PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 14 TÌM SỐ CHỮ SỐ CỦA MỘT LŨY THỪA 1) BÀI TOÁN MỞ ĐẦU Hơm tơi lại nhận tốn thầy BìnhKami, tốn liên quan đến so sánh lũy thừa số Bài toán : So sánh lũy thừa 3210 1615 Bài toán : So sánh lũy thừa 2100 370 Bài toán : So sánh lũy thừa 22017 5999 Đối với tốn số biết cách làm rồi, số 32 số 16 đưa số 10 15 2, 3210 25 25.10 250 1615 24 24.5 260 Vậy 3210 1615 Đối với số đưa số hay tơi dùng trợ giúp máy tính Casio, tơi thiết lập hiệu 2100 370 kết giá trị dương 2100 370 , thật đơn giản phải khơng !! 2^100$p3^70$= Hay giá trị âm, có nghĩa 2100 370 Tương tự tơi làm tốn số cách nhập hiệu 22017 5999 vào máy tính Casio 2^2017$p5^999 Và tơi bấm nút = Các bạn thấy đấy, máy tính khơng tính Tơi chịu !! Để so sánh lũy thừa có giá trị lớn mà máy tính Casio khơng tính phải sử dụng thủ thuật, gọi tắt BSS Thủ thuật BSS dựa nguyên tắc so sánh sau : Nếu số A có n chữ số ln lớn số B có n chữ số Ví dụ số 1000 có chữ số ln lớn số 999 có chữ số Vậy tơi xem 22107 5999 lũy thừa có số chữ số nhiều xong Để làm việc sử dụng máy tính Casio với tính cao cấp hơn, bạn quan sát : Đầu tiên với 22017 Q+2017g2))+1= Trang 1/10 Vậy tơi biết 22017 có 608 chữ số Tiếp theo với 5999 Q+999g5))+1= Vậy 5999 có 699 chữ số Rõ ràng 608 699 hay 2017 5999 Thật tuyệt vời phải không !! Bình luận ngun tắc hình thành lệnh tính nhanh Casio Ta thấy quy luật 101 có chữ số, 10 có chữ số … 10k có k chữ số Vậy muốn biết lũy thừa A có chữ số ta đặt A 10 k Để tìm k ta logarit số 10 vế k log A Vậy số chữ số k log A Lệnh Int dùng để lấy phần nguyên số 2)VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Bài tốn số ngun tố Mersenne] Đầu năm 2016, Curtis Cooper cộng nhóm nghiên cứu Đại học Central Mis-souri, Mỹ vừa công bố số nguyên tố lớn thời điểm Số nghuyên tố số có giá trị M 274207281 Hỏi số M có chữ số A 2233862 B 22338618 C 22338617 D 2233863 GIẢI CASIO Ta có M 2742007281 M 2742007281 Đặt M 10k 2742007281 10 k k log 274207281 số chữ số k Q+74207281g2))+1= Vậy M có số chữ số 22338618 Ta nhận thấy M có 22338618 chữ số, M có chữ số ? Liệu 22338618 chữ số hay suy biến 22338617 chữ số Câu trả lời khơng suy biến M lũy thừa bậc nên tận 2, 4, 8, nên trừ đơn vị không bị suy biến Vậy ta chọn B đáp án xác Đọc thêm : Trang 2/10 M 274207281 số nguyên tố lớn giới phát hiện, gồm 22 triệu chữ số, 127 ngày để đọc hết Giả sử giây bạn đọc chữ số, bạn khơng cần ăn uống, ngủ nghỉ…thì tháng liên tục quãng thời gian mà bạn cần phải bỏ để đọc hết số nguyên tố lớn giới nhà toán học phát Với tên gọi M 74207281 số nguyên tố Merssenne phát nhà toán học thuộc GIMPS-tổ chức thành lập năm 1996 chuyên tìm số nguyên tố Câu chuyện tìm số nguyên tố nhà toán học, thần học, triết học tự nhiên, Marin Mersenne (1588-1648) Ông người nghiên cứu số nguyên tố nhằm cố tìm công thức chung đại diện cho số nguyên tố Dựa nghiên cứu ơng, nhà tốn học hệ sau đưa công thức chung cho số nguyên tố M p p Năm 1750 nhà toán học Ơ-le phát số nguyên tố M 31 Năm 1876 số M 127 nhà toán học Pháp Lucas Edouard phát Năm 1996 số nguyê tố lớn thời phát M 1398268 VD2-[Khảo sát chất lượng chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa năm 2017] Gọi m số chữ số cần dùng viết số 230 hệ thập phân n số chữ số cần dùng viết số 302 hệ nhị phân Ta có tổng m n : A 18 B 20 C 19 D 21 GIẢI CASIO Đặt 230 10k k log 230 Số chữ số 230 hệ thập phân k Q+30g2))+1= Vậy số chữ số 230 hệ thập phân 10 Đặt 302 900 h h log 900 Số chữ số 302 hệ nhị phân h Q+i2$900$)+1= Vậy số chữ số 302 hệ nhị phân 10 m n 10 10 20 Đáp số xác B 2020 VD3: Cho tổng M C2020 Khi viết M dạng số hệ C2020 C2020 C2020 thập phân số có chữ số: A 608 B 609 C 610 GIẢI D 611 Trang 3/10 CASIO Theo khai triển nhị thức Newtơn 1 1 2020 2020 C2020 C2020 C2020 C2020 Vậy M 22020 Đặt 22020 10 k k log 22020 Số chữ số M k Q+2020g2))+1= Vậy số chữ số M 609 Ta chọn đáp án B Bình luận : Bài toán kết hợp hay kiến thức lũy thừa kiến thức nhị thức Newtơn Để làm tốn Casio cần có số kiến thức tổng Nhị thức Newtơn Dạng toán tổng nhị thức Newtơn tác giả tóm tắt sau : n +)Cho khai triển tổng a b Cn0 a n b Cn1 a n 1b1 Cn2 a n 2b Cnn a 0b n khai n triển tổng a b Cn0 a n b Cn1 a n 1b1 Cn2 a n 2b Cn3 a n 3b3 Cnn a 0b n +)Để quan sát xem tổng nhị thức Newton có dạng ta quan sát thơng số : Thơng số mũ n quan sát tổ hợp Cn1 ví dụ xuất C2020 rõ ràng n 2020 Thơng số a có số mũ giảm dần, thơng số b có số mũ tăng dần 1999 +)Áp dụng C1999 rõ 51999 C1999 51998 C1999 51997 22 C1999 51996 23 C1999 1999 ràng n 1999 , số mũ a giảm dần a , số mũ b tăng dần 1999 b Ta thu gọn khai triển thành 31999 VD4: So sánh sau A 57123 5864 B 57123 75864 C 3400 2500 GIẢI CASIO Đặt 57123 10k k log 57123 7123log 4978.76 4978 7123g5)= D 41700 91200 Vậy 57123 104978 Tương tự đặt ta đặt 75864 10h h log 75864 4955.65 4956 5864g7)= Vậy 75864 10 4956 Tóm lại 57123 104978 10 4566 75864 Trang 4/10 Bình luận : Bài tốn ta thực phép Casio đẳng cấp thấp nhập hiệu 57123 75864 xét dấu máy tính khơng làm vượt qua phạm vi 10100 5^7123$p7^5846= Vậy để so sánh ta đại lượng lũy thừa bậc cao M N ta đưa dạng M 10k 10h N Tuy nhiên việc so sánh lũy thừa sử dụng Casio mức độ đơn giản thường xuất đề thi trường, ta cần tìm hiểu thêm chút Các e xem ví dụ số VD5-[THPT Ngọc Hồi - Hà Nội 2017] Kết sau : 17 18 A 6 6 17 18 e e C 3 3 GIẢI Cách : CASIO 17 18 17 18 B 3 3 e e D 2 2 17 18 Để kiểm tra tính Đúng – Sai đáp án A ta thiết lập hiệu 6 6 17 18 Vậy so sánh chuyển bất phương trình 6 6 Rồi nhập hiệu vào máy tính Casio (aqKR6$)^17$p(aqKR6$)^18 Rồi ta nhấn nút = kết giá trị âm đáp án A giá trị dương đáp án A sai Máy tính Casio báo kết giá trị dương rõ ràng đáp án A sai Tương tự đáp án B (aqKR3$)^17$p(aqKR3$)^18 = Trang 5/10 Vậy đáp số B sai Ta lại tiếp tục với đáp án B (aQKR3$)^17$p(aQKR3$)^18 = 17 18 17 18 17 18 e e e e Đây đại lượng dương hay 3 3 3 3 Tới ta thấy rõ ràng đáp số C đáp số xác !! Cách : Tự luận Ta có số 0.52 0;1 số mũ 17 18 6 6 Đáp án A sai 17 18 Ta có số 1.04 số mũ 17 18 Đáp án B sai 3 3 17 18 e e e Ta có số 0.906 0;1 số mũ 17 18 Đáp số C sai 3 3 Bình luận Để so sánh lũy thừa số a u a v ta sử dụng tính chất sau : +) Nếu số a u v a u a v (Điều dẫn tới đáp án B sai) +) Nếu số a thuộc khoảng 0;1 u v a u a v (Điều dẫn tới đáp án A sai) VD6-[THPT-Hà Nội-Amsterdam 2017] (Bài toán xây dựng để chống lại Casio) Khẳng định sau sai ? A 2 1 23 B 2016 2 2 C 1 1 GIẢI Cách 1: CASIO 2016 1 2017 1 2017 D 1 2017 2016 1 Để kiểm tra tính Đúng – Sai đáp án A ta thiết lập hiệu so sánh chuyển bất phương trình Rồi nhập hiệu vào máy tính Casio 2^s2$+1$p2^3 1 1 23 Vậy 23 Trang 6/10 Rồi ta nhấn nút = kết giá trị dương đáp án A giá trị âm đáp án A sai Máy tính Casio báo kết giá trị âm rõ ràng đáp án A sai Tương tự đáp án B (s2$p1)^2016$p(s2$p1)^201 7= Đáp số máy tính báo điều vơ lý số khác số mũ khác buộc 2016 1 2017 1 buộc phải khác Như trường hợp máy tính chịu !!! Cách 2: Tự luận Ngồi phương pháp so sánh lũy thừa số tác giả trình bày Ví dụ Ví dụ tác giả xin giới thiệu phương pháp thứ vơ hiệu có tên Phương pháp đặt nhân tử chung 1 1 Đáp án B : 2016 Dễ thấy 2016 2017 2016 2017 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 2016 2016 2016 Đáp số B Bình luận : Theo thuật tốn Casio đại lượng dương mà nhỏ 10 100 lớn 10100 hiển thị ố Đây kẽ hở để trường toán so sánh lũy thừa chống lại Casio BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[ Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat người n đưa khái niệm số Fecmat Fn 22 số nghuyên tố với n số dương khơng âm Hãy tìm số chữ số F13 A 1243 B 1234 C 2452 D 2467 Trang 7/10 *Chú ý : Sự dự đoán Fecmat sai lầm nhà tốn học Ơ le chứng minh F5 hợp số 1642 1642 31642 C1642 316412 C1642 31640 23 C1642 Bài 2: Cho tổng M C1642 Khi viết M dạng số hệ thập phân số có chữ số: A 608 B 609 C 610 D 611 *Chú ý : 1642 năm sinh nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton Bài 3: So sánh sau A 112003 2500 B 23693 25600 C 29445 31523 D 445 523 29 31 Bài 4-[Thi thử THPT Ngọc Hồi - Hà Nội lần năm 2017] Cho a, b hai số tự nhiên lớn thỏa mãn a b 10 a12b 2016 số tự nhiên có 973 chữ số Cặp a, b thỏa mãn toán : A 5;5 B 6; C 8; D 7;3 Bài 5-[THPT Ngọc Hồi - Hà Nội 2017] Kết sau : A 6 6 17 18 B 3 3 17 18 17 17 18 18 e e e e C D 3 3 2 2 Bài 6-[THPT Nguyễn Trãi - Hà Nội 2017] Mệnh đề sau : 2 2 C A 11 11 D B Bài 7-[THPT Thăng Long - Hà Nội 2017] Khẳng định sau : 2 A C 3 3 B 3 1 1 D 0,3 1 0,3 Bài 1-[Bài toán số nguyên tố Fecmat] Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat người n đưa khái niệm số Fecmat Fn 22 số nghuyên tố với n số dương khơng âm Hãy tìm số chữ số F13 hệ nhị phân A 1243 GIẢI Casio B 1234 13 C 2452 D 2467 13 Số F13 có dạng 22 Ta thấy số 22 tận nên số chữ số 13 13 22 số chữ số 22 hệ thập phân 13 13 Đặt 22 10 k k 213 log Số chữ số 22 hệ thập phân k Q+2^13$g2))+1= Trang 8/10 Đáp số xác D 1642 1642 31642 C1642 316412 C1642 31640 22 C1642 Bài 2: Cho tổng M C1642 Khi viết M dạng số hệ thập phân số có chữ số: A 608 B 1148 C 2610 D 911 *Chú ý : 1642 năm sinh nhà toán học, vật lý học, thiên văn học, thần học, giả kim thuật vĩ đại người Anh Isaac Newton GIẢI Casio 1642 Rút gọn khai triển nhị thức Newton M 51642 Đặt 51642 10k k 1642 log 5 Số chữ số 51642 hệ thập phân k Q+1642g5))+1= Đáp số xác B Bài 3: So sánh sau A 112003 2500 B 23693 25600 C 29445 31523 D 445 523 29 31 GIẢI Casio Số chữ số 112003 92500 hệ thập phân : Q+2003g11))+1=Q+2500g9)) +1= Số chữ số 92500 nhiều số chữ số 112003 nên 92500 112003 A sai Số chữ số 23693 25600 hệ thập phân : Q+693g23))+1=Q+600g25))+ 1= Số chữ số 23693 nhiều số chữ số 25600 nên 23693 25600 B sai Số chữ số 29445 31523 hệ thập phân : Q+693g23))+1=Q+600g25))+ 1= Trang 9/10 Số chữ số 29445 nhỏ số chữ số 31523 nên 29445 31523 B đáp số xác Bài 4: Cho a, b hai số tự nhiên lớn thỏa mãn a b 10 a12b 2016 số tự nhiên có 973 chữ số Cặp a, b thỏa mãn toán : A 5;5 B 6; C 8; D 7;3 GIẢI Casio 12 Ta có a b 10 a 10 b Khi a12b 2016 10 b b 2016 12 12 Đặt 10 b b 2016 10k k log 10 b b 2016 12 log 10 b 2016 log b 12 Số chữ số 10 b b 2016 k Với đáp số A : a b Số chữ số 51252016 1418 khác 973 Đáp số A sai Q+12g5)+2016g5))+1= Với đáp số B : a 6; b Số chữ số 612 2016 1224 khác 973 Đáp số B sai Q+12g6)+2016g4))+1= Tương tự với a 7; b Số chữ số 712 2016 973 Đáp số C xác Q+12g7)+2016g3))+1= Trang 10/10 ... Q+2003g11))+1=Q+2500g9)) +1= Số chữ số 92500 nhiều số chữ số 112003 nên 92500 112003 A sai Số chữ số 23693 25600 hệ thập phân : Q+693g23))+1=Q+600g25))+ 1= Số chữ số 23693 nhiều số chữ số 25600 nên 23693... Ta thấy quy luật 101 có chữ số, 10 có chữ số … 10k có k chữ số Vậy muốn biết lũy thừa A có chữ số ta đặt A 10 k Để tìm k ta logarit số 10 vế k log A Vậy số chữ số k log A Lệnh... Q+74207281g2))+1= Vậy M có số chữ số 22338618 Ta nhận thấy M có 22338618 chữ số, M có chữ số ? Liệu 22338618 chữ số hay suy biến 22338617 chữ số Câu trả lời khơng suy biến M lũy thừa bậc nên tận