Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn CHUONG 1: MOT SO DANG TOAN THI HOC SINH GIOI
ỘGIẢI TỐN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIOỢ
Bắt đầu từ năm 2001, Bộ Giáo dục và Đảo tạo đã tô chức các cuộc thi cấp khu vực ỘGiải toán trên máy tắnh điện tử CasioỢ Đội tuyên Phổ thông Trung học Cơ sở mỗi tắnh gồm 5 thắ sinh Những thắ sinh đạt giải được cộng điểm trong kỳ thi tốt nghiệp và được bảo lưu kết quả trong suốt cấp học Đề thi gồm 10 bài (mỗi bài 5 điểm, tổng số điểm là 50 điểm) làm trong 150 phút
A SO HOC - DAI SO - GIẢI TÍCH
I Dang 1: KIEM TRA KY NANG TINH TOAN THUC HANH
Yéu cau: Hoc sinh phai nắm kỹ các thao tác về các phép tắnh cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn thức, các phép toán về lượng giác, thời gian Có kỹ năng vận dụng hợp lý, chắnh xác các biến nhớ của máy tắnh, hạn chế đến mức tối thiểu sai số khi sử dụng biến nhớ
Bài 1: (Thi khu vực, 2001) Tinh: =(649?+13.180ồ } Ở13.(2.649.180)ồ (1986? ~1992)(1986Ợ +3972Ở3)1987 7 1983.1985.1988.1989 [(7-6,35) :6,5+9,8999 loz - 12,8 eC=zỞỞỞỞ<-~:0.125 [1.2:3641 : -0/25~l8333 Ì : 5 4 a paar 020, (34,06 -33,81).4 if ae 2,5.(0,841,2) 6,84:(28,57-25,15) 21 (x-4,]:0.0m (03-3 15 i e.Tim x biét: A tf OE :62Ở +17,81:0,0137 =1301 3 -265)4:1 f1sg+22\! 20 5 25 )8 (ear 22); ặ Tìm y biết: 15,2.0,25-48,51:14,7 (44 II a} 5 y 3,2 +0, a(53-3.25] Bài 2: (Thi khu vực, 2002) Tắnh giá trị của x từ các phương trình sau: nh | 2,5-Ở 15,2.3,15Ở2: 2! 4341,5.0,8 + 4 2 4 [(0.15 +0.35):(ax+4 yb ễ 4) 4ồ3ồ5J_ 41 > 5T 23.:(k2+315) 12,5-2.2,) (0,5- 0,3.7,75) : 2) 75 7
Bai 3: (Thi khu vuc, 2001, dé dy bi)
a Tìm 12% của Sate pike 4 3
Trang 2Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn 3:2-0,09:( 0,15:22 } 5 2 ~ 0,32.6+ 0,03 -(5,3-3,88) + 0,67 _ (2,1=1,965):(1,2.0,045) _1:0,25 Ở 000325:0,013 1,6.0,625 (852 -835):22 b Tắnh 2,5% của ỞỞỞỞỞỞỞỞỞỞỞỞ 0,004 85-8 bon c Tắnh 7,5% cia \Ở>> (=-3): 2 5 20) 8 , 2 2 d.Tìm x, nếu: 54:Ìx:13+8,4.6|ó_3+5:6.25)7 || Ởr.L 7 7|Ở`ậ.0,0125+6,9 14 Thực hiện các phép tắnh: e A= ity 22) 12-9}; 15422437 3 5 4 5 f B=12:12 13.432 23 7\ 4 11 121 l0; [247~155 }-2 (2-175) 3 7 11\ 3 g c= NS (30.25)? +1945 99 9 iit =6: _ag._ bẾ 1 20,25 h.D =6: 0,8:2ỞỞzm 50 + +ỞỞỞTặỞ =.0,4.Ở 2 q1 14+2,2.10 3 0.8:( 4.1.25) [1.08-2.|:4 j, B= 2 444 */ 7 (1.2.0.5): 4 nee 0,644-Ở I {62-3-|2+ 5 1).2 5 25 (s; i) 17 11 7 473.90 k F=0,3(4) +1,(62) 14-23: II 0,865) 11 = Bai 4: (Thi khu vuc 2003, dé dy bj) Tinh: a A=3 (5 Ở V4 S5-15- 400488 18 b B=3/200 +1262 ++ 642 { D8 th 9 Bài 5: (Thi khu vực 2001) 17
Trang 3Mai Xuân Việt www.Luyen Thi ThuKhoa.vn
c Tinh gia trị của biểu thức sau: 4J2+ 3+ Ỳ4+ + Ỳậ+ 9/9
Nhận xét: = Dang bai kiểm tra kỹ năng tắnh toán thực hành là dạng toán cơ bản nhất, khi tham gia vào đội tuyên bắt buộc các thắ sinh phải tự trang bị cho mình khả năng giải dạng toán này Trong các kỳ thi đa số là thắ sinh làm tốt dạng bài này, tuy nhiên nên lưu ý vân đề thiếu sót sau: Viết đáp số gần đúng một cách tùy tiện Đề tránh vấn dé này yêu cầu trước khi dùng máy tắnh đề tắnh cần xem kỹ có thể biến đổi được không, khi sử dụng biến nhớ cần chia các cụm phép tắnh phủ hợp để hạn chế số lần nhớ Vi du: Tinh T = 1ồ +999999999ồ + 0,999999999ồ - Dung may tinh trực tiếp cho kết quả là: 9,999999971 x 1076 z 2 6 - Bién déi: T= (er +999999999ồ + 0,999999999ồ ) , Dùng máy tinh tắnh {/1ồ +999999999ồ + 0,999999999ồ =999 999 999 Vậy T = 999999999Ợ = 999999999"
Như vậy thay vì kết qủa nhận được là một số nguyên thì thế trực tiếp vào máy tắnh ta nhận được kết quả là số dạng a.10" (sai số sau 10 chữ số cua a)
Ừ Trong các kỳ thi cấp tỉnh dạng bài này thường chiếm 40% - 60% số điểm, trong các kỳ thi
cấp khu vực đạng này chiếm khoảng 20% - 40%
Ừ Trong dạng bài nay thắ sinh cần lưu ý: số thập phân vô hạn tuần hoàn (vắ dụ: 0,(4); 0,1(24); 9,895862 ; thi sinh cần biết cách biến đổi các số này sang số thập phân đúng và làm việc với các số đúng đó
IL Dang 2: ĐA THỨC
Dang 2.1 Tắnh giá trị của đa thức
Bài toán: Tắnh giá trị của đa thức P&y ) khi X=X0,Y=Ữ0;
Phương pháp I: (Tắnh trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức đề tắnh Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)
Viết P(x) =aox" +a,x"! + +a, dưới dang P(x) =( (a9x +a, )X+a,)X+ )X+a,
Vay P(x,) =( (apXp +4) )Xy +4, )Xy + )Xy +a, Dat bo = ao; bị = boxo + a1; bo = bixo + a2; .3 bn = bạ 1X0 + an Suy ra: P(xo) = bn `
Từ đây ta có công thức truy hôi: b.= br-1X0 + ax VOik > 1 Giải trên máy: - Gán giá xo vào biên nhớm M
- Thực hiện dãy lặp: bx.1[ALPHA]M]+ ax 5_ 94,4 LÀN Vắ dụ 1: (Sở GD TP HCM, 1996) Tắnh A = 3x 2x t3 =x khi x = 1,8165 4xồ Ởxồ+3x+5 Cách 1: Tắnh nhờ vào biến nhớ An phim: 1 [.]8165[=] [dB[Ans[^l5-lbAns[^la[+lb|Ans[xồ [Ở[Ans[+]l]z[dđ[Ans]^l{~[Ans]xồ [+B[Ans[+]5b[=] Kết quả: 1.498465582 Cách 2: Tắnh nhờ vào biến nhớ An phim: 1 [.]8165 5ồ[:B[ALPHA[x]]i)|=| Kết quả: 1.498465582
Nhân xét: + Phương pháp dùng sơ đồ Horner chỉ áp dụng hiệu quả đối với máy fx-220 va fx- 500A, còn đối với máy fx-500 MS và fx-570 MS chỉ nên dùng phương pháp tắnh trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS có thẻ thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bắm CALC|, máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phắm là [=| xong Để có thê kiểm tra lại
Trang 4Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn kết quả sau khi tắnh nên gán giá trị xo vào một biến nhớ nào đó khác bién Ans dé tién kiểm tra và đổi các giá trị 3xồ Ở2x* +3x* Ởx 4xÌỞx?+3x+5
Khi đó ta chỉ cần gán giá trị xì = - 0,235678 vào biến nhớ X: I8 235678
Dùng phắm mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phim [=] là xong
+ Trong các kỳ thi đạng tốn này ln có, chiếm I đến 5 điểm trong bài thi Khả năng tắnh toán dẫn đến sai số thường thì không nhiều nhưng nếu biểu thức quá phức tạp nên tìm cách chia nhỏ bài toán tránh vượt quá giới hạn bộ nhớ của máy tắnh sẽ dẫn đến sai kết quả (máy tắnh vẫn tắnh
nhưng kết quả thu được là kết quả gần đúng, có trường hợp sai hẳn) Bài tập
Bài 1: (Sở GD Hà Nội, 1996) Tắnh giá trị biểu thức:
a Tinh x* +5x? Ở3x* +x-1 khi x = 1,35627
b Tinh P(x) =17xồ Ở5x* +8x* +13xỢ Ở11xỞ357 khi x = 2,18567
Dang 2.2 Tim du trong phép chia da thire P(x) cho nhi thirec ax + b
Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó r là một số Vắ dụ: Tắnh A = khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 (không chứa biến x) Thé x = = được P(Ởồ) =r, a a Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tắnh r = P( UB ), lúc này dạng toán a 2.2 trở thành dang toan 2.1 x4 x9 Ởx9 4x4 4x7 4+x-Ở723 Vắ dụ: (Sở GD TPHCM, 1998) Tìm số đư trong phép chia:P= x-l, L624 Sé du r= 1,624! - 1,624? - 1,624ồ + 1,624 + 1,624? + 1,624 Ở 723 Qui trình ấn máy (fx-500MS và Ặx-570 MS) Ấn các phắm: 1| ]624|SHIFT|STO|X] |ALPHA[X]^]I4|Ở[ALPHA[X[^b|Ở[ALPHA[X]^|B[+|ALPHA[[X]^l4[+[ALPHA[x[^|+|ALPHA|x]-]z23|=| Kết quả: r = 85,92136979 Bài tập 5S 3 2
Bài 1: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia XỞồ723* + Ở Ộ= oa x+2,
=x!+5x!Ở4x? +3xỞ50 Tìm phần dư ri, r2 khi chia P(x) Bài 2: (Sở GD Cần Thơ, 2003) Cho Py
cho x Ở 2 va x-3 Tim BCNN(r1,12)? )
Dang 2.3 Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức ax +b ;
Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muôn P(x) chia hết cho x Ở a thì m + r = 0 hay m = -r = - p(Ở2), Như vậy bài toán trở về dạng toán 2.1 a Vắ dụ: Xác định tham số 1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Sở GD Thanh Hóa, 2000) Tìm a để x" +7x)+2x?+13x+a chia hết cho x+6 - Giải - $6 dur a=Ở| (-6)' + 7(-6 +2(-6)' +13(-6) |
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) Án các phim: [3] 6[SHIFT] [STO]
ẹ) (q [AcPHa] [x] 9) 44)7 [APH] [x] [2"] [-]2[ALPHa] [x] [x] [4] 13[ALPHA] [x] p] El
Két qua: a = -222
Trang 5
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn 1.2 (Sở GD Khánh Hòa, 2001) Cho P(x) = 3x? + 17x Ở 625 Tinh a dé P(x) + a? chia hét cho x + 3? - Giai - Số du a? = -/ 3(-3)' +17(-3)-625] =>a=+ |-[3(-3)' +17(-3)-025] Qui trình ân may (fx-500MS va fx-570 MS) lý ]ISJqs[dlẹlspllx]i-Iiz[dflsDJ[-1sasDJEl Kết quả: a= + 27,51363298 Chú ý: Dé ý ta thay rang P(x) = 3x? + 17x Ở 625 = (3x? Ở 9x + 44)(x+3) Ở 757 Vay dé P(x) chia hét cho (x + 3) thi a? = 757 => a = 27,51363298 va a = - 27,51363298
Dang 2.4 Tim da thire thuong khi chia da thire cho don thirc
Bài toán mở đâu: Chia da thitc aox? + aix? + aox + a3 cho x Ởc ta sé duoc thương là một đa thức bậc hai Q(x) = box? + bịx + bạ và số dur Vậy aox? + ax? + aox + a3 = (box? + bix + b2)(x-c) + r = box? + (bi-boc)x? + (b2-bic)x + (r + bec) Ta lai có công thức truy hdi Horner: bo = ao; bị= bọc + ai; bạ= bịc +
a2; r= boc + a3
Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ d6 Horner dé tim thương và số dư khi chia đa thức P(x)
(từ bậc 4 trở lên) cho (x-c) trong trường hợp tong ae
Vắ dụ: Tìm thương và số dư trong phép chia xỢ Ở 2xẾ Ở 3x + x Ở 1 cho x Ở 5
Giai
Ta c6: c = - 5; ao = 1; a1 = 0; a2 = -2; a3 = -3; ag = a5 = 0; a6 = 13 a7 =-1; bo =ao= 1
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS)
(3) [SHIFT |[STO][M]1[k|[ALPHA][M][+]0[=] (5) ALPHA |[M]-]2[=|23)
[x[ALPHA|[M[+l|(Ở)|=|(-11s)|x[ALPHA 0|=|ỏ90)|x|ALPHA] 0|=|(-295O)
[MÍ+]I|=ld4750|x[ALPHA||M]+||(Ở]|=|(73756)
Vay xỖ Ở 2x9 Ở 3x4 +x Ở1 = (x +5)(xồỞ 5x? + 23x4 Ở 118x? + 590x? Ở 2590x + 14751) Ở 73756
Dang 2.5 Phân tắch đa thức theo bậc của đơn thức
Áp dung n-1 1an dạng toán 2.4 ta có thê phân tắch đa thức P(x) bậc n theo x-c: P(x)=ro+ri(x-c)+r2(x-
c)Ộ+ +rn(x-c)"
Vắ dụ: Phân tắch x1 Ở 3xỶ + x Ở 2 theo bậc của x Ở 3
Giai
Trước tiên thực hién phép chia P(x)=qi(x)(x-c)+ro theo so đồ Horner để được qi(x) va ro Sau do lai tiép tuc tim cac qx(X) và r.¡ ta được bảng sau: 1 | -3 | 0] 1 | -2 | x*-3x?4x-2 3/1]0;,0] 1 1 | qi(x)=x341, 19 = 1 3 |1 | 3 |9 |28 q2(x)=xÌ+3x+l1, rị = 28 3 | 1 6 | 27 q3(xX)=x+6, ro = 27 3 | 1 9 q4(x)=l=ao, ro = 9 Vậy x1Ở 3x + xỞ 2 = 1 + 28(x-3) + 27(x-3)? + 9(x-3)? + (x-3)!
Dạng 2.6 Tìm cận trên khoảng chứa nghiêm dương của đa thức
Nêu trong phan tich P(x) = ro + ri(x-c)+r2(x-c)?+ +rn(x-Ạ) ta có r¡ > 0 với mọi ¡ = 0, 1, ,n thì mọi nghiệm thực của P(x) đều không lớn hơn c
Vắ dụ: Cận trên của các nghiệm dương của đa thức x - 3x + x Ở 2 là c = 3 (Đa thức có hai nghiệm
thực gần đúng là 2,962980452 và -0 ,9061277259)
Nhân xét: Ừ Các dạng toán 2.4 đến 2.6 là dạng toán mới (chưa thấy xuất hiện trong các kỳ th)
nhưng dựa vào những dạng toán này có thể giải các dạng toán khác như phân tắch đa thức ra thừa số, giải gân đúng phương trình đa thức,
za Van dụng linh hoạt c các phương pháp giải kết hợp với máy tắnh có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nham nghiệm không được hoặc sử dụng công thức
Cardano quá phức tạp Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng một cách khéo léo hợp
lắ trong các bài làm
Bai tap tng hop
Bài 1: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho da thtre P(x) = 6x3 Ở 7x? Ở 16x + m
a Tim m dé P(x) chia hét cho 2x + 3
Trang 6
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
b Với m vừa tìm được ở câu a hãy tim số dư r khi cia P(x) cho 3x-2 và phân tắch P(x) ra tắch các thừa số bậc nhất
c Tim m va n dé Q(x) = 2x Ở 5x?Ở 13x + n va P(x) cùng chia hết cho x-2
d Với n vừa tìm được phân tắch Q(x) ra tắch các thừa số bậc nhất
Bài 2: (Thi khu vực 2002, lớp 9)
a Cho P(x) = xồ + ax* + bx? + ex? + dx + f Biét P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 15 Tinh P(6), P(7), P(8), P(9)
a Cho P(x) = x* + mx? + nx? + px + q Biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q@) = 9; Q(4) = 11 Tắnh Q(10),
Q(11), Q(12), Q(13)
Bài 3: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x + 5xỶ Ở 4x? + 3x + m và Q(x) = x + 4x Ở 3x? + 2x + n
a Tìm giá trị của m, n để các đa thức P(x) và Q(x) chia hết cho x Ở 2
b Với giá trị m, n vừa tìm được chứng tỏ rằng đa thức R(x) = P(x) - Q(x) chỉ có một nghiệm duy nhất
Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9)
a Cho P(x) = xồ + 2x4 Ở 3x3 + 4xỢỞ 5x + m
1 Tìm số dư trong phép chia P(x) cho x Ở 2,5 khi m = 2003
2 Tim giá trị m dé P(x) chia hết cho x Ở 2,5 3 P(x) có nghiệm x = 2 Tìm m? b Cho P(x) = xẾ + ax? +bx? + cx? + dx + e Biét P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tắnh P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(1 1) 7 1 3 Ấl1 89 Bài 5: (Sở SG Cần Thơ 2002) Cho f(x)= xỶ + ax? + bx + c Biết ặ2) =ỞỞ;f(-~) =-=;f(-)=Ở ~~ 3 108 2 8 5 500 Tắnh giá trị đúng và gần đúng của rcs ?
Bài 6: (Thi vào lớp 10 chuyên toán cấp IH của Bộ GD, 1975)
1 Phân tắch biêu thức sau ra ba thừa số: aỢ Ở 6aỢ + 27aỢ Ở 54a + 32 TS ;
2 Từ kết quả câu trên suy ra rằng biểu thức nỶ Ở 6n + 272 Ở 54n + 32 luôn là số chẵn với mọi số nguyên n
Bài 7: (Thi học sinh giỏi toán bang New York, Mỹ, 1984)
(n+l)
n+23
Bai 8: (Thi hoc sinh gioi toan bang New York, My, 1988) Ấ :
Chia P(x) = xệ! + ax*7 + bx!! + cx? + 2x + I cho xỞ 1 duge sô dư là 5 Chia P(x) cho x Ở 2 được số dư là -4 Hãy tìm cap (M,N) biết rằng Q(x) = x*! + axỢỢ + bx*! + cx'Ợ + Mx + N chia hết cho (x-1)(x-2)
Bài 9: (Thi khảo sát vòng tỉnh trường THCS Đông Nai Ở Cát Tiên, 2004)
Cho đa thức P(x) = x!ồ + xỲ Ở 7,589x + 3,58x3 + 65x + m
a Tìm điều kiện m để P(x) có nghiệm là 0,3648
b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)
e Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) Có chắnh xác đúng 4 số nguyên dương n để là một số nguyên Hãy tắnh số lớn nhất
x -2,53 4,72149 sx 6,15 6447
P(x)
Bài 10: (Phòng GD huyện Bảo Lâm - Lam Dong, 2004) 1.Tinh E=7xồ-12x*+3xồ-5x-7,17 với x= -7,1254 Tx y-xỔy?+3xồy+10xy*-9 2.Cho x=2,1835 va y= -7,0216 Tinh F= = 5xồ-8x7y? +y xồ-6,723x*+1,658x"-9,134 x-3,281 4.Cho P(x)=5x7+2xồ-4xồ+9x*-2x?+x?4+10x-m Tim m dé P(x) chia hét cho da thitc x+2 Bài 11: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) ;
a Tim m dé P(x) chia hết cho (x -13) biét P(x) = 4xỢ + 12xf + 3x? + 2x? Ở 5x Ởm+7
3.Tìm số dư r của phép chia :
Trang 7
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
b Cho P(x) = ax> + bx* + cx? + dx? + ex + f biét P(1) = P(-1) = 11; P(2) = P(-2) = 47; P(3) = 107
Tinh P(12)?
Bài 12: (Sở GD Phú Thọ, 2004)
Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có giá trị P(21) = 17; P(37) = 33 Biết P(N) =N + 51 Tắnh N?
Bài 13: (Thi khu vực 2004)
Cho da thirc P(x) = x? + bx? + ex + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tắnh: a Cac hệ số b, c, d của đa thức P(x)
b Tìm số dư r¡ khi chia P(x) cho x Ở 4 e Tìm số đư ra khi chia P(x) cho 2x +3 Bài 13: (Sở GD Hải Phòng, 2004)
Cho da thtrc P(x) = x3 + ax? + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tắnh: a Cac hệ số a, b, c của đa thức P(x)
b Tìm số đư r¡ khi chia P(x) cho x + 4 c Tìm số dư rạ khi chia P(x) cho 5x +7
d Tìm số dư ra khi chia P(x) cho (x+4)(5x +7)
Bài 15: (Sở GD Thái Nguyên, 2003)
a Cho da thirc P(x) = x*+ax? + bx? + cx + d Biét P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 48 Tinh P(2002)?
b Khi chia da thtre 2x* + 8x? Ở 7x? + 8x Ở 12 cho đa thức x Ở 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc
3 Hãy tìm hệ số của x? trong Q(x)?
II Dang 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Ghủ nhớ: Trước khi thực hiện giải nên viết phương trình (hệ phương trình) dưới dạng chắnh tắc để khi
đưa các hệ sô vào máy không bị nhằm lần Vắ dụ: Dạng chắnh tắc phương trình bậc 2 có dạng: ax? + bx +c =0 Dạng chắnh tắc phương trình bac 3 cé dang: ax? + bx? +.cx +d =0 wR Ỉ A 7 axt+by =< Dạng chắnh tắc hệ phương trình bậc 2 có dạng: a,x+b,y =c, ax+by+cz=d, Dang chắnh tắc hệ phương trình bậc 3 có dạng: 4a,x + bẤy +c;Z = d, a,x+b,y+c,z=d,
Dang 3.1 Giải phương trình bậc hai ax2 + bx+c=0(azZ0)
3.L.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
An |[MODE|[MODE [ll-l|l2] nhập các hệ sé a, b, c vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phắm [=| gia trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tắnh Vắ dụ: (Sở GD TPHCM, 1996) Giải phương trình: 1,8ậ5432x? - 3,21458x - 2,45971 = 0 Giai Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) [MODEl|MODEỳlI||-]|2] 1|]85432|=|ỀểJ3|.321458|=||-J2|]45971|=](x1- 23O08233881)|=](x2- -O574671173)
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện thì
nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó
không trìn bày nghiệm này trong bài giải Nếu có một nghiệm thực thì phương trình có nghiệm kép, cả
hai nghiệm đêu là nghiệm phức coi như phương trình đó là vô nghiệm 3.1.2: Giải theo công thức nghiệm
Tinh A=bỖ Ở4ac
ỞbtiVA
2a
+Néu A > 0 thi phuong trình có hai nghiệm: x,, =
+ Nếu A =0 thì phương trình có nghiệm kép: Xia= 2
a
Trang 8
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
+ Nếu A <0 thì phương trình vô nghiệm
Vắ dụ: (Sở GD Đồng Nai, 1998) Giải phương trình 2,354x? Ở 1,542x - 3,141 =0 Gidi Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) [Ollls42lx'l[-hixb[as4|<[dcB[ll41)| (27,197892) [dl542[+|/ [ALPHA[AD[zbixIzLs4=] (x1 = 1528193632) [dlLls42i=lV [ALPHA[ADl[=bixlzL554L=] (x2 = - 0,873138407) Chú ý: + Nếu đề bài không yêu cầu nên dùng chương trình cài sẵn của máy tắnh để giải
Ừ Hạn chế không nên tắnh VA truéc khi tắnh các nghiệm x1, x2 vì nếu vậy sẽ dẫn đến sai số xuất hiện trong biến nhớ ^A sau 10 chữ số làm cho sai số các nghiệm sẽ lớn hơn
z Dang toan này thường rất ắt xuất hiện trực tiếp trong các kỳ thi gần đây mà chủ yếu dưới
dạng các bài toán lập phương trình, tìm nghiệm nguyên, chứng minh nghiệm đa thức, xác định khoản chứa nghiệm thực của đa thức, Cần năm vững công thức nghiệm và Định lắ Viét để kết hợp với máy tắnh giải các bài toán biến thể của dạng này
Dang 3.2 Giải phương trình bậc ba ax? + bx? +cx+d=0(az0) 3.2.1: Giải theo chương trình cai san trén may
Án [MODE]|MODE]|1][>][3] nhap cac hé số a, b, c, d vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phắm |=| giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tắnh
Vắ dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2002) Tìm tất cả các nghiệm gần đúng với 5 chữ số thập phân của phương
trình x~ 5x + 1 =0
Giai
Qui trình ấn máy (fx-500MS và Ặx-570 MS)
Ấn các phim [MODE][MODE]|I][>][3}
I=|0|=|[(Ở)|B|=llÍ=|(ề1 - 2.128419064|=|(x2 - -2,33O0O5874|=|(x3- O.201639675)
Chú ý: Khi giải bằng chương trình cài sẵn trên máy nếu ở góc trái màn hình máy hiện thì nghiệm đó là nghiệm phức, trong chương trình Trung học cơ sở nghiệm này chưa được học do đó
không trìn bày nghiệm này trong bài giải 3.2.2: Giải theo công thức nghiệm
Ta có thê sử dụng công thức nghiệm Cardano đề giải phương trình trên, hoặc sử dụng sơ đồ Horner để
hạ bậc phương trình bậc 3 thành tắch phương trình bậc 2 và bậc nhất, khi đó ta giải phương trình tắch theo các công thức nghiệm đã biết
Chú ý: xa Nêu đề bài không yêu cầu, nên dùng chương trình cài sẵn của máy tắnh đề giải
Dang 3.3 Giải hệ phương trình bậc nhất 2 an
3.3.1: Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
An nhập các hé sé al, bl, cl, a2, b2, c2 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn
Trang 9Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
3.3.2: Giải theo công thức nghiệm
Ta có: x= D,, 5 ya voi D=a,b, Ởa,b,;D, =c,b, Ởc,b,;;D, =a,c, Ởa,ằ, D, 1
Dạng 3.4 Giải hệ phương trình nhất ba ân Giải theo chương trình cài sẵn trên máy
An [MODE]||MODE Iilll nhập các hệ s6 al, bl, cl, a2, b2, c2, a3, b3, c3 vào máy, sau mỗi lần nhập hệ số ấn phắm [=| giá trị mới được ghi vào trong bộ nhớ của máy tắnh 3x+y+2z =30 Vắ dụ: Giải hệ phương trình + 2x+3y +z =30 x+2y+3z =30 Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) [MoDE]MopelJil2|=l|=P|=|>o|=Ậ|=l|=l|=lao|=ll=lb|=|=Bo|=lề - 5|=ly - 5|=|Ư - 5)
Chú ý: Cộng các phương trình trên về theo về ta được x + y + z= 15 suy rax=y=z= ậ
Nhận xét: Ừ Dạng toán 3 là dạng bài dễ chỉ đòi hỏi biết sử dụng thành thạo máy tắnh và các
chương trình cài sẵn trên máy tắnh Do đó trong các kỳ thi dạng toán này rất ắt chúng thường xuất hiện
dưới dạng các bài toán thực tê (tăng trưởng dân sé, lãi suất tiết kiệm, .) mà quá trình giải đòi hỏi phải lập phương trình hay hệ phương trình với các hệ số là những số lẻ
Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải các phương trình:
1.1 (Sở GD Hà Nội, 1996, Thanh Hóa, 2000): 1,23785x? + 4,35816x Ở 6,98753 =0 1.2 (Sở GD TPHCM 1998): 1,9815x + 6,8321x + 1,0581 =0 1.3 x+x?Ở2xTỞ 1 =0 1.4 4x3 - 3x +6=0 Bai 2: Giai cac hé phuong trinh sau: , x (say san 2.1 (Sở GD Đông Nai, 1998) 8,368x+5,214y =7,318 13,241x Ở17,436y =Ở25,168 23,897x +19,372y =103,618 1,341x Ở4,216y =-3,147 8,616x+4,224y =7,121 2.2 (Sở GD Hà Nội, 1996) | 2.3 (Sở GD Cần Thơ, 2002) { 2x+5yỞ13z = 1000 2.4 43xỞ9y+3z=0 5xỞ6yỞ8z =600
IV Dang 4: LIEN PHAN SO
Lién phan số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhà toán học sử
dụng đề giải nhiêu bài toán khó
Trang 109 Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn " no x ok Ấ a : Cứ tiếp tục quá trình này sẽ kết thúc sau n bước va ta được: E =a, +Ở =a, +ỞỞỞỞỞ_Ở Cach 1 a,otỞ a
biểu dién nay goi là cách biểu diễn số hữu tỉ đưới dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ có một biểu diễn
duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn [aoa 3a, | Số vô tỉ có thể biểu diễn dưới dạng
liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó đưới dạng gần đúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn
các sô thập phân hữu hạn này qua liên phân sô 1 Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số ayt i vé dang Dạng toán này được 1 An +Ở a,
gọi là tắnh giá trị của liên phân số Với sự trợ giúp của máy tắnh ta có thể tắnh một cách nhanh chóng
dạng biểu diễn của liên phân sô đó Qui trình ấn máy (Ặx-500MS và Ặx-570 MS) Ân lần lượt a,., =|I|sỢồÌa,|=]a, ; ]I|a"*|[Ans][=] a, [+]taồ* |[Ans]=] Vắ dụ 1: (Vơ địch tốn New York, 1985) Biét 2-1 _ trong đó a và b là các số dương Tắnh 7 4, 10 1 a+Ở b a,b? Giai Ta có DĐ cạn hạn Vậya=7,b=2 17 Ở l+Ở lriz 17 2 1 l+ỞT 1 1 15 qa 2 2 Vi du 2: Tinh gia tri cua Azi+Ở1Ở 2+Ở > 3+Ở 2 Giải - Qui trình Ấn máy (&-500MS và Ặx-570 MS) Án các phắm: 3|+|l[aồ*]2[=|2|+|I[aPồ][ans[=|i|+|llaỢồ ][Ans|[=l|sHIET] ID
Nhân xét: Ừ Dạng toán tắnh giá trị của liên phân số thường xuất hiện rat fi trong cac ky thi no
thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tắnh toán và thực hành Trong các kỳ thi gan đây, liên phân số có bị
biến thể đi đôi chút vắ dụ như: A =2,35+ a2
312+ 22
với dạng này thì nó lại thuộc dạng tắnh toán
giá trị biểu thức Do đó cách tắnh trên máy tắnh cũng như đối với liên phân số (tắnh từ dưới lên, có sử
dụng biến nho Ans)
Bai tap tong hop ể Ấ
Trang 11Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn Bài 2: (Thi khu vực lớp 9, 2003) a Tắnh và viết kết quả dưới dạng phân số: A=ỞỢỞ B=ỞỞỢỞ 2+#ỞỞỞỞ 1 5+ỞỞỞ 1 3+ỞỞT 6+ỞT 4+Ở= 7+= 5 8 b Tìm các số tự nhiên a và b biết: a 1051 2 +ỞỞỞỞ 1 54 1 atỞ b Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tim giá trị của x, y từ các phương trình sau: a4+ỞỞẾ_ =Ở * b.Ở*Ở+Ở*Ở 1 1 1 1 1+Ở{Ở 44+ỞỞ l+ỞT 2+Ở > 24+Ở > 3T 3+= 4+Ở 3+Ở 2+Ở 5 6 4 2 Bai 4: (Thi khu vuc, 2001, lớp 6 - 7) Lập qui trình bam phim dé tắnh giá trị của liên phân số sau M =[3,7,15,1,292] và tinh t-M?
Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 Ở 7, dự bị)
a Lập qui trình bam phim để tắnh giá trị của liên phân số sau M= [1,1,2,1,2,1,2,1] va tinh J3Ở-M a 1 1 b Tắnh và viết kết quả đưới dạng phân số: A = i + ỞỞỞTỞỞ 5+#ỞỞỞỞ 2ẨỞỞ_Ở 1 1 4+ ỞT 3+ ỞT 3+Ở= 4+Ở 2 5 Bài 6: (Sở GD Hải Phòng, 2003 - 2004) Cho A =30+ Ở Ộ= 10+ỞỞ 2003
Hãy viết lại A dưới dạng A =[a,,a aẤ |?
Bài 7: Các số 2.3, Ủ có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau: V2 = [1,2,2,2,2,2]; B= [1.1.2.1.2.1]:=[3.17.15,1,292,1,1,1,2,1,3] Tắnh các liên phân số trên và só sánh với số vô tỉ mà
nó biêu diễn? -
Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm Ở Lâm Đông) Tắnh và viết kết quả dưới dạng phân số D=5+ 6+ 7+ 8+ 4 4 4 4 9+Ở 10
V Dang 5: MOT SO UNG DUNG CUA HE DEM
5.1 Tinh chat chia hết
Trang 12-I1 Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
2 Số a =(a,a, , a;a,a,),Ấ chia hết cho 8 (cho 9) nếu (a,a,),, chia hét cho 8 (cho 9) nỘn-l*
3 Số a=(a,a nồ n-l* .a;a,8ạ ),Ấ chia hết cho 11 néu a, +a,,, + +a, +a, chia hét cho 11
Mở rộng: Số a = (a,a,_ [+8589 ), chia hết cho q Ở 1 nếu a, +a,,,+ +a,+a, chia hết cho q
5.2, Hé cơ số 2
Bài toán mở đầu: Chỉ cần 10 câu hỏi là có thể đoán được một số cho trước (nhỏ hơn 1000) như sau: - Số đó có chia hết cho 2 không?(Nếu có ghi 0, không ghi 1)
- Thương của số đó chia hết cho 2? (Nếu có ghi 0, không ghi 1)
Nếu cứ tiếp tục như vậy ta được một dãy các số l hoặc 0 Dãy này chắnh là biểu diễn của số cần tìm trong cơ số 2 Vì số nhỏ hơn 1000 có nhiều nhất là 10 chữ số trong biểu diễn cơ số 2 nên 10 câu hỏi là du dé biết số đã cho Đổi qua cơ số 10 ta được số cần tìm
Vắ dụ: Số cho trước là 999
Vi 999 = 499.2 + 1; 499 = 249.2 + 1; 249 = 124.2 + 1; 124 = 62.2 +l1; ; 3 = 1.2 + 1 nên ta sẽ có dãy
s6: 11111001112 = 999 0
5.3 Ung dung hé co sé trong gidi toán
Trong rat nhiêu bài toán khó có thê sử dụng hệ đếm dé giải Nói cách khác, thì hệ đếm có thể được sử dụng như một phương pháp giải toán
Vắ dụ: Giả sử fN -> N thỏa mãn: f(1)= 1; f2n) = f(n) và f(2n+1) = f(2n) + 1 voi moi n nguyên dương Tìm giá trị lớn nhất của n khi 1 <n <1994
Giai
Ta có: f(102) = f(2) = f(1) = l; f(112) = f3) = f(2.1 + 1) = f(2)+1 = 2; f(1002) =1; f(1012) =2; f(1102) =2; f(111:) =3; f(1000) =1; f(10012) =2;
Bài toán dẫn đến phải tìm số có chữ số 1 lớn nhất trong biểu diễn cơ số 2 của các số nhỏ hơn 1994 Vì 1994 < 2!! ~ 1 nên f{n) có nhiều nhất là 10 chữ số Ta có f(1023) = f(1111111:) = 10 Vậy giá trị lớn
nhất là 10
Lưu ý: Ta phải chứng minh quy luật: f{n) bằng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 của n
Chứng mình: /
1) n chan thi n = 2m = 102.m Vim va n = 102.m cd Cùng số chữ số 1 trong biểu diễn cơ số 2 (trong hệ cơ số 2, khi nhân một số với 2 = 10a, ta chỉ thêm số 0 vào cuối số đó) Theo quy nạp (vì m < n), f(m) bằng đúng chữ số 1 của m, ma f(n) = f(2m) = f(m) nén f(n) cing bằng đúng chữ số 1 của m, tức là n 2)n lẻ thì n= 2m + I = 10z.m + 1 khi ấy n có số chữ số 1 nhiều hơn m là 1 Ta có: f(n) = f(2m + 1) =
f(m) + 1 Ap dung quy nap ta có, f(m) băng đúng số chữ số I của m nên f(n) cũng bằng đúng số chữ số 1 của m cộng 1, tức là bằng đúng số chữ số 1 của n
Nhân xét: + Dạng toán này là dạng toán khó, thường rất ắt xuất hiện trong các kỳ thi ỘGiải toán băng máy tắnh bỏ túi CasioỢ, nhưng sử dụng phương pháp hệ cơ số giúp chúng ta phân tắch được một số bài toán từ đó sử dụng các phương pháp chứng minh toán học và các nguyên lý để giải Nói cách khác, đây là một phương pháp giải toán
Bài tập tông h
Bài 1: Tìm cơ sô q (2 < q < 12) biét sé a = (3630)q chia hết cho 7 Biểu diễn số a với q tìm được trong
cơ số 10 (HD: áp dụng tắnh chất chia hết)
Bài 2: Hai người chơi lần lượt lấy ra số viên sỏi bất kì từ một trong ba đống sỏi Người nhặt viên sỏi cudi cùng sẽ thắng Người đi trước thường thắng Vì sao? (HD: sử dụng hệ cơ số 2)
Bài 3: (Vô địch Trung Quốc, 1995) Cho f: N -> N thỏa mãn f(1) = I và f(2n) < 6f(n), 3f(n).f(2n+1) = f{2n).(1+3f{n)) với mọi n nguyên dương Tìm mọi nghiệm của phương trình f(k) + f{n) = 293 (HD: Vì 3f(n)+1 va 3f(n) là nguyên tô cùng nhau nên f(2n) = 3pf{n), suy ra p nguyên dương f(2n) = 3f(n) va f(2n + 1) = 3f(n)+1 dẫn đến: Với số n viết trong hệ cơ số 2 thì f(n) có đúng các chữ số của n viết trong hệ cơ sô 3)
n+l
Trang 1312 Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
VI Dang 6: DAY TRUY HOI
Dang 6.1 Day Fibonacci
6.1.1 Bai todn mé dau: Gia sir tho dé theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một
đôi thỏ con khác v.v và giả sử tất cả các con thỏ đều sống
Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuối
năm có bao nhiêu đôi thỏ?
Giai
- Thang 1 (giêng) có một đôi thỏ số TL
- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2 Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2
- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 3
- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3 chưa đẻ Vậy trong
tháng 4 có 5 đôi thỏ
Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ,
Như vậy ta có dãy số sau: (ban đâu)H; 1;2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (thang 12)
Đây là một dãy sô có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó
Nếu gọi số thỏ ban đầu là ui; số thỏ tháng thứ n là uạ thì ta có công thức:
ur = ỳ;u2= 15 Uns = Un + Un-1 (vớin = 2)
Day {u, } có quy luật như trên là dãy Fibonacci un goi la sé (hang) Fibonacci
6.1.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh được số hạng thứ n của dãy
Fibonacci được tắnh theo công thức sau: uẤ = +5) 1=] | (*) 2 2 Chứng mình Vớin= 1 thì u,= Ji): (SP||fnsan-sm u, (8) (5) Vớin=3 thì u, -Ọ25] {5| Giả sử công thức đúng tới n < k Khi ấy với n= k + l ta có: wenn) TEST | a] (es) | = Jl a] ACEH) aA) 4)
Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh
6.1.3 Các tắnh chất của day Fibonacci:
1 Tắnh chất ỳ: Um = Uk.Um+1-k + Uk-1.Um-k hay Unằm = Un-1Um + UnUm+1
Vắ dụ: Đề tắnh số thỏ sau 24 thang ta chon n= m = 12 thay vào công thức ta có:
024 = U12 + U12 = u1.012 + 02.013 = 144(89 + 233)
Trang 14Mai Xuân Việt www.Luyen Thi ThuKhoa.vn 3 Tắnh chất 3: u2 =u,Ấ¡.u, =(Ở1)ẼỢ 4 Tắnh chất 4: tị +uƯ +uƯ + +U22-¡ =2, 5 Tắnh chất 5: Vntacó:|u,,Ấu, Ấ Ởu,Ấ.Ấu,|= 3 Ấ4 +0là số chắnh phương u,.2ẤẤ¡ tuyu; Ấlà số chắnh phương 6 Tắnh chất 6: Vnsố 4u, ;u,u,.Ấu 7 Tắnh chất 7: Vn số 4u,u, vu n+k-l 8 Tắnh chất 8: lim "+ = =ọ, và lim tn = ẹ, trong đó @,;(0, là nghiệm của phương trình xỢỞ xỞ 1 = ney n-> yy = _i- AS n+l 0, tức là @, = ~ 1,61803 ~ ~0,61803
Nhân xét: ề 2 Tìm chất 1 va 2 cho phép ching ta tắnh số hạng của dãy Fibonacci mà không cân
biết hết các số hạng liên tiếp của dãy Nhờ hai tắnh chất này mà có thể tắnh các số hạng quá lớn của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tắnh) mà máy tắnh điện tử không thể tắnh được (kết quả
không hiển thị được trên màn hình) Các tắnh chất từ 3 đến 7 có tác dụng giúp chúng ta trong việc chứng minh các bài toán có liên quan dén day Fibonacci | thuong gap trong các bai thi, tinh chat 8 giúp tìm các số hạng không chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể của Fibonacci có tắnh hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đó Dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực
6.1.4 Tắnh các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tắnh điện tứ
6.1.4.1 Tắnh theo công thức tong quat
1+x5 Ì (=Ẽ , 5 5 | Trong công thức tông quát số
Ta có công thưc tổng 8 sq quát của đấy: u, =Ở= y: Uạ v5 |
hang un phy thuộc n, vì n thay đồi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tắnh Qui trình ân may (fx-500MS va fx-570 MS)
Án các phắm: [=]
ta"*ỳV ]s[[q[di|v ]s)J=l2DJDJ[tllam]-|d[driEl/ ]5DJ=12DIDIEllAnlDJ=]
Muốn tắnh n = 10 ta ấn 10|=] , roi ding phim [A] một lần dé chon lại biểu thức vừa nhập ấn [=| 6.1.4.2 Tắnh theo dã
Ta có dãy Fibonacci: uy = 1; u2 = 1; Ung) = Un + Un-1 (voi n > 2)
Qui trình ân máy (x-500MS và fx-570 MS)
Án các phắm: 1SHIFT > gdn u2 = | vao biến nhớ A
SHIFT > lay uot uị = ua gán vào B
Lặp lại các phắm: ALPHA||A||SHIET > lấy us+ uo = us gan vio A
Ở> lấy ust us = us gan vào B
Bây giờ muốn tắnh u ta [A] một lần và|=| , cứ liên tục như vậy n Ở 5 lần Vắ dụ: Tắnh số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?
Qui trình an may (fx-500MS va fx-570 MS)
An cdc phim: 1[SHIFT][STO][A] [+]1[SHIFT][STO][B] [+][ALPHA][A][SHIFT][STO]|A]
[4] [=] [al [EI fal f=] 21)
Chú ý: # Có nhiều qui trình ấn phắm để tắnh số hạng uạ của dãy nhưng qui trình trên đây là qui trình tối ưu nhất vì số phắm ấn ắt nhất Đối với máy fx-500 MS thì ấn [A| [=|, đối với máy fx-570 MS có thể
ấn [A] [=] hoặc ấn thêm [A SHIFT [COPY |=] dé tắnh các số hạng từ thứ 6 trở đi Dang 6.2 Day Lucas
Trang 1514 Mai Xuân Việt www.Luyen Thi ThuKhoa.vn
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS)
Ấn các phắm: b[SHIET||sTo||A] > gán u2 = b vào biến nhớ A
ỞỞ-> lẫy uz+ uị = ua (uạ= b+a) gần vào B
Lặp lại các phắm: ALPHA SHIFT > ly u3+ u2 = us gan vao A
ALPHA||B||SHIFT > lay wit us= us gán vào B
Bây giờ muốn tắnh u ta [A] một lần val=] , cứ liên tục như vậy n Ở 5 lần
Vắ dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho day ui = 8, U2 = 13, Une = Un + Un-1 (n 2 2) a Lập qui trình bam phim 1ién tuc dé tinh un+1?
b Str dung qui trinh trén tinh uss, u17? Giai - a Lập qui trình bâm phắm Qui trình ân máy (x-500MS và fx-570 MS) Ấn các phắm: 13|SHIET|[STO||A] L+|s|SHIFT||sTO||B] Lặp lại các phắm:
b Sử dụng qui trình trên đề tắnh uua, t7
An cae phim: [A] [=] [4] [=] [A] E] [4] [=] [4] El [4] E] [4] E] [4] (E] cs = 2584) [A] [=] [4] [=] [4] f=] [a] [=] (ur = 17711)
Két qua: wi3 = 2584; ui7= 17711
Dang 6.3 Day Lucas suy réng dang
Tong quát: Cho uị = a, uạ = b, Unt = Aun + Bun == (vdin > 2 a, b 1a hai số tùy ý nào đó) Qui trình ân máy (x-500MS và Ặx-570 MS)
Ấn các phắm: b[sHIET||sTo||A] > gdn u2 = b vào biến nhớ A
[x] 4[+h [x] B[SHIFT > tinh u3 (uạ= Ab+Ba) gán vào B
Lặp lại các phắm: |x|2[SHIFT| > Tinh uy gan vao A
I-|<#l~| I-|2[sHIFT| Ở> lấy us gán vào B
Bây giờ muốn tắnh un ta [A] một lần và|=| , cứ liên tục như vậy n Ở 5 lần
Vắ dụ: Cho dãy u¡ = 8, u; = 13, Unt) = 3ua + 2un (n = 2) Lập qui trình bắm phắm liên tục để tắnh u_n+1? Giai Ấ Lập qui trình bâm phắm Qui trình ấn máy (fx-500MS và Ặx-570 MS) Ấn các phắm: 13|SHIET|[STO||A] [+]8[x]2[ SHIFT] [STO][B]
Lap lai cdc phim: Ở_[x]3[+] [ALPHA] [A] [x]2[SHIFT] [STO] [A] (<]3[+] [ALPHA] [B] [x]2[SHIFT] [STO] [B]
Dang 6.4 Déy phi tuyén dang
Cho Cho ui =a, u2 =b, u,,, =ue +u, ,(vdin > 2)
Qui trinh én may (fx<-500MS va fx-570 MS)
Ấn các phim: b[SHIET||sTo||A] ~ -> gần ua = b vào biến nhớ A
-Ở > lấy uz2+ u2= uạ (uạ= b2+aỢ) gán vào B
Trang 16Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Bay gid muén tinh un ta [A] một lần và|=| , cứ liên tục như vậy n Ở 5 lần
Vi du: Cho dãy u¡ = 1, ua= 2, u,,=u+u2,(n> 2)
a Lap qui trình bắm phắm liên tục dé tinh uns?
b Tắnh u7?
Ở Giải -
a Lập qui trình bâm phắm
Qui trình ân may (fx-500MS va fx-570 MS)
An cac phim: 2|SHIFT] [x? [+hx"] [SHIFT b Tắnh u; Án các phắm: [A| |=| (us =750797) Tắnh u; =ue? + usỢ = 7507972 + 8667 = 563 696 135209 + 749956 = 563 696 885165 Kết qủa: u7 = 563 696 885165
Chú ý: Đến u; máy tắnh không thê hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tinh tay
giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tắnh hỗ trợ trong khi tắnh Vắ dụ: 750797?
750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000 + 750797.797 = 563097750.1000 + 598385209 563097750000 + 598385209= 563 696 135209
Dang 6.5 Day phi tuyén dan
Cho Cho u: =a, 2 =b, u,,, =u + Bur _,(voin = 2)
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS)
An cac phim: b[SHIFT||sTo||A] -Ở > gần uạ = b vào biến nhớ A
i+b|x' |Ìx|#|SHIFT||STO||B| > Tắnh uạ = Ab?+Ba? gán vào B
l~||sHIFT||sTol|A| > Tinh uy gan vao A A{+)[ALPHA][B]|x? |[k] B[SHIFT][STO][B] > Tắnh us gán vào B
Bây giờ muốn tắnh u ta [A] một lần val=] , cứ liên tục như vậy n Ở 5 lần Lặp lại các phắm: Lặp lại các phắm: Vi du: Cho day u = 1, uw = 2, u,,, =3u2 +2u? , (n > 2) Lập qui trình bấm phắm liên tục dé tinh Uns1? Giai
Lập qui trinh bam phim
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) An cac phim: 2[SHIFT]
3l+hlx]5]z|sHIET||sTo||s]
Lap lại các phắm: _ |xỢ][x]3[+|[ALPHA][A||x'][-|2[sHIFT|[STO|[A]
Ix ]-l3[-llaLpHl[sllx |[Ề|2[sHirr||srol|s]
Đang 6.6 Dấy Fibonacci suy rộng dạng
Cho ui = u2 = 1; u3 = 25 Une = Un + Un + Un-2 (với n > 3) Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS)
Ấn các phắm: 1[SHIFT][STO][A] > gan u2 = 1 vao bién nhé A
2[SHIFT][STO][B] > gán uạ = 2 vào biến nhớ B
[ALPHA||A||+ |ALPHA [B]+]l |SHIET||STO||C] > tinh us duavao C Lặp lại các phim: Ở_[+][ALPHA][B] +][ALPHA]A][SHIFT][STO][A] > tinh us gan bién nho A
Trang 17Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Bây giờ muốn tắnh ua ta [A] [A] và|=] , cứ liên tục như vậy n Ở 7 lần
Vắ dụ: Tắnh số hạng thứ 10 của dãy u¡ = ua = Ì; uạ = 2; unƯi = ttn + Un-1 + Un-2? Qui trình ấn máy (x-500MS và Ặx-570 MS) An các phắm: 1|SHIFT||STo|[A]| 2|sHIFTI[STO|lB| [ALPHA]||All+[ALPHA[B|+Ìi [sHIET|[sTo||C| [+][ALPHA][B][+][ALPHA]A][SHIFT][STO][A] [+][ALPHA][C]+[ALPHA][B][SHIFT][STO][B] [+][ALPHA][A][+][ALPHA][C][SHIFT][STO][C] [4] [4] [=] [4] [4] [=] [4] [4] E} cao = 149)
Dang 6.7 Déy truy héi dang
Tông quát: Cho ui =a, u2 = b, Unt = Aun + Bun-i+ f(n) (với n > 2)
Qui trình Gn may (fx-500MS va fx-570 MS)
An cac phim: b[sHIET||sTo||A] > gán u2 = b vào biến nhớ A
|x|~l+h|x|.#|[+|f(n)|SHIFT]|STO|[B| > tắnh uạ (uỈ= Ab+Ba+f(n)) gán vào
B
Lặp lại các phắm: [x] [+] [x] B[+] f(n)|SHIFT| > Tinh us gan vao A
eel I-|a|+]i(n|SHIET] -Ở> tắnh us gan vào B 1 Vắ dụ: Cho dãy u¡ = 8, ua = 13, unƯi = 3un + 20n-¡ + Ở(n > 2) n a Lập qui trình bắm phắm liên tục để tắnh un+1? b Tắnh u;? Giai
a Lap qui trinh bam phim
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS)
An cac phim: 8[SHIFT|[STO][A]
13[SHIFT|[STO][B] 2[sHiFT|[sTO][x]
Lap lai cdc phim:[ALPHA[X]+]ISHIFT][STO][X]
3[ALPHA| [B]+]2[ALPHA] [A] -+]![a"* /ALPHA]X] SHIFT] [STO] [a] [=] s[ALPHA] [A][+]2[ALPHA] [B][+)[a"*/ALPHA]X]SHIFT] [STO]
b Tinh uz ?
An céc phim: [A] [=] [4] [a] [4] [=] [4] [=] [al [4] [al [=] fa] } [4] [al [4] [=] cur = 8717,92619) Két qiia: uy = 8717,92619
Dang 6.8 Dãy phi tuyến dang
Trang 18Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Lặp lại các phắm: [([d5|ALPHA]Bl+]IDla"ồ BD]-|([ALPHA[Alx? [+bD[aỢ:5D[sHIET[sTo [{qB[ALPHA[Af+llla"ồ BJ|-|([ALPHA[B]xồ [2D [a"ồ|s)[SHIFT[STO
Dang 6.9 Day Fibonacci tông quát
k
Tong quat: u,,, = SE (u,) trong đó ui, ue, ., Uk cho trudc va Fi(ui) là các hàm theo biên u
i=l
Dạng toán này tùy thuộc vào từng bài mà ta có các qui trình lập dãy phắm riêng
Chú ý: Các qui trình ấn phắm trên đây là qui trình ấn phắm tối ưu nhất (thao tác ắt nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tắnh) thì áp dụng qui trình trên nếu không cần thận sẽ dẫn đến nhằm lẫn
hoặc sai xót thứ tự các số hạng Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phắm theo kiểu diễn giải theo nội
dung dãy số để tránh mềm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải
Vi du: Cho uj =a, uw =b, u,,, =Fuy + Bus, (vin > 2)
Qui trình Ấn máy soos va fx-570 MS)
Ấn các phắm: a|SHIFT||STO|[A] > gần u¡ =a vào biến nhớ A
b[SHIFT][STO][B] > Tắnh ua= b gán vào B
Lap lại các phắm: =#[ALPHA||B||+ồ|[+]#[ALPHA||A |Ìx: Ì[SHIET|[STO|[A] > Tắnh us gán vào A
<#[ALPHAl|Allx |+]8|ALPHA||Bl|x]|SHIET||STO|[B] > Tắnh ua gán vào B
Bây giờ muốn tắnh un ta [A] một lần và|=| , cứ liên tục như vậy n Ở 4 lần
Nhân xét: + Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ắt nhằm lẫn nhưng
tắnh tối ưu không cao Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì dé tinh un ta chi cần ấn [A] [=] lién tuc nỞ5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n Ở 4 lan
Nhờ vào máy tắnh để tắnh các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật
của dãy số (tắnh tuần hoàn, tắnh bị chặn, tắnh chia hết, số chắnh phương, ) hoặc giúp chúng ta lập
được công thức truy hồi của dãy các dãy số
wa Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tắnh điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này
Bài tập tông hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho day ui = 144; u2 = 233; Unti = Un + Un-1
a Lập một qui trinh bam phim dé tinh uns
b Tinh chắnh xác đến 5 chữ số sau dau phay các tỉ số CA Siý 2 00256,
uy ` ` Ộus Bai 2: (Thi khu vuc, 2003, lop 9) Cho day ui = 2; u2 = 20; uni = 2Un + Un-t
a Tinh u3; u4; Us; U6; U7
b Viét qui trinh bam phim dé tinh un
c Tinh giá trị của u22; u23; u24; u2s
(243) -(2-v8)
2.3
Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số u,=
a Tinh 8 sé hang dau tiên của dãy
b Lập công thức truy hồi dé tinh uns2 theo Uns1 VA Un
c Lap mot qui trinh tinh un
d Tìm các số n để un chia hết cho 3
Bai 4: (Thi khu vuc, 2003, lop 9 dy bi) Cho uo = 2; uy = 10; Uns1 = 10Un Ở Unt
a Lap mot quy trinh tinh un+1 b Tinh ug; ua; u4; us, U6
c Tìm công thức tổng quát của un
Trang 19Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a; = 2000, a2 = 2001 va aniz = 2anƯi Ở an Ẩ 3 với n= 1,2,3 Tìm giá trị atoo?
Bai 8: (Tap chi toán học & tuổi trẻ, ne 7.2001) Cho day số uạ được xác định bởi: u = 5; u2 = 11 va
Unt1 = 2Un Ở 3Un-1 VOi moi n = 2, 3, Ching minh rang:
a Dãy số trên có vô số số đương và số âm b uzo chia hết cho 11
Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy uạ được xác định bởi: ` te ne + 9U,,n =2k ể uo = Ì, u¡ =2 Va Unv2 = voi moin = 0, 1, 2, 3, +5u,,n=2k +1 Una n? Chứng minh rằng: 2000 a > uy chia hết cho 20 k=1995
b uan;¡ không phải là số chắnh phương với mọi n
Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho ui = u2 = 7; une = wr? + Un-12 Tinh u7=? Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai Ở Cát Tiên 2005)
Su,Ợ u n-l
voi n> 3
Cho day ui = u2 = 11; u3 = 15; Uns =
3+u,, 2+u,
a Lap quy trình bam phim dé tim sé hang thứ un của dãy?
b Tìm số hạng uậ của dãy?
Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai Ở Cát Tiên 2005)
Cho day ui = 5; u2 = 9; Un+1 = Sun + 4Un-1 (n= 2)
a Lap quy trinh bam phim dé tim sé hang thir un cia day? b Tìm số hạng ui4 của dãy?
Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)
a.Cho u,=1,1234 ; u,,,=1,0123.u, (neN;n21) Tinh u,,? _3u2+13 u?+ n c Cho uo=3 3 w= 4 5 Un= 3Un-1 + SUn-2 (n> 2) Tinh ui2? b Cho u,=5;u,,, (néN;n21) Tinh u,,? 4x,ồ +5 2 Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức x, = ; Xạ + Ấ1n là sô tự
nhiên, n>= I Biết x ¡ =0,25 Viết qui trình ấn phắm tinh xn? Tinh x100?
VII Dạng 7: PHƯƠNG TRÌNH SAI PHAN BAC HAI VA MOT SO DANG TOAN
THUONG GAP
Phương trình sai phân là một trong những dạng toán khó và phức tạp, nó không được nhắc đến
trong các sách giáo khoa phổ thông hiện tại (cả sách câp 2 và cấp 3) mà chỉ được nguyên cứu trong các trường đại học, cao đẳng Đối với tốn phơ thơng chỉ được viết dưới dạng các bài toán thực tế như lý
thuyết dãy, lãi kép Ở niên khoản, cấp số nhưng trong các kỳ thi HSG gân đây dạng toán này thường
xuyên xuất hiện, nhất là các kỳ thi cấp khu vực Trong phần này chỉ trình bày các kiến thức cơ bản và
đơn giản nhất về phương trình sai phân bậc hai và các dạng toán có liên quan đến các ky thi HSG bac
THCS
Yêu cau: Cac thi sinh (trong đội tuyển trường THCS Đồng Nai) phải nắm vững các kiến thức
cơ bản về dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhắc hai ẩn số, phương pháp tuyến
tắnh hóa
7.1 Phương trình sai phân tuyễn tắnh thuẫn nhất bậc 2:
Trang 20Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
ằ Néu c = 0 thi phuong trinh (*) c6 dang: ax,,, +bx,,, =0x,,, = =Àx,,¡ có nghiệm
a
tông quát x,,, =A"x,
e Nếu phương trình (*) có phương trinh dic trung la ad? +bA+cằ=0 cé hai nghiệm ^;:À; thì việc
tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau: -
Mệnh độ I: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trung la phan biét (A, 4A, ) khi ây phương trình
(*) có nghiệm tổng quát là: xẤ =C;A}+C;A; trong đó C¡, C2 là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban dau xo, x1
Vắ dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: uạ = 7;u, =-6;u Giai Phương trình đặc trung 4? -3A-28=0 cd hai nghiém À, =Ở4;^Ấ =7 Vậy nghiệm tổng quát có đạng: u, =C,(-4)"+C,7" Voin=0 tacd: C,+C, =7(=x,) Voin=1 tacd: -4.C,+7C, =-6(=x,) C,+C,=7 _Ở_ JC=5 -4.C,+7C, =-6 Ở fc =2 =3u,,, +28u, n+2 n+l Giải hệ |
Vậy nghiệm tổng quát phương trình có dạng: u, =5.(-4)"+2.7"
Mệnh đề 2: Nêu phương trình đặc trưng có nghiệm kép A, =A, 2 thì nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng: xẤ =C¡A? +C;nA? =(C, +Cạn)A} trong đó C¡, CƯ là hang số tự do và được xác định theo điều kiện ban dau xo, x1
Vi du 2: Tim nghiệm phương trình sai phân: uạ =Ởl;u, =2;u Giai Phương trình đặc trưng 47 -101+25=0 cé hai nghiém A, =A, =5 Vay nghiém tổng quát có dang: u, =(C, +C,n)5" Với n= 0ta có: C =ỞI =10u,,,Ở25u, n+2 n Với n= l ta có: (C¡ +CẠ;).5=2=>C,; =s
Vậy nghiệm tông quát phương trình có dạng: u, =(-1+ : n)5"
Mệnh để 3: Nêu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì nghiệm tông quát của phương trình
A
*) co dang: x, =r"(C, cosn@+C, sinng) g: Xụ 1 @+C, sinng trong đó r=xA?+B7;@=arct 2 ae? pA, g ẹ sa om Ỏ Ci, Ca là hằng số tự do xác định theo điều kiện ban đầu xo, x1
Vắ dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sai phân: uạ = l;u, = sits =u,,,Ở-u n+l n ~- Giải 1+i3 2 Phương trình đặc trưng AỢ-^+1=0 có hai nghiệm phức ^,Ấ = Ta có: A= poirot = 2 3
Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u, =C, cos Ợ +C, sin Ổ Với uạ =l;u, == thi C; = 1 va C, cos+C, sinT =2 => C=0
2 3 3 N
Trang 21Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Vay nghiém téng quat co dang: u, = cos : Bai tap
Tìm nghiệm uạ của các phương trình sau:
a tạ =8;u¡ =3;u,,Ấ =12u, Ởu,Ấ¡
b uạ =2;u, =Ở8;u,.; +8u,,, 9u, =0 c uy =Lu, =16;u,,, Ở8u,., +l6u, =0
7.2 Phương trình sai phân phi tuyến bậc 2: 7.2.1 Mở đâu:
Dạng tông quát: F(Xn+2, Xn+i, Xa) = 0; n = 0; 1; 25 Dang chinh tac: Xn+2 =f( Xn41, Xn) 3 = 03 1; 2; Vắ dụ: Tắnh giá trị dãy: uạ =u, =l;u,,, =u? +u; ,;Vn>2 n-l?
n+2
n+l
7.2.2 Phương pháp tuyến tắnh hóa: -
2.2.1 Phương pháp biêu diện nghiệm dưới dạng tuyên tắnh: 2
Vắ dụ 1: Cho dãy uạ =u, =l;u, = Ma T2 vn >3 Tìm dạng tuyến tắnh của dãy đã cho? _Ở
~- Giải
Gọi số hạng tổng quát của day cé dang: u, =au,_, +bu, Cho n= 1; 2; 3 ta được u; =3;u, =11;u; =4I a+b+c=3 a=4 +c @) n-2 Thay vào (*) ta được hệ: 43a+b+c=ll Đ => 4b=-l 1la+3b+c=4I c=0
Vậy uẤ =4u,,ỞU, ;
Chú ý: Ta có thê dùng phương pháp qui nạp để chứng minh công thức trên 7.2.2.2 Phương pháp đặt ân phụ: 1 1 : Vắ dụ 2: Cho dãy uạ =Ở;u, =Ở;u, = Ở tin? _;Vn>2, Tìm công thức tông quát của dãy 2 3 3u, ẤỞ2u,¡ Giai
Ta thay u, #0(v6i mọi n) vi néu un = 0 thi un = 0 hoặc un2 = 0 do đó uạ = 0 hoặc uị = 0 Vô lắ
Đặt vẤ =-L khi ấy vẤ=3v,¡Ở2v,, có phương trình đặc trưng Aồ-3A+2=0 có nghiệm
u;
A, =LA, =2
Công thức nghiém téng quat: v, =C, +C,.2" Voin = 0; 1 tacé: C, =1:C, = 7 1
Vậy v, =1+2""' hay u, =ỞỞỞ ay V,, yu, 142"!
7.2.2.3 Phuong phap biễn đổi tuong dwong:
Vắ dụ 3: Cho dãy uạ =2;u, = 6+433;u,Ấ Ở3u, =4jậu? +1; Vn>2 Tìm công thức tổng quát của dãy Giai Bình phương hai về phương trình đã cho ta cé: u2,, n+l Ở6u uẤ +u2 =1 hi n
Thay n + 1 bởi n ta được: u Ở6u,.u,,+u2 Ấ=1 n-l
Trừ từng về của hai phương trình trên ta được: (uẤ., Ởu,_,)(u,ẤẤ, Ou, +U,_,)=0
Do u,,, Ở3u, =/8u, +1 nén u,,, >3u, >9u,_, >u,,
Suy ra u,,, Ở6u, +u,_, =0 c6 phuong trình đặc trung A7-62+1=0 cd nghiém A,, =3+ V8 Công thức nghiệm tổng quát u, =C, (3 + v8)Ỗ +C, (3 - vB)
Trang 22
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn 8+ 66 (8+ VE (3+ 8) ề(s-V)(38) 8 Từ các giá trị ban đầu suy ra: C= Vậy số hạng tổng quat: u, = Bài tập
Bài 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau: uy =0;u,,, =Su, +/24u; +1 Bài 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số: u¡ =l;u,¡= ml Ở PT "
2+43+uẶ 7.3 Một số dạng toán thường gap:
7.3.I Lập công thức truy hồi từ công thức tông quát:
(+2) -(s-v2}
242
Vắ dụ 1: (Thi khu vực 2005) Cho dãy số u, = Lập công thức truy hồi để tắnh
Uys theo Una Uy
Giai Cách I:
Giả sử u,,Ấ =au,.¡ +bu, +c (*)
Với n=0, 1, 2, 3 ta tắnh được uạ =Ũ;u, =1;u, =6;uƯ =29;u, =132
a+c=6 a=6
Thay vào (*) ta được hệ phương trình : 6a+b+c=29_ => 4b=-7
29a+6b+c=132 c=0
Vậy u,,; =Óu,.Ấ
Chú ý: Với bài trên ta có thể giả sử Uy = Cách 2:
Đặt 2¡ =3+42;^, =3ỞA2 khi ấy Aj+AẤ =6và À,.AẤ =7 chứng tỏ AƯ,AẤ là nghiệm của phương
trình đặc trưng Aỳ Ở6A.+7=0<>2ỳ =6^Ở7 do đó ta có: Àj =6À¡TỞ7 và ÀỮ =ÓÀẤTỞ7 Suy ra: AƑ =6} =7}
1%Ợ =6À;''=7^A2
Vậy Ay"? -A3* = (OAT Ở Th} )Ở (OAS Ở7A5) = 6(AT ỞA5")-7(%
weep eeloesy 7 foe 0-6 2 Gr)Ợ (3-v2)"" Nhat es | a _-M} + bu, thì bài toán sẽ giải nhanh hơn Uns 2~2 od 2/2 tức là u 1 N = 6u,.1Ở n+2 U,
7.3.2 Tìm công thức tổng quát từ công thức truy hồi:
Vắ dụ 2: (Thi khu vực 2002) Cho dãy sô uạ =2;u, =10và u,,, =10u, Ởu quát un của day?
Giai
Trang 23Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Vậy số hạng tổng quát u,= (5 + 2/6} + (5 7 2V6)
7.3.3 Tắnh số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Các giải: Nêu lặp theo công thức truy hôi mà số lân lặp quá nhiêu sẽ dẫn đến thao tác sai, do đó ta sẽ đi tìm công thức tông quát cho số hạng un theo n sau đó thực hiện tắnh
Vắ dụ 3: Cho dãy số uy =2;u, =10và u,., =10u, Ởu,_, Tắnh số hạng thứ uioo? Giai
Ộ Cach 1:
Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS)
An cac phim: 2|SHIFT][STO][A]
10|SHIET||STO||B]
Lap lại các phắm: 10[ALPHA||B| [_]|ALPHA||A] [SHIET||STO||A | 10[ALPHA|[A] |=|[ALPHA][B] [SHIFT]|STO][B] Bây giờ muốn tinh ujoo ta [A] [=] 96 lan
s* Cách 2:
Tìm công thức tổng quát uẤ = (5 + 2V6)" + (5 = 2/6)"
Qui trình ân may (fx-500MS va fx-570 MS)
dsx|/ |sD[lool+[dsi-b|/ |eb[liooi=]
Nhận xé: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chắnh xác hơn nhiều so với cách 1 nhưng sẽ mất thời gian để
tìm ra công thức tông quát Do đó nêu sô hạng cân tắnh là nhỏ thì ta dùng cách 1, còn lớn ta sẽ dùng cách 2
VII Dạng 8: MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ TRỢ GIÚP GIẢI TOÁN
Với máy tắnh điện tử, xuât hiện một dạng dé thi học sinh giỏi toán mới: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tắnh toán trên máy tắnh điện tử Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lắ thuyết đồng dư, chia hết, .) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc
biệt, .), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tắnh
thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tắnh điện tử đây nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng
toán này rất thắch hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tắnh điện tử (7rắch lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toản học) Một số vắ dụ minh họa Vắ dụ 1: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Tìm tất cả các số tự nhiên n (1010<n<2010) sao cho a, =x/20203+2In cũng là số tự nhiên Giai Vi 1010 < n < 2010 nên 203,5 = V41413 < an< 462413 x 249,82 Vi an nguyén nén 204 < n < 249 Ta c6 an? = 20203 + 21n = 21.962 + 1 +21n
Suy ra: an? Ở 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n)
Do dé, a? -1=(a, -1)(a, +1) chia hét cho 7
Chứng tỏ (an - 1) hoặc (an + 1) chia hết cho 7 Vay an = 7k + 1 hodc an = 7kỞ 1
* Nếu an = 7k - 1 thi do 204 < n =7k-]< 249 => 29,42 < k < 35,7 Do k nguyên nên
Trang 24Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn * Nếu an = 7k + I thi do 204 [ an | 209 | 223 | 230 | 244 ] < n =7k-1< 249 => 29,14 < k< 35,57 Do k nguyên nên k = {30;31;32;33;34;35} Vi a? ỞI= 7k(7k+2) chia hết cho 21 nên k chỉ là: 30; 31; 33; 34 Ta có: Như vậy ta có tat ca 8 dap số Vi du 2: Tinh A = 999 999 9993 Giai Ta c6: 9ồ=729; 993= 970299; 999ồ=997002999; 99997= 9999?.9999=99997(1000-1)= 999700029999, Từ đó ta có quy luat: 99 9ồ = 99 9 7 00 0 299 9 xỏizđô: n-Ichữsố n-lchữsế nchữsố9 Vay 999 999 999? = 999 999 997 000 000 002 999 999 999 Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2002, lớp 9, dự bị)
a Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n là một số có ba chữ số đầu và bốn chữ số cuối đều bằng 1, tức lan? = 111 1111
b Tìm số tự nhiên n sao cho (1000 < n < 2000) sao cho a, =457121+35n là số tự nhiên
c Tim tat cả các số tự nhiên n sao cho n2 = 2525******80 , các dấu * ở vị trắ khác nhau có thể là các số khác nhau
d Tim tat cả các số n có ba chữ số sao cho n69 = 1986 , n!?! = 3333
Bài 2: (Thi khu vực 2003, lớp 9, dự bị)
a Tìm các chữ số a, b, c để ta có: a5xbcd = 7850 co - Ấ
b Tìm các sô có không quá 10 chữ sô mà khi ta đưa chữ sô cuôi cùng lên vị tri dau tiên thì sô đó tăng lên gâp 5 lân
c Hay tìm 5 chữ số cuối cùng của số 27 +1 (Số Fecma thứ 24)
d Giải phương trình x? Ở 2003[x]+ 2002 = 0 với [x ] là phần nguyên của x
Bài 3: (Thi khu vực 2003, lớp 12) Tìm số dư khi chia 20017ồ" cho sé 2003 Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 10) - Ấ Ấ
a Tìm các ước số nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2152 + 3142
b Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong các số tự nhiên dạng Ix2y3z4 chia hết cho 7
Bài 5: (Sở GD Cần Thơ 2003) Số 3!Ợ Ở 1 chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79
Tìm hai sô đó? Ấ
Bài 6: (Thi khu vực 2002, lớp 12) Tìm UCLN của hai sô sau: a = 24614205; b = 10719433 Ề Bài 7: Kiêm nghiệm trên máy tắnh các sô dang 10n + 1 la hợp sô với n = 3, ., 10 Chứng minh rắng, sô dạng 10n + 1 có thê là sô nguyên tô chỉ khi n có dạng n = 2P (Giả thiệt: 10ồ + 1 là số nguyên tô khi và chỉ khi n= I hoặc n= 2) Bài 8: Tìm tất cả các cặp số ab và cd sao cho khi đổi ngược hai số đó thì tắch không đổi, tức là: abxcd =baxdc (Vắ dụ: 12.42 = 21.24 = 504) Bài 9: Tìm phân số ỘẼ xắp xi tốt nhất /2(3(m,n) = :-w là nhỏ nhất), trong đó m, n là số có hai n n chữ sô Bài 10: (Trường THCS Đồng Nai Ở Cát Tiên, 2005) Cho số tự nhiên n (5050 < n < 8040) sao cho an = ^A80788+ 7n cũng là số tự nhiên a an phải nằm trong khoảng nào?
b Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các đạng sau: an = 7k + I hoặc aa=7kỞl_ (với keN)
Trang 25
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
l 2k+1
Bài 11: (Sở GD Lâm Đông, 2005) Cho k = ai + a2 +43 + + a1oo Va a, = +b? Tinh k?
+
Nhận xét: za Dang bai này thực chất là bài thi hoc sinh giỏi toán, nó nâng cao ý nghĩa của mục
đắch đưa máy tắnh vào trường phổ thông, phù hợp với nội dung toán SGK đổi mới Nhờ máy tắnh bỏ
túi giúp cho ta dẫn dắt tới những giải thuyết, những quy luật toán học, những nghiên cứu toán học nghiêm túc
Ừ Trong các kỳ thi tinh dang bai nay chiếm khoảng 20% - 40%, các kỳ thi khu vực
khoảng 40% - 60% số điểm bài thi Có thể nói dạng toán này quyêt định các thắ sinh tham dự kỳ thi có đạt được giải hay không Như vay, yêu cầu đặt ra là phải giỏi toán trước, rồi mới giỏi tắnh
+ Hiện nay, da số thắ sinh có mặt trong đội tuyển, cũng như phụ huynh nhận định chưa
chắnh xác quan điểm về môn thi này, thường đánh giá thấp hơn môn tốn (thậm chắ coi mơn thi này là
một môn học không chắnh thức, chỉ mang tắnh chất hình thức Ộthử cho biếtỢ) nhưng thực tế hầu hết các
thắ sinh đạt giải là các thắ sinh hoàn thành được các bài tập dạng này Trong khi xu hướng của toán học
hiện đại là kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học và máy tắnh điện tử (vi tắnh), ngay cả trong chương
trình học chắnh khóa, SGK luôn có bài tập về sử dụng máy tắnh điện tử
IX Dang 9: TIM NGHIEM GAN DUNG CUA PHUONG TRINH
Trong rất nhiều trường hợp để giải một phương trình ta chỉ có thể tìm nghiệm gần đúng của nó
(nghiệm thường là những sô thập phân vô hạn), các phương trình ứng dụng trong cuộc sông thực tế
phân lớn thuộc dạng phương trình này, các phương trình có nghiệm nguyên chỉ là hữu hạn mà thôi
Phương pháp lặp: Giả sử phương trình đa thức f(x) = 0 có nghiệm trong (a,b)
Ta biến đổi f(x) thành dạng x = g(x) (1) Lấy một giá trị x¡ (đủ lớn) nào đó tùy ý trong khoảng nghiệm (a,b) Thay x1 vao (1) ta duge: x2 = g(x1) (2) Thay xa vào (2) ta được: xạ = ụ(x2) (3), ., cứ tiếp tục
như vậy cho đến bước n + l mà sao cho các giá trị liên tiếp = xui = Xa = Xa+i thì gid tri x do la
nghiệm gân đúng của phương trình f(x) = 0
Vắ dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình:x!5 + x Ở 8 = 0 Giai Tacé: x!ẹ4+xỞ8=0<=>x = !ÝẶậỞx Chọn xị =2 Qui trình ấn máy (fx-500MS và Ặx-570 MS) Dùng phép lặp: x = gx An cdc phim: 2 [=] 16[SHIFT]ầ_[({g[=Ans])|[=[=[=1 [=] Két qua: 1,128022103 Vi du 2: Tim nghiém gan dung x -Vx =1 Giai Ta có:x=l+ Vx Chon x; =2 Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) Dung phép lap: x = 1 + vx Ấn các phắm: 2[=l J [Ans|~l|=|=|=] |=| Kết quả: 2,618033989 Nhân xét: + Phương pháp lặp đê tìm nghiệm gân đúng của phương trình, xét vê cách làm tương
đối đơn giản, chỉ cần thay những vị trắ có x trong g(x) bằng biến nhớ Ans, sau khi ấn phắm [=| gia tri
ké tiếp theo lại được thay thế vào ụ(x) Nhưng đây là dạng toán mà hay bị sai đáp số nhất, lý do là cách
biến đổi để nhận được biểu thức x = g(x) không hợp lý, biểu thức ụ(x) càng phức tạp thì sai số cảng
lớn dẫn đến những đáp số không chắnh xác, có trường hợp do chọn biểu thức x = g(x) khi thực hiện phép lặp làm tràn bộ nhớ máy tắnh hoặc quá tải
Trang 26Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Vi du: Ở vắ dụ 1 nếu biến déi x = 8 - x!5, cho x = 2 là giá trị ban đầu thì sau ba lần thực
hiện phép lặp máy tắnh sẽ báo lỗi Math ERROR Ở vắ dụ 2, nếu biến đổi x =(xỞ1)Ợ và chọn x= 2 là
giá trị ban đầu thì có hai nghiệm 0 và 1 nhưng đều là số nguyên, còn nếu chọn x = 15 thì sau một số
lần lặp máy báo lỗi Math ERROR Nhung x = 1 + Vx thi x ban đầu lớn bao nhiêu máy vẫn cho
nghiệm là 2,618033989 sau một sô lân lặp và hiên nhiên không thê chọn x ban đâu là âm được
+ Như vậy khi dùng phép lap dé tìm một nghiệm gần đúng của x = g(x), việc hội tụ của
dãy {x,} = g(x) (các giá trỊ XI > Xa> > Xn-I = Xn = Xn+i)tùy thuộc vào điều kiện hội tụ của hàm x =
g(x) va gid tri ban dau x: trên đoạn [a,b] chứa nghiệm có thỏa mãn thì mới có kết quả Một phường
trình đa thức có thể tìm được nhiều nghiệm gần đúng, do đó khi làm bài cần ghi rõ là dùng phép lặp
nào và cân thận biên đôi các hàm x = g(x) cho phù hợp Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
X Dạng 10: THÓNG KÊ MỘT BIẾN
Đây là một dạng toán cơ bản được nói đến rất nhiều trong cách sách tham khảo ,Yêu cầu các
thành viên trong đội tuyên tự nghiên cứu về phương pháp giải dạng toán này và các vấn đề có liên
quan đến bộ nhớ máy tắnh khi giải dạng toán này
Vắ dụ: Một vận động viên bắn súng, có số điểm mỗi lần bắn và số lần bắn theo bảng sau: Điểm số 10 | 9 |8 |7 |6 Sốlầnbắn | 25 | 42 | 14 | 15 | 4 Hãy tắnh x; >3 x:n;ơ,; ụ;7 Qui trình ấn máy (fx-500MS và Ặx-570 MS) [MODE][MODE]? 10 [SHIFT]; 25 [DT] 9 [SHIFT] 42 [DT] 6 [SHIFT] 4 Đọc các số liệu |SHIFT[S.VAR|I=] (x=8,69) [AC|SHIFT]S.SUM)2[=] ($`x=869) [AC[SHIFT[S.SUM|=] (n=100) [Ac[sHIFT[S.VAR]2|=] (6, =112) [SHIFT|S.VAR]I[=] (2 =1,25)
Chú ý: - Trước khi nhập một bai toán thống kê khác nên xóa dữ liệu cũ trong máy
- Nếu số liệu cho chưa được lập dưới dạng bảng tần số cần lập bảng tần số mới giải - Không để máy nhận những sô liệu không rõ ràng từ số nhớ, thống kê hai biến, hồi quy
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
XI Dạng 11: LÃI KÉP - NIÊN KHOẢN
Bài toán mớ dau: Gởi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n
tháng Tắnh cả vôn lần lãi A sau n tháng? Giai
Goi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có: Thang 1 (n=1): A=a+ar =a(1 + r)
Trang 27
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
Thang 2 (n= 2): A=a(1 +n) +a(1 + nr =a(1 +1)?
Tháng n (n =n): A = a(1 +r)"~! + a(I+r)?Ộlr =a(1 +r)"
Vậy A=a(+r)" (*)
Trong đó: a điển vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng Từ công thức (#) A = a(1 + a)Ợ ta tắnh được các đại lượng khác như sau:
in 1 1 "TỞỊ
n= a -2r=(|Ê gA-2,19[d+Đ'-I] yy AI Ở
In+r) a r (+r)[d+r)"=1]
(In trong công thức l1 là Lôgarit Nêpe, trên máy fx-500 MS: và fx-570 MS phắm [In] ấn trực tiếp)
Vắ dụ I: Một số tiền 58.000.000 đ gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7% tháng Tắnh cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng? Giai Ta có: A = 58000000(1 + 0/7%)Ẻ Qui trình ấn máy (fx-500MS và Ặx-570 MS) 58000000J(I|+|L]o07D[^|Ọ|=| Kết quả: 61 328 699, 87
Vắ dụ 2: Một người có 58 000 000đ muốn gởi vào ngân hàng để được 70 021 000đ Hỏi phải gởi tiết kiệm bao lâu với lãi suât là 0,7% tháng? Giai 70021000 Ợ 58000000 In(1+0,7%) Qui trình Ấn máy (&-500MS và Ặx-570 MS) [In|z002100o[aỢ*]s800000o[:[In[(jl+].joozD[=] Kết quả: 27,0015 tháng Số tháng tối thiểu phải gửi là: n=
Vậy tối thiêu phải gửi là 27 tháng
(Chú ý: Nếu không cho phép làm tron, thi ứng với kết quả trên số tháng tối thiểu là 28 tháng)
Vắ dụ 3: Sô tiền 58 000 000đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000đ Tìm lãi suất hàng tháng? ~ Giải Ở- Lãi suất hàng tháng: r = 6 ae -1 58000000 Qui trình Ấn máy (&-500MS và Ặx-570 MS) sj^|l_ |61329000|aỢồ|5s00000o|-]|=[sHIET[%J=] Kết quả: 0,7%
Trang 28Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn Vắ âu 5: Muốn có 100 000 000đ sau 10 tháng thì phải gửi quỹ tiết kiệm là bao nhiêu mỗi tháng Với lãi suât gửi là 0,6%? Ở GIẢI 100000000.0,006 _ 100000000.0, 006 (1+0,006)|(1+0,006)"Ở1] 1,006(1,006" ~1) Qui trinh an may (fx-500MS va fx-570 MS) 100000000|xÌI|.|0o6|~|[clILloo6[clIL|ooụ^lio[Ởllb|b|=Ì Kết quả: 9674911,478 Nhận xứ: +a Cần phân biệt rõ cách gửi tiền tiết kiệm: Số tiền gửi hàng tháng: a=
+ Gửi số tiền a một lần - > lấy cả vốn lẫn lãi A + Gửi hàng tháng số tiền a - > lay cả vốn lẫn lãi A
+ Cần phân tắch các bài toán một cách hợp lý để được các khoảng tắnh đúng đắn Ừ Có thé suy luận để tìm ra các công thức từ 1) -> 4) tương tự như bài toán mở đầu + Các bài toán về dân số cũng có thể áp dụng các công thức trên đây
Bài tập tổng hợp (Xem trong các đề thi ở chương sau)
Trang 29Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
CHƯƠNG II: MỘT SÓ ĐÈ THỊ HỌC SINH GIỎI ỘGIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ CASIOỢ
Qui định: + Yêu cầu các em trong đội tuyển của các trường chi sir dung may Casio fx-500 MS, Casio fx-570MS, Casio fx-500 ES, Casio fx-570ES, Casio fx-570ES Plus, Casio fx-5OO0VN, Casio fx- 570VN, Casio fx-570VN Plus, Vinacal dé giai
+ Nếu không qui định gì thêm thì các kết quả trong các đề thi phải viết đủ 10 chữ số hiện trên màn hình máy tắnh
+ Trình bày bài giải theo các bước sau: - Lời giải văn tắt
- Thay sô vào công thức (nếu có) - Viết qui trình ấn phắm
- Kết quả
Nhân xét: - Qua chương ỘCác dạng toán thi học sinh giỏi giải toán trên máy tắnh điện tử CasioỢ ta rút ra các nhận xét như sau:
1 Máy tắnh điện tử giúp cúng cỗ các kiến thức cơ bản và tăng nhanh tốc độ làm toán 2 Máy tắnh điện tử giúp liên kết kiến thức toán học với thực tế
3 Máy tắnh điện tứ giúp mở rộng các kiến thức toán học
- Qua các đề thi tỉnh, thi khu vực của các năm, đặc biệt từ năm 2001 đến nay (tháng 05/2005), đề thi thé hiện rõ nét các nhận xét trên đây Có thé nhìn thấy đề thi từ năm 2001 đến nay được soạn theo các định hướng sau đây:
1 Bài thỉ học sinh giỏi ỘGiải toán trên máy tắnh điện tửỢ phải là một bài thì học sinh giỏi toán có sự trở giúp của máy tắnh để thứ nghiệm tìm ra các quy luật toán học hoặc tăng tốc độ tắnh toán
2 Đằng sau những bài toán ẩn tàng những định lý, thậm chắ một lý thuyết toán học (số học, dãy truy hồi, phương trình sai phân, )
Trang 30Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
2.1 Cho đa thức P(x) = 5xỢ + 8x Ở 7,589x' + 3,58xỲ + 65x + m
a Tìm điều kiện m đề P(x) có nghiệm là 0,1394
b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x + 2,312)
c Với m vừa tìm được hãy điền vào bảng sau (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) 1 x -2,53 4,72149 53 36,15 6447 P(x) x + y? =55,789 2.2 Giải hệ phương trình sau: Ộ+ cp 8 X =6,86 y
2.3 Tìm góc Ủ hợp bởi trục Ox với đường thẳng y = ax + b đi qua
hai diém A(0;-4) va B(2;0)
Bai 3:
3.1 Cho AABC có ba cạnh a= 17,894 cm; b= 15,154 cm; c = 14,981 cm
Kẻ ba đường phân giác trong của AABC cắt ba cạnh lân lượt tại Ai, Bị, C¡
Tắnh phần diện tắch được giới hạn bởi AABC và AA¡B¡C¡?
3.2 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn bán kắnh R, có các cạnh
a= 3,657 cm; b = 4,155 cm; c = 5,651 cm; d = 2,765 cm Tinh phần diện tắch
được giới hạn bởi đường tròn và tứ giác ABCD?
3.3 Cho bảng số liệu sau Hãy tắnh Tổng số trứng (> x); số trứng trung bình của mỗi con gà (x); phuong sai (c,Ợ) va d6 léch tiéu chuan (o,)?
Séluong tring | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20] 21 Số gà mẹ 6 | 10 | 14 | 25 | 28 | 20 | 14] 12) 9 | 7 3.4 Dân số tỉnh Lâm Đồng trong 2 năm tăng từ 30 000 000 người lên đến 30 048 288 người
Tắnh tỉ lệ tăng dân sô hàng năm cua tinh Lam Dong trong 2 năm đó?
(Kết quả làm tròn hai chữ số thập phân)
3.5 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 1 000 000đ với lãi suất 0,45% một tháng
Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Bài 4:
4.1 Cho AABC vuông tại A, có AB =c, AC =b
_ _# Tắnh khoảng cách d từ chân đường phân giác trong của góc vuông
đên mỗi cạnh góc vuông?
b Với b = 5,78914 cm; c = 8,911456 cm Tắnh khoảng cách đó?
4.2 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất mà a bat đầu bởi chữ số 15 và kết thúc bởi 56?
Đài 5:
5.1 Cho day ui = 5; u2 = 93 Un+1 = Sun + 4Un-1 (n= 2)
a Lap quy trinh bam phim dé tim sé hang thir un cia day?
b Tìm số hạng uia của dãy?
5.2 Cho số tự nhiên n (5050 < n < 8040) sao cho an = V80788+7n cũng là số tự nhiên a an phải nằm trong khoảng nào?
b Chứng minh rằng an chắ có thể là một trong các dang sau:
an= 7k+ l hoặc aa=7kỞ-l (với keN)
Trang 31
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn Dé 2: (Thi thử vòng tỉnh trường THCS Đồng Nai năm 2004) SỪ |b ài 1: 1.1 Thực hiện phép tắnh A = 6712,53211 : 5,3112 + 166143,478 : 8,993 1.2 Tắnh giá trị biểu thức (làm tròn với 5 chữ số thập phân) 8,93 + 4/91,5267 t4 6 # 1) 5 (+35.4677+3,5:5,1, | : 43,97 Ó+Ở 183 11+ỞỞ 513 B= 1.3 Rút gọn biểu thức (kết quả viết đưới dạng phân số) _ đ1+6)ỂẨ+6)3! +6)(191+6)(25! +6)(311 +6)@7 +6) ~ @Ẩ+6)(9*+6)(15!+6)(21!+6)(271 +6)(33! +6)(39* +6) 1.4 Cho cotga = 0,05849 (0ồ < a < 90ồ) Tắnh: tgỔa(sinỖ a +cosỖ)+cot gỖa(sinỖ Ủ Ở tgỢỦ) D= (sin? a+tg*a)(1+3sin> Ủ) Lối "Ti: _ (845""23# +12"5623#),3"50"7# a 16ồ47Ph3281 ; 2haphogi w EE 1 Cho đa thức P(x) = x'9 + xẾ Ở 7,589x' + 3,58xỶ + 65x + m
a Tìm điều kiện m đề P(x) có nghiệm là 0,3648
b Với m vừa tìm được, tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức (x -23,55)
c Với m vừa tìm được hãy điền vào bang sau cân tròn đến chữ số hàng đơn vị) x -2,53 4,72149 3 Ậ/6,15 {6+ 7 P(x) xỢỞyỢ =66,789 2 Giải hệ phương trình sau: x 5,78 y
2.3 Tìm góc ơ hợp bởi trục Ox với đường thẳng y = ax + b di qua
hai điểm A(0;-8) va B(2;0) Bai 3:
3.1 Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao là AH Cho biết
AB =0,5, BC = 1,3 Tắnh AC, AH, BH, CH gần đúng với 4 chữ số thập phân?
3.2 Cho tam giác ABC có AB = 1,05 ;BC=2,08 ; AC =2,33 a)Tắnh độ dài đường cao AH
b)Tắnh độ dài trung tuyến AM
c)Tắnh số đo góc C
đ) Tắnh diện tắch tam giác ABC
3.3 Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 10 000 000đ với lãi suất 0,55% một tháng
Hỏi sau 2 năm người ấy nhận được bao nhiêu tiền lãi? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Bài 4:
4.1 Cho day ui = 3; u2 = 11; uns = 8un - SUn- 1(n=2)
a Lap quy trinh bam phim dé tim số hạng thứ uạ của dãy? b Tìm số hạng u¡ đến uịz của dãy? : Su,Ợ Ở Uv 3+u,, 2+u,
a Lap quy trinh bam phim dé tìm số hạng thứ un của dãy?
b Tim so hang u8 cua day?
iS + 2 Cho day ui = u2 = 11; us = 15; uns = với n>3
Trang 32
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn Dé 3: (Thi vòng huyện Phòng GD Ở DT huyén Bao Lam nam 2004) SệỪ Bail: Lita ABZ? 528k 452: 52 Ộ17 28 2.Tinh B=(/3+1)\6-2y V2+Vi2+V18-V128 1.6{13.1.25] (s2) Ỉ 3.Tinh CỞ>ỞỞ2+>_Ở 22 ^ Ư06.05:2 1 5 11,2 0,64-Ở 25 [55 i) 17 52+ |= 4 4.Tắnh D=5+ 6+ 4 4Ởt 8+ + 9+Ở 10 5.Giai hé phuong trinh sau : 1,372xỞ4,915y=3,123 ae, =7,318 6.Cho_ M=12?+25?+37?+54?+67?+89Ợ N=21+78)+34Ợ+76ồ+23?+Z Tìm Z để 3M=2N Bài 2 : Timi bie: 2-1 _4_1 41 h` 3,218 5/673) 4,81% 2.Tắnh E=7xỳ-I2x?+3xỢ-5x-7,l7 với x= -7,1254 3.Cho x=2,1835 và y= -7,0216 Tắnh C55009) 405 HÍÒNg Có 5x -8ậxẼyẼ+y' 4.Tìm số dư r của phép chia : xỢ-6,723x1+1,658x?-9,134 x-3,281 5.Cho P(x)=5xỢ+2xồ-4xỢ+9x*-2xỢ+xỢ+10x-m Tim m dé P(x) chia hết cho đa thức x+2 Bài 3: $in25ồ12'28"+2cos45ồ -7tg27ồ cos36ồ +sin37ồ13'26" 2.Cho cosx = 0,81735 (góc x nhọn) Tắnh : sin3x và cos7x 1.Tinh P= 2 +3 3.Cho sina = 0,4578 (góc a nhọn) Tắnh: ea ga 2 ` 2 33
4.Cho cotgx = 1,96567 (x là góc nhọn) Tắnh s='# X+ẹos x)+cotg x(1+sin x)
(sin x+cos x)(l+sinx+cosx)
5.Cho u,=1,1234; u,,,=1,0123.u, n+l (neN;n21) Tinh u,,
= 1
6.Cho u,=5;u,Ấ= 5Ỳ (neN;n>J) Tắnh uẤ un+5 7.Cho uo=3 ; Wi= 4 5 Un = 3Un-1 + 5un-2 (n>2) Tắnh u¡2 Bài 4:
Trang 33Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
1.Cho tam gidc ABC vuéng 6 A voi AB=4,6892 cm ; BC=5,8516 cm Tinh goc ABC (bang don vị do độ), tắnh độ dài đường cao AH va phan giac trong CI
2.Cho ngôi sao 5 cánh như hình bên
Các khoảng cách giữa hai đỉnh không liên tiếp của ngôi sao AC=BD=CE= = 7,516 em Tìm bán kắnh R của đường tròn đi qua 5 đỉnh của ngôi sao
A
D C
A 22 1
3.Cho tam giác ABC vuông cân ở A Trên đường cao AH, lay cac điêm D, E sao cho AE=HD= a AH
Các đường thắng BE và BD lần lượt cắt cạnh AC ở F và G Biết BC=7,8931 cm
Trang 34Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn 135 222 3 Tia phân giác chia cạnh huyền thành hai đoạn 7 va ae Tắnh hai cạnh góc vuông? Fatman (5 2 Cho tam giác ABC với 3 cạnh BC = Mã AB = 13; AC = 15 Gọi D, E, F là trung điểm của BC, AC, AB và {Q} = BEnFD;{R} = DFểFC;{P} = AD ể EF Tắnh: _ AQỢ+ ARỢ+BPỢ +BRỢ +CPỢ +CQ? ABỢ +BC? + ACZ 3 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB Cho góc BDC = 90ồ;Tim AB, CD, AC voi AD=3,9672; BC=5,2896 4 Cho uị = U2 = 73 Unset = Ur? + UniỖ Tinh u7=? Dé 5:
(Thi chọn đội tuyển TP Hồ Chắ Minh - 2003)
Bài 1: Tìm số nhỏ nhất cĩ 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 dư 3 và khi chia cho 619 du 237 Bài 2: Tìm chữ số hng đơn vị của số : 172002
Bài 3: Tắnh: a) 2861780 e8 (ghi kết quả ở dạng số tự nhìn) b) 357 aay $579 (ghỉ kết quả ở dạng hỗn số )
c) 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913 (ghi két qua & dạng hỗn số ) Bài 4: Tìm gi trị của m biết gi trị của đa thức f(x) = x* - 2x3 + 5x? +(m - 3)x + 2m- 5 tại x = - 2,5 I 0,49
Bài 5: Chữ số thập phn thứ 456456 sau dấu phẩy trong php chia 13 cho 23 l :
Bài 6: Tìm gi trị lớn nhất của hm số f(x) = -1,2x? + 4,9x - 5,37 (ghi kết quá gần đúng chắnh xác tới 6 chữ số thập phân)
Bài 7: Cho u¡ = 17, ua = 29 v uaƯa = 3un+i + 2ua (n> T) Tắnh uìs
Bài 8: Cho ngũ giác đều ABCDE có độ dài cạnh bằng 1.Gọi I là giao điểm của 2 đường chéo AD và BE Tắnh : (chắnh xác đến 4 chữ số thập phân) a) Độ di đường chéo AD b) Diện tắch của ngũ gic ABCDE : c) Dé di doan IB : d) D6 di doan IC : Bai 9: Tim UCLN v BCNN của 2 số 2419580247 và 3802197531 Bài 4: 1 Tinh H = (3x? + 8x? + 2)!? voi x = SW SWỪ Dé 6:
Trang 35Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn a) A=3+ỞỞỞỞỞỞỞ b) B=10+ 2#ỞỞỞỞxỞ 9+ 2+ỞỞỞỞỞ 8+ Bai 3
a 0 0 cos? a.(1+sinỖ @)+tan* a
a Cho biét sina = 0.3456 (0ồ <a <90ồ) Tinh: =ỞỞỞỞỞỞỞỞỞỞ (cosÌ +sin a).cot' a
b Cho biét cosỢ 6 = 0.5678 (0ồ < B< 90")
sinỖ B.(1+c0sồ ử)+cos? B(1+sinệ B)
Tinh: N =
" (1+tanỖ ặ)(1+cotỖ B),J1+cos* B
c Cho biét tan g = tan 35ồ tan 36ồ tan 37ồ tan 53ồ (0ồ <ụ<90 ) Tắnh giá trị biểu thức:
_ tanỢ pI +cos* ụ)+cot pI +sinỖ 9)
(sinỖ @+cos` ụ)(I+sinụ+cos 9)
Bài 4 Cho hai đa thức: P(x) = x* +5xồ -4xồ +3x+m vaQ(x)=xồ+4xồ -3x7 42x40,
4.1 Tìm gi trị của m, n dé cac da thite P(x) v Q(x) chia hết cho (x-2)
4.2 Xét đa thức R(x) = P(x) - A%) với ụ1 trị của m, n vừa tìm được, hy chứng tỏ rằng đa thức Ẩ(x)chỉ cĩ một nghiệm duy nhat , 4x;+5 Bi 5 Cho dãy sô xác định bởi công thức x, - ng 9 +? Ấneứ &n>I n x +1 2 n a) Biết x ; = 0,25 Viết qui trình ấn phắm lin tục để tắnh được các giá trỊ của xạ b) Tắnh x;ụo Bài 6
a Cho biết tại một thời điểm gốc nào đó, dân số của một quốc gia B là a người ; tỉ lệ tăng dân số
trung bình mỗi năm của quôc gia đó là m%
Hy xy dựng cơng thức tắnh số dn của quốc gia B đến hết năm thứ n
b Dân số nước ta tắnh đến năm 2001 là 76,3 triệu người Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là
bao nhiêu nêu tỉ lệ tăng dân sô trung bình mỗi năm là 1,2%?
c Đến năm 2020, muốn cho dân số nước ta có khoảng 100 triệu người thì tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi năm là bao nhiêu?
Trang 36Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
a Tắnh chu vi của hình thang ABCD b Tắnh diện tắch của hình thang ABCD c.Tinh ce gic cin lai cua tam gic ADC
Bài 8 Tam giác ABC có ABC = 120 ồ AB = 6,25 cm, BC = 12,50 cm Duong phan giác của goc B cat AC tai D ( Hinh 2)
a Tinh độ dài của đoạn thẳng BD
b Tắnh tỉ số diện tắch của cc tam gic ABD v ABC c Tinh dién tich tam gic ABD
n Hinh 2
Bài 9 Cho hình chữ nhật ABCD Qua đỉnh B, vẽ đường vuông góc với đường chéo AC tại H Gọi E, F, G thứ tự là trung điêm của các đoạn thăng AH, BH, CD (xem hình 3)
A B
H
Hình 8 a Chứng minh tứ gic EFCG I hình bình hnh
b Góc BEG là góc nhọn, góc vuơng hay góc tù? Vì sao?
c Cho biét BH = 17,25 cm, BAC =38ồ40 Tinh diện tắch hình chữ nhật ABCD
d Tắnh độ dài đường chéo AC
Bài 10
a Cho da thite P(x) =xồ +ax* +bx +cx* +dx+ f vacho biết
P(1)=1, P(2)=4, P(3)=9 , P(4)=16, P(5)=15 Tinh cc gi tri cua P(6), P(7), P(8), P(9) b Cho đa thức Q(x) =x'+mx' +nxỖ + pxt+q va cho biét Q(1)=5, Q(2)=7, Q(3)=9, Q(4)=11 Tắnh các gi trị Q(10) , Q(11) , Q(12), Q(13)
Dé 7:
(Chọn đội tuyển thi khu vực Tỉnh Phú Thọ Ở năm 2004) Bài I: Tìm tất cả các số N có dạng N = 1235679x4y chia hết cho 24
Bài 2: Tìm 9 cặp hai số tự nhiên nhỏ nhất có tổng là bội của 2004 và thương bằng 5
Bài 3: Giải phương trình [WiJ+[#]+ +|t (x' -1)| =855
Trang 37Mai Xuân Việt www.Luyen Thi ThuKhoa.vn
7.1 Lập một quy trình tắnh unƯi
7.2 Cho k = 100, u¡ = 200 Tắnh uị, ., u¡o 7.3 Biết uzooo = 2000 Tinh ui va k?
Bai 8: Tìm tất cả các số có 6 chữ số thỏa mãn:
1 Số tạo thành bởi ba chữ số cuối lớn hơn số tạo thành bởi ba chữ số đầu 1 don vi
2 Là số chắnh phương
Bài 9: Với mỗi số nguyên dương c, dãy số ua được xác định như sau: u = l; u2 = c; uẤ=(2n+1)u, ,-(nỢ-1)u,Ấ, n>2 Tim c dé uj chia hét cho uj voi mọi ¡ < j < 10
Bài 10: Gia sử f: N -> N Gia sir rang f(n+1) > f(n) va f(f(n)) = 3n với mọi n nguyên dương Hãy xác
định f(2004) `
Dé 8:
(Đề thi chắnh thức thi khu vue lan thir tu Ở nim 2004)
Bai 1: Tinh két qua đúng của các tắch sau: 1.1 M = 2222255555.2222266666 1.2 N = 20032003.20042004 Bài 2: Tìm giá trị của x, y dưới dạng phân số (hoặc hỗn số) từ các phương trình sau: 21.4#4ỞỞỞỞ=ỞỞỞỞ 2.2, 7 _.g 2 _.g Ở aq, 4 ỞẤ Ở 2+ ; Bai 3: 3.1 Giải phương trình (véi a> 0, b> 0): @a+bV/1Ởx =l+\a-bVIỞx 3.2 Tìm x biết a = 250204; b = 260204 Bài 4: Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người Người ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người
4.1 Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu Lạc tăng bao nhiêu phần trăm
4.2 Với tỉ lệ tăng dân số như vay, hoi sau 10 nam dan số xã Hậu Lạc là bao nhiêu?
Bài 5: Cho AD và BC cùng vuông góc với AB, AED = BCE, AD = 10cm, AE = 15cm, BE = 12cm Tắnh:
5.1 Tắnh diện tắch tứ giác ABCD (Sascn) và diện tắch tam giác DEC (Sprc) 5.2 Tinh ti sé phan tram Spec va Sasco
Bài 6: Hình thang ABCD (AB // CD) có đường chéo BD hợp với BC một góc bằng DAB Biết AB =
a= 12,5cm; DC = b = 28,5cm Tinh:
6.1 Độ dài đường chéo BD
6.2 Tỉ số phần trăm giữa diện tắch tam giác ABD và diện tắch tam giác BDC
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = a= 14,25cm; AC =b =23,5cm; AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và đường phân giác của tam giác ABC Tắnh:
7.1 Độ dài các đoạn thắng BD và CD 7.2 Diện tắch tam giác ADM
Bài 8: Cho đa thức P(x) = xỶ + bx? + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tắnh: ậ.1 Các hệ số b, c, d của đa thức P(x)
8.2 Tìm số dư rị khi chia P(x) cho x Ở 4 8.3 Tìm số dư rƯ khi chia P(x) cho 2x + 3
(s-0Ỳ-IsỞ#Ỳ (oA) 5)
9.1 Tinh uo, ui, u2, u3, U4
9.2 Ching minh rang un+2 = Iỷun+i Ở 18un 9.3 Lập quy trình ân phắm liên tục tắnh ua+2
Bai 9: Cho day sé u, = với n= 0, 1,2, 3,
Trang 38Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
8) (28
2 2
10.1 Tinh uo, ui, U2, U3, U4
10.2 Lập công thức tinh uns
10.3 Lập quy trình ân phắm liên tục tắnh un+1
Bài 10: Cho dãy số ể ~2,với n=0, 1,2,
Đề 9:
(Đề dự bị thi khu vực lần thứ tư Ở năm 2004) Bài 1: Giải phương trình
( +71267162Ở524084Jx+ 26022004) + (( +821431213Ở564064x+ 26022004) =1
Bài 2: Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla trong 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người đó nhận được
số tiền nhiều hơn (hay ắt hơn) bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất Ũ % tháng (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)
Bài 3: Kắ hiệu q(n) = [va] voin= 1, 2, 3, trong đó [x] là phần nguyên của x Tìm tất cả các số
[vn
nguyên dương n sao cho q(n) > q(n + l)
Bai 4:
4.1 Lập một qui trình tắnh số Phibônacci uọ = 1; 0lị = ỳ; uUn+i = Un + Un+1
4.2 Từ một hình chữ nhật 324cm x 141cm cắt những hình vuông có cạnh là 141cm cho tới khi còn hình chữ nhật có cạnh là 141cm và một cạnh ngắn hơn Sau đó lại cắt từ hình chữ nhật còn lại những hình vuông có cạnh bằng cạnh nhỏ của hình chữ nhật đó Tiếp tục qúa trình cho tới khi không cất được nữa Hỏi có bao nhiêu loại hình vuông kắch thước khác nhau và độ dài cạnh các hình vuông
ây
4.3 Với mỗi số tự nhiên n, hãy tìm hai số tự nhiên a và b để khi cắt hình chữ nhật a xb như trên ta được đúng n hình vuông kắch thước khác nhau
Bài 5: Điền các số từ 1 đến 12 lên mặt đồng hồ sao cho bất kì ba số a, b, e nào ở ba vị trắ kề nhau (b năm giữa a và c) đều thỏa mãn tắnh chất: b2 Ở ac chia hết cho 13
Bài 6: Dãy số un được xác định như sau: uo = l;ui= 1; unyi = 20a Ở 0n + 2 với n= 1, 2, 3, 6.1 Lập một qui trình tắnh ua
6.2 Với mỗi n > 1 hay tim chi số k để tắnh uy = un.un+i
Bài 7: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m,n) có bốn chữ số thỏa mãn:
7.1 Hai chữ số của m cũng là hai chữ số của n ở các vị trắ tương ứng Hai chữ số còn lại của m nhỏ hơn hai chữ số tương ứng của n đúng 1 đơn vị
7.2 m và n đều là số chắnh phương
Bài 8: Dãy số {u,} được tạo theo qui tắc sau: mỗi số sau bằng tắch hai số trước cộng với 1, bắt đầu từ tọ =ui = Ì
8.1 Lập một qui trình tắnh un
8.2 Có hay không những số hạng của dãy {u, Ì chia hết cho 4?
Bài 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình Vx + Jy =1960
Bài 10: Một số có 6 chữ số được gọi là số vuông (squarish) nếu nó thỏa mãn ba tắnh chat sau: 1 Không chứa chữ số 0;
2 Là số chắnh phương;
3 Hai chữ số đầu, hai chữ số giữa và hai chữ số cuối đều là những số chắnh phương có hai chữ số Hỏi có bao nhiêu số vuông? Tìm các số ấy
Trang 39
Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn Dé 10: (Đề chắnh thức Hải Phòng Ở năm 2003) Bài 1: Biết 2005 2004 og." , Tìm các chữ số a, b, c, d, e? 243 5 2 TT c+ỞỞ d+ + e
Bài 2: Tắnh độ dài các cạnh a, b, c và bán kắnh r của đường tròn nội tiếp tam giác a, b, c lần lượt tỉ lệ với 20, 21, 29 và chu vi tam giác bằng 49,49494949(m)
Bài 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc
băng nhau
a Xác định các góc của tam giác ABC
b Biết độ dai BC ~ 54,45 cm, AD là phân giác trong của tam giác ABC Kắ hiệu So và S là điện tắch hai tam giác ADM và ABC má So và tỉ số phần trăm giữa So và S? Bai 4: a Cho sinx =ỞỞ, siny = Tắnh A =x + y? v5` Te 1 b Cho tg ~ 0,17632698 Tinh B=ỞỞ Ở v3 ? sinx cosx -_ 2+3, 2-3 Ở_ 2+42+42 v2-J2-x3 a Tắnh giá trị gần đúng của xo? b Tắnh x = xo - 42 và cho nhận xét>
c Biết xo là nghiệm của phương trình x? + ax? + bx Ở 10 = 0 Tima,b Ạ Q?
d Với a, b vừa tìm được, hãy tìm các nghiệm còn lại của phương trình ở câu c?
[i-BẶ-[ =5] 265 Ổ
a Tim uj), U2, U3, Ua, Us
b Tìm công thức truy | hồi tắnh uaxa theo Uns1 Va Un?
c Viết một qui trình bam phim lién tuc tinh un?
Bài 7: Cho đa thức P(x) = x? + ax? + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(-3) =-41
a Tìm các hệ số của a, b, c của đa thức P(x) b Tìm số đư r¡ khi chia P(x) cho x + 4
c Tim số du r2 khi chia P(x) cho 5x + 7
d Tim sé du r3 khi chia P(x) cho (x + 4)(5x + 7)
Bài 8: Cho hình thang ABCD có cạnh day nhỏ là AB Độ dài cạnh đáy lớn CD, đường chéo BD, cạnh
bên AD cùng bằng nhau và bằng p Cạnh bên BC có độ dài q
a Viết công thức tắnh AC qua p và q
b Biết p ~ 3,13cm, q~3,62cm Tắnh AC, AB và đường cao h của hình thang De Il: (Đề dự bị Hải Phòng Ở năm 2003) 17/5 -38( V5 +2) V5+Vi4-6V5 - a Tim x b Tắnh A = (3xổ + 8xỢ + 2)
c A viét đưới dang thap phan cé bao nhiéu chit số?
d Tổng các chữ số của A vừa tìm được là bao nhiêu?
Bài 2: Có 480 học sinh đi dự trại hè tại ba địa điểm khác nhau 10% số học sinh ở địa điểm một, 8,5% số học sinh ở địa điểm hai và 15% số học sinh ở địa điểm ba đi tham quan địa danh lịch sử Địa danh
Trang 40Mai Xuân Việt www.LuyenThiThuKhoa.vn
với giá 100đ/1người/Ikm, mỗi người đi tham quan phải đóng 4000đ Hỏi có bao nhiêu người ở mỗi địa
điểm đi tham quan di tắch lịch sử
Bài 3: Cho tam giác ABC có đường cao BD = 6em, độ dài trung tuyến CE = 5em Khoảng cách từ giao
điểm BD với CE đến AC bằng 1cm Tìm độ dài cạnh AB?
Bài 4: Hình thang ABCD (AB//CD) có AB z 2,51 lem; CD = 5,112cm; Cx 29ồ15'; D ~ 60ồ45Ỗ Tắnh:
a Cạnh bên AD, BC
b Đường cao h của hình thang
c Đường chéo AC, BD
Bài 5: Hai hình chữ nhật cắt nhau:
a Kắ hiệu S¡ = kỲ là diện tắch tứ giác ANCQ; SỈ là diện tắch tứ giác BPDM Tắnh tỉ số ~1 ậ; b Biết AB = 5em; BC = 7cm; MQ = 3cm; MN = 9cm Tắnh k? A B M N Q - D Ạ
Bài 6: Người ta phải làm một vì kèo bằng sắt Biết AB ~ 4,5em; n0 = : ; AM = MD = DN=NB
Viết công thức và tắnh độ dài sắt làm vì kèo biết hao phắ khi sản xuất là 5% (làm tròn đến mét) Cc p Q A B M D N Bai 7: 1 Cho Be STlJLỞỞ_Ở_Ở_Ở SS Aa 11 i tif i Ở,/Ở+Ở,]/Ở,/Ở+Ở,]/Ở+4+-Ở.,]Ở 2{2 222 Ẽ2\2 2w a Tắnh gần đúng B b Tắnh ỘỞB 2 2 a, Tinh C= 2,0000004 :De 20000002 (1.0000004)Ợ +2,0000004 ` (1,0000002)+2,0000002 b Tắnh |CỞD
Bài 8: a Tìm các số tự nhiên x, y, z sao cho 3xyz Ở 5yZ + 3x + 3z = 5
b Việt qui trình bâm phắm tắnh toán trên Ề
Bài 9: Biết phương trình x' Ở 18x? + kxỢ Ở 500x Ở 2004 = 0 có tắch hai nghiệm băng -12 Hãy tìm k?
Đề 12:
(Đề học sinh giỏi THCS tỉnh Thái Nguyên Ở năm 2003)