SKKN ( db, nb ham so )

Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* Phần I. Mở đầu I. Lí do chọn đề tài. Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chơng trình toán phổ thông. Mặt khác do đối tợng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và cha đa dạng. Để việc dạy và học phần này chủ động hơn và có hiệu quả hơn tôI viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà. Việc giảI quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh: - Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giảI cho bài, học sinh thấy đợc mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn. - Thứ hai: Việc giảI bài oán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo. Khi giảI bài toán này học sinh phảI thờng xuyên phảI sử dụng kiến thức liên quan nh: GiảI phơng trình, biến đổi tơng đơng, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi - Thứ ba: Thông qua việc giảI bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy nh: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, kháI quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện cho học sih các phẩm chất trí tuệ nh: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạomoix khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giảI khác nhau, chọn ra cách giảI hay nhất. Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn nh lúng túng khi tìm đờng lối giảI có khi vận dụng một cách máy móc dập khuân. Vì những lí do trên, tài liệu này hệ thống một số phơng pháp giảI bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc phảI trong quá trình giảI bài toán. II. Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu. Nhằm đè xuất phơng pháp giúp việc dạy và học nội dung bài toán xác địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn. III. Phơng pháp nghiên cứu. Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phơng pháp giảng dạy ở trờng THPT Sơn Thịnh. 1 Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* IV. Cấu trúc kinh nghiệm. Chơng I. Các kiến thức cơ bản. Chơng II. Các dạng bài toán về tính đơn điệu. Phần II. Nội dung kinh nghiệm. Chơng I. Các kiến thức cơ bản. I. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. 1. Định nghĩa. Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu 21 ; xx (a;b) mà )()( 2121 xfxfxx << - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu 21 ; xx (a;b) mà )()( 2121 xfxfxx >< Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện tơng đơng với định nghĩa. Giả sử 21 ; xx (a;b), 21 xx 12 12 12 12 )()( xx xfxf xx yy = - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) 0 > x y trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) 0 < x y trên khoảng (a;b). Từ đó suy ra: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) f(x)= 0lim 0 x y x trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) f(x)= 0lim 0 x y x trên khoảng (a;b). II. Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số. 1. Định lí 1: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). a, Nếu f(x)>0 x (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. b, Nếu f(x)<0 x (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. 2 Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* 2. Định lí 2: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu f(x) 0 ( hoặc f(x) 0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó. 3. Điểm tới hạn: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và 0 x (a;b). Điểm 0 x đợc gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f(x) không sác định hoặc bằng 0. 4. Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số: - Tìm khoảng đơn điệu của hàm số đợc thông qua bảng biến thiên. a, Tìm các khoảng giới hạn. b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng. III. Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng. 1. Hàm số bậc nhất: y= ax+b (a 0) - Tập xác định: R y = a. a>0 y > 0 Hàm số luôn đồng biến. a<0 y < 0 Hàm số luôn nghịch biến. 2. Hàm số bậc hai: y = cbxax ++ 2 (a 0) - Tập xác định: R y = 2ax + b. y = 0 a b x 2 = + Nếu a>0 x a b 2 + y - 0 + y + + a4 Hàm số đồng biến trên ( a b 2 ; + ) và nghịch biến trên ( ; a b 2 ). + Nếu a<0 3 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ************************************************************************************************* x ∞− a b 2 − ∞+ y’ + 0 - y a4 ∆ − ∞− ∞− Hµm sè nghÞch biÕn trªn ( a b 2 − ; ∞+ ) vµ ®ång biÕn trªn ( ∞− ; a b 2 − ). - VÏ ®å thÞ: a>0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 - 4a - b 2a a<0 4 Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 - 4a - b 2a 3. Hàm số bậc ba: y = dcxbxax +++ 23 (a 0) - Tập xác định: R y = cbxax ++ 23 2 (a 0) = a acb a b xa 3 3 3 3 2 2 + = aa b xa 33 3 2 + + a, acb 3 2 = < 0 y cùng dấu với a. Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến. Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến. * Bảng biến thiên: a>0 x + 5 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ************************************************************************************************* y’ + + y ∞+ ∞− a<0 x ∞− ∞+ y’ - - y ∞+ ∞− * §å thÞ: a>0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 a< 0 6 Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 - 5 5 10 + b, acb 3 2 = = 0 y cùng dấu với a với a b x 3 . Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng a b 3 ; và tiếp tục đồng biến trên khoảng + ; 3a b . Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến a b 3 ; và tiếp tục nghịch biến trên khoảng + ; 3a b . * Đồ thị: a>0 7 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ************************************************************************************************* 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 a< 0 8 6 4 2 - 2 - 4 - 6 - 8 -10 -5 5 10 + c, acb 3 2 −=∆ > 0 ⇒ y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt 21 ; xx ( 21 xx < ). a>0 x ∞− 1 x 2 x 8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm ************************************************************************************************* ∞+ y’ + 0 - 0 + y ∞+ f( 1 x ) ∞− f( 2 x ) a<0 x ∞− 1 x 2 x ∞+ y’ - 0 + 0 - y ∞+ f( 2 x ) f( 1 x ) ∞− * §å thÞ: a>0 8 6 4 2 - 2 - 4 - 6 - 8 -10 - 5 5 10 a<0 9 Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 4. Hàm số trùng phơng: y = cbxax ++ 24 (a 0) - Tập xác định: R y = bxax 24 3 + = ( ) baxx + 2 22 - Nếu b > 0 y = 0 có một nghiệm x = 0 a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và nghịch biến trên khoảng ( 0 ; + ). a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) và đồng biến trên khoảng ( 0 ; + ) * Bảng biến thiên: a>0 x 0 + y - 0 + y + + f(0) 10 [...]... y = f(x;m) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) y ' 0 , x < +) Giả sử y = g(x) = ax 2 + bx + c (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) Nếu a>0 thì Hoặc 0 hoặc > 0 g ( ) > 0 hoặc S < 2 > 0 g( ) > 0 S < 2 > 0 Nếu a>0 thì g ( ) > 0 g( ) > 0 +) Giả sử y = g(x) = ax + b (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) Ta cần có y 0, x (; ) a> 0 g( ) 0 g( ) 0 hoặc g( ) 0 g( ) 0... g(t) = (m 3) + (2 m + 1). t 0, 1;1] g ( 1) 0 ( m 3) ( 2m + 1) 0 g ( 1) 0 ( m 3) + ( 2m + 1) 0 4 m m 4 0 3m 2 0 m 4 2 m 3 2 3 Vậy giá trị của m cần tìm là: 4m 2 3 * Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 3 ( 2m + 1) x 2 ( 2m 2 3m + 2) x + 2m( 2m 1) Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến Giải: y = 3x 2 2( 2m + 1) x ( 2m 2 3m + 2) 2 = ( m + 1) + 3( 2m 2 3m + 2). .. khoảng ( ; ) a > 0 > 0 a> 0 g( ) > 0 hoặc 0 < S 2 +) Giả sử y = g(x) = ax + b (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) a< 0 g( ) 0 * Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: ; y = x 3 3( 2m + 1) x 2 + (1 2m + 5) x + 2 đồng biến trong khoảng ( 1) Giải: y = 3x 2 6(2 m + 1) x + (1 2m + 5) = 9(2 m + 1) 2... 2mx 2 + ( m 2 2m 1) x + 1 đồng biến trong khoảng (1 ;+ ) 3 Giải: y = 2 x 2 4mx + ( m 2 2m 1) = 4m 2 2( m 2 2m 1) = 2( m 2 + 2m + 1) = 2( m + 1) 2 0 -) Nếu m = -1 y ' = 2( x + 1) 2 0 Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến trong khoảng (1 ;+ ) Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp -) Nếu m -1 ' > 0 , y có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 Giả sử x1 < x 2 Ta có, y 0, x ( x1 ; x 2 ) Điều... + 4 > 0, a y = 2 y có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 Giả sử x1 < x 2 Ta có, y > 0, x ( x1 ; x 2 ) Hàm số đồng biến trong khoảng (0 ; 3) y ' > 0, ( 0; 3) Điều kiện phải có là: x x1 0 < 3 x 2 g ( 0) 0 g ( 3) 0 Vậy a 1g ( 0) 0 1g ( 3) 0 với g(x) = a + 3 0 9 + 6( a 1) + a + 3 0 x 2 + 2( a 1) x + a + 3 a 3 12 a 7 a 12 7 12 7 Kết quả kinh nghiệm Tài liệu này đã đợc thông qua... + 14 ( x + 2) 2 y ' 0, 1 mx 2 + 4mx + 14 0, x 1 x m< 0 m(5m + 1 4) 0 S 2= < 1 2 m< 0 14 14 m m 5 5 2 < 1 * Bài toán 4: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) y ' 0 , x < +) Giả sử y = g(x) = ax 2 + bx + c (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) Hàm số đồng... dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; +) a > 0 > 0 a> 0 g( ) > 0 hoặc 0 > S 2 +) Giả sử y = g(x) = ax + b (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; +) 16 Sáng kiến kinh nghiệm ************************************************************************************************* a> 0 g( ) 0 * Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; +) * Ví dụ... 7( m 2 m + 1) Vì ( m 2 m + 1) > 0, m > 0, m Do đó, y = 0 luôn coc hai nghiệm phân biệt, m Suy ra đạo hàm không luôn luôn dơng Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến * Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; +) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;+ ) y ' 0 , x > +) Giả sử y = g(x) = ax 2 + bx + c (a 0). .. g( ) 0 g( ) 0 * Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; ) * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = x 3 + mx 2 m đồng biến trong khoảng (1 ;2 ) Giải: 2 y = 3x + 2mx x= 0 2 y = 0 3x 2mx = 0 2m x= 3 Giả sử x1 < x 2 Ta có, y > 0, x ( x1 ; x 2 ) Hàm số đồng biến trong khoảng (1 ;2 ) y ' > 0, (1 ;2 ) Điều kiện phải có là: x x1 = 0 < 1 < 2 < x 2 = 2m 3 3g ( 1) < 0 3g ( 2 ). .. khoảng ( 1;+ ) là: ' > 0 y ' (1 ) 0 S . g(x) = bax + (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x). Ta cần có y ( ) ;,0 x ( ) ( ) > 0 0 0 g g a hoặc ( ) ( ) < 0 0 0 g g a (. (a;b), 21 xx 12 12 12 12 )( ) ( xx xfxf xx yy = - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) 0 > x y trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x)