Ứng dụng của sai phân

Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người tận tình bảo truyền đạt kinh nghiệm cho em suốt thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa toán, thầy cô giáo tổ giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Ngọc Phượng SV:Đỗ Ngọc Phượng -1- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Lời cam đoan Qua thời gian nghiên cứu, giúp đỡ tận tình thầy cô giáo hướng dẫn, em hoàn thành nội dung khóa luận tốt nghiệp Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu thân em giúp đỡ, bảo thầy cô hướng dẫn, không trùng khớp với công trình nghiên cứu Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Sinh viên Đỗ Ngọc Phượng SV:Đỗ Ngọc Phượng -2- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Lời mở đầu Chƣơng Một số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân 1.1.2 Một số tính chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính 1.2.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 13 1.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp 18 1.3 Tuyến tính hóa 20 Chƣơng Một số toán ứng dụng tính chất sai phân 23 2.1 Bài toán tính tổng 23 2.2 Bài toán tìm giới hạn dãy số 31 Chƣơng ứng dụng phƣơng trình sai phân 37 3.1 Một số toán tìm số hạng tổng quát dãy số 37 3.2 Một số ứng dụng khác sai phân 48 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 SV:Đỗ Ngọc Phượng -3- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Lời mở đầu Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng vào giải gần phương trình toán tử, đặc biệt sử dụng để giải phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh lí thuyết sai phân có nhiều ứng dụng khác giải tích chẳng hạn như: tìm số hạng tổng quát dãy số, tìm giới hạn dãy số, toán tính tổng, Một dạng toán hay khó chương trình phổ thông trung học toán dãy số, Sai phân ứng dụng sai phân phần quan trọng góp phần giải toán dãy số mà giúp giải số toán khác như: phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức Về chất sai phân tìm cách tách số hạng dãy số cho thành hiệu (hay tổng quát tổng đại số) hai hay ba số hạng liên tiếp dãy số khác Trong sách giáo khoa gần không đề cập vấn đề này, kỳ thi học sinh giỏi cấp vấn đề thường hay đề cập đến Các sách tham khảo có số toán có sử dụng phương pháp sai phân không phân tách chặt chẽ, hệ thống lý thuyết làm người đọc khó vận dụng Dưới góc độ sinh viên chuyên ngành toán, em xin trình bày số phương pháp giải toán liên quan đến sai phân nhằm đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên, bồi dưỡng sinh viên, học sinh giỏi bồi dưỡng kiến thức cho với đề tài: ''ứng dụng sai phân" SV:Đỗ Ngọc Phượng -4- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Chƣơng số kiến thức mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân Giả sử f :    hàm số cho trước h  const Ta gọi sai phân cấp f(x) đại lượng f ( x)  f  x  h   f  x  Một cách tổng quát sai phân cấp n f(x) đại lượng n f ( x)   n1 f  x   n  1  f ( x)  f  x  1.1.2 Một số tính chất sai phân  Tính chất 1:  toán tử tuyến tính, nghĩa  ,    ; f , g   f   g   f  g Chứng minh:  ,    ; f , g   f   g    f  x  h    g  x  h    f  x    g  x     f  x  h   f  x      g  x  h   g  x    f  g Vậy:   f   g   f  g  Tính chất 2: Nếu c  const c  Chứng minh: c  const c  c  c   Tính chất 3: n  x n   n!hn m  x n    m  n  SV:Đỗ Ngọc Phượng -5- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Chứng minh:   x n    x  h   x n  nh.x n1  n  ( x n )  (nx n1h)   n.h( x n1 )   n(n  1)h2 x n2   n  x n   n!hn  n!hn Từ tính chất (2) suy  m  x n   m  n  Tính chất 4: Nếu P(x) đa thức bậc n theo công thức Taylor ta có: hi  i  P  P( x  h)  P  x    p  x  i 1 i ! n n  Tính chất 5: f  x  n h    Cni i f ( x) i 0 Chứng minh: f  x  n.h   1    f  x   f  x   f  x  áp dụng nhiều lần ta f  x  n.h   1    f  x   n  1 h   1    f  x   n   h    1    f  x  n n   Cni  i f ( x) i 0 SV:Đỗ Ngọc Phượng -6- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng  Tính chất 6: Mọi sai phân biểu diễn qua giá trị hàm số: n  f  x     1 Cni f  x   n  i  h  i n i 0 Chứng minh:  n f ( x)  (1  )  1 f ( x) n n    1 Cni 1    i n i f  x i 0 n    1 Cni f  x   n  i  h  i i 0 n  Tính chất 7: Giả sử f  C  a, b   x, x  nh    a, b  n f  x  n Khi đó:  f    x   nh  ;    0,1 n h Chứng minh: Với n =1 ta có công thức số gia hữu hạn f  x  h  f  x  f '  x   h n h Giả sử công thức với k  n Ta chứng minh cho k  n  Thật n  n1 f  x     n f  x    hn f    x   'nh  Trong  '  (0,1) áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f  n  x   ' nh   n1 f ( x)  hn f ( n ) ( x   'nh)  h n  f  n  h n1 f   x   nh  h   f    x   nh    x   nh   h ;  ,   0,1 n 1 n ' ' '' ' ' "  n      0,1 Ta : Đặt   ' " n 1 SV:Đỗ Ngọc Phượng -7- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng  n1 f  x   f  n 1  x    n  1 h  Hệ quả: Nếu f  C n  a, b  h đủ nhỏ ta có: f n n f  x   x  n h Nhận xét: Với hàm f  x  , xác định tập số nguyên  coi h= 1; kí hiệu: yk  f  k  ; k  0,1,2 n Ta có:  y   y i 1 i  y1    y3  y2     yn1  yn   yn1  y1 với yi  yi1  yi  f i  1  f i  n Vậy:  y i 1 i  yn1  y1 1.2 PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN 1.2.1 PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH * Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ thức tuyến tính sai phân cấp F ( xn , xn , 2 xn , , k xn )  (1.1) Trong xn sai phân cấp hàm xn Vì sai phân cấp biểu diễn theo giá trị hàm số nên (1) có dạng: an xnk  an1 xnk 1   a1 xn1  a0 xn  f n (1.2) Trong , i  0,1, n với an  0, a0  số hàm số n; f n hàm số n; xn giá trị cần tìm Phương trình (1.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp n Nếu f n  phương trình (1.2) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp n, có dạng: SV:Đỗ Ngọc Phượng -8- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng an xn k  an 1 xn  k 1   a1 xn1  a0 xn  (1.3) Để giải phương trình (1.2) người ta thường cho trước n giá trị ban đầu x0 , x1 , , xn 1 tìm xk  f (k ) với k = 0,1,2, gọi nghiệm phương trình sai phân (1.2) Phương trình an n  an1 n1   a1  a0  (1.4) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1.3) Nhận xét: Nếu xn nghiệm phương trình (1.3) xn nghiệm phương trình (1.3)  xn   xn với  ,  số tùy ý nghiệm phương trình (1.3) 1.2.2 PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP * Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình có dạng a xn1  b xn  f n (2.1) (a, b - số khác 0, fn - biểu thức n) * Nghiệm: * Nghiệm tổng quát (2.1) có dạng xn  xn  xn ; đó:  nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính x n n axn1  bxn  có dạng: xn  C.q , với C  q = a ; b  x nghiệm riêng phương trình (2.1) n * Phương trình sai phân tuyến tính cấp Là phương trình có dạng: axn 1  bxn  0;  a   (2.2) b Phương trình đặc trưng: a  b      a SV:Đỗ Ngọc Phượng -9- LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng n Nghiệm tổng quát phương trình (1.1) có dạng xn  q. (q số)  Ví dụ 1: Tìm xn thỏa mãn điều kiện:  xn 1  3.xn  n   *   x1  Giải: Xét phương trình: xn1  3.xn  phương trình tuyến tính cấp 1, có phương trình đặc trưng dạng:       n Nghiệm tổng quát phương trình có dạng xn  q.3 Với n  ta có: x1  3.q   q  n 1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: xn  2.3 n    * * Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không cấp  Dạng axn1  bxn  f n (2.3) Nghiệm tổng quát: xn  xn  xn* Với: xn nghiệm tổng quát phương trình (2.2) xn* nghiệm riêng phương trình (2.3) Tìm xn* sau: Nếu   xn*  g n đa thức bậc với f n Nếu   xn*  n.gn ; gn đa thức bậc với f n  Ví dụ 2: Tìm xn thỏa mãn điều kiện: SV:Đỗ Ngọc Phượng - 10 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng a0  0; a1   Tìm an  :  n an  5an1  6an  3.5 Giải: Ta tìm g(n) = a5n cho g(n+2) - 5g(n+1) + 6g(n) = 3.5n Giải ta có g (n)  5n Đặt an  g (n)  bn ta có phương trình sai phân bn2  5bn1  6bn 3n Giải ta có : bn   3n 5n Do đó: an    Thử lại ta thấy thoả mãn 2  Ví dụ (Trường hợp phương trình đặc trưng có nghiệm kép số hàm mũ) a0  0; a1   Tìm an  :  n an  4an1  4an  5.2 Giải: Ta tìm g(n) = an2 2n : g (n  2)  g (n  1)  g (n)  5.2n (n   ) Giải ta có g (n)  n 2n Đặt bn  an  g (n) ,ta có phương trình sai phân bn2  4bn1  4bn Giải ta có bn  n.2n1 Vậy an  n.2n 1  n 2 n Thử lại ta thấy thoả mãn 3.2 số ứng dụng khác sai phân  Ví dụ  a0  0; a1  Cho dãy số: an  :  an1  2an  an1  SV:Đỗ Ngọc Phượng - 48 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Chứng minh : 4an2an  số phương (n  1) Giải: Theo cách giải biết tương tự ví dụ trên, ta tìm g(n) = an2 n2 cho g(n+1) - 2g(n) + g(n-1) =1 n  N * Giải ta có g(n) = n2 Đặt bn  an  ta có phương trình sai phân bn1  2bn  bn1 Giải phương trình ta có bn  n n(n  1)  an  2 Do 4an2an  = n(n  1)(n  2)(n  3)   (n  3n  1) (đpcm)  Ví dụ  a1  2005; a2  2006  Cho dãy số an  :  Tính a2017 ?  a  (2 cos ) a  a n  n  n  12 Giải: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp: x1,2  cos Khi ta có: an  A.cosn  12  12  sin  B.sin n  12  12 i Từ an  24  A.cos (n  24)  12  B.sin(n  24)  12 = A.cosn  12  B.sin n  12  an Chứng tỏ dãy tuần hoàn với chu kỳ 24 Mặt khác 2017=24.84+1; a2017  a1  2005 (Ở ý tưởng dãy tuần hoàn)  Ví dụ  Cho dãy số an  :  a1  an 1  2an   3an SV:Đỗ Ngọc Phượng - 49 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Chứng minh dãy số gồm toàn số nguyên Giải: Giả thiết suy a2  15; an1  2an (an1  2an )   3an hay a n1  4an1an  a n  thay n (n-1) ta có: a n   4an 1an   a n 1  Trừ hai vế hai đẳng thức ta có: (an  an )(an  4an1  an )  ; an  2an  an  4an1  an  0;(n   *)(*) Vì a1; a2  (*) nên quy nạp ta suy an   (n   *)  Ví dụ Tìm tất hàm số f(x) cho: a) f ( x)  f '( x) x  b) f ( x)  f '( x)  x (x  ) c) f ( x)  f '( x)  e x (x  ) d) f ( x)  f '( x)  cosx (x  ) e) f ( x)  f '( x)  x  3x (x  ) Giải: a) Ta biết hàm số g(x) có g '( x)  0; x  (a; b) g ( x)  C; x  (a; b) với C số Khi giả thiết  f ( x)  f '( x)  0; x  Ta lại có (e ax f ( x))'  ae ax f ( x)  e ax f '( x)  ae ax ( f ( x)  Chọn a =  f '( x)) a suy giả thiết trở thành SV:Đỗ Ngọc Phượng - 50 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học (e  x f ( x))'  0; x    e GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng  x x f ( x)  C  f ( x)  Ce (C số ) b) Ta áp dụng sai phân: Tìm hàm g(x) = ax+b cho g(x) - g'(x) = x( x   ) Dễ dàng tìm g(x) = x+2 Khi theo giả thiết ta có f ( x)  g ( x)   f '( x)  g '( x) ; x  Theo câu a) ta có: x x f ( x)  g ( x)  Ce  f ( x)  Ce  x  2(x   ) Thử lại ta thấy thoả mãn c) Tương tự câu b) ta tìm hàm số g ( x)  ae x cho g ( x)  g '( x)  e x ; x   x Dễ thấy g ( x)  e câu b) ta có f ( x)  Ce  e x x Thử lại ta thấy thoả mãn d) Ta tìm hàm số g(x) = acosx + bsinx cho g ( x)  g '( x)  cosx;(x) Giải ta có g ( x)  cosx  sinx 5 Khi giả thiết trở thành f ( x)  g ( x)  2( f '( x)  g '( x)); x   Theo kết câu a) ta có 1 x x f ( x)  g ( x)  Ce  f ( x)  Ce  cosx  sinx;(x   ) 5 Thử lại ta thấy thoả mãn e) Ta phải tìm hai hàm số: g(x) = ax2  bx  c cho g(x) - 2g'(x) = x ;(x   ) h(x) = d 3x cho h( x)  2h '( x)  3x ;(x   ) SV:Đỗ Ngọc Phượng - 51 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Giải ta g ( x)  x  x  ; h( x)  3x Khi giả thiết trở  2ln thành: f ( x)  g ( x)  h( x)   f '( x)  g '( x)  h '( x) ; x  Theo câu a) ta có: x f ( x)  g ( x)  h( x)  Ce ; x   3x hay f ( x)  Ce  x  x   ; x    2ln x 2 Thử lại ta thấy thoả mãn Để tiếp nối phần ứng dụng xin đƣợc nêu số tập: Bài Dãy số (xn) (n= 0, 1, 2, …) xác định sau: x0 = a, xn+1 = xn + sinx + 2, n= 0, 1, 2, … với a, x  R Chứng minh tồn giới hạn nlim  x1  x2   xn tìm giới hạn ? n2 Giải: Đặt d= sinx + 2 Khi rõ ràng (xn) cấp số cộng với công sai d Từ Sn  x1  x2   xn  (a  d )  (a  2d )   (a  nd )  na  n(n  1) d Do đó: Sn s inx a d d  d  lim         n  n n  n 2n  2  lim Bài Xét dãy số (xn) (n= 1, 2, …) xác định sau: x1 =1 n xn1  xn  xn  1  xn  3  với n= 1, 2, … Đặt yn   i 1 (n= 1, 2, …) xi  yn ? Tìm nlim  SV:Đỗ Ngọc Phượng - 52 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Giải: Chú ý x2 = xn > với n= 1, 2, …Ta có: xn1  xn  xn  1  xn  3   x n  3xn   xn2  3xn     xn2  3xn  (1) k 1 k Do từ xk 1  xk  3xk   3xk  3.3  ta dễ chứng minh quy nạp theo n= 2, 3, … xn > 3n-1 (2) Cũng từ (1) suy xn1   xn2  3xn    xn  1 xn   Hệ  xn1    xn  1 xn    1  xn  xn  1   xn  xn  xn 1  Bởi vậy: n yn   i 1 n  1  1 1       dần tới  xi  i 1  xi  xi 1   x1  xn 1  xn 1  1 n tăng vô hạn (do theo (2) xn+1 > 3n với n  2) Như lim yn  n  Bài Cho dãy (xn) (n= 0, 1, 2, …) thỏa mãn x0 = xn 1  2.xn  xn   n  với n= 0, 1, 2, … Tính   xk  [x] kí hiệu số nguyên lớn  k 1  không vượt x ? Giải: Chứng minh quy nạp ta thấy xn > 0, với n= 0, 1, 2, … Nhận xét rằng: SV:Đỗ Ngọc Phượng - 53 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học xn 1   GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng 2.xn  x 1 2.x  3( x  1) 1  n xn 1   n   n xn  xn  xn  xn  xn 1  1 xn   , n  xn 1  xn  Từ ta có công thức truy hồi Do đó, n  xn  1 xn 1  1 x 1    n  n 1 xn  xn 1  x0  Suy 3n+1 (xn - 1) = xn + Bởi xn  1 3n1    n   n ; n    n1   n n1 n 1 3 1 1    n Hệ n   xk  n  k 1 1 1    n  n   n  n  2 2  n  Suy   xk   n (đpcm)  k 1  Bài (Cuộc thi chào IMO 2007 - Đợt 2) Hỏi có hay không số nguyên dương a cho dãy số (an), xác 3 định an  n  a với n= 1, 2, … hai số hạng liên tiếp hai số nguyên tố ? Giải Giải sử tồn số nguyên dương a thỏa mãn đề Xét n= 3.a2 + 2.a Ta có: 3 + a n 1  a   n  1   a  n  1 a   n  1 – a  n  1  a  n  1 hay an1 3.a  3.a  (1) 3 + an  n  a   3.a  2.a    a  1   a  1  a 3 3   3.a  2.a    a  1    3.a  3.a  1   SV:Đỗ Ngọc Phượng - 54 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng 3 2 Mà  3.a  2.a    a  1    3.a  2.a    a  1   3 2 Hay  3.a  2.a    a  1    3.a  3.a  1   Nên an 3.a  3.a  (2) Từ (1) (2) suy  an ; an1   3.a  3.a   (mâu thuẫn) Điều chứng tỏ số nguyên dương a thỏa mãn điều kiện toán 12  22  n2 Bài Tìm số nguyên n (n >1) bé cho số n phương ? Giải 12  22  n2  n  1  2n  1  Ta chứng minh n Giả sử: (n + 1).(2n + 1) = 6.k2 (k N*) (1) Do 2n + lẻ nên n + chẵn, n lẻ Đặt n = 2m+1 (m  N*) thay vào (1) ta có: (m+1) (4m+3) = 3k2 Do (m+1; 4m+3) = 1; 4m + số phương nên ta có: m   a *  (a, b  N ; a.b = k ) m   b  Từ đó: 4.a2 - 3.b2 =  (2a - 1).(2a + 1) = 3.b2 Lại (2a - ; 2a + 1) = nên có hai khả năng:  2a   3a1 a)  (a1, b1  N*)  2a   b1 2 Nên b1  3.a1  , vô lý số phương chia cho dư SV:Đỗ Ngọc Phượng - 55 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng 2a   a22  * b)  (a2, b2  N )  2a   3b2 Suy 3.b22  a22   a2 lẻ không chia hết cho Dễ thấy với a2 = n = 337 số nguyên dương bé thỏa mãn toán: 12  22  n2  337  1  2.337  1   1952 số phương Khi n Bài Cho dãy số a1 = 3, a2 = 4, a3 = 6, …, an+1 = an + n a) Số 2006 có thuộc dãy không ? b) Số thứ 2007 dãy số ? c) Tính tổng 100 số hạng dãy số ? Giải Nhận xét: an   n(n  1) (*) n  Thật a1    … ; an1  an    1.(1  1) 2(2  1) 3(3  1) ; a2    ; a3    ; 2 n(n  1) n(n  1)  n  3 2 Vậy (*) a) Vì 2006=3+ 4006 mà 63 62 < 4006 < 64 63 nên số 2006 không thuộc dãy b) Số hạng thứ 2007 dãy là: a2007   2007.2006  2013024 c) Gọi S tổng 100 số hạng dãy số thì: S  300   300  100.99  99.98   3.2  2.1 100.99.(101  98)  99.98.(100  97)   3.2.(4  1)  3.2.1 SV:Đỗ Ngọc Phượng - 56 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học  300  GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng 101.100.99 100.99.98  100.99.98  99.98.97   4.3.2  3.2.1  3.2.1  300  101.100.99  166950 Bài Cho dãy số (un) xác định u1 un 1  k  un ,  un Trong k >0, n=1,2,… Biết u13 = u1 Hãy tìm giá trị k ? Giải un k  un un 1 k     un k  k un k k Chú ý: un 1 Đặt k  tan  ; (1) u1     tan  ,    ;    , 2 k Từ (1) chứng minh quy nạp theo n = 1, 2, 3, … ta có: un  tan   n  1     , n   * k Do đó: u13 = u1  tan (12 + ) = tan   12 = l ( l  Z) Vì      l  { 1, 2, 3, ,4 ,5}      5  Tương ứng    ; ; ; ;  12 12  Nhận xét rằng: tan tan  12   cos   2  2  2  cos   74 5   cot 74 12 12 Vậy có số dương k thỏa mãn u13 = u1 SV:Đỗ Ngọc Phượng - 57 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng   k  7  3; ;1;3;7;7     Bài 8: Tính tổng: S  1.21  2.22  3.23   n.2n Giải: Đặt: k.2k  a(k  1)  a(k ) (k  1,2,3, ) , ta có: S  a  n  1  a 1 Ta tìm a  n  từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: a  n  1  a  n   n.2n Phương trình nhất: a  n  1  a  n   Phương trình đặc trưng: k    k  Nghiệm tổng quát phương trình là: a  n   C Tìm nghiệm riêng phương trình không dạng a  n  Tính a  n  1 , thay a  n  , a  n  1 vào phương trình không nhất, sau đồng hệ số n ta hệ phương trình: A 1 A 1   2 A  B   B  2  a  n    n   2n ; a  n   a  n   a  n   C   n   2n Do đó: S  a  n  1  a  n    2n   2n  Bài Dãy số thực dương (an) (n= 1, 2, 3,…) thỏa mãn điều kiện; 1 n  a1       với n= 1, 2, 3, … i n 1 n  i 1  n 2n Chứng minh rằng: a i 1 i  với n ? Giải: SV:Đỗ Ngọc Phượng - 58 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng 2k Kí hiệu Tk   k 1 Khi đó, ta có: 2n1 1    Tn 1  n1 Tn 1  1  n1  Tn 1 T0  Tn  Tn 1    i  2n1 1  Vậy theo quy nạp ta có:      Tn  1  n 1  1     T0      Theo bất đẳng thức Cosi thì: 1 1  (n  1)  n 1           2  1  n 1  1  1     n 1             1    n 1  n 1   n    2n 1  n 1        n 1 n 1 e Vậy nên Tn < với n  N; (đpcm) Bài tập có đáp số tập tự giải Bài Xác định số hạng tổng quát dãy số biết: un1  un  2n a)  u1  ĐS: un  n2  n  un1  15un  14n  b)  u0  ĐS: un  99  n2 un1  2un  3n c)  u0  ĐS: un  7.2n  3n un1  7un  n1 d)  u0  101 ĐS: un  101  n  n SV:Đỗ Ngọc Phượng - 59 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng 1 n  un  sin un1  e)  2 u   ĐS: un  cos n Bài 2: Xác định số hạng tổng quát dãy  xn  nếu:  x1  a   xmn  xm  xn  m.n  m, n  1  ĐS: xn  n   n  1  a  2  Bài 3:Tìm tất hàm số f ( x) cho: f ( x)  f '( x)  f "( x) Bài 4: Cho hàm số: f ( x)  (x   ) 2x ;(x   ) Tính giá trị f (2006) (0) ( 1 x đạo hàm cấp 2006 điểm x=0) sin 3k  Bài 5: Rút gọn : S =  k 1 Với  góc cho trước ; n số tự k 0 n nhiên cho trước Bài 6: Cho ak  tgk.tg (k  1) Rút gọn S = n a k 1 k Bài 7: Cho dãy số dương an  thoả điều kiện: an  an  an1;(n   *) Chứng minh an  ;(n   *) n Bài 8: Tìm tất đa thức P(x) cho: P(x) = SV:Đỗ Ngọc Phượng  P( x  1)  P( x  1)  ; x   ? - 60 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Kết luận Với mục đích nghiên cứu có hệ thống kiến thức sai phân ứng dụng tiêu biểu nó, đề tài trình bày cụ thể định nghĩa, tính chất sai phân, nêu dạng thường gặp phương trình sai phân tuyến tính, cụ thể là: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1; Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2; Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3, Với dạng phương trình đưa ví dụ cụ thể, có chọn lọc Bên cạnh nêu cách tuyến tính hóa số phương trình sai phân phi tuyến Đặc biệt đề tài đưa hệ thống ứng dụng sai phân: Bài toán tính tổng Bài toán tìm giới hạn Bài toán tìm số hạng tổng quát dãy số Một số toán ứng dụng khác sai phân Trong ứng dụng hệ thống toán hay với bước giải cụ thể dựa sở lý thuyết trình bày, từ người đọc dễ dàng tìm lời giải cho toán tương tự Vì đề tài "ứng dụng sai phân " bước đầu hoàn thành việc nghiên cứu phần lý thuyết sai phân phương trình sai phân, đặc biệt ứng dụng kiến thức Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian lực thân nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến, đánh giá từ thầy cô giáo, bạn đọc để đề tài ngày hoàn thiện Sinh viên SV:Đỗ Ngọc Phượng - 61 - LớpK34D_SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học GVHD:TS.Nguyễn Văn Hùng Đỗ Ngọc Phượng Tài liệu tham khảo Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Khuất Văn Ninh (2002), Giải tích số, NXB Giáo Dục Phan Huy Khải (2007), Các toán dãy số, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục Lê Đình Định (2004), Bài tập Phương pháp sai phân, NXB Giáo Dục Việt Nam Tạp chí, Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục SV:Đỗ Ngọc Phượng - 62 - LớpK34D_SP Toán [...]... SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP HAI * Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng: axn2  bxn1  cxn  fn (3.1) a, b, c là hằng số; f n là hàm số của n Nếu f n  0 ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai axn  2  bxn 1  cxn  0 (3.2) * Nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) có dạng xn  xn  xn* Trong đó: xn là nghiệm của phương trình sai phân. .. BàI TOáN ứNG DụNG TíNH CHấT CủA SAI PHÂN 2.1 BàI TOáN TíNH TổNG Để làm các bài toán tính tổng ta sử dụng tính chất tổng sai phân hữu hạn: N  x n n i  xN 1  xi  Dạng 1: Dạng đa thức bậc m n Để tính tổng S   Pm (k ) ở đây Pm  k  là đa thức bậc m của k, ta tiến k 1 hành theo các bước sau: + Bước 1: Tìm đa thức bậc m + 1 của k là Qm1  k  sao cho Pm  k   Qm1  k  + Bước 2: áp dụng tính... TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH CấP 3 * Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 là phương trình có dạng a.xn3  bxn2  c.xn1  d xn  f n (4.1) Trong đó: a, b, c, d là các hằng số a  0 f n là hàm số của n * Nghiệm: Nghiệm tổng quát của phương trình (4.1) có dạng xn  xn + xn* Trong đó: xn là nghiệm của phương trình a.xn3  b.xn2  c.xn1  d xn  0 (4.2) xn* là một nghiệm riêng của phương... Vậy xn  3.2n  3n ( n ) * Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai  Dạng 1 axn2  bxn1  cxn  Pk (n) (3.3) Với: a, b, c là các hằng số; a  0 Pk (n) là đa thức bậc k của n Nghiệm tổng quát của phương trình (3.3) có dạng: xn  xn  xn* Với: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (3.2) xn* là một nghiệm riêng của phương trình (3.3) Cách tìm xn* : Phương trình đặc... n(n  1)(2n  1) 6  Dạng 2: Dạng giai thừa n Để tính tổng S    k ! Pm (k )  , ở đây Pm  k  là đa thức bậc m của k, ta k 1 tiến hành theo các bước sau: + Bước 1: Tìm đa thức bậc m của k là Qm  k  sao cho: k !Pm  k    k !Qm  k  + Bước 2: áp dụng tính chất của tổng sai phân hữu hạn ta có: n n k 1 k 1 S   k !Pm (k )     k !Qm (k )   n  1!Qm (n  1)  Qm (1)  Ví dụ 1 Tính... 1).(n  1)! 1! 2 k 1 k 1  Dạng 3: Dạng mũ n k Để tính tổng S    x Pm (k )  ở đây Pm  k  là đa thức bậc m của k, ta k 1 tiến hành theo các bước sau: + Bước 1: Tìm đa thức bậc m của k là Qm  k  sao cho: xk Pm  k     x k Qm  k  + Bước 2: áp dụng tính chất của tổng sai phân hữu hạn ta có: n n S   x Pm (k )     x k Qm (k )   x n1.Qm (n  1)  x.Qm (1) k k 1 k 1  Ví dụ... Hùng xn* là một nghiệm riêng của phương trình (4.3) Nếu    thì xn*  nQk (n) Nếu    là nghiệm đơn thì xn*  n.nQk (n) Nếu    là nghiệm bội 2 thì: xn*  n2 nQk (n) Nếu    là nghiệm bội 3 thì : xn*  n3.nQk (n) Trong đó Qk (n) là đa thức cùng bậc với Pk (n) 1.3 TUYếN TíNH HóA Một số bài toán sai phân không tuyến tính, ta biến đổi dẫn về phương trình sai phân tuyến tính được gọi là tuyến... Vậy xn  3n  2n  1 ( n ) * Một số dạng phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp 3  Dạng 1 Phương trình dạng: a.xn3  bxn2  c.xn1  dxn  n Pk (n) (4.3) Trong đó: a, b, c, d,  : hằng số; a  0,   0 ; Pk (n) : đa thức bậc k của n Nghiệm tổng quát của phương trình (4.3): xn  xn  xn* Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (4.2) SV:Đỗ Ngọc Phượng - 19 - LớpK34D_SP... cos kx  Qt  k  sin kx  ở đây Pl  k  là đa thức k 1 bậc l của k, Qt  k  là đa thức bậc t của k, ta tiến hành theo các bước sau: + Bước 1: Tìm các đa thức Am  k  và Bm  k  , ở đây m = max(l, t), sao cho: Pl  k  cos kx  Qt  k  sin kx    Am  k  cos kx  Bm  k  sin kx  + Bước 2: áp dụng công thức tính tổng sai phân hữu hạn ta có: n S     Am (k )coskx+Bm (k )sin kx  k 1... 36  Dạng 2: a xn2  b xn1  c xn   n Pk  n  Trong đó: (3.4) a, b, c là các hằng số a  0;  0 Pk (n) là đa thức bậc k của n Và nghiệm tổng quát của phương trình (3.4) có dạng xn  xn  xn* Trong đó: xn là nghiệm tổng quát của phương trình (3.2) xn* là một nghiệm riêng của phương trình (3.4) Cách tìm: xn* Phương trình đặc trưng a 2  b   c  0 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm    thì ... mở đầu 1.1 Sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân 1.1.2 Một số tính chất sai phân 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính ... TRìNH SAI PHÂN 1.2.1 PHƢƠNG TRìNH SAI PHÂN TUYếN TíNH * Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ thức tuyến tính sai phân cấp F ( xn , xn , 2 xn , , k xn )  (1.1) Trong xn sai phân. .. Phương pháp sai phân phương pháp áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng vào giải gần phương trình toán tử, đặc biệt sử dụng để giải phương trình vi phân phương trình