SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ SKKN Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.

Nơi thường trú: Nam Định

Trình độ chuyên môn: Cử nhân toán

Chức vụ công tác: Giáo viên toán

Nơi làm việc: trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ liên hệ: 76 Vị Xuyên Nam Định

Điện thoại: 0972313265

5 Đồng tác giả (nếu có): Không

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong

Địa chỉ: 76 Vị Xuyên Nam Định

Điện thoại:

I Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:

Năm học 2015-2016, tôi được phân công giảng dạy môn toán khối 10, 11 Vì vậy tôi luôn ý thức tự học tập và nghiên cứu nhằm nâng cao chất lượng bài giảng phát huy tối đa năng lực tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng và gặp nhiều khó khăn khi giải quyết một số phương trình vô tỉ Trong kì thi THPT Quốc Gia thường xuất hiện câu giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ, hệ phương trình gây nhiều khó khăn chohọc sinh khi làm bài thi Chính vì vậy tôi viết sáng kiến kinh nghiệm : “ Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ ” nhằm giúp học sinh biết cách giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ hoặc phương pháp hàm số

Trong bài viết sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhắc lại những kiến thức cơ bản để giảiphương trình vô tỉ đồng thời đưa ra hệ thống bài tập có chọn lọc được chia ra ba

dạng: phương pháp nhân liên hợp, đặt ẩn phụ, phương pháp hàm số Trong

mỗi dạng bài tập thường có nhận xét và hướng dẫn học sinh cách sáng tạo bài toánmới

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song bài viết của tôi không tránh khỏi thiếu sót Tôirất mong sự đóng góp ý kiến quí báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện hơnnữa sáng kiến kinh nghiệm của mình

II Nội dung sáng kiến:

Hướng dẫn học sinh một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. Phương pháp nhân liên hợp.

a. Mục đích: Biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình tích.

1.1. Nhân lượng liên hợp bằng cách thêm bớt hằng số.

+) Phương pháp chung: dự đoán nghiệm 0

là một nghiệm của phương trình trên

+ Ta đưa phương trình trên về dạng ( x−5) ( )f x =0

bằng phương pháp nhân liên hợp Như vậy ta tìm hai số a b, >0

Lời giải:

Tập xác định:

1

;63

Nhận xét x=1

là một nghiệm của pt

• Cách 3: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương.

Ví dụ 4: Giải phương trình:

2 2

ta dễ dàng chứng minh được pt (1) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của pt là

12

S =   

 

Điều kiện xác định:

23

2 3

2 2

2

3 1 02

0 2

14

Bài tập: Giải các phương trình:

Phương pháp: Sử dụng máy tính CASIO tìm nghiệm của phương trình, sau đó

thêm bớt biểu thức thích hợp để làm xuất hiện nhân tử chung

Điều kiện xác định:

222

x x

1 5

/2

Điều kiện xác định: x≥ −2

.Với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có:

2

2 2 2

2 2

Điều kiện:

124

73

x x

Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu.

Phân tích:

Phương pháp nhân lượng liên hợp là một phương pháp thường dùng khi giải các phương trình, bất phương trình chứa căn Việc sáng tác bài toán mới dựa trên phương pháp này cũng rất đơn giản, ta chỉ cần chọn sẵn một nghiệm rồi xây dựng các biểu thức thỏa mãn đẳng thức xảy ra Một kĩ thuật rất quan trọng của phương pháp này là đoán được nghiệm của phương trình từ đó ta sẽ biết được cần thêm bớthằng số nào, biểu thức nào Ta có thể dựa vào máy tính cầm tay CASIO để đoán nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Cho x=2

ta có:

5x− =1 3, x+ =2 2, 5x− +1 x+ = = −2 5 7 x

Như vậy ta có bài toán sau

Bài 1: Giải phương trình: 5x− +1 x+ = −2 7 x

Như vậy ta có bài toán sau

Bài 2: Giải phương trình:

2 3

3 x − + =1 x 5, x − =2 5

Như vậy ta có bài toán sau

Bài 3: ( Đề nghị Olympic 30/4/2011 ) Giải phương trình:

+ Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )

+ Đưa phương trình đã cho về phương trình theo ẩn phụ

+ Giải phương trình theo ẩn phụ và đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ ( nếu có )

+ Tìm nghiệm của phương trình ban đầu ứng với ẩn phụ vừa tìm được.

Ví dụ 1: Giải phương trình:

(x+2) ( 2x+ −3 2 x+ +1) 2x2 +5x+ =3 1Lời giải:

Điều kiện xác định: x≥ −1

.Với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( ) ( ) ( )

2 2

không là nghiệm của phương trình (1)

Chia cả hai vế của phương trình cho x+2

≥ −

+ ≥

x x

Vậy tập nghiệm của phương trình là

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Điều kiện xác định: x∈¡

Đặt: x2 + + =x 1 a; x2 − + =x 2 b a b , ( ≥0)

Phương trình trên trở thành:

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

4

4 4

x x

Do đó phương trình trên vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }4

.Cách 2: ta có thể giải bằng phương pháp nhân liên hợp

Hướng dẫn học sinh tự học, tự nghiên cứu.

Phân tích : Xuất phát từ các hằng đẳng thức đáng nhớ chúng ta có thể sáng tạo ra

một lớp các phương trình vô tỉ hay và khó

Như vậy ta được bài toán sau:

Bài toán 1( Đề nghị Olympic 30/4/1999 ) Giải phương trình:

ta được bài toán sau:

Bài 2: Giải phương trình sau: 3 x2 +3x+2( 3 x+ −1 3 x+2) =1

ta sẽ tạo ra bài toán sau:

Bài 4: Giải phương trình:

5x +2x+10 7= x +4

Tương tự ta có thể giải một số phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Bài tập: Giải các phương trình:

1) x 1+ + +x (x 2 1) − = + +x x 1 1−x2

2)

2x+1 1+ 2x+ + =1 1 3 2x+1 x+1

+ Nếu hàm số f x( )

là hàm số đơn điệu trên miền D

thì phương trình f x( ) =0nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất trên miền D

không là nghiệm của phương trình trên Ta có:

+ + =+

x x x

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

2 2

x≥ −

.Với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

Với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( ) ( )

( ) ( )

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }3

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={ }1; 2

2

2 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có:

.Với mọi x

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

x x

Ví dụ 13: Giải phương trình: ( ) ( )

2 2

thỏa mãn điều kiện xác định ta có

( ) ( )

x x

Hướng dẫn học sinh tự học và nghiên cứu :

Phân tích: Dựa vào nội dung phương pháp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tự

phát triển và sáng tạo phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu của hàm số

Khai triển và rút gọn ta có bài toán thi OLYMPIC 30/4/2009:

Giải phương trình sau:

Khai triển và rút gọn ta có bài toán thi học sinh giỏi Tp HCM năm 2004-2005

x x

+

III Hiệu quả do sáng kiến đem lại:

Trong quá trình áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên vào bài giảng, tôi nhận thấyhọc sinh khối 10, khối 11 rất hứng thú, giúp các em phát triến tư duy logic, sáng tạo Phương pháp giải phương trình vô tỉ này còn có thể dạy cho học sinh khối 12 trong kì thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên các bài tập trên còn có thể giải theo cách khác, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến quý báu của thầy cô

Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm trên sẽ là một phần tài liệu tham khảo của các thầy giáo, cô giáo và các em học sinh phổ thông.

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song tài liệu trên cũng không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong sự đóng góp ý kiến quý báu của các thầy giáo, cô giáo để hoàn thiện nội dung sáng kiến!

Tôi xin chân thành cảm ơn!

CƠ QUAN ĐƠN VỊ

ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

(Xác nhận, đánh giá và xếp loại)

.

.

1 Sáng tạo và giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình

[ Nguyễn Tài Chung, nhà xuất bản tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh ].

2 Một số đề thi THPT Quốc Gia các năm.

3 Tài liệu tham khảo trên mạng internet, các đề ôn thi THPT Quốc Gia năm 2015 - 2016.

4 Tạp chí toán học và tuổi trẻ.

5 Một số tài liệu ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi.