ứng dụng của sai phân

Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Mở đầu Sai phân ứng dụng vào giải gần phơng trình toán tử đặc biệt đợc sử dụng để giải phơng trình vi phân phơng trình đạo hàm riêng Bên cạnh lý thuyết sai phân có nhiều ứng dụng khác giải tích, chẳng hạn nh việc tìm số hạng tổng quát, tìm giới hạn, tính tổng dãy số, Trong chơng trình toán phổ thông, toán dãy số nh tìm số hạng tổng quát, tính tổng n số hạng dãy số, hầu hết xét cấp số cộng, cấp số nhân Tuy nhiên đề thi học sinh giỏi số toán nâng cao dãy số, không xét dãy số cộng, dãy số nhân mà dóy s ú l bi toỏn khú i vi phng phỏp gii toỏn s cp Sai phân có ứng dụng lớn việc giải toán tính tổng dãy số Dới góc độ sinh viên chuyên ngành Toán khuôn khổ khoá luận tốt nghiệp, em xin trình bày hiểu biết số ứng dụng sai phân Đợc hớng dẫn, bảo tận tình đóng góp ý kiến quý báu Thầy TS Nguyễn Văn Hùng em chọn đề tài: ứng dụng sai phân Sinh viên Nguyễn Thu Hoà Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Chơng 1: Sai phân 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Dãy số Gọi M tập hợp m số tự nhiên khác không M = { 1;2; ;m} + Một hàm số x xác định tập M đợc gọi dãy số hữu hạn Tập giá trị dãy số hữu hạn { x ( 1) , x ( ) , , x ( m ) } Ngời ta thờng kí hiệu giá trị x ( 1) = x1 , x ( ) = x2 , , x ( m ) = xm viết dãy số cho dới dạng x1 , x2 , , xm + Một hàm số x xác định tập hợp N * số tự nhiên khác không đợc gọi dãy số vô hạn (hay gọi tắt dãy số) Tập giá trị dãy số x gồm vô số phần tử x ( 1) = x1 , x ( ) = x2 , , x ( n ) = xn , Ngời ta thờng viết dãy số u dới dạng x1 , x2 , , xn + Dãy số x1 , x2 , , xn , đợc gọi dãy dừng tồn số nguyên dơng N0 cho xn = C với n N0, C số (và gọi số dừng) + Dãy số x1 , x2 , , xn , đợc gọi là: Bị chặn tồn số M cho xn < M với n = 1,2, Bị chặn dới tồn số m cho xn > m với n = 1,2, Dãy bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dới 1.1.2 Giới hạn dãy số Ta nói dãy số { xn } có giới hạn a với số dơng cho trớc (nhỏ tuỳ ý), tồn số tự nhiên N cho với n > N x = a hay viết lim xn = a xn a < Ta viết lim n n Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 1.1.3 Tổng n số hạng dãy số Cho dãy số { xn } , tổng n số hạng dãy số đợc kí hiệu Sn S n = x1 + x2 + + xn = i =1 xi n 1.1.4 Công thức Moarvơ Cho số phức = arctg = x + iy = r ( cos + i sin ) , i = 1, r = = x + y ; y ; số phức liên hợp = x iy = r ( cos i sin ) x Ta có n = r n ( cos -isin ) = r n ( cosn -isinn ) (Công thức Moarvơ) n 1.1.5 Định lý Fermat p Nếu p số nguyên tố a số nguyên tuỳ ý, ( a a ) Mp Nói riêng (a,p) =1, a p (mod p) 1.2 Sai phân, số tính chất sai phân 1.2.1 Khái niệm sai phân Giả sử f: R R hàm số cho trớc h số khác Ta gọi f ( x ) = f ( x ) sai phân cấp hàm số y = f ( x ) f ( x ) = f ( x + h ) f ( x ) sai phân cấp hàm số y = f ( x ) f ( x ) = ( f ( x ) ) = f ( x + h ) f ( x ) = f ( x + 2h ) f ( x + h ) + f ( x ) sai phân cấp hai hàm số y = f ( x ) n n * Quy nạp: f ( x ) = ( f ( x ) ) ( n N ) sai phân cấp n hàm số y = f ( x) 1.2.2 Một số tính chất Tính chất 1: Sai phân toán tử tuyến tính xác định không gian X hàm số xác định R , nghĩa với , R , với hàm số f , g thì: ( f + g ) = f + g Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Chứng minh: Ta có ( f + g ) ( x) = ( f + g ) ( x + h) ( f + g ) ( x) = f ( x + h) + g ( x + h) f ( x) g ( x) = f ( x + h ) f ( x ) + g ( x + h ) g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) Tính chất 2: Nếu c = f c = Chứng minh: c = c c = c = n n n Tính chất 3: + ( x ) = n!h m n + ( x ) = ( m > n ) Chứng minh: ( x n ) = ( x + h ) x n = x n + Cn1h.x n + Cn2 h x n + + h n x n n = Cn1hx n1 + Cn2 h x n + + h n ( n 1) n ( x n ) = ( x n ) = ( n.hx n1 ) + h x ữ+ + ( h n ) = n ( n 1) h ( x n ) + n n n n n n Do đó: ( x ) = n!h Rõ ràng ( x ) = n!h =const Theo tính chất ta đợc: m ( x n ) = mn ( n ( x n ) ) = ( m > n ) Tính chất 4: Nếu P ( x ) đa thức bậc n thì: hi i P ( x ) = P ( x + h ) P ( x ) = p ( x ) i =1 i ! n Chứng minh: áp dụng khai triển Taylor cho đa thức P ( x + h ) ta đợc: h ( 1) h2 hn ( n) P ( x + h ) = P ( x ) + P ( x ) + P ( x ) + + P ( x ) 1! 2! n! (do P ( x ) đa thức bậc n nên m > n ta có P ( m ) = ), đó: Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội n h ( 1) h ( 2) h( n) ( n) hi P ( x ) = P ( x + h ) P ( x ) = P ( x ) + P ( x ) + + P ( x ) = Pi ( x ) 1! 2! n! i =1 i ! n i i Tính chất 5: f ( x + n.h ) = Cn f ( x ) i =0 Chứng minh: f ( x ) = f ( x + h ) f ( x ) f ( x + h ) = f ( x ) + f ( x ) = ( + ) f ( x ) f ( x + 2h ) = f ( ( x + h) + h) = ( + ) f ( x + h) = ( + ) f ( x ) = c f ( x ) 2 i i =0 i n i i Quynạpvới n: f ( x + n.h ) = f x + h + ( n 1) h = ( + ) f ( x ) = Cn f ( x ) i =0 n Tính chất 6: Mọi sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số n f ( x ) = ( 1) Cni f ( x + ( n i ) h ) n i i =0 Chứng minh: Ta có n n f ( x ) = ( + ) f ( x ) = ( 1) Cni ( + ) i =0 i n i f ( x) n n i n i i = ( 1) Cni Cnki k f ( x ) = ( 1) Cni f ( x + ( n i ) h ) k =0 i =0 i=0 n Tính chất 7: Giả sử f ( x ) C [ a, b ] ( x, x + n.h ) [ a, b ] , đó: f ( x ) = f n ( x + n.h ) với ( 0,1) h Chứng minh: Ta chứng minh qui nạp: +Với n =1 ta có: f ( x ) = f ' ( x + h ) công thức số gia hữu hạn Vậy mệnh h đề với n = + Giả sử mệnh đề với n = k ( k 1) Tức k f ( x ) = f k ( x + k h ) k h Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Tức ta phải chứng minh: Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp k +1 f ( x) h k +1 Trờng ĐHSP Hà Nội = f k +1 x + ( k + 1) h hay k +1 f ( x ) = h k +1 f ( x + ( k + 1) ) n +1 h k +1 k k k Thật vậy: f ( x ) = f ( x ) = h f ( x + ' kh ) (trong ' (0,1) ) ( k) áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f ( x + ' kh ) ta có: k +1 f ( x ) = h k f ( k ) ( x + ' kh ) (vì toán tử tuyến tính) ( k) ( k) k k +1 ( k +1) ( x + ' kh + '' h ) = h f ( x + ' kh + h ) f ( x + ' kh ) = h f (do mệnh đề với n =1) Trong ', '' ( 0,1) Đặt = ' k + '' k +1 , ( 0,1) Ta đợc k +1 f ( x ) = h k +1 f ( ) ( x + ( k + 1) h ) k +1 Hệ quả: Nếu f ( x ) C [ a, b ] h đủ nhỏ ta có f n ( n) n f ( x) ( x) = n h Nhận xét: + Với hàm f ( x ) xác định tập số nguyên Z coi h = Ký hiệu yk = f ( k ) ; k = 0,1,2 Ta có: n y = ( y i i =1 y1 ) + ( y3 y2 ) + + ( yn +1 yn ) = ( yn +1 y1 ) Với yi = yi +1 yi = f ( i + 1) f ( i ) = f ( i + h ) f ( i ) (h =1) Vậy n y i =1 i = yn+1 y1 + Sai phân cấp i đa thức bậc n là: Hằng số i = n (theo tính chất 2) Đa thức bậc n i i n (theo tính chất 3) Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Chơng ứng dụng phơng pháp sai phân giải toán THPT 2.1 Dãy quy nạp tuyến tính Trong chơng trình Toán THPT tìm số hạng tổng quát xn dãy { xn } thờng xét cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy số dễ dàng tìm đợc xn , nhiên nhiều toán tìm số hạng tổng quát xn dãy { xn } , toán khó với phơng pháp giải toán sơ cấp, nhng toán với phơng pháp Toán cao cấp: phơng pháp sai phân, đợc giải dễ dàng Vậy với cách nhìn nhận Toán cao cấp ta cần xây dựng lời giải toán phù hợp với đối tợng THPT 2.1.1 Dãy quy nạp tuyến tính cấp x1 xn +1 = axn ( n 1, a ) n Đây cấp số nhân công bội a ta có: xn = x1.a x1 xn +1 = axn + b(n 1, a 0, b 0) (2.1) Đây phơng trình sai phân tuyến tính cấp ta có: xn = c.a n1 h xn + h = c.a n Đặt yn = xn + h { y } n cấp số nhân công bội a Thật vật, đặt yn = xn + h (h số đó) { yn } cấp số nhân công bội a yn +1 = ayn xn +1 + h = a ( xn + h ) xn +1 + h = ( axn + b ) + ah b = xn +1 + ah + b h = b (với a ) a Nếu a = hiển nhiên { xn } cấp số cộng công sai b xn = x1 + ( n 1) b Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Ví dụ 1: Tìm xn , biết: xn+1 = 3xn + 8, x1 = 7, n = 1,2, Giải: Đặt ( xn + ) = yn yn = xn + yn +1 = xn +1 + = ( 3xn + ) + = Hay yn +1 = yn với y1 = x1 + = 11 Vậy yn = 11.3n1 xn = 11.3n1 Vídụ2:Tìm xn ,tính S = x1 + x2 + + xn , biết: xn+1 = xn 5, x5 = 19, n = 1,2, Giải: Đặt yn = xn yn+1 = xn+1 = ( xn ) = ( xn ) = yn hay yn +1 = yn với y5 = x5 = 14 y1.2 = 14 y1 = 14 24 Vậy yn = y1.2n1 = 14.2n xn = 14.2n5 + Ta lại có: S = x1 + x2 + + xn = y1 + y2 + + yn + n.5 14 ( 1) 14 2n = + 5n = + 5n 2 24 2.1.2 Dãy quy nạp tuyến tính cấp Ta xét dãy số { xn } x1 , x2 ( a, b số b ) (2.2) xn + = axn +1 + bxn Với n cho sẵn dĩ nhiên ta tính tờng minh đợc xn cách tính x3 , x4 , điều cho thấy tồn dãy số thoả mãn vấn đề đặt n Chúng ta thử tìm xem tồn hay không dãy { } với số thực khác thoả mãn phơng trình Thế phải có: n+ = a n +1 + b n a + b = (2.3) Phơng trình (2.3) gọi phơng trình đặc trng dãy { xn } Từ nhìn nhận phơng trình sai phân ta biết rằng: + Nếu phơng trình (2.3) có hai nghiệm thực , phân biệt thì: xn = 1n + 2n Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội n + Nếu phơng trình (2.3) có nghiệm kép = = xn = ( + n ) + Nếu phơng trình (2.3) có nghiệm phức = r ( cos + i sin ) , i2 = -1 r = = x + y , = arctg y ; (2.3) có nghiệm phức liên hợp x = x iy = r ( cos i sin ) , với i, r , nói xn = r n ( cos n sin n ) , hàng số tuỳ ý Ta xây dựng lời giải toán (2.2) từ kết trên: + Nếu phơng trình (2.2) có hai nghiệm thực , phân biệt Các dãy { } n n { } thoả mãn phơng trình (2.2) 1n+1 = a.1n +1 + b.1n 1n + = a.1n +1 + b.1n 2n+ = a.2n+ + b.2n 2n+ = a.2n +1 + b.2n ( 1n + + 2n+ ) = a ( 1n+1 + 2n +1 ) + b ( 1n + 2n ) Suy 1n + 2n thoả mãn phơng trình (2.2) n n Vậy { + } nghiệm (2.2) Do giả thiết ta có hệ phơng trình sau đây: Hệ cho phép tính ( , ) cách Thật định thức hệ là: 12 22 Nh dãy = 12 ( ) = b ( ) n n + dãy thoả mãn phơng trình (2.2) + Nếu phơng trình (2.3) có nghiệm kép = = a a2 Khi = = = b = ( b a ) Ta thử tìm xem tồn n không dãy { yn } thoả mãn (2.2) Vậy (2.2) đợc viết: xn+ a2 = a.xn+1 xn Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Hay là: n+ yn+ = a. n+1 yn+1 a n yn yn+ = yn+1 yn { yn } yn+ yn +1 = yn +1 yn Điều cho thấy yn = + n , nh dãy ( , ) + { ( + n ) } dãy thoả mãn (2.2) với n ( + ) = x1 có định thức ( + ) = x2 tính bởi: Nếu cấp số cộng nên: phơng trình 2 (2.3) = có nghiệm phức y = x + iy = r (cos + i sin ), i = 1, r = = x + y , = arctg ; (2.2) x có nghiệm phức liên hợp: = x iy = r (cos i sin ) áp dụng n nghiệm (2.2) Ta có: n = r n (cos i sin ) n Theo công thức Moarvơ ta đợc: n = r n (cos n i sin n ) Nếu n nghiệm phức, phần thực phần ảo nghiệm, nên ta đợc hai nghiệm un = cos n , = sin n Hai nghiệm độc lập tuyến tính un = tgn (không số) Do nghiệm: xn = r n ( cos n sin n ) Ví dụ 1: Tìm dãy { xn } xác định bởi: xn + = n +1 n xn +1 xn , x0 = 1, x1 = 3, n = 1,2, n+2 n+2 Giải:Phơng trình cho tơng đơng với ( n + ) xn + = ( n + 1) xn +1 n.xn Đặt yn = n.xn phơng trình cho trở thành: yn + = yn +1 yn với y0 = 0.x0 = 0; y1 = 1.x1 = Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 10 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội h k h (i-h,k) (i+h,k) ) (i-h,k) (i+h,k) (i,k) (i,k) (i-h,k-l) (i,k-l) h Hình (i,k-l) (i-h,k) Hình Trong trờng hợp phơng trình laplace tơng ứng với hệ: U ik = ( U ih,k l + U i+h,k l + U ih,k +l + U i +h,k l ) (2.6) Còn phơng trình Poatxong có dạng: U ik = h2 U + U + U + U + ( ih,k l i+h,k l ih,k +l i +h,k l ) k fik Sai số phép thay phơng trình vi phân phân phơng trình sai phân, số hạng Rik phơng trình Laplace đợc đánh giá bởi: h2 Rik M Trong đó: 4u u M = Max , G x y Sai số phép giải gần phơng pháp sai phân đợc cấu thành từ loại sai số: Sai số việc thay phơng trình vi phân phơng trình sai phân Sai số việc xấp xỉ điều kiện biên Sai phân đợc tạo nên việc giải phơng trình sai phân phng phỏp gii gn ỳng 3.1.3 Bài tập ứng dụng: Bài 1: Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 38 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Ta xét toán phân bố nhiệt mặt phẳng mặt hình vuông có độ dài Nếu biên mảnh giữ chế độ nhiệt không đổi hàm u ( x, y ) biểu thị phân bố nhiệt nghiệm phơng trình laplace: 2u 2u + =0 x y Với điều kiện biên tơng ứng hình Lời giải: Ta xây dựng lới với bớc h = Khi ta đợc điểm ta viết điểm phơng trình sai phân tơng ứng Nhờ tính chất đối xứng điều kiện ta có: u11 = u31; u12 = u32 ; u31 = u33 (1.1) Nhờ mà giảm bớt giá trị cần tìm u điểm giá trị cần tìm điểm Nh điểm (3.1), (3.2), (3.3) không cần phải viết phơng trình sai phân với điểm lại (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (1.3), (2.3) tơng ứng ta có phơng trình: u01 + u21 + u10 + u12 4u11 = u02 + u22 + u11 + u13 4u12 = u03 + u23 + u12 + u14 4u13 = (1.2) u11 + u31 + u20 + u22 4u21 = u12 + u32 + u21 + u23 4u22 = u13 + u33 + u22 + u24 4u23 = 5000 1000 1000 1000 0 (1,3 ) 5000 (2,3) 3,3) 0 (1,2) (2,2) (3,2) 0 (1,1 (2,1) (3,1 Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán ) ) 39 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 0 0 Hình trờng hợp có chứa 12 giá trị hàm số điểm biên giá trị ta tìm đợc từ điều kiện biên: uio = 0(i = 1,2,3), uoj = 0( j = 1,2,3) (1.3) u14 = u24 = u34 Ta nhận thấy điểm lại điều kiện biên không cần sử dụng Cuối dựa vào điều kiện biên (1.1) (1.3) ta có hệ sau đây: u21 + u2 + 4u11 = u22 + u11 + u13 4u12 = u23 + u12 + 4u13 = 10000 2u11 + u22 4u21 = 2u11 + u21 + u23 4u22 = 2u13 + u22 4u23 = 10000 Giải hệ phơng pháp Gausse, ta đợc nghiệm toán là: u11 = 714 u21 = 982 u12 = 1875 u22 = 2500 u13 = 4286 u23 = 5286 Bài 2: Bài toán đàn hồi hình vuông dới tác dụng lực dẫn đến việc giải phơng trình poatxong: u = Với điều kiện 0, tìm nghiệm toán phơng pháp lới Ta coi độ dài hình vuông bớc lới h = Lời giải: Ta nhận thấy trờng hợp ta có hệ đối xứng giá trị hàm cần tìm điều kiện biên Còn hàm số f(x, y) Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 40 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội số Vì hệ phơng trình sai phân cần lập cho hình vuông, tức xét điểm (1.1), (1.2), (2.1), (2.2) Dựa vào điều kiện biên ta có hệ sau: u21 + u12 4u11 = 0,0625 u + 2u 4u = 0,0625 22 11 12 2u11 + u22 4u21 = 0,0625 2u12 + 2u21 4u22 = 0,0625 Dựa vào tính đối xứng nghiệm (u12 = u21) ta thu đợc hệ phơng trình sau: 4u12 4u22 = 0,0625 2u11 2u21 + u22 = 0,0625 4u 4u = 0,0625 22 12 17,98 38,25 r s 50000 30.10 12.38 p q 4.31 29,05 29,05 Hình Giải hệ ta đợc: u11 = 0,0429 u22 = 0,073 u12 = u21 = 0,0547 Bài 3: Giải toán sau: 2u 2u + =0 x y Với điều kiện biên: u ( x, y ) / = x y miền G Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 41 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Lời giải: Do tính đối xứng phơng trình, điều kiện biên miền G, nên ta xét phần t hình tròn Sử dụng lới đều, bớc h = = Phơng trình sai phân có dạng: ui + h ,k 2uik + ui h ,k ui ,k +l 2uik + ui ,k l + =0 h2 h2 Hay uik = ui + h ,k + ui h ,k + ui ,k +l + i ,k l u( A) u( M ) ; 12.22 = 48 u A, u M , = 48 ( ) Ta có ( ) u( E ) u E , = ( ) u12 = u21 = u11 = u22 = E(0,4) A(2,4) M( 2, 12 ) A(4,2) (1,2) (2,2) M( 12, E(4,0) (1,1) (2,1) Hình Khi đó: u11 = = 24 Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 42 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội u21 = u12 = = 24 Suy u22 = = 36 Bài 4: Giải gần phơng trình 2u 2u + =0 x y (4.1) 2 Thoả mãn phơng trình đờng tròn x2 + y2 = 16 điều kiện biên u = x y (4.2) Lời giải: Nhờ tính đối xứng nghiệm nên ta cần xét phần t đờng tròn bớc thực hiện: Chọn lới với bớc h = (Hình 4) y A(2,4) C(0,4) M( 2, b a 12 ) M( 12, ) A(4,2) c b C(4,0) x Hình Điểm M ( ) 12,2 nằm biên điểm gần với điểm A(4, 2), ta đặt u( A) = 12.2 = 48 với u( A) u( M ) = 48 Tơng tự điểm A (2,4) điểm gần biên ( ) M ' 2, 12 vậy, ta đặt u( A ') u( M ') = 48 Còn lại điểm C (4,0) C(0,4) ta có U(C) = U(C) = Ta gọi a, b, c giá trị hàm u(x,y) điểm lới H.4 Nhờ tính đối xứng toán ta có hệ phơng trình sai phân Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 43 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội a = 4b b = (2c + a + 0) c = (48 + 48 + 2b) Giải hệ ta đợc: a = 24, b = 24, c = 36 Ta lập lới với bớc lới nhỏ (Hình 5) với h = xấp xỉ với giá trị biên ta đặt u( A) = u( A, ) = 15 ; u( B ) = u( B, ) = 48 ; u( C ) = 63 Sử dụng giá trị hàm u (x,y) điểm lới với h = nói điểm biên Cần ý đến tính chất toán ta lập đợc phơng trình sai phân giá trị a, b, c, d, e, f (Hình 4) ta có hệ sau: a = (24 + 24 + 2c) b = (2e + + 24) c = (1 + 24 + 36 + c) d = (24 + 36 + e + c) e = (b + d + f + 15) f = (e + 48 + 36 + 36) e f 63 d 36 f 48 24 a 24 Tơng tự điểm B, ta có: 44 B M A c d a e 24 Hình e uM 1,56 A = 15 13 A h 0,87 Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 63 C b A = MA = 15 0,13 B 15 48 a = 26 b = 20 c = 27 d = 28 e = 27 f = 44 Ta xác hoá u (x,y) Đối với điểm A ta có: ( ) Cho nên: u A = uM + A 15 b Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội B = NB = 12 0,6 u B(1) = u N + f uN 0,4 B = 48 + = 49 B h 0,4 Nh điểm biên B, ta có: (1) (1) (1) u (1) A = u A ' = 13; u B = u B ' = 49, uc = 73 3.2 Phơng pháp sai phân giải toán biên: 3.2.1 Bài toán: Xét phơng trình vi phân bậc hai: F(x, y, y, y) = (1) x [ a, b ] Bài toán biên hai điểm với phơng trình (1) đợc đặt nh sau: Tìm hàm y = y(x) cho bên [ a, b ] thoả mãn phơng trình (1) Còn hai đầu mút thoả mãn điều kiện biên: [ y (a ), y '(a) ] = [ y (b), y '(b) ] = (2) 3.2.2 Xét toán biên phơng trình vi phân thờng tuyến tính cấp hai Ta xét trờng hợp phơng trình (1) điều kiện (2) tuyến tính Bài toán biên nh đợc gọi toán biên tuyến tính Trong trờng hợp phơng trình vi phân điều kiện biên đợc viết nh sau: y ''+ p( x) y '+ q ( x) y = f ( x ) (3) y (a) + y '(a ) = A y (b) + y '(b) = B (4) Phơng trình (3) phơng trình tuyến tính cấp hai y, điều kiện (4) biểu thức tuyến tính y(a), y(b), y(a), y(b) p(x), q(x), f(x) hàm biết, xác định liên tục [ a, b ] ,1 , , , A, B số cho trớc, thêm là: 02 + 02 > 0; 02 + 12 > Nếu A = B = điều kiện (4) đợc gọi điều kiện Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 45 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội 3.2.3.Phơng pháp sai phân để giải phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai 3.2.3.1 Xét toán (3-4) y ''+ p( x) y '+ q ( x) y = f ( x ) (3) y (a) + y '(a ) = A y (b) + y '(b) = B (4) yi +1 yi h Đặt (5) yi + yi +1 + yi y ''1 = h2 Trong đó: yi giá trị gần yi xi yi giá trị gần yi xi yi giá trị gần yi xi h = xi+1 xi xo = a, xi = a + ih, xn = a + n.h = b y y0 y yn1 y (a) y0 , y '(a ) ; y (b) yn ; y '(b) n h h Thay vào (3-4) ta đợc hệ phơng trình đại số tuyến tính yi + yi+1 + yi y yi + pi i1 + qi yi = f i , i = 1, n h h y y y0 + 1 = A h (7) yn yn1 yn + =B h Trong pi p( xi ), qi q( xi ), fi f ( xi ) yi' = (6) Ta phải tìm giá trị y1, y2,,yn-1 hoá trị nút bên (a, b) Vậy hệ (6 - 7) hệ phơng trình đại số tuyến tính gồm (n + 1) phơng trình (n+1) ẩn Giải hệ ta đợc giá trị gần nghiệm y ( x ) toán (3 - 4) điểm x0 , x1 , , xn Đó giá trị gần nghiệm toán * Nhận xét:Khi n lớn hệ (3-4) gồm nhiều phơng trình, số điểm nút tăng lên cho ta đợc nghiệm xác Nếu ta thay y, y công thức sai phân trung tâm: Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 46 Khoá luận tốt nghiệp yi +1 yi '' yi +1 yi + yi ; yi = 2h h2 Ta đợc hệ có độ xác cao 3.2.3.2 Sai số phơng pháp Ta đánh giá sai số nút: Trờng ĐHSP Hà Nội yi' = h2M yi y ( xi ) (b a ) 96 (8) (9) f( Giả thiết f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp M = max x[ a ,b ] 4) ( x) 3.2.4 Bài tập áp dụng Ví dụ 1: Bằng phơng pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm gần phơng trình x y ''+ xy ' = Thoả mãn điều kiện: y(1) = 0; y(1,4) = ln (1,4) 0,0566 Giải: Sử dụng công thức (8): yi' = yi +1 yi '' yi +1 yi + yi ; yi = 2h h2 Thay phơng trình phơng trình sai phân: yi +1 y1 + yi y yi + xi i +1 =1 h 2h y (1) = 0; y (1,4) 0,0566 xi2 Sau biến đổi ta có: yi +1 (2 xi2 + hxi ) xi2 yi + yi (2 xi2 xi h) = 2h (*) Chọn trớc h = 0, ta có nút bên trong: xi = 0, 1.i+1 với i = 1, 2, Viết phơng trình (*) phơng trình nút: = 0,02 2,31yo - 4,48y1 + 2,53y 2,76y1 - 5,76y + 3,00y3 = 0,02 3,25y - 6,67y3 + 3,51y = 0,02 Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 47 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội điểm biên, ta có: y0 = 0, y4 = 0,0566 Sử dụng giá trị giải hệ ta đợc: y1 = 0,0046, y2 = 0,0167, y3 = 0,0345 Để so sánh ta đa giá trị nghiệm phơng trình: y = ln x điểm tơng ứng: y(x1) = 0,0047 ; y(x2) = 0,0166 ; y(x3) =0,0344 Ví dụ 2: Dùng công thức sai phân trung tâm tìm nghiệm gần phơng trình: y " xy ' y = x y (0) y '(0) = y (1) = + e = 3,718 Giải: yi' = Sử dụng công thức sai phân trung tâm: yi +1 yi '' yi +1 yi + yi ; yi = 2h h2 Thay vào phơng trình ta đợc phơng trình sai phân là: yi +1 yi + yi1 y yi1 xi i+1 yi = xi h 2h y ( 0) y, ( c ) = y ( 1) = + e = 3,718 Sau biến đổi ta có: yi +1 yi + yi xi h( yi +1 yi ) 2h yi = xi h yi +1 (1 h.xi ) yi (2 + 2h ) + yi (1 + xi h) = 4h xi Chọn bớc h = 0,2 ta nhận đợc nút bên là: x = 0,2.i với i = 1, 2, 3, x1 = 0,2 ; x2 = 0,4, x3 = 0,6; x4 = 0,8 Ta viết phơng trình vi phân với nút là: Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 48 Khoá luận tốt nghiệp 0,96 y2 2,08 y1 + 1,40 y0 = 0,032 Trờng ĐHSP Hà Nội 0,92 y3 2,08 y2 + 1,08 y1 = 0,064 0,88 y4 2,08 y3 + 1,12 y2 = 0,096 0,084 y5 = 2,08 y4 + 1,16 y3 = 0,128 Với y0' = y1 y0 h ; y0 = y1 y0 h y1 = 1,2y0 ; y5 = 3,718 Ta thay: y0 = 0,833y1 ; y5 = 3,718 vào hệ ta đợc: 0,96 y2 1,213 y1 = 0,032 0,92 y3 2,08 y2 + 1,08 y1 = 0,064 0,88 y4 2,08 y3 + 1,12 y2 = 0,096 1,16 y3 2,08 y4 = 3,251 Giải hệ phơng trình ẩn ta đợc: y1 = 1,32022 y2 = 1,63482 y3 = 2,07673 y4 = 2,712 y0 = 1,0997 Ví dụ 3: Giải phơng trình sau phơng pháp sai phân hữu hạn: y + x2y + = Với điều kiện biên: y(-1) = y(1) = Giải: Chia đoạn [ 1,1] thành phần với bớc h = 0,25 Do điều kiện biên tính đối xứng toán, ta có: y-4 = y4 = yi = y-i với i = 1, 2, Vì ta cần xác định giá trị y0, y1, y2, y3 Thay giá trị xi vào phơng trình sai phân: Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 49 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội yi +1 yi + yi1 + x yi + = h Ta đợc hệ phơng trình đại số tuyến tính để xác định giá trị yi là: y1 y0 + y1 +2=0 h2 x0 = : x1 = 0,25 : y2 y1 + y0 + y1 + = h2 10 x2 = 0,5 : y3 y2 + y1 + y2 + = h2 x3 = 0,75 : y4 y3 + y2 + y3 + = h2 16 Thay y4 = h = Giải hệ phơng trình ẩn ta đợc: 16 y0 = 0,890 y1 = 0,766 => y-1 = 0,766 y2 = 0,515 => y-2 = 0,515 y3 = 0,132 => y-3 = 0,132 Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 50 (**) Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Kết luận Trong khoá luận tốt nghiệp này, kiến thức sai phân, em nêu lên số ứng dụng sai phân giải toán THPT giải gần phơng trình đạo hàm riêng, phơng trình vi phân thờng Qua giúp em hiểu sâu lý thuyết sai phân mà đặc biệt ứng dụng Mặc dù sai phân có nhiều ứng dụng nhng khuôn khổ khoá luận lực thân hạn chế nên khoá luận cha nêu đợc cách đầy đủ hệ thống ứng dụng Hơn lần làm quen với nghiên cứu khoa học nên trình thực đề tài em không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy giáo, cô giáo bạn sinh viên đóng góp ý kiến để khoá luận em đợc hoàn thiện Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 51 Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSP Hà Nội Mục lục Mở đầu Chơng Sai phân 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Sai phân, số tính chất sai phân Chơng ứng dụng phơng pháp sai phân giải toán THPT 2.1 Dãy quy nạp tuyến tính 2.2 Bài tập ng dụng phng phỏp sai phõn Chơng Giải gần phơng trình đạo hàm riêng phơng trình vi phân phơng pháp sai phân 3.1 Giải gần toán Dirichle phơng pháp sai phân 3.3 Phơng pháp sai phân giải toán biên Kết luận Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 52 [...]... tính tổng ta đa về tính n u x =1 x trong đó u x là nghiệm của phơng trình sai phân: u x = u x +1 = f x = x 3 Ta xét phơng trình sai phân u x +1 u x = x 3 Phơng trình đặc trng: 1 = 0 = 1 Vế phải của phơng trình sai phân là đa thức bậc 3 nên phơng trình sai phân có nghiệm riêng là: un* = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx = e Thay un* vào phơng trình sai phân ta đợc: a(a + 1) 4 + b ( x + 1) 3 + c ( x + 1) 2... trình đạo hàm riêng và phơng trình vi phân bằng phơng pháp sai phân 3.1 Giải gần đúng bài toán Dirichle bằng phơng pháp sai phân 3.1.1 Phơng pháp chung Một trong những phơng pháp giải gần đúng phơng trình đạo hàm riêng là phơng pháp sai phân hay còn gọi là phơng pháp lới Cơ sở của phơng pháp này là thay đạo hạm bởi tỉ số sai phân Để giải bài toán bằng phơng pháp sai phân ta thực hiện các bớc sau: Ta xét... biên, kí hiệu là: h = Gh \ Gh Ta tìm gần đúng nghiệm U của các điểm G h Nếu lới càng mau thì nghiệm gần đúng cho ta hình dung nghiệm của bài toán liên tục càng chính xác hơn ii) Bớc 2: Trong toán tử vi phân bằng toán tử sai phân Ta thay các đạo hàm bằng các tỉ sai phân tơng ứng, khi đó ta sẽ chuyển phơng trình vi phân thành các phơng trình đại số của các hàm số xác định tại các điểm lới Hàm đó đợc gọi... Bớc 3: Giải hệ phơng trình đại số thu đợc Tập hợp các phơng trình sai phân thu đợc ở bớc 2 cho ta một hệ phơng trình sai phân và hệ phơng trình sai phân này chính là một hệ phơng trình đại số tuyến tính Giải hệ phơng trình đại số này cho ta lới giải gần đúng của phơng trình đã cho iv) Bớc 4: Khảo sát sự hội tụ và ổn định của lợc đồ sai phân: Xét phơng trình Lu = f (1.4) Trong đó L là toán tử tuyến tính... Tính S4 = x x =1 n n x =1 x =1 4 4 Đặt f ( x ) = x S 4 = x = f ( x ) Ta xét phơng trình sai phân u x +1 u x = x 4 Phơng trình đặc trng: 1 = 0 = 1 Vế phải của phơng trình sai phân là đa thức bậc 4 nên phơng trình sai phân có nghiệm riêng un* = ax5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + g Thay un* vào phơng trình sai phân ta đợc: a ( x + 1) 5 + b ( x + 1) 4 + c ( x + 1) 3 + d ( x + 1) 2 + e ( x + 1 + g )... Định nghĩa 3: Nghiệm của bài toán sai phân hội tụ tới nghiệm U * của * bài toán vi phân nếu: hU U h Uh * Hội tụ bậc k, nếu hU U h 0 ( h 0) Uh c hk Định lý Lax: Nếu lợc đồ (1.5) ổn định và xấp xỉ (bậc k) bài toán (1.4) thì nghiệm của (1.5) hội tụ bậc k tới nghiệm của (1.4), Nói vắn tắt: xấp xỉ bậc k + ổn định -> hội tụ bậc k Vậy kết quả thu đợc của bài toán tìm nghiệm gần đúng của bài toán Dirchle... = log 2 x2 = log 2 8 = 3 Đây là phơng trình sai phân tuyến tính cấp hai mà ta đã biết cách giải Nghiệm của phơng trình yn = y% n + y *n Phơng trình đặc trng: 2 + 4 5 = 0 có nghiệm 1 = 1; 2 = 5 y% n = + (5) n với y1 = 1, y2 = 3 ta có hệ sau 4 3 1 = 15 = 5 = 1 + 5 = 3 Vậy y% n = 4 (5) n + 3 15 * áp dụng phơng trình tìm nghiệm riêng phơng trình sai phân y n = n(an + b) thay vào phơng trình (*)... qui luật của dãy số Ví dụ 1: Cho dãy số 1, -2, -2, 1, 7, 16, 28 Hãy tìm qui luật của dãy số đó: Giải: y=f(n) 1 Để tìm qui luật của dãy số đó ta lập bảng sai phân: -2 -2 1 Nguyễn Thu Hoà - K31A CN Toán 7 24 16 28 Khoá luận tốt nghiệp y 3 Trờng ĐHSP Hà Nội 2 0 2y 3 3 6 3 3 9 12 3 3 2 Do y = 3 là bằng số suy ra y=f(n) là đa thức bậc hai khi đ f n = an 2 + bn + c c =1 (a 0) n là số thứ tự của dãy cho... + 1 k 1 a 1 1 n n n+2 n +1 1 1 < =2 = a > =1 > 1 n n+2 a a n +1 n +1 n +1 n+2 n n 0 Vậy 1 1 < an < 1 (đpcm) n 2.2 Bài tập ứng dụng phơng pháp sai phân 2.2.1 Các bài toán tính tổng Tính tổng S = n 1 k =m fk Phơng pháp chung: Để tính tổng này ta đa về tính tổng các sai phân với xk = xk +1 xk = f k Để tính n 1 x k =m k n 1 xk k =m n 1 xk = xk = xn xm k =m ta cần giải phơng trình xk = xk +1... có hệ phơng tr a + b + c = 2 4a + 2b + c = 2 3 2 9 b= 2 c =1 a= Vậy ta có các quy luật của dãy số đó là: y = 3 2 9 n n + 1, n = 0,1,2 2 2 3 9 Hay y = ( n 1) 2 ( n 1) + 1, n = 1,2,3 2 2 Ví dụ 2: Cho dãy số 1,3,11,31,69,131, hãy tìm quy luật của dãy số đó Giải: Để tìm quy luật của dãy số đó ta lập bảng sai phân: y=f(n) y 1 3 11 2 2y 3y 8 6 31 20 12 69 38 18 6 62 24 6 Do 3 y = 6 là hằng số suy ... thức sai phân, em nêu lên số ứng dụng sai phân giải toán THPT giải gần phơng trình đạo hàm riêng, phơng trình vi phân thờng Qua giúp em hiểu sâu lý thuyết sai phân mà đặc biệt ứng dụng Mặc dù sai. .. loại sai số: Sai số việc thay phơng trình vi phân phơng trình sai phân Sai số việc xấp xỉ điều kiện biên Sai phân đợc tạo nên việc giải phơng trình sai phân phng phỏp gii gn ỳng 3.1.3 Bài tập ứng. .. 1.2 Sai phân, số tính chất sai phân 1.2.1 Khái niệm sai phân Giả sử f: R R hàm số cho trớc h số khác Ta gọi f ( x ) = f ( x ) sai phân cấp hàm số y = f ( x ) f ( x ) = f ( x + h ) f ( x ) sai