0, 021K 1, 607)(a jb) (0, 018K 0, 607) 0 a2 j 2ab b2 (0, 021K 1, 607)a j (0, 021K 1, 607)b + (0, 018K 0, 607) 0 a2 b2 (0, 021K 1, 607)a (0, 018K 0, 607) 0 j 2ab j (0,021K 1,607)b 0 Kết hợp với điều kiện a2 b2 1 ta hệ phương trình: CHƯƠNG 40 a2 b2 (0,021K 1, 607)a (0, 018K 0, 607) 0 j 2ab j (0,021K 1, 607)b 0 2 a b 1 Giải hệ phương trình trên, ta bốn giao điểm z 1, tương ứng với K 0 z 1, tương ứng với K 1071 z 0,5742 j 0, 8187 , tương ứng với K 21, 8381 Vậy: K gh 21, 83 8.5 CHẤT LƯNG HỆ THỐNG RỜI RẠC 1- Đáp ứng độ: Có thể xác đònh đáp ứng hệ thống rời rạc hai cách sau đây: - Cách 1: Tính C ( z) , sau dùng phép biến đổi Z ngược để c ( k ) tìm - Cách 2: Tính nghiệm x( k) phương trình trạng thái hệ rời rạc, từ suy c( k) Cặp cực đònh: hệ bậc cao xấp xỉ gần hệ bậc hai với hai cực cặp cực đònh Đối với hệ liên tục, cặp cực đònh cặp cực nằm gần trục ảo Do z eT s , nên hệ rời rạc, cặp cực đònh cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vò 2- Độ vọt lố: Đối với hệ rời rạc, cách thường sử dụng để tính độ vọt lố dùng biểu thức đònh nghóa: CHƯƠNG 56 zC 0, 607 zC 0, 607 Tính cực khâu hiệu chỉnh sin * � sin PAB Ta coù: AB PB Maø PB (0, 607 0, 375)2 0, 3202 0, 388 � PAB 2 * 125, 9 84 41, 9 AB 0, 388 sin 84 0, 578 sin 41, 9 pC OA OB AB 0, 607 0, 578 0, 029 pC 0, 029 GC ( z) K C z 0, 607 z 0, 029 - Tính K C từ điều kiện GC ( z)G( z) zz* 1 KC ( z 0, 607) (0,21z 0,18) 1 ( z 0, 029) ( z 1)( z 0, 607) z0,375 j 0,320 PHAÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 57 [0, 21(0, 375 j 0, 320) 0,18] 1 KC (0,375 j 0, 320 0, 029)(0, 375 j 0, 320 1) KC 0, 267 1 0, 471 0,702 KC 0, 267 0, 471 0,702 1, 24 0, 471 0,702 0, 267 Vaäy: GC ( z) 1, 24 z 0, 607 z 0, 029 Nhận xét: Quỹ đạo nghiệm số hệ thống trước hiệu chỉnh không qua điểm z*, hệ thống không đạt chất lượng đáp ứng độ yêu cầu dù có thay đổi hệ số khuếch đại hệ thống Quỹ đạo nghiệm số hệ thống trước hiệu chỉnh CHƯƠNG 58 Quỹ đạo nghiệm số hệ thống sau hiệu chỉnh Bằng cách sử dụng khâu hiệu chỉnh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số hệ thống bò sửa dạng qua điểm z*, cách chọn hệ số khuếch đại thích hợp (bước 4) hệ thống có cặp cực đònh mong muốn đáp ứng độ đạt yêu cầu thiết kế 8.8.2 Thiết kế điều khiển trễ pha Ta sử dụng khâu hiệu chỉnh trễ pha muốn làm giảm sai số xác lập hệ thống Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ hình vẽ: Khâu hiệu chỉnh GC ( z) khâu treã pha GC ( z) K C z zC z pC ( zC pC ) (8.36) Bài toán đặt chọn giá trò KC, zC pC để làm giảm sai số xác lập hệ thống mà không ảnh hưởng đáng kể đến chất lượng đáp ứng độ PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 59 Đặt: pC zC (8.37) Trình tự thiết kế Bước 1: Xác đònh từ yêu cầu sai số xác lập g Nếu yêu cầu sai số xác lập cho dạng hệ số vò trí K *P thì: đó: chỉnh KP K P* (8.38) K P - hệ số vò trí hệ trước hiệu K *P - hệ số vò trí mong muốn g Nếu yêu cầu sai số xác lập cho dạng hệ số vận tốc K V* thì: K V* (8.39) KV đó: K V - hệ số vận tốc hệ trước hiệu chỉnh K V* - hệ số vận tốc mong muốn Bước 2: Chọn zero khâu hiệu chỉnh gần điểm +1 để không làm ảnh hưởng đáng kể đến dạng QĐNS, suy ra: zC 1 zC (chú ý điều kiện: zC ) (8.40) Bước 3: Tính cực khâu hiệu chỉnh: pC (1 zC ) (8.41) Bước 4: Tính K C cách áp dụng công thức: GC ( z)GH ( z) zz* 1 (8.42) z1*,2 cặp cực đònh hệ thống sau hiệu chỉnh Do yêu cầu thiết kế không làm ảnh hưởng đáng kể đến đáp ứng độ nên tính gần đúng: CHƯƠNG 60 z1*,2 z1,2 với z1,2 cặp cực đònh hệ thống trước hiệu chỉnh Ví dụ 8.7 Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối hình vẽ, đó: c(t) Hàm truyền khâu liên tục G(s) 50 , chu kỳ lấy mẫu s(s 5) T 0,1sec Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha cho hệ thống sau hiệu chỉnh có hệ số vận tốc K V* 100 Giải: Phương trình đặc tính hệ trước hiệu chỉnh G( z) 0 đó: Ts 50 g G( z) Z GZOH (s)G(s) Z e s s(s 5) 10(1 z )Z s (s 5) 0,5 0,5 0, 5e 0,5 )] z z[(0, e )z (1 e 10 5( z 1)2( z e 0,5 ) z G( z) 0, 21z 0,18 ( z 1)( z 0, 607) Cặp cực đònh hệ thống trước hiệu chỉnh nghiệm phương trình: 1 0, 21z 0,18 0 z1,2 0, 699 j 0,547 ( z 1)( z 0, 607) Hệ số vận tốc hệ thống trước hiệu chỉnh KV lim(1 z )GH ( z) T z PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 61 KV 0, 21z 0,18 lim(1 z ) K V 9, 0,1 z ( z 1)( z 0, 607) Do ñoù: KV K V* 9, 0, 099 100 Chọn zero khâu hiệu chỉnh gần ñieåm +1 zC 0, 99 zC 0, 99 Suy cực khâu hiệu chỉnh: pC (1 zC ) 0, 099(1 0, 99) pC 0, 999 GC ( z) K C z 0, 99 z 0, 999 Tính K C từ điều kiện KC KC ( z 0, 99) (0, 21z 0,18) 1 ( z 0, 999) ( z 1)( z 0, 607) z0,699 j 0,547 (0, 699 j 0,547 0, 99) 1 (0, 699 j 0,547 0, 999) KC Vaäy: 0, 6239 1, 007 1 0, 6196 GC ( z) z 0, 99 z 0, 999 Nhaän xét: QĐNS hệ thống trước sau hiệu chỉnh gần giống CHƯƠNG 62 Quỹ đạo nghiệm số hệ thống trước hiệu chỉnh Quỹ đạo nghiệm số hệ thống sau hiệu chỉnh 3- Thiết kế điều khiển sớm trễ pha Hàm truyền khâu hiệu chỉnh sớm trễ pha cần thiết kế có dạng: GC ( z) GC1( z)GC 2( z) đó: GC1 ( z) khâu hiệu chỉnh sớm pha GC2 ( z) khâu hiệu chỉnh trễ pha Bài toán đặt thiết kế GC ( z) để cải thiện đáp ứng độ sai số xác lập hệ thống Trình tự thiết kế Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha GC1( z) để thỏa mãn yêu cầu đáp ứng độ (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha mục 8.8.1) Bước 2: Đặt G1( z) GC1 ( z) G( z) Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha GC2 ( z) mắc nối tiếp vào G1( z) để thỏa mãn yêu cầu sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng độ hệ thống sau hiệu chỉnh sớm pha (xem phương pháp thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha mục 8.8.2) PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 63 8.9 THIẾT KẾ DÙNG BỘ ĐIỀU KHIỂN HỒI TIẾP TRẠNG THÁI Cho đối tượng điều khiển mô tả HPT biến trạng thái: x(k 1) Adx(k) Bdu(k) c(k) Cdx(k) Tín hiệu điều khiển hệ hồi tiếp trạng thái là: u(k) r (k) Kx(k) Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ hồi tiếp trạng thái: x(k 1) Ad x(k) Bd[ r(k) Kx(k)] c(k) Cd x(k) x(k 1) [ Ad Bd K]x( k) Bd r(k) c(k) Cd x(k) Phương trình đặc tính hệ hồi tiếp trạng thái: det[ zI Ad Bd K] 0 (8.43) Lý thuyết điều khiển chứng minh rằng: Nếu rank( P ) n , với n bậc hệ thống P [Bd Ad Bd Ad2Bd K Adn 1Bd ] HT điều khiển được, tìm véctơ K để phương trình đặc tính (8.43) có nghiệm Trình tự thiết kế Bước 1: Viết phương trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh det[ zI Ad Bd K] 0 (8.44) Bước 2: Viết phương trình đặc tính mong muốn n ( z pi ) 0 i 1 pi ( i 1 n ) cực mong muốn (8.45) CHƯƠNG 64 Bước 3: Cân hệ số hai phương trình đặc tính (8.44) (8.45) tìm véctơ độ lợi hồi tiếp K Ví dụ 8.8 Cho hệ thống rời rạc hình vẽ Hệ phương trình biến trạng thái mô tả đối tượng x(k 1) Adx(k) Bdu(k) c(k) Cdx(k) đó: 1 0, 316 Ad 0, 368 0, 092 Bd 0, 316 Cd 10 0 Hãy tính véctơ độ lợi hồi tiếp trạng thái cho hệ kín có cặp cực phức với 0,707 n 10 rad/sec Giải: Phương trình đặc tính hệ thống kín det[ zI Ad Bd K] 0 1 0 1 0, 316 0, 092 k1 k2 0 det z 1 0, 368 0, 316 z 0,092k1 det 0, 316k1 0,316 0, 092k2 0 z 0, 368 0, 316k2 ( z 0,092k1 )( z 0,368 0, 316k2 ) 0,316k1( 0,316 0,092k2 ) 0 z2 (0, 092k1 0, 316k2 1, 368)z (0, 066k1 0, 316k2 0, 368) 0 (1) Caëp cực đònh mong muốn: z1*,2 rej đó: r e T n e 0,10,70710 0, 493 T n 2 0,1 10 0,7072 0,707 z1*,2 0, 493ej 0,707 0, 493[cos(0,707) j sin(0,707)] z1*,2 0, 493ej 0,707 0, 375 j 0, 320 Phương trình đặc tính mong muốn PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 65 ( z 0, 375 j 0, 320)( z 0, 375 j 0, 320) 0 z2 0,75z 0, 243 0 (2) Cân hệ số hai phương trình (1) (2), ta được: (0, 092k1 0,316k2 1,368) 0,75 (0, 066k1 0,316k2 0,368) 0,243 Giải hệ phương trình trên, ta được: k1 3,12 k2 1, 047 Vaäy: K 3,12 1, 047 Ví dụ 8.9 Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ hình vẽ Hãy xác đònh véctơ hồi tiếp trạng thái K k1 k2 cho hệ thống có cặp nghiệm phức với 0, n 8 (rad/sec) Giải: - Hệ phương trình trạng thái mô tả khâu liên tục Theo hình vẽ ta coù g X 1(s) X 2(s) sX1(s) X 2(s) x&1(t) x2(t) s g X (s) U R ( s) s1 (1) ( s 1) X ( s) U R ( s) x&2(t) x2 (t) u R (t) x&2(t) x2(t) u R (t) (2) CHƯƠNG 66 Kết hợp (1) (2) ta hệ phương trình x&1(t) x1(t) 0 & uR (t) x2(t) 1 x2(t) 1 Đáp ứng hệ thống x (t) c(t) 10x1(t) 10 0 Cx(t) x2(t) 0 Do đó: A 1 0 B 1 C 10 0 - Ma trận độ (s) sI A 1 1 0 s 1 1 1 s s 1 1 1 s 1 s s(s 1) s(s 1) s s (t) L [(s)] L 1 1 1 s s(s 1) L s 1 0 s a s(s 1) 1 s 1 L L 1 (1 e t ) ( t ) e t - Rời rạc hóa phương trình trạng thái hệ liên tục, ta được: x(k 1) Ad x(k) Bdu(k) c(k) Cd x(k) đó: 1 (1 e 0,1 ) 1 0, 095 g Ad (T ) e 0,1 0, 905 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 67 T g Bd ( )Bd 0,1 e e 0,1 0 0,1 (1 e ) 0 (1 e ) d d e e 0,005 0,1 e 0,1 e 0,1 0, 095 gCd C 10 0 - Phương trình đặc tính hệ thống kín det[ zI Ad Bd K] 0 1 0 1 0, 095 0, 005 det z k1 k2 0 1 0, 905 0, 095 z 0, 005k1 det 0, 095k1 ( z 0, 005k1 )( z 0, 905 0, 095k2 ) 0, 905k1 ( 0, 095 0, 005k2 ) 0 z2 (0, 005k1 0, 095k2 1, 905) z (0, 0045k1 0, 095k2 0, 905) 0 0, 095 0, 005k2 0 z 0, 905 0, 095k2 (1) * j Cặp cực đònh mong muốn: z1,2 re đó: r e T n e 0,10,58 0, 67 T n 2 0,1 8 0,52 0, 693 z1*,2 0, 67ej 0,693 0, 67[cos(0, 693) j sin(0,693)] z1*,2 0,516 j 0, 428 Phương trình đặc tính mong muoán ( z 0,516 j 0, 428)( z 0, 516 j 0, 428) 0 z2 1, 03z 0, 448 0 (2) Cân hệ số hai phương trình (1) (2), ta (0, 005k1 0,095k2 1, 905) 1, 03 (0, 0045k1 0,095k2 0,905) 0,448 CHƯƠNG 68 Giải hệ phương trình trên, ta k1 44, k2 6, 895 Vaäy: K 4, 805 8, 958 8.10 THIẾT KẾ BỘ ĐIỀU KHIỂN PID 8.10.1 Phương pháp Zeigler-Nichols Hàm truyền điều khiển PID GPI D ( z) K P K I T z1 K D z z T z Các hệ số K P, KI, KD chọn phương pháp thực nghiệm Zeigler-Nichols trình bày chương 8.10.2 Phương pháp giải tích Từ yêu cầu thiết kế đáp ứng độ (vò trí nghiệm phương trình đặc tính) sai số xác lập, tính toán giải tích để chọn thông số điều khiển PID số Sau ví dụ Ví dụ 8.10 Cho hệ thống điều khiển có sơ đồ hình vẽ G(s) 10 ; H (s) 0, 05; T 2sec 10s Thiết kế khâu hiệu chỉnh GC ( z) để hệ thống có cặp cực phức với 0,707 , n 2 rad/sec sai số xác lập tín hiệu vào hàm nấc đơn vò Giải: Do yêu cầu sai số xác lập tín hiệu vào hàm nấc nên ta sử dụng khâu hiệu chỉnh GC ( z) khâu PI GC ( z) K P K I T z1 z Phương trình đặc tính hệ thống sau hiệu chỉnh là: PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 69 GC ( z)GH ( z) 0 e T s 10 0, 05 đó: GH ( z) Z G ZOH (s)G(s)H (s) Z s (10s 1) 0, 05 0, 05z(1 e 0,2 ) 1 (1 z )Z ( z ) 0,1( z 1)( z e 0,2 ) s(s 0,1) GH ( z) 0, 091 ( z 0, 819) Do phương trình đặc tính hệ thống K T z 0, 091 1 K P I 0 z z 0, 819 K T z 0, 091 1 K P I 0 z z 0, 819 Thay T = 2, ta suy z2 (0, 091K P 0, 091K I 1, 819)z ( 0, 091K P 0, 091K I 0, 819) 0 (1) Cặp cực đònh mong muốn là: z1*,2 rej r e T n e 20,7072 0, 059 với: T n 2 2 2 0,7072 2, 828 z1*,2 0, 059ej 2,828 0, 059[cos(2, 828) j sin(2, 828)] z1*,2 0, 056 j 0,018 Phương trình đặc tính mong muốn ( z 0, 056 j 0, 018)( z 0, 056 j 0, 018) 0 z2 0,112z 0,0035 0 So sánh (1) (2), suy ra: 0, 091K P 0, 091K I 1, 819 0,112 0, 091K P 0, 091K I 0, 819 0, 0035 K P 15, 09 Giải hệ phương trình trên, ta được: K I 6,13 (2) CHƯƠNG 70 Vậy: GC ( z) 15, 09 6,13 z1 z ... đạo nghiệm số hệ thống sau hiệu ch nh Bằng c ch sử dụng khâu hiệu ch nh sớm pha, quỹ đạo nghiệm số hệ thống bò sửa dạng qua điểm z*, c ch chọn hệ số khu ch đại th ch hợp (bước 4) hệ thống có cặp... 5) - Chu kỳ lấy mẫu T 0,1sec Hãy thiết kế khâu hiệu ch nh sớm pha cho hệ thống sau hiệu ch nh có cặp cực đònh với 0,707 , n 10 (rad/sec) Giải: Phương trình đặc tính hệ trước hiệu ch nh:... thống trước hiệu ch nh không qua điểm z*, hệ thống không đạt ch t lượng đáp ứng độ yêu cầu dù có thay đổi hệ số khu ch đại hệ thống Quỹ đạo nghiệm số hệ thống trước hiệu ch nh CH ƠNG 58 Quỹ đạo