tài liệu đắc lực trong quá trình tự học bộ môn hình họa họa hình trong các ngành kĩ thuật, cơ khí, xây dựng, thiết kế, kiến trúc. Tài liệu được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa, dễ hiểu, đầy đủ, chính xác. Bạn có thể tìm đọc trọn bộ bài giảng với từ khóa Hình họa đại cương
Chương Các toán I II Các tốn vị trí Bài tốn lượng Độ dài đoạn thẳng Xác định độ dài thật đoạn thẳng AB P1 Độ dài đoạn thẳng P2 Độ dài đoạn thẳng • Vẽ B1A* // AB • Xét Δ A1B1A* ta có: Độ dài đoạn thẳng • Vẽ B1A* // AB • Xét tam giác A1B1A* ta có: – A1A* ⊥ A1B1 (vng A1) – A1A* = hiệu độ xa A B – B1A* = AB • Bằng cách vẽ tam giác vng A1B1A* hình chiếu đứng ta xác định độ dài thật AB (là B1A*) P1 – A1A* ⊥ A1B1 (vuông A1) – A1A* = hiệu độ xa A B – B1A* = AB P1 P2 P2 Độ dài đoạn thẳng • Vẽ A2B* // AB • Xét tam giác A2B2B* ta có: Độ dài đoạn thẳng • Vẽ A2B* // AB • Xét tam giác A2B2B* ta có: – B2B* ⊥ A2B2 (vng B2) – B2B* = hiệu độ xa A B – A2B* = AB • Như bẳng cách vẽ tam giác vng A2B2B* hình chiếu ta xác định độ dài thật AB (là A2B*) P1 – B2B* ⊥ A2B2 (vuông B2) – B2B* = hiệu độ xa A B – A2B* = AB P1 P2 P2 Độ dài đoạn thẳng Chú ý: • Bằng cách vẽ tam giác vng hình chiếu đứng ta xác định góc AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 α = (AB,^P 1) = (A1B1^A*) Độ dài đoạn thẳng Chú ý: • Bằng cách vẽ tam giác vng hình chiếu ta xác định góc AB với mặt phẳng hình chiếu P2 β = (AB,^P 2) = (B2A2^B*) P1 P1 α α β P2 Chương Các toán I II Đường thẳng vng góc Định lý: • Điều kiện cần đủ để góc có cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu góc vng hình chiếu vng góc mặt phẳng hình chiếu góc vng Các tốn vị trí Bài toán lượng β P2 Giả sử b // P a ⊥ b ⇔ a’ ⊥ b’ Độ dài đoạn thẳng Đường thẳng vng góc b a a' P Đường thẳng vng góc Chứng minh: • Điều kiện cần: a ⊥ b ⇒ a’ ⊥ b’ Áp dụng định lý đường vng góc • Điều kiện đủ: a’ ⊥ b’ ⇒ a ⊥ b b’ ⊥ mp(a, a’) ⇒ b ⊥ mp(a, a’) ⇒ b ⊥ a Đường thẳng vng góc Định lý áp dụng: • Điều kiện cần đủ để đường thẳng vng góc với đường hình chiếu đường thẳng vng góc với hình chiếu đường • Điều kiện cần đủ để đường thẳng vng góc với đường mặt hình chiếu đứng đường thẳng vng góc với hình chiếu đứng đường mặt b1 b a1 x a P a' b' b' a2 b2 m1 a1 x a2 m2 Đường thẳng vng góc Ví dụ 1: Cho mặt phẳng A (ABC) điểm M Qua M dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng A Giải: Phân tích: • d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường đường mặt thuộc mp A Ví dụ 1: Cho mặt phẳng A (ABC) điểm M Qua M dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng A Giải: Phân tích: • d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường đường mặt thuộc mp A Cách dựng: • Dựng đường AD ⊂ mp A B1 A1 C1 M1 x Đường thẳng vng góc A2 B1 D1 A1 C1 M1 x A2 C2 C2 M1 D2 M1 B2 B2 Đường thẳng vng góc Ví dụ 1: Cho mặt phẳng A (ABC) điểm M Qua M dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng A Giải: Phân tích: • d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường đường mặt thuộc mp A Cách dựng: • Dựng đường AD ⊂ mp A • Dựng đường mặt AE ⊂ mp A B1 D1 A1 C1 E1 M1 x A2 E2 C2 D2 M1 B2 Đường thẳng vng góc Ví dụ 2: Cho đường thẳng d điểm M Qua M dựng mặt phẳng vng góc với đường thẳng d d1 Giải: M1 x d2 M1 Đường thẳng vng góc Ví dụ 1: Cho mặt phẳng A (ABC) điểm M Qua M dựng đường thẳng d vng góc với mặt phẳng A Giải: Phân tích: • d ⊥ mp A ⇔ d ⊥ đường đường mặt thuộc mp A Cách dựng: • Dựng đường AD ⊂ mp A • Dựng đường mặt AE ⊂ mp A • Qua M dựng đường thẳng d ⊥ đường AD đường mặt AE – d2 ⊃ M2, d2 ⊥ A2D2 – d1 ⊃ M1, d1 ⊥ A1E1 B1 D1 A1 C1 E1 M1 x A2 E2 C2 D2 M1 B2 Đường thẳng vng góc Ví dụ 2: Cho đường thẳng d điểm M Qua M dựng mặt phẳng vng góc với đường thẳng d Giải: • Qua M dựng đường b ⊥ d – b1 ⊃ M1, b1 // x – b2 ⊃ M2, b2 ⊥ d2 • Qua M dựng đường mặt m ⊥ d – m2 ⊃ M2, m2 // x – m1 ⊃ M1, m1 ⊥ d1 m1 d1 b1 M1 x d2 m2 M1 b2 B2 B2 Chương Các tốn I II Ví dụ: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Các tốn vị trí Bài tốn lượng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng d1 M1 Giải: Độ dài đoạn thẳng Đường thẳng vuông góc Một số tốn x d2 M1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Giải: Phương pháp: • Qua M dựng mp A ⊥ d • Xác định H = A ∩ d • Xác định độ dài MH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ 2: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Giải: Phương pháp: • Qua M dựng mp A ⊥ d • Xác định H = A ∩ d • Xác định độ dài MH Cách dựng: • Qua M dựng mp A (b, m) ⊥ d d d1 b1 M1 m1 x H d2 M1 A m2 M b2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ 2: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Giải: Phương pháp: • Qua M dựng mp A ⊥ d • Xác định H = A ∩ d • Xác định độ dài MH Cách dựng: • Qua M dựng mp A (b, m) ⊥ d • Tìm H = A ∩ d d1 ≡ σ1 ≡ g1 b1 M1 m1 H1 x M1 d2 m2 g2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Ví dụ 2: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d Giải: Phương pháp: • Qua M dựng mp A ⊥ d • Xác định H = A ∩ d • Xác định độ dài MH Cách dựng: • Qua M dựng mp A (b, m) ⊥ d • Tìm H = A ∩ d • Xác định độ dài MH M* d1 ≡ σ1 ≡ g1 b1 M1 m1 H1 x M1 d2 g2 H2 H2 b2 m2 b2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho điểm M mặt phẳng A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng A uA M1 Giải: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho điểm M mặt phẳng A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng A Giải: • Qua M dựng đường thẳng d ⊥ A – d1 ⊥ uA – d2 ⊥ vA uA M1 d1 x x d2 vA M2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho điểm M mặt phẳng A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng A Giải: • Qua M dựng đường thẳng d ⊥ A – d1 ⊥ uA – d2 ⊥ vA • Tìm H = d ∩ A uA M1 H1 d1 x d2 H2 Góc đường thẳng mặt phẳng M α A H* H1 d1 x d2 H2 vA M2 d uA M1 Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: • Trường hợp khơng cần xác định vị trí góc ta tìm góc α qua góc phụ β cách xác định độ lớn thật Δ MPQ d β M P H α Phương pháp: • Tìm I = d ∩ A • Lấy M ∈d • Tìm H chân đường vng góc hạ từ d xuống A • Xác định hình thật Δ IMH ta xác định góc α Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Ví dụ: Cho điểm M mặt phẳng A (uA, vA) Xác định khoảng cách từ M đến mặt phẳng A Giải: • Qua M dựng đường thẳng d ⊥ A – d1 ⊥ uA – d2 ⊥ vA • Tìm H = d ∩ A • Xác định độ dài thật MH vA M2 vA M2 I A Q H I Góc hai mặt phẳng Phương pháp: • Lấy điểm Q • Qua Q dựng mp(m, n) ⊥ A B • Tìm PM = (m, n) ∩ A PN = (m, n) ∩ B • Xác định độ lớn thật ΔPMN ta xác định góc α Góc hai mặt phẳng Phương pháp: • Trường hợp khơng cần xác định vị trí góc phẳng nhị diện ta xác định độ lớn góc α qua góc bù β cách xác định độ lớn thật ΔQIJ P α M m σ β P N n Q σ N n α M mI β Q J B B A A Góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ: Xác định góc mặt phẳng A (uA, vA) mặt phẳng hình chiếu Giải: Phân tích: • Góc mpA mp P2 góc đường dốc mp A mp P2 uA x vA Góc đường thẳng mặt phẳng Ví dụ: Xác định góc mặt phẳng A (uA, vA) mặt phẳng hình chiếu Giải: Phân tích: • Góc mpA mp P2 góc giữ đường dốc mp A mp P2 Cách dựng: • Dựng đường dốc AB mặt phẳng A mp P2 uA A1 x B1 A2 B2 vA Góc đường thẳng mặt phẳng uA A1 x B1 A2 α Ví dụ: Xác định góc mặt phẳng A (uA, vA) mặt phẳng hình chiếu Giải: Phân tích: • Góc mpA mp P2 góc giữ đường dốc mp A mp P2 Cách dựng: • Dựng đường dốc AB mặt phẳng A mp P2 • Xác định góc α đường thẳng AB mp P2 A* B2 vA ... phẳng hình chiếu P2 β = (AB,^P 2) = (B2A2^B*) P1 P1 α α β P2 Chương Các toán I II Đường thẳng vng góc Định lý: • Điều kiện cần đủ để góc có cạnh song song với mặt phẳng hình chiếu góc vng hình. .. thẳng vng góc với đường hình chiếu đường thẳng vng góc với hình chiếu đường • Điều kiện cần đủ để đường thẳng vng góc với đường mặt hình chiếu đứng đường thẳng vng góc với hình chiếu đứng đường... Bằng cách vẽ tam giác vng hình chiếu đứng ta xác định góc AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 α = (AB,^P 1) = (A1B1^A*) Độ dài đoạn thẳng Chú ý: • Bằng cách vẽ tam giác vng hình chiếu ta xác định