bài giảng hình học họa hinh chương 3

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Lecture Cinématique du point Động học chất điểm CBGD: Tran Thi Ngoc Dung Plan • • • • • Systèmes des coordonnées Vecteur position Vecteur vitesse d’un point mobile Vecteur accélération d’un point mobile Exemples de mouvement Objectif • L’objet de la cinématique du point est l’étude du mouvement d’un point sans se préoccuper des causes (les forces) qui lui donnent naissance Connaợtre le systốme de coordonnộes cartộsiennes, cylindriques, et sphộriques Connaợtre lexpression des vecteurs position, vitesse dans les systèmes de coordonnées cartésiennes, cylindriques, et sphériques I SYSTEMES DE COORDONNEES la position d’une particuleest repéréepar l’ un des systèmesde coordonnées : cartésiennes, cylindriques ou sphériques Systèmede coordonnées cartésiennes    DansR(O,ex , ey,ez ), la positionde la particuleM est donnéepar ses trois coordonnée s cartésiennes (x, y,z) telles que: x  abscissede M ; y  ordonnéede M ; z  côtede M x  Proj /OxOM y  Proj /OyOM z  Proj/Oz OM z z Le vecteurposition s’écrit :    OM  xex  yey  zez  ez  ex x x O M  ey y y 2) Systèmesde coordonnées cylindriques Si la trajectoire du point M possèdeune symétrieaxialede révolution, il est intéressant d’utiliserles coordonnées cylindriques de ce point (r,, z) définiescommesuit : r  | OH | ( H est la projectionde M sur le plan ( Oxy ),    angle(ex , OH) et z est la projectiondu vecteurpositionOM sur l’axe Oz    z Une nouvellebase orthonormée directe(er , e , ez ) est associéeà ce systèmede coordonnées telleque : z  OH OH  er   ez  OH   r e  ez  er  ex Le vecteurpositions’écrit:   OM  OH  HM  rer  zez x x M  ey O   ez r r  ez H  e  er  e y y  er Cas particulier : Si la trajectoire de M est plane,ce point peut être repérépar ses coordonnées polairesr et  (z  0) 3) Systèmede coordonnées sphériques Lorsquele problèmeprésenteune symétriesphériqueautour d’un point O que l’on prend pour originedu repèred’espace,il est pratiqued’utiliserles coordonnées sphériques(r,, ) de la particuleà étudier telles que:   r  OM ;   angle(ez , OM ) ;   angle(ex , OH) M(r,, )    Une nouvellebase orthonormée directe(er , e , e ) est associéeà ce systèmede coordonnées telleque :  OM OM z er   OM r z   OH e  ez   M e OH z     e  e  er r O Le vecteurposition s’ écrit :  OM  rer  ex x  H  er  e   e  e z z  ez z r  ez  ex x M  ey O  r x  ez H z  e  er  e  ez M  r O y  ex y  er  er  e   e  H x Coordonnées Cartésiennes Cylindriques Sphériques M(x, y, z)    OM  xex  yey  zez M(r,θ, z)   OM  rer  zez r 0    2   z   M(r,θ, )  OM  rer r 0    2    e y z  ez z r  ez  ex x M  ey O  x r  ez H y  e  er  e  ey  e y y  er Relations entre les Coordonnées Cartésiennes et Cylindriques r  x  y2  θ  arctan(y/x) z  z  x  r cosθ  y  r sin  z  z   O r H  er  ex x    er  cosθex  sinθey    eθ  sinθex  cosθey    ex  cosθer  sinθe    ey  sinθer  cosθe z z  ez  O x x  ex  r M  e  ey Relations entre les Coordonnées Cartésiennes et sphériques  er e y y H  e r  x  y2  z    arctan(y/x)   arccos(z/r)   OM    er   sincosex  sinsiney  cosez r    e  sinex  cosey       e  e  er  cos cosex  sin cosey  sinez x  r sin  cos  y  r sin  sin  z  r cos  Basefixeet basemobile    * La basedu systèmede coordonnée s cartésiennes (ex , ey , ez ) est unebase dite « fixe » c’est - - dire queces vecteursgardentla même normeunitaire,la mêmedirectionet le mêmesensau coursdu temps    * La basedu systèmede coordonnée s cylindiques (er , e , ez ) est unebasemobile(oulocal)    * La basedu systèmede coordonnée s spheriques(er , e , e ) est unebasemobile(ou local) ces vecteursgardentla normeunitaire,mais changentla directionet le sensau coursdu temps  er z  ez z r  ez  ex x x M  ey O  r  ez H  e  e  er  e  er  e y r  ey r y y O  ex H  x  er Dérivation d’une fonction vectorielle Définition  Soit U( ) une grandeur vectorielledépendentde la variable  La dérivéede U par rapport  est :    dU U(ξ  Δξ) - U(ξ)  lim dξ Δξ Δξ La dérivée d’une grandeur vectorielle dépend du référentiel Lorsqu'il sera nécessairede péciserle référentiel danslequels'effecturecettedérivation,    dU   la dérivéede U par rapportà ξ dansR nousnoterons  dξ /R Propriétés   si W()  ()U() alors    si W()  U()  V() alors   si A()  U().V() alors    si W()  U()  V() alors    dW() d dU  U d d d    dW() dU dV   d d d     dA() dU dV  V  U d d d      dW() dU dV  VU d d d Dérivée d’un vecteur de norme constante  Soit U() un vecteurde normeU constante.Ce vecteurn'est pas constant, car son orientation peut varier 2   2   dU dU dU U 1   2U  0, doncU  d d d La dérivée d’un vecteur de norme constante est orthogonale ce vecteur ou nulle C’est le cas des vecteurs unitaires Dérivée en Coordonées cartésiennes    d e dex d e  0; y  0; z  d d d     U  Ux ex  Uyey  Uzez   dU  dUx  dUy  dUz     ex  ey  ez d d  d / R d Coordonées cylindriques Considéron un point M mobile par rapport R et la base locale liée M    er  cosθex  sinθey    eθ  sinθex  cosθey z z  ez  ex O x x R  e r z  e M  er  e  ey  r  ez H e r y y   d e  r  e    d   / R   d e     e   r d   / R Vecteur Vitesse d’un point Vitesse moyenne Si la position du point mobile M l’instant t1  t correspondau point M(t)  M1 et l’instant t2  t  t au point M(t  t)  M2 , le vecteur vitesse moyennese définit par : MM OM2  OM1  vmoyenne   t  t1 t  t1 Vecteur vitesse instantanée Le vecteur vitesse du point mobile M par rapport référentiel R d' origine O  OM(t  t )  OM(t )  dOM  v(M)/ R  lim   t 0 t  dt / R   dr ou v dt Vecteur vitesse dans les cordonnées différentes En coordonnées cartésiennes le vecteur vitesse a pour expression La valeur de la vitesse:    dOM  dxex  dyey  dzez  dOM     x ex  y e y  z ez v(M)/ R     dt / R v(M)/ R  x  y  z En coordonnées cylindriques, le vecteur vitesse a pour expression La valeur de la vitesse:    dOM  drer  rde  dzez        v(M)/ R  rer  re  zez v(M)/ R  r  r 2  z le vecteur vitesse a pour expression    dOM  drer  rde  r sinde     v (M ) / R  rer  re  r sine La valeur de la vitesse: v(M ) / R  r2  r 22  (r sin )2 En coordonnées sphériques, Vecteur Accélération Le vecteuraccélération de M par rapportau référentiel R d'origineO est   d2 OM    dv(M)/ R   a(M)/ R        dt / R  dt / R Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes     a(M)/ R  xex  yey  zez a  a 2x  a 2y  a 2z Vecteur accélération en coordonnées cylindriques      v(M)/ R  rer  re  z ez         a(M)/ R  (r  r )er  2r  re  zez a(M)/ R  a r  a   a z 2 Coordonnées curvilignes : tọa độ cong Abscisse curviligne : hoành độ cong Soit une courbe  relíe au référentiel R  est munie d’un point origine A et d’un sens positifs de parcours + M Position de M est repérée par un seul réel: |s|=longueur de l’arc AM A dOM  dOM   Vecteur unitaire tangent : vectơ tiếp tuyến đơn vị  v T   dt  v  vT ds v ds dt Le rayon de courbure et le vecteur unitaire normal de la trajectoire sont définis par: R>0, N Orienté vers l’intérieur de la concavité  dT   N ds R Base locale ou base de FRENET    La base orthonormée directe (T, N, B) est par definition la base de Frenet associée au point M    BTN B N M A T   v dOM T  v ds dT   N ds R at Vecteur accélération en coordonnées curvilignes   v  vT    dv dv  dT a   Tv dt dt dt   dT dT ds    N.v dt ds dt R an R    dv v a  T N dt R    a  a  an a Chuyển động nhanh dần:   a   v v at a: accélération tangentielle: gia tốc tiếp tuyến an: accélération nornale: gia tốc pháp tuyến v an a R Chuyển động chậm dần   a   v  dv  v2  a  T N dt R    a  a  an Chuyển động đều: độ lớn vận tốc v=const ; a=0 , a=an Chuyển động thẳng : R=; an=0, a= a Mouvement circulaire: Chuyển động tròn     v  rer  re        a  r  r er  (2r  r)e r  R  const  r  r     v  Re   2    a  R er  Re    2    a n  R er a   Re       N  er ; T  e ; B  ez     Chuyển động thẳng đều: a=0 , an=0, a  0, v  const Exercice résolu MOUVEMENT HÉLICOÏDAL Énoncé Soit l’hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations: r=R et z=h Et oriéntée dans le sens  croissant L’origine est le point repéré par z=0 1) Déterminer l’abscisse curviligne, le rayon de courbure Rc, et la base de Frenet (T,N,B) 2) Cette hélice est parcourue la vitesse constante v par un point M 3) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération z o x y 1) Déterminer l’abscisse curviligne, le rayon de courbure Rc, et la base de Frenet (T,N,B) 1)Abscissecurviligne decourbureR c,  , rayon  la base deFrenet (T,N,B) 2 2 2 ds  dr  R dθ  dz  dθ R  h  z 0 o y x  dT   N ds Rc   dT dT d R   2 ds d ds R h   R  h2 N  er , Rc  R s  θ R  h2 hdθ R        dOM drer  r dθeθ  dz ez Reθ  hez T   ds dθ R  h R2  h2  R  e  e 2 r 2 r R h R h SV phải biết • 1) Cho phương trình chuyển động r(), xác định vectơ vận tốc, gia tốc • 2) Xác định vectơ tiếp tuyến đơn vị, vectơ pháp tuyến đơn vị • 3) Xác định sở Frenet (T, N, B) • 4) Xác định quỹ đạo  ... trajectoire de M est plane,ce point peut être repérépar ses coordonnées polairesr et  (z  0) 3) Systèmede coordonnées sphériques Lorsquele problèmeprésenteune symétriesphériqueautour d’un point... et la base de Frenet (T,N,B) 2) Cette hélice est parcourue la vitesse constante v par un point M 3) Déterminer le vecteur vitesse et le vecteur accélération z o x y 1) Déterminer l’abscisse curviligne,... xác định vectơ vận tốc, gia tốc • 2) Xác định vectơ tiếp tuyến đơn vị, vectơ pháp tuyến đơn vị • 3) Xác định sở Frenet (T, N, B) • 4) Xác định quỹ đạo