a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 R.Bµi 2: a) Rót gän biÓu thøc: b) Cho . TÝnh ®) V× Do ®ã : xyz( + + )= 3 Bµi 3 : (3®) Chøng minh : VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta cã AB = CM . §Ó chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM. ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C => v× gãc C1 lµ gãc ngoµi cña tam gi¸c BCE => mµ AC BM (ta vÏ) => nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña . Hoµn toµn t¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB Mµ : lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO víi tia ph©n gi¸c cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng hµng. Ta l¹i cã : mµ (hai gãc ®ång vÞ) => c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm) Bµi 4: (1®) Ta cã M= 4x2 + 4x + 5 =(2x)2 + 2.2x.1 + 1 +4
Tuyển tập đề thi HSG Tốn t §Ị R.Bài 1: (3đ) Chứng minh rầng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hÕt cho 44 R.Bµi 2: a) Rót gän biĨu thøc: 1 x2 x x x 18 x yz xz xy b) Cho x y z 0( x, y, z �0) TÝnh x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia ®èi cđa c¸c tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳmg cắt AC ë K Chøng minh r»ng AB = CK R.Bµi (1đ) Tìm giá trị lớn nhỏ cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Râ rµng kÕt chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44 Bài : (3đ) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) 3 x – 4x – 18 x + = x – 7x + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => (x+3)(x-2) ( x 2) x2 x = (x+3)(x -7x +3) x -7x +3 Víi ®iỊu kiÖn x � -1 ; x2 -7x x x 18 x + b) (1,5đ) Vì Tuyn thi HSG Toán �1 � 1 1 � � � x y z z �x y � �1 � �1 1 1 1 � � � �� � � z x y x y y � �x y � z �x � 1 1 �1 � 1 1 3 � �� 3 x y z x y �x y � x y z xyz Do ®ã : xyz( xyz xyz xyz yz zx xy 1 � 3� 3 + + )= y x y z x y z x z Bµi : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta cã AB = CM §Ĩ chøng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = CE (gt) => tam gi¸c A K B C �E � CBE cân C => B góc C1 góc tam giác BCE => B E ��B � 1C � C 1 1 BM (ta E D mµ AC // vÏ) M => � CBM � �B � CBM Hoàn toàn tC nên BO tia phân giác CBM 1 ơng tự ta có CD tia phân giác góc BCM Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB � , BMC � Mµ : BAC lµ hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng BMC (cmt ); � � �M � � AM A2 mµ Ta l¹i cã : M 1 � �1 (hai góc đồng vị) A2 K M CKM cân C => CK = CM Kết hợp AB = CM => AB = => K 1 CK (đpcm) Bài 4: (1đ) Tuyn thi HSG Toán Ta cã M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2 �0 =>(2x + 1)2 + � M � VËy giá trị nhỏ M = x = - ®Ị Câu Tìm số có chữ số: a1a a tho· m·n ®iỊu kiƯn a vµ b sau: a) a1a 2a = a a b) a 4a 5a 6a a a a C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2) áp dụng phân tích đa thức thành nh©n tư: x7 + x2 + C©u Giải phơng trình: 1 2005 2006 2007 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đờng kẻ từ A B lần lợt song song với BC AD cắt đờng chéo BD AC tơng ứng F vµ E Chøng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thứ tự diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Vµ OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 R Câu Tìm giá trÞ nhá nhÊt: A = x - 2xy + 6y2 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta cã a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) lµ sè tù nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 Tuyn tập đề thi HSG Toán c) a7a8 = 26 => không thoả mãn câu Đặt m = 3k + r víi r n = 3t + s víi s xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1) ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 ) ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1) ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1) ( x2 + x + 1) víi r ; s r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2) Điều phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn – = 12 ( x7 + x2 + 1) ( x2 + x + 1) ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + C©u Gi¶i PT: 1 x 1.2 2.3 2006.2007 2005.2006.2007 1.2.3 2.3.4 Nh©n vế với ta đợc: 2 3 x 2 1.2 0 2.3 1 2006.2007 2008 2005 2005.2006.2007 1`.2.3 2.3.4 1 1 3 x 2006.2007 1.2 2.3 2.3 3.4 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1003.1004.669 3 x 2.2006.2007.2008 x 5.100.651 1.2 2006.2007 C©u a) Do OE OA OB OC O F OB OA OD AE// BC => BF// AD A B O K E F H Tuyển tập đề thi HSG Toán MặT khác AB// CD ta lại có D OA OB OC OD b) AB nªn OE OF OB OA C => EF // AB ABCA vµ ABB1D hình bình hành => A 1C = DB1 = Vì EF // AB // CD nên c) Ta có: A1B1 S1 = EF AB AB DC AH.OB; => AB = EF.CD CK.OD; S3 = AH OD S3 AH CK S2 CK OD => S2 = AH.OD; S4 = OK.OD AH OB S1 AH => ; S4 CK OB CK S1 S3 => S1.S2 = S4 S2 S3.S4 C©u A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Giá trị nhỏ nhÊt A = Khi: y- = => =1 x- y- = x=7 ®Ị R.C©u 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 C©u 2: a Cho x y z 0 (1) vµ a b c y a b c 2 (2) x y z x2 y z Tính giá trị biÓu thøc A= a b c b Biết a + b + c = TÝnh : B = ab bc ca 2 2 a b c b c a c a b2 R.Câu 3: Tìm x , biết : xã x 10 x 19 3 (1) 2006 1997 1988 Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đơng chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiÕu cđa M trªn AD, CD Chøng minh r»ng: Tuyển tập đề thi HSG Toán a.BM EF b Các đờng thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dơng Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa a b c P= (a+ b+ c) ( ) Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iÓm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 – 16 z2 (*) V× x2=y2 + z2 (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x 5y)2 Câu 2: ( 1,25 điểm) a Tõ (1) bcx +acy + abz =0 ab ac bc x2 y z x2 y z 4 Tõ (2) 2 a b c a b2 c xy xz yz abz acy bcx 4 2 xyz b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c = a + b = - c a2 + b2 –c2 = - 2ab T¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac B= ab bc ca 2ab 2bc 2ca C©u 3: ( 1,25 ®iĨm) (1) x· 2007 x 2007 x 2007 0 2006 1997 1988 x= 2007 A Câu 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao điểm CB với EM; H giao điểm EF BM EMB =BKM ( gcg) Gãc MFE =KMB BH EF K b ( 1,25 điểm) ADF = H Tơng tù: CE BF BM; AF; CE B E BAE (cgc) M AF BE Tuyển tập đề thi HSG Toỏn đờng cao BEF đpcm Câu 5: ( 1,5 điểm) Ta có: P=1+ D F C a a b b c c a b a c b c 3 b c a c a b b a c a c b x y Mặt khác y x với x, y d¬ng P 3+2+2+2 =9 VËy P = a=b=c đề Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phơng trình: x x x 6 x 8 98 96 94 92 Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x ®Ĩ biĨu thøc P x 3x có giá trị 2x nguyên Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đờng cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gäi E lµ trung ®iĨm cđa BC; F lµ trung ®iĨm cđa AK Chøng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A x x 2007 , ( x kh¸c 0) 2007 x Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) Tuyển tập đề thi HSG Tốn x x x 6 x 8 98 96 94 92 x2 x4 x6 x 8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1 ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94 92 1 1 0 V×: + 98 96 94 92 Do ®ã : x + 100 = x = -100 Vậy phơng trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Bài (2đ): P= x x ( x x) (4 x 2) 5 x 2x 2x 2x (0,5đ) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên phải nguyên hay 2x - ớc 2x nguyên (0,5đ) => * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5®) VËy x = 1;0;3; P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AB AM AMN đồng dạng ABC AC AN AMN = ABC ( hai gãc t¬ng øng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25®) BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mµ CAH = BAH ( Ax tia phân giác) (0,5đ) Tuyn tập đề thi HSG Toán Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đờng trung bình tam giác KHA Do ®ã EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm)(0,5®) Bài (1đ): 2007 x x.2007 2007 x x.2007 2007 2006 x A= = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x 2007) 2006 2006 = 2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5đ) 2007 Câu ( -®Ị ®iĨm ) Cho biÓu thøc A = x2 10 x : x x x x x x a, T×m điều kiện x để A xác định b, Rút gọn biểu thức A c, Tìm giá trị x để A > O Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x 4x 1 x 5x x 2x Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chứng minh AQR APS tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực cđa AC 5, Chøng minh ®iĨm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( điểm): x 3x Cho biÓu thøc A = 2x Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tuyn thi HSG Toỏn Câu ( điểm) a, Chøng minh r»ng x y z x y 3xy. x y z 1 0 x y z b, Cho TÝnh A yz xz xy x2 y2 z2 Đáp án Câu a, x # , x # -2 , x # x : x 2 x x 2 x 2 b, A= = = x 2 x x : x 2 x 2 x2 x2 x 2 x 2 x 0 2 x 0 x 2 2 x x 1; x c, §Ĩ A > Câu PT ĐKXĐ : x 4x 1 x 5x x 3x x 3x 1 0 0 x 1 2x 1 x 1 2x 1 x 3x 0 x x x 2 0 x 1 x 3x 0 x x x =1 ; x = ; x = - 2/ Cả giá trị thỏa mãn ĐKXĐ 3 VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = 1;2; C©u 3: 1, ADQ = ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ PAN PAM = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác Mặt khác : AHMN có ba góc vuông, nên hình chữ nhật 10 Tuyn thi HSG Toán = x(4x3 + 4x2 – x – 1) 0.25® = x x x 1 x 1 0.25® = x(x + 1)(4x2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25đ Bài 2: (2.5đ) Câu a: 1đ x ( x 3) 6x : ( x 9)( x 3) x x ( x 3)( x 9) P= x 3 x 6x : = x x 3 x = = x x 3 x x2 9 0.25® 0.25® 9 0.25® x x x 0.25đ Câu b: (0.75đ) P= x 3 Px - 3P = x + x 0.25® (P – 1)x = 3(P + 1) x= Ta cã: x > x 3 P 1 P 3 P 1 P 1 0 0 P P P P P P P P Vậy không nhận giá trị từ -1 đến Câu c: 0.75đ P= 0.25đ §KX§: x 3 x 3 x 36 1 = x x x 0.25® P nhận giá trị nguyên x - 30 Ư (6) = Từ tìm đợc x 4;2;5;1;6;0;9; 1;2;3;6 0.25đ Kết hợp với Đ/C x ; x z ta đợc x 4;2;5;1;6;0;9 0.25® 121 Tuyển tập đề thi HSG Tốn VËy x 4;2;5;1;6;0;9 P nguyên Bài 3: Giải phơng trình (1.5đ) Câu a: (0.75đ) - Đa đợc dạng tích: (x + 1)(x - 2)2 = 0.50đ x 1 x 2 VËy ph¬ng trình có nghiệm: x = 1; x = ĐK: x N*n Câu b: (0.75đ) - Đa dạng 0.25® 2 ( x 1) 31 1.3 2.4 3.5 x( x 2) 16 0.25® 2( x 1) 31 x2 16 0.25® (t/m x N*) Từ tìm đợc x = 30 Vậy phơng trình có nghiệm: x = 30 0.25đ Bài 4: (1đ) Gi¶ sư a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > abc (2 – b)(2 c)(2 a) > (1) 0.25đ < a < nªn – a > Do a + (2 – a) = kh«ng ®ỉi, suy a(2 – a) lín nhÊt a=2–a a=1 T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt b = c(2 – c) lín nhÊt c = VËy a (2 - a) b(2 – b) c(2 – c) 1.1.1 = (2) DÊu “=” xảy a = b = c =1 0.25đ (1)và (2) mâu thuẩn Do sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) đồng thời lớn C Bài 5: (3.5®) 0.25® K H M O 122 A B Tuyn thi HSG Toỏn Câu a: (1đ) Chøng minh: B0H C0A (g.g) 0.5® 0B 0H 0A.0B = 0C.0H 0C A 0.25® Câu b: (1.25đ) 0B 0H 0C A (suy tõ B0H C0A) A 0H 0C B 0.25® - Chøng minh 0HA OHA = OBC 0BC (c.g.c) 0.25đ (không đổi) Câu c: (1.25đ) Vẽ MK BC - BKM BHC (g.g) BM BK BC BH BM.BH = BC.BK (1) 0.5® CKM CAB (g.g) 0.25® CM CK CM.CA = BC.CK CB CA (2) 0.25đ - Cộng vế (1) (2) ta đợc: - BM BH + CM CA = BC BK + BC CK = BC (BK + CK) = BC (không đổi) 0.25® ĐỀ THI SỐ 46 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) 123 Tuyển tập đề thi HSG Toán Cho biểu thức : A( 2 x 4x2 2 x x 3x ):( ) 2 x x 4 2 x x x3 d) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? e) Tìm giá trị x để A > 0? f) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = a b c x y z x2 y z d) Cho x y z Chứng minh : a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD d) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? e) Chứng minh : CH.CD = CB.CK f) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a 124 Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐKXĐ : �2 x �0 �2 �x �0 � x �2 �۹� �x x �0 � � �2 x x �0 A( �x �0 � �x �x �3 � 1,0 x 4x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x ) x (2 x) ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x ( x 3) x2 8x x(2 x) (2 x)(2 x) x 0,5 x( x 2) x (2 x) 4x2 (2 x)(2 x )( x 3) x Vậy với x �0, x ��2, x �3 A 1,0 0,25 4x x 3 0,25 b 1,0 Với x �0, x �3, x ��2 : A � � x3 � x 3(TMDKXD) 4x 0 x 3 Vậy với x > A > c x7 � x7 � � x 4 � x 11(TMDKXD) � �� x 3( KTMDKXD) � Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = � (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = � 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1) �0;( y 3) �0;( z 1) �0 Nên : (*) � x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : Ta có : a b c ayz+bxz+cxy 0� 0 x y z xyz � ayz + bxz + cxy = x y z x y z � ( )2 a b c a b c 125 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán x2 y2 z xy xz yz � 2( ) a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz � 2 1 a b c abc x2 y z � 1(dfcm) a b c 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b � KDC � Ta có: � ABC � ADC � HBC Chứng minh : CBH : CDK ( g g ) � b, CH CK � CH CD CK CB CB CD K 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 Chứng minh : AFD : AKC ( g g ) AF AK � AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD : AHC ( g g ) CF AH � CD AC CF AH � AB AH CF AC Mà : CD = AB � AB AC � 0,25 0,25 0,25 0,5 Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) 0,25 ĐỀ THI SỐ 47 126 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + = 25 x 17 x 21 x 4 b) 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 0 x y z yz xz xy Tính giá trị biểu thức: A x yz y xz z xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực HA' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA ) 4 c) Chứng minh rằng: AA'2 BB'2 CC'2 tâm a) Tính tổng ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): xy yz xz 1 0 0 xy yz xz 0 yz = –xy–xz x y z xyz x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) 127 ( 0,25điểm ) Tuyển tập đề thi HSG Tốn yz xz xy Do đó: A ( x y)( x z ) ( y x )( y z ) (z x )(z y) Tính A = ( 0,25điểm ) ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, a , b, c, d 9, a 0 (0,25điểm) Ta có: abcd k với k, m N, 31 k m 100 (a 1)( b 3)(c 5)(d 3) m (0,25điểm) abcd k abcd 1353 m (0,25điểm) Do đó: m2–k2 = 1353 (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm) m+k = 123hoặc m+k = 41 m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 k = 56 k= Kết luận abcd = 3136 (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hình (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA' a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25điểm) Tương tự: S HAB HC' S HAC HB' ; S ABC CC' S ABC BB' (0,25điểm) HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC 1 AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC (0,25điểm) b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: 128 (0,25điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5điểm ) BI AN CM AB AI IC AB IC 1 (0,5điểm ) IC NB MA AC BI AI AC BI (0,5điểm ) BI AN.CM BN.IC.AM c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm) AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm) -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 (AB BC CA ) 4 AA'2 BB'2 CC'2 (0,25điểm) (Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều) *Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu Bµi 1: (6 điểm) Giải phơng trình sau: a, 2(x + 5) - x2 - 5x = b, ĐỀ THI SỐ 48 2x 2 x 1 1 x c, |x - 4| + |x - 9| = Bài 2: (4 điểm) 129 Tuyn thi HSG Toỏn Giải bất phơng trình x x x 1 (m 2) x víi m số m m Bài 3: (3 điểm) Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đờng cao có độ dài 5cm Tính độ dài đờng cao thứ hai Bài 4: (3 điểm) Một vòi nớc chảy vào bể nớc Cùng lúc vòi nớc khác chảy từ bể Mỗi lợng nớc chảy vào Sau nớc bể đạt tới lợng nớc chảy dung tích bể Hỏi bể nớc mà mở vòi chảy vào bể đầy? Bài 5: (4 ®iĨm) � 2B � Gäi BC = a, AC = b, AB = c Chøng minh Cho tam gi¸c ABC cã A 2 hƯ thøc a = b + bc P N Bài Sơ lợc lời giải Điể m Bài a, Đa phơng trình tích (6 Giải đợc x = -5 x = điểm b, ĐKXĐ: x 0,5 ) Víi x �1 ta cã 2x 2 � 2( x 1) x � x � x x 1 x 1 0,5 Ta thÊy x = không thỏa mãn ĐKXĐ Vậy phơng trình vô nghiÖm c, NhËn xÐt |x - 4| = x v� i x �4 � vµ � x v� i x Khi ®ã (1) � x m(m 1) � - NÕu m = th× m - = Khi (1) 0x < x (luôn với mäi x) KÕt ln: - Víi m < vµ m tập nghiệm S = � �x | x � m( m 1) � 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 - Víi m = biểu thức vô nghĩa - Với m > tập nghiệm S = x | x Bài (3 điểm ) � � m(m 1) 0,5 0,25 - Víi m = th× S = R - VÏ h×nh: A 0,5 B 8cm 6cm K D C H Gi¶ sử ABCD hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm có đờng cao dài 5cm Vì < < nên xảy hai trờng hợp: AH = 5cm Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20 (cm) AK = 5cm Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 15 (cm) VËy ®êng cao thứ hai có độ dài 1 0,5 20 15 cm cm Bài Gọi thời gian vòi nớc chảy đầy bể x(giờ) ĐK: x > (3 Khi vòi chảy đợc bể x điểm ) vòi khác chảy lợng nớc bể 5x 0,5 0,5 0,5 131 Tuyển tập đề thi HSG Toán �1 Theo đề ta có phơng trình � �.5 �x x � 0,5 Giải phơng trình tìm đợc x = (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể Bài - Vẽ hình 0,5 2 (4 HÖ thøc a = b + bc a = 0,25 b (b E ®iĨm + c) ) Trên tia đối tia AC lấy điểm0,25 E c cho AE = c, suy CE = b + c A c b B a � E (do tam giác ABE Khi ABE 0,5 cân A) ABE E (góc tam giác) BAC 0,5 2E nên A � ABC � � 2B � VËy E Theo giả thiết A Chứng minh đợc BCE (g.g) C suy ACB BC CE � BC AC.CE AC BC 0,25 0,25 hay a2 = b (b + c) ĐỀ THI SỐ 49 Bài 1: ( điểm ) Rút gọn biểu thức A x y 3x y y x g xy y x xy x y Bài 2: ( điểm ) Giải phương trình 3x x 3x 0 x x x x 5 Bài 3: ( điểm ) Tìm giá trị nguyên x để phân thức có giá trị số nguyên A x x 11x x 5 Baøi 4: ( ñieåm ) Số học sinh tiên tiến hai khối 270 học sinh Biết số học sinh tiên tiến khối 60% số học sinh tiên tiến khối Tính số học sinh tiên tiến khối? Baøi 5: ( điểm ) 132 Tuyển tập đề thi HSG Toán Cho tam giác ABC Gọi D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm AD, AF, EF, ED a/ Tứ giác MNPQ hình gì? Tại sao? b/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình chử nhật? c/ Tam giác ABC có điều kiện MNPQ hình thoi? Bài 6: ( điểm ) Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao 12(m), AC BD, BD=15(m) a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC E Chứng minh BD = DE.DH Từ tính độ dài DE b/ Tính diện tích hình thang ABCD Ba øi (3 đ) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Đáp án x y 3x y y x g xy y x xy x y * Điều kiện: x �0; y �0; x ��y A A x y 3x y y x x y 3x y x y g g xy y x xy x y y x y x x y x y x y x 3x y y x y 3x y y x y x x y xy x y x y x y x xy 3xy y xy x y xy x y xy 2 (3 đ) Ñie åm 3x x 3x 0 x x x x 5 * Tập xác định: x �2; x �5 3x x 3x 3x x 3x 0� 0 x 5 x x 2 x 5 x x x 2 x 5 � 3x x 5 x x 2 3x � 3x2 15x x2 2x 3x � x 0�TXÑ � 2x2 10x � 2x x 5 � � x � x 5�TXĐ � Vậy S 0 (3 ñ) 1 0,5 1 0,5 133 Tuyển tập đề thi HSG Toán x x 11x A x2 x 1 x5 x 5 A � � � � x �1; �3 x 5 *x �1 � x � 6; 4 0,5 0,5 *x �3 � x � 8; 2 x � 2; 4;6;8 (3 đ) Gọi số học sinh tiên tiến khối x (học sinh) (x > 0) số học sinh tiên tiến khối 270 - x (học sinh) 0,25 0,25 Ta có phương trình: 60 3 x 270 x � x 270 x 100 810 3x � x � 15x 3240 12x � 27x 3240 � x 120 (Nhaä n) 0,25 0,25 Vậy số học sinh khối 120 học sinh, khối 270 – 120 = 150 học sinh (4 đ) a/ � DF � � �� MN / / PQ; MN PQ Vậy MNPQlà PQ / / DF ; PQ DF � � MN / / DF ; MN hình bình hành b/ Giả sử MNPQ hình chử nhật MP = NQ Mà AC � � � �� AC AB AB � NQ AD � MP AF 0,5 Vậy tam giác ABC cân A MNPQ hình chử nhật 134 Tuyển tập đề thi HSG Tốn ** Hoặc: MN MQ� � MN / / BC �� AE BC; đồ ngthờ i EB EC MQ / / AE � � Nê ntamgiá c ABC câ ntại A c/ Giả sử MNPQ hình thoi MN = MQ BC AE MN MQ � � AE BC 2 0,5 Vậy tam giác ABC vuông A MNPQ hình thoi MP NQ � AC AB ** Hoặc: Vậ ytamgiá c ABC vuô ngtại A (4 đ a/ Kẻ BH DC DH BD2 BH 152 122 92 � DH 9 m Xét tam giác BDH tam giác EDB � DBE � 1v� BHD � �� BDH # EDB � BDE chung � BD DH BD2 � � DE 25 m DE BD DH 1 b/ AB DC BH 1 � DE � BH � 25� 12 150 m 2 SABCD 0,5 0,5 135 ... (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22 a7 a8 31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8 ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600 ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8... a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 5761 382 4 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625 Tuyển tập đề thi HSG Tốn c) a7a8 = 26 =>... Toán x x x 6 x 8 98 96 94 92 x2 x4 x6 x 8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®) 98 96 94 92 1 1 ( x + 100 )( + )=0 (0,25®) 98 96 94 92 1 1 0 V×: + 98 96 94 92 Do ®ã : x