Thông tin tài liệu
Chương Đa diện I Khái niệm • Đa diện hình tạo thành từ đa giác phẳng Các đa giác đơi có cạnh chung Khái niệm S – Đỉnh đa giác: đỉnh đa diện – Cạnh đa giác: cạnh đa diện – Đa giác: mặt đa diện • Đa diện xác định đỉnh cạnh đa diện A C B Chương Đa diện I II Biểu diễn S1 • Đa diện biểu diễn yếu tố xác định đa diện: đỉnh cạnh đa diện Khái niệm Biểu diễn C1 A1 B1 x A2 C2 B2 S2 Xét thấy khuất S1 • Đường bao ngồi: ln ln thấy A1 B1 x S1 Trên hình chiếu C1 • Đường “chéo”: xét Xét thấy khuất C1 • Lấy I∈SC J∈AC cho I2≡J2 ⇒ I1 J1 A1 • I2 thấy ⇒ S2 C2 thấy x • ⇒ A2B2 khuất A2 I1 • Xét hai đường chéo SC AB J1 B1 A2 C2 C2 I2≡ J2 S2 B2 S2 B2 Xét thấy khuất S1 Trên hình chiếu Xét thấy khuất S1 Trên hình chiếu đứng • Xét hai đường chéo SC AB C1 • Lấy I∈SC J∈AC cho I2≡J2 ⇒ I1 J1 A1 • I2 thấy ⇒ S2 C2 thấy x • ⇒ A2B2 khuất A2 C1 A1 B1 B1 x A2 C2 B2 S2 C2 Xét thấy khuất Điểm thuộc đa diện • Khi thuộc mặt đa diện S1 Trên hình chiếu đứng • S1B1 thấy ⇒ A1C1 khuất B2 S2 C1 A1 S • Xác định điểm thuộc đa diện: gắn điểm vào đường thẳng thuộc mặt đa diện M B1 x A2 A C C2 D B B2 S2 Điểm thuộc đa diện Ví dụ: Điểm thuộc đa diện Ví dụ: S1 Cho điểm M thuộc đa diện Biết M1 tìm M2 Giải: Giả sử M∈(SBC) M1 C1 A1 B1 x A2 Cho điểm M thuộc đa diện Biết M1 tìm M2 Giải: Giả sử M∈(SBC) • Gắn M vào đường thẳng SD⊂(SBC) • ⇒ S1D1 S1 M1 C1 A1 D1 B1 x A2 C2 S2 B2 C2 S2 B2 Điểm thuộc đa diện Ví dụ: Ví dụ: Cho điểm M thuộc đa diện Biết M1 tìm M2 Giải: Giả sử M∈(SBC) • Gắn M vào đường thẳng SD⊂(SBC) • ⇒ S1D1 • ⇒ S2D2 S1 M1 C1 A1 D1 B1 x A2 C2 D2 Cho điểm M thuộc đa diện Biết M1 tìm M2 Giải: Giả sử M∈(SBC) • Gắn M vào đường thẳng SD⊂(SBC) • ⇒ S1D1 • ⇒ S2D2 • ⇒ M2∈S2D2 M2 hình chiếu cần tìm Giả sử M∈(SAC): tương tự S1 M1 C1 A1 D1 B1 x A2 C2 M2 B2 S2 S2 Chương Đa diện D2 B2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 1: I Khái niệm II Biểu diễn III Giao đường thẳng mặt phẳng với đa diện Điểm thuộc đa diện S1 Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d tứ diện (SABC) Giải: d1 x A1 Trường hợp biết hình chiếu giao B1 C1 C2 A2 S2 d2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d tứ diện (SABC) Giải: Gọi giao điểm M N ⇒ M1≡N1≡d1 S1 d1 ≡ M1 ≡ N1 x A1 B1 A2 C1 C2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d tứ diện (SABC) Giải: Gọi giao điểm M N ⇒ M1≡N1≡d1 ⇒ M2, N2 S1 d1 ≡ M1 ≡ N1 x A1 A2 S2 d2 B1 N2 S2 M2 B2 B2 d2 B2 C1 C2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 1: Tìm giao đường thẳng chiếu đứng d tứ diện (SABC) Giải: Xét thấy khuất cho đường thẳng • Đoạn đường bao: thấy • Đoạn “chui đa diện” khuất • Đoạn từ giao điểm đến đường bao: xét d1 ≡ M1 ≡ N1 x A1 B1 N2 A2 d1 C1 C2 x a1 b2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 2: Tìm giao đường thẳng d lăng trụ chiếu (abc) Giải: Gọi giao điểm M N ⇒ M2 N2 ⇒ M1, N1 ∈ d1 Ví dụ 2: d1 b1 N1 d1 d2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 2: Tìm giao đường thẳng d lăng trụ chiếu (abc) Giải: Gọi giao điểm M N ⇒ M2 N2 ⇒ M1, N1 ∈ d1 Xét thấy khuất cho đường thẳng N2 M2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 3: Tìm giao mặt phẳng chiếu đứng A tứ diện (SABC) M1 x a1 d2 A1 C1 A1 b1 c1 c2 N2 a2 S1 Giải: A cắt cạnh SC, SB, AC AB N1 d1 c1 c2 b2 b2 b1 a2 M2 d2 M1 x a1 c1 c2 N2 a2 c1 c2 d2 B2 Trường hợp biết hình chiếu giao x a1 b1 a2 S2 M2 d2 Tìm giao đường thẳng d lăng trụ chiếu (abc) Giải: Gọi giao điểm M N ⇒ M2 N2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 2: Tìm giao đường thẳng d lăng trụ chiếu (abc) Giải: S1 • Thấy giao điểm thấy • Khuất giao điểm khuất B1 x A2 C2 M2 b2 S2 B2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 3: Tìm giao mặt phẳng chiếu đứng A tứ diện (SABC) Giải: A cắt cạnh SC, SB, AC AB Gọi I, J, K, L = A ∩ SC, SB, AC, AB ⇒ I1, J1, K1, L1 S1 A1 I1 J1 C1 A L K1 x Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 3: Tìm giao mặt phẳng chiếu đứng A tứ diện (SABC) B1 A2 Giải: A cắt cạnh SC, SB, AC AB Gọi I, J, K, L = A ∩ SC, SB, AC, AB ⇒ I1, J1, K1, L1 ⇒ I2, J2, K2, L2 Tứ giác IKLJ giao tuyến cần tìm Giải: Xét thấy khuất cho giao: • Cạnh giao thấy hình chiếu thuộc mặt thấy đa diện hình chiếu • Các trường hợp khác khuất S1 A1 I1 J1 A L K1 x A2 C1 A L K1 x A2 B1 K2 C2 I2 C1 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 4: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) lăng trụ chiếu (abc) Giải: • A cắt cạnh bên lăng trụ điểm I, J, K a1 c1 uA b1 x B1 c2 a2 K2 L2 I1 S J2 B B2 Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 3: Tìm giao mặt phẳng chiếu đứng A tứ diện (SABC) A1 J1 L2 C2 S2 S1 C2 I2 b2 vA S J2 B Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 4: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) lăng trụ chiếu (abc) Giải: • A cắt cạnh bên lăng trụ điểm I, J, K x • Lăng trụ chiếu ⇒ I2, J2, K2 a1 c1 uA b1 c2≡K2 I2 ≡ a2 b2 ≡J vA Trường hợp biết hình chiếu giao Ví dụ 4: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) lăng trụ chiếu (abc) Giải: • A cắt cạnh bên lăng trụ điểm I, J, K x • Lăng trụ chiếu ⇒ I2, J2, K2 • Áp dụng tốn liên thuộc điểm mặt phẳng ⇒ I1, J1, K1 a1 b1 I1 J1 c1 uA K1 c2≡K2 I2 ≡ a2 b2 ≡J vA Chương Trường hợp biết hình chiếu giao Đa diện Ví dụ 4: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) lăng trụ chiếu (abc) Giải: • Xét thấy khuất x c1 uA K1 a1 b1 I1 J1 I Khái niệm II Biểu diễn III Giao đường thẳng mặt phẳng với đa diện c2≡K2 I2 ≡ a2 Trường hợp biết hình chiếu giao Trường hợp tổng quát a b2 ≡J Giao đường thẳng đa diện vA Trường hợp tổng quát Giao đường thẳng đa diện Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: • Dựng mặt phẳng phụ trợ σ chứa đường thẳng (thường mặt phẳng chiếu) • Tìm giao tuyến phụ mặt phẳng phụ trợ đa diện cho • Tìm giao giao phụ với đường thẳng cho, giao điểm cần tìm Ví dụ: Tim giao đường thẳng d tứ diện (SABC) Giải: S S1 d1 σ N I d M K x A1 J A B1 C1 C2 C A2 B d2 S2 B2 Trường hợp tổng quát Ví dụ: Tim giao đường thẳng d tứ diện (SABC) Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: • Dựng mặt phẳng phụ trợ σ chiếu đứng chứa đường thẳng d Trường hợp tổng quát S1 σ1 ≡ d1 x A1 B1 C1 C2 A2 d2 S2 Trường hợp tổng quát Ví dụ: Tim giao đường thẳng d tứ diện (SABC) Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: • Dựng mặt phẳng phụ trợ σ chiếu đứng chứa đường thẳng d • Tìm giao phụ ΔIJK S1 I1 x A1 A2 B1 I2 d2 B2 σ ≡d K1 1 J1 C1 C2 K2 S2 J2 B2 Trường hợp tổng quát Ví dụ: Tim giao đường thẳng d tứ diện (SABC) Giải: Dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ: • Dựng mặt phẳng phụ trợ σ chiếu đứng chứa đường thẳng d • Tìm giao phụ ΔIJK • Tim giao đường thẳng giao phụ ⇒ giao điểm M, N S1 I1 σ1 ≡ d1 J1 K1 M1 N1 x A1 B1 N2 A I2 M2 S d2 J2 M1 N1 x A1 B1 N2 A I2 M2 S d2 C1 C2 K2 J2 B2 Trường hợp tổng quát Giao mặt phẳng đa diện Ví dụ: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) tứ diện (SABC) Giải: Gọi I, J, K = A ∩ SA, SB, SC S1 B1 x A2 S2 B2 Giao đường thẳng đa diện Giao mặt phẳng đa diện vA Trường hợp tổng quát Giao mặt phẳng đa diện Ví dụ: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) tứ diện (SABC) Giải: Gọi I, J, K = A ∩ SA, SB, SC x • Tìm I = A ∩ SA (phương pháp mặt phẳng phụ trợ) uA C1 C2 A1 Trường hợp biết hình chiếu giao Trường hợp tổng quát a b σ1 ≡ d1 J1 K1 B2 I Khái niệm II Biểu diễn III Giao đường thẳng mặt phẳng với đa diện I1 K2 Đa diện S1 C1 C2 Chương Trường hợp tổng quát Ví dụ: Tim giao đường thẳng d tứ diện (SABC) Giải: Xét thấy khuất S1 uA I1 B1 C1 C2 A1 A2 I2 S2 B2 vA Trường hợp tổng quát Giao mặt phẳng đa diện Ví dụ: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) tứ diện (SABC) Giải: Gọi I, J, K = A ∩ SA, SB, SC x • Tìm I = A ∩ SA (phương pháp mặt phẳng phụ trợ) • Gọi M = IK ∩ AC ⇒ M ∈ vA ⇒K S1 uA K1 I1 M1 B1 C1 C2 A1 K2 A2 M2 I2 S2 B2 N2 v A Trường hợp tổng quát Giao mặt phẳng đa diện Ví dụ: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) tứ diện (SABC) Giải: Gọi I, J, K = A ∩ SA, SB, SC x • Tìm I = A ∩ SA (phương pháp mặt phẳng phụ trợ) • Gọi M = IK ∩ AC ⇒ M ∈ vA ⇒K • Tương tự, goi N = JK ∩ BC ⇒ N ∈ vA ⇒ J ΔIJK giao tuyến cần tìm S1 uA K1 J1 I1 M1 B1 A1 I2 x Giao hai đa diện B1 M2 C1 C2 K2 A2 I2 S2 J2 B2 N2 v A I Khái niệm II Biểu diễn III Giao đường thẳng mặt phẳng với đa diện IV Giao hai đa diện J1 I1 M1 J2 B2 Đa diện uA K1 A1 S2 Chương S1 K2 A2 M2 C1 C2 Trường hợp tổng quát Giao mặt phẳng đa diện Ví dụ: Tìm giao mặt phẳng A (uA, vA) tứ diện (SABC) Giải: Xét thấy khuất cho giao N2 v A Giao hai đa diện • Là tập hợp điểm thuộc hai đa diện, nói chung hay nhiều đường gảy khúc khép kín – Đỉnh: giao cạnh đa diện với mặt đa diện – Cạnh: giao hai mặt đa diện Giao hai đa diện Tìm giao: cách Chú ý: • Tìm đỉnh: tìm giao tất cạnh đa diện với đa diện ngược lại • Chỉ nối hai đỉnh đường thẳng hai đỉnh thuộc mặt đa diện thuộc mặt đa diện • Tìm cạnh: tìm giao tất mặt đa diện với đa diện S1 Giao hai đa diện Ví dụ: Tìm giao tứ diện (SABC) lăng trụ chiếu đứng (ijk) Giải: Dùng phương pháp tìm cạnh j1 i1 k1 x A1 B1 C1 C2 S1 Giao hai đa diện Ví dụ: Tìm giao tứ diện (SABC) lăng trụ chiếu đứng (ijk) Giải: Dùng phương pháp tìm cạnh j1 i1 k1 ≡ 31 ≡41 11 21 x A1 B1 C1 C2 32 • (ik) ∩ (SABC) – = (ik) ∩ SA A2 A2 – = (ik) ∩ SB S2 42 S2 – = k ∩ (SAC) – = k ∩ (SBC) 22 B2 B2 S1 Giao hai đa diện Giải: • (kj) ∩ (SABC) 51 – = k ∩ (SBC) • (ji) ∩ (SABC) k1 ≡ 31 ≡41 11 21 x A1 j1 ≡ 61 ≡71 81 Dùng phương pháp tìm cạnh i1 – = k ∩ (SAC) S1 Giải: j1 ≡ 61 ≡71 Dùng phương pháp tìm cạnh Giao hai đa diện C1 C2 32 – = j ∩ (SAC) k1 ≡ 31 ≡41 11 – = j ∩ (SAB) B1 – = (kj) ∩ SB 51 i1 21 x A1 B1 – = (ji) ∩ SA C1 C2 32 – = j ∩ (SAB) – = j ∩ (SAC) A2 62 72 S2 A2 82 42 62 72 S2 42 52 52 22 B2 22 B2 Giao hai đa diện Giải: k1 ≡ 31 ≡41 21 x A1 j1 ≡ 61 ≡71 81 Xét thấy khuất cho giao 51 i1 11 S1 Giao hai đa diện Giải: j1 ≡ 61 ≡71 81 Xét thấy khuất cho giao Một cạnh giao thấy hình chiếu thuộc hai mặt thấy hai đa diện hình chiếu đố S1 B1 32 Ngược lại khuất C1 C2 Một cạnh giao thấy hình chiếu thuộc hai mặt thấy hai đa diện hình chiếu đố 51 i1 k1 ≡ 31 ≡41 11 21 x A1 B1 32 Ngược lại khuất A2 82 62 72 S2 42 A2 82 62 72 S2 42 52 52 22 B2 22 B2 C1 C2 Giao hai đa diện Giải: Giao hai đa diện Giải: Kiểm tra bảng trải phẳng: Kiểm tra bảng trải phẳng: S • Trải mặt bên lăng trụ tứ diện lên mặt phẳng S • Trải mặt bên lăng trụ tứ diện lên mặt phẳng i j i • Đặt đỉnh đường gảy khúc vào vị trí tương ứng bảng trải j k k i C A B C A B C Giao hai đa diện Giải: i C Giao hai đa diện Giải: Kiểm tra bảng trải phẳng: Có thể xét thấy khuất cho giao hình chiếu bảng trải S • Trải mặt bên lăng trụ tứ diện lên mặt phẳng S i • Đặt đỉnh đường gảy khúc vào vị trí tương ứng bảng trải i 8 j T j T k • Nối đỉnh thuộc C k A B i C T C T A K i T B C ... khép kín – Đỉnh: giao cạnh đa diện với mặt đa diện – Cạnh: giao hai mặt đa diện Giao hai đa diện Tìm giao: cách Chú ý: • Tìm đỉnh: tìm giao tất cạnh đa diện với đa diện ngược lại • Chỉ nối hai... hai đỉnh đường thẳng hai đỉnh thuộc mặt đa diện thuộc mặt đa diện • Tìm cạnh: tìm giao tất mặt đa diện với đa diện S1 Giao hai đa diện Ví dụ: Tìm giao tứ diện (SABC) lăng trụ chiếu đứng (ijk)... khuất Điểm thuộc đa diện • Khi thuộc mặt đa diện S1 Trên hình chiếu đứng • S1B1 thấy ⇒ A1C1 khuất B2 S2 C1 A1 S • Xác định điểm thuộc đa diện: gắn điểm vào đường thẳng thuộc mặt đa diện M B1 x A2
Ngày đăng: 05/01/2018, 13:18
Xem thêm:
