Ứng dụng của sai phân

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người tận tình bảo truyền đạt kinh nghiệm cho em suốt thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa tốn, thầy giáo tổ giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Ngọc Phượng SV:Đỗ Ngọc Phượng -1- LớpK34D_SP Toán Lời cam đoan Qua thời gian nghiên cứu, giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn, em hồn thành nội dung khóa luận tốt nghiệp Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu thân em giúp đỡ, bảo thầy cô hướng dẫn, khơng trùng khớp với cơng trình nghiên cứu Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Ngọc Phượng Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan .2 Mục lục Lời mở đầu Chƣơng Một số kiến thức mở đầu .5 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân 1.1.2 ột số tính chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 ương trình sai phân tuyến tính 1.2.2 ương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2.3 ương trình sai phân tuyến tính cấp 13 1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 18 1.3 Tuyến tính hóa 20 Chƣơng Một số tốn ứng dụng tính chất sai phân 23 2.1 Bài tốn tính tổng 23 2.2 Bài tốn tìm giới hạn dãy số 31 Chƣơng ứng dụng phƣơng trình sai phân 37 3.1 Một số tốn tìm số hạng tổng qt dãy số .37 3.2 Một số ứng dụng khác sai phân .48 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 Lời mở đầu Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng vào giải gần phương trình tốn tử, đặc biệt sử dụng để giải phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh lí thuyết sai phân có nhiều ứng dụng khác giải tích chẳng hạn như: tìm số hạng tổng quát dãy số, tìm giới hạn dãy số, tốn tính tổng, Một dạng tốn hay khó chương trình phổ thơng trung học tốn dãy số, Sai phân ứng dụng sai phân phần quan trọng khơng góp phần giải tốn dãy số mà giúp giải số tốn khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về chất sai phân tìm cách tách số hạng dãy số cho thành hiệu (hay tổng quát tổng đại số) hai hay ba số hạng liên tiếp dãy số khác Trong sách giáo khoa gần không đề cập vấn đề này, kỳ thi học sinh giỏi cấp vấn đề thường hay đề cập đến Các sách tham khảo có số tốn có sử dụng phương pháp sai phân khơng phân tách chặt chẽ, khơng có hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng Dưới góc độ sinh viên chun ngành tốn, em xin trình bày số phương pháp giải toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên, bồi dưỡng sinh viên, học sinh giỏi bồi dưỡng kiến thức cho với đề tài: ''ứng dụng sai phân" Chƣơng số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân Giả sử f:   hàm số cho trước h const Ta gọi sai phân cấp f(x) đại lượng f (x)  f  x hf  x  Một cách tổng quát sai phân cấp n f(x) đại lượng n  f (x)   x f  f (x)   n 1 f  x  1.1.2 Một số tính chất sai phân  Tính chất 1: là tốn tử tuyến tính, nghĩa  g   f  n 1 ,   f , g ;   Chứng minh:  g f  ,  ;f , g  g f x h.g x  hf x  g x  f f f x h  x g x h g x  f g Vậy:  g g   f  f  Tính chất 2: Nếu c  const c 0 Chứng minh: c const c c c 0  Tính chất 3: n   x n!h n n m  x n 0 m n Chứng minh:  x n x hn x n  (x ) (nx n.h(x n1 n1 n  nh.xn  h)  )  n(n 1)h x n 2   n  x n!h n n n n!h Từ tính chất (2) suy m  x n  m n 0  Tính chất 4: Nếu P(x) đa thức bậc n theo cơng thức Taylor ta có: n i h P P(x h) P x   i  p  x  i1 i!  Tính chất 5: f x  nh  n C   i n i f (x) i Chứng minh: f  x f f  x n.h1f  x  áp dụng nhiều lần ta f x n.h1 f  x  n 1  h  1   f  x  n 2  h  x  1   n n f x  i  Cnf (x) i0  Tính chất 6: Mọi sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số: n  f x n  1 C f  x  n i  h  in i i Chứng minh: f  f (x)  (1 (x) n ) 1n n  1iCi 1 f i n ni n x  1iC n f  x  n i  h  i i0  Tính chất 7: Giả sử f C n n  f x   a,b  Khi đó:  f h n n x, x nha,b x nh; 0,1 Chứng minh: Với n =1 ta có cơng thức số gia hữu hạn x h  fx f f ' x h   hn Giả sử công thức với k n Ta chứng minh cho  n 1 f k n 1 Thật x n f x hn f n x  nh  ' Trong '(0,1) áp dụng cơng thức số gia hữu hạn cho  n1 n f (x) h f (n) (x  nh) ' f  n n h f  x '  nh h  h n f n1 x ''  n   '  n x 'nh  x  nh '   , 0,1 '  nh  h; ' f n " Đặt  0,1 Ta : n 1 " 2 Mà 3.a 2.a3  a 13  3.a 2.a a 1   Hay  3.a2 2.a3 a 13  3.a2 3.a 1   Nên an 3.a 3.a (2) 1 Từ (1) (2) suy an ; an1 3.a2 3.a 1 1 (mâu thuẫn) Điều chứng tỏ khơng có số ngun dương a thỏa mãn điều kiện tốn Bài Tìm số nguyên n (n >1) bé cho phương ? 2 2  n số n Gi ải Ta chứng minh 12 2  n n n 1   2n 1  * Giả sử: (n + 1).(2n + 1) = 6.k (kN ) (1) Do 2n + lẻ nên n + chẵn, n lẻ * Đặt n = 2m+1 (m N ) thay vào (1) ta có: (m+1) (4m+3) = 3k Do (m+1; 4m+3) = 1; 4m + số phương nên ta có: m 1 a  (a, b ; a.b = k ) * 4m N 1 3b 2 Từ đó: 4.a - 3.b = (2a - 1).(2a + 1) = 3.b Lại (2a - ; 2a + 1) = nên có hai khả năng: 2a 1 3a2  *   2a 1 b  (a1, b1 N )  2 2 , vơ lý số phương chia cho có Nên b1 3.a thể dư 2a 1 a2  *   (a2, b2 N ) 2a 3b 1  lẻ không chia hết cho   3.b2 a a2 Suy 2 Dễ thấy với a2 = n = 337 số nguyên dương bé thỏa mãn toán: Khi 12 22  n n 337 1.2.337 1 2  195 số phương  Bài Cho dãy số a1 = 3, a2 = 4, a3 = 6, …, an+1 = an + n a) Số 2006 có thuộc dãy khơng ? b) Số thứ 2007 dãy số ? c) Tính tổng 100 số hạng dãy số ? Giải (*) n 1 a 3 n(n 1) n  a 3 (1  1) 3  4 3  1) 2(2 ;a   ; a 6 3(3 1)  Thật 2 2 Nhận xét: …; an1 ;   3 n(n 1) n 3 n(n 1) 2 an Vậy (*) 4006 2006=3+ mà 63 62 < 4006 < 64 63 nên số 2006 khơng a) Vì thuộc dãy 2007.2006 b) Số hạng thứ 2007 dãy là: a2007 3  2013024 c) Gọi S tổng 100 số hạng dãy số thì: S 300  100.99 99.98   3.2 2.12 300  100.99.(10198) 99.98.(100 97)  3.2.(4 1) 3.2.16 300  101.100.99 100.99.98 100.99.98 99.98.97  4.3.2 3.2.13.2.16 300  101.100.99 166950 Bài Cho dãy số (un) xác định u1 u k u  , n1n nu Trong k >0, n=1,2,… Biết u13 = u1 Hãy tìm giá trị k ? Giải k u u n1  n u  Chú ý: u k  n un1 k k  k n (1) un k 1 Đặt k ,   tan tan ; u1    k  ,  ; 2 Từ (1) chứng minh quy nạp theo n = 1, 2, 3, … ta có: un k tan   n 1 ,n  Do đó: u13 = u1 tan (12+ ) = tan  12= l( l Z) Vì   l { 1, 2, 3, ,4 ,5}       5 ; ; ; ; Tương ứng 12 12   * Nhận xét rằng:  tan   cos    2 3   12 tan2 5 cot 12 cos 7 4  12 Vậy có số dương k thỏa mãn u13 = u1   7 4   k  4 3; ;1;3;7;7 4     Bài 8: Tính tổng: S 1.2 2.2 3.2  n.2n Giải: Đặt: k.2k a(k 1) a(k) S a  n 1a 1 Ta tìm số sau: (k 1,2,3, ) , ta có: a  n từ phương trình sai phân tuyến tính hệ  a  n 1a  n n.2n Phương trình nhất: a n 1 a n 0     Phương trình đặc trưng: k 1 0 k 1 Nghiệm tổng quát phương trình là:  a  n C Tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng a n Tính a n  a 1, thay n, a  n vào phương trình khơng nhất,  1 sau đồng hệ số n ta hệ phương trình: A 1  2 A B 0 A 1  B 2 a  n   n 2.2n ; a  n a  n a  n C  n 2  2n Do đó: S a n 1 a n  2n 2 2n 2       Bài Dãy số thực dương (an) (n= 1, 2, 3,…) thỏa mãn điều kiện; n  n  a1  ai với n= 1, 2, 3, …     n in1 i1  Chứng minh rằng: 2n a i 1 với n ? i1 Giải : Kí hiệu 2k  Tk  a i k 1 Khi đó, ta có:  a T T0  Tn  1 i2n 1 Tn1  i n1 n      1  n1   2   Theo bất đẳng thức Cosi thì:  (n 1)   1  1      1    n1   2            n1  Tn1 Vậy theo quy nạp ta có:  T  1   n1   n 1 n 1   Tn1 1 n1  1 T   n1  1 n 11 2 2        n1     e n 1   Vậy nên Tn < với n N; (đpcm) Bài tập có đáp số tập tự giải Bài Xác định số hạng tổng quát dãy số biết:   n1  2n1   n 1   un1 un 2n   u1 ĐS: un n2 n 2 un1 15un 14n 1    u0  ĐS: un u 2u n1 n 3  c)  u0  un   7u n n   ĐS: un 7.2 3 u0 101 99 n n ĐS: un n 101 n.7 n n  1 u 1 sin   n  u n1 2 u 1  n cos ĐS: un xnnếu: Bài 2: Xác định số hạng tổng quát dãy x1 a   m, n  xmn xm xn  m.n f (x) ĐS: x n 1  n 1a   n 2  cho: Bài 3:Tìm tất hàm số f (x) 4 f '(x) 4 f "(x) (x  ) Bài 4: Cho hàm số: 2x f (x) ;(x  ) Tính   giá trị x2 đạo hàm cấp 2006 điểm x=0) si n 3  Với Bài 5: Rút gọn : S = n k  nhiên cho trước Bài 6: Cho k góc cho trước ; n số tự  3k 1 ak tgk.tg(k 1) Rút gọn S = n a k 1 k Bài 7: Cho dãy số dương an thoả điều kiện: n Chứng minh a 2n an1;(n  *) a a  ;(n  *) n f ( 2006) (0) ( n Bài 8: Tìm tất đa thức P(x) cho: P(x) =  P(x 1) P(x 1)  ;x  ? Kết luận Với mục đích nghiên cứu có hệ thống kiến thức sai phân ứng dụng tiêu biểu nó, đề tài trình bày cụ thể định nghĩa, tính chất sai phân, nêu dạng thường gặp phương trình sai phân tuyến tính, cụ thể là: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1; Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2; Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3, Với dạng phương trình đưa ví dụ cụ thể, có chọn lọc Bên cạnh nêu cách tuyến tính hóa số phương trình sai phân phi tuyến Đặc biệt đề tài đưa hệ thống ứng dụng sai phân: Bài tốn tính tổng Bài tốn tìm giới hạn Bài tốn tìm số hạng tổng qt dãy số Một số toán ứng dụng khác sai phân Trong ứng dụng hệ thống toán hay với bước giải cụ thể dựa sở lý thuyết trình bày, từ người đọc dễ dàng tìm lời giải cho tốn tương tự Vì đề tài "ứng dụng sai phân " bước đầu hoàn thành việc nghiên cứu phần lý thuyết sai phân phương trình sai phân, đặc biệt ứng dụng kiến thức Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian lực thân nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến, đánh giá từ thầy cô giáo, bạn đọc để đề tài ngày hoàn thiện Sinh viên Đỗ Ngọc Phượng Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh (2002), Giải tích số, NXB Giáo Dục Phan Huy Khải (2007), Các toán dãy số, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục Lê Đình Định (2004), Bài tập Phương pháp sai phân, NXB Giáo Dục Việt Nam Tạp chí, Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục ... mở đầu .5 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân 1.1.2 ột số tính chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 ương trình sai phân tuyến tính ... TRìNH SAI PHÂN 1.2.1 PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH * Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ thức tuyến tính sai phân cấp F(xn , x ,n  x , , n k  x ) 0 (1.1) Trong x sai phân. .. đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên, bồi dưỡng sinh viên, học sinh giỏi bồi dưỡng kiến thức cho với đề tài: ' 'ứng dụng sai phân" Chƣơng số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân