Một số chứng minh định ký fermat nhỏ và định lý wilson

Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minhban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN ĐÌNH BÌNH

THÁI NGUYÊN - 2017

Mục lục

1 Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 3

1.1 Một số kết quả về đồng dư 3

1.2 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ 7

1.3 Chứng minh ban đầu Định lý Wilson 15

1.4 Ứng dụng giải một số bài tập 28

2 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson 35 2.1 Một dạng tổng quát của Định lý Fermat nhỏ 35

2.2 Một dạng tổng quát của Gauss về Định lý Wilson 39

2.3 Một số chứng minh tổ hợp 44

2.4 Ứng dụng 50

Lời mở đầu

Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson là hai trong những định lý hữu ích,nổi tiếng trong toán học Chúng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau,tuy nhiên trong luận văn này, tác giả tập trung vào trình bày các chứng minhban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng, các chứng minh tổ hợp gầnđây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson Thông qua việc chứng minh

tổ hợp, tác giả muốn thể hiện gần đây các nhà toán học vẫn đang tiếp tục nghiêncứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lý trên trong suốt hai thế

kỷ qua

Mục đích nghiên cứu

Trình bày các chứng minh ban đầu của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

và dạng mở rộng của chúng, sau đó trình bày thêm một số chứng minh tổ hợpgần đây Đồng thời trình bày một số ứng dụng của hai định lý trên

Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson

- Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

- Một số ứng dụng của hai định lý này

Dự kiến đóng góp

Từ lịch sử các chứng minh ban đầu của cả hai định lý và mở rộng của chúng,các chứng minh tổ hợp gần đây của hai Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson.Thông qua việc chứng minh tổ hợp, chúng tôi muốn thể hiện các nhà toán họcvẫn đang tiếp tục nghiên cứu và tìm các cách khác nhau chứng minh hai định lýtrên trong suốt hai thế kỷ qua Đây chính là nét mới so với kiến thức đã học ở

bậc Đại học.

Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục Luận văn dự kiến có 02 chươngchính

Chương 1 Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu về Định lý Fermat nhỏ vàĐịnh lý Wilson

Chương 2 Mở rộng Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trình bày một mở rộng của Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson, ứng dụnghai định lý đó

Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Đình Bình Tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoahọc của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn

và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luậnvăn

Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã thamgia giảng dạy lớp Cao học Toán K9B2 (khóa 2015–2017); Nhà trường và cácphòng chức năng của Trường; Khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học – Đạihọc Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tạitrường

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhấtcho tôi khi học tập và nghiên cứu

Do còn hạn chế về nhiều mặt nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rấtmong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của thầy cô và các bạn

Tác giả

Bùi Thị Minh Hải

Chương 1

Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Mục đích của chương là trình bày sơ lược lịch sử và chứng minh ban đầu vềĐịnh lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Trong suốt luận văn, nhiều khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết số và

tổ hợp sẽ được sử dụng trong chứng minh của Định lý Fermat nhỏ và Định lýWilson Những chứng minh của định lý chính được sử dụng có thể được tìmthấy trong hầu hết các sách lý thuyết số và tổ hợp Những bổ đề quan trọng đãđược trình bày trong chương này

1.1 Một số kết quả về đồng dư

Trong mục này, tác giả trình bày một số kết quả về đồng dư, làm cơ sở đểchứng minh Định lý Fermat nhỏ và Định lý Wilson

Những kết quả trong mục này được tác giả tham khảo từ [1],[2]

Định nghĩa 1.1.1 Cho a, b và m là các số nguyên, và m > 0 Nếu m|(a − b) thì

ta nói a đồng dư với b (mod m) và ta viết

a≡ b (mod m).

Các khái niệm về đồng dư lần đầu tiên được chính thức giới thiệu bởi Gauss

trong chương thứ nhất của cuốn Disquisitiones Aritmeticae Ông chọn kí hiệu

≡ bởi sự gần gũi của nó với đại số [5, p.65]

Bổ đề 1.1.2 Nếu ac ≡ bc (mod m) và gcd (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).

Bổ đề 1.1.3 (Định lý Nhị thức) Nếu n là số nguyên dương thì

Bổ đề 1.1.4 (Định lý đa thức) Nếu k1, k2, , km và n là các số nguyên không

âm sao cho với n ≥ 1 và k1+ k2+ + km= n, thì

Bổ đề 1.1.5 (Định lý phần dư Trung Hoa) Cho m1, m2, , mr với r ≥ 2 là các

số tự nhiên sao cho chúng nguyên tố cùng nhau từng đôi một và có tích bằng m Khi đó hệ r phương trình đồng dư tuyến tính:

Bổ đề 1.1.6 Nếu a và b là các số nguyên sao cho a ≥ b > 0, khi đó sẽ chỉ tồn

tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = qb + r và 0 ≤ r < b

Bổ đề 1.1.7 Cho v là bậc của x (mod N) Nghĩa là v là số nguyên dương nhỏ

nhất sao cho xv≡ 1 (mod N) Khi đó hệ {1, x, x2, , xv−1} là phân biệt (mod N)

và nguyên tố cùng nhau với N.

Bổ đề 1.1.8 Cho d = gcd(a, m) Nếu d|b, thì ax ≡ b (mod m) có chính xác d

Bổ đề 1.1.11 Nếu p là số nguyên tố và 1 ≤ k ≤ p − 1 khi đó p− 1

k

!

≡(−1)k (mod p).

!

= pk

!

− p− 1

k− 1

!

đó r, r2, , rϕ (n) đồng dư mođun n với r1, r2, , rϕ (n) theo thứ tự, với ϕ(n) là

số các số nguyên dương bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.

Bổ đề 1.1.13 Số nguyên n > 1 có căn nguyên thủy khi và chỉ khi n = 2, 4, pe

hoặc 2pe với p là số lẻ, với căn nguyên thủy của n được định nghĩa như sau: Nếu r, n là các số nguyên tố cùng nhau, n > 0 và nếu ordn= ϕ(n) được gọi là

căn nguyên thủy modunlo n.

Bổ đề 1.1.14 (Công thức Euler) Cho a và n là các số nguyên không âm với

a≥ n Khi đó

n! = an− n

1

!(a − 1)n+ n

2

!(a − 2)n− n

3

!(a − 3)n

+ + (−1)n n

n

!(a − n)n

Công thức Euler gốc được chứng minh theo phương pháp quy nạp Chứngminh dưới đây sử dụng nguyên lý Bù - Trừ

Chứng minh (How and Turnage, 2007) Ban đầu ta đếm số cách khác nhau để

đặt n vật khác nhau vào trong a ô khác nhau, với điều kiện n ô đầu tiên khôngđược phép để trống và n ≤ a Khi đó sẽ có n cách chọn với ô đầu tiên, n − 1cách chọn với ô thứ hai Tiếp tục như vậy sẽ có n! cách để đặt vật vào trong các

ô Bây giờ ta sẽ tìm câu trả lời theo một cách khác

Đầu tiên, xét tập U là tập bao gồm tất cả cách sắp xếp của các vật khác nhauvào trong các ô khác nhau không có sự hạn chế Khi đó |U | = an, vì với mỗi nvật sẽ có a cách chọn đối với một ô

Gọi Pi là tính chất mà ô thứ i rỗng Sử dụng nguyên lý Bù - Trừ, ta phânphối các vật vào trong các ô không chứa bất kì tính chất nào trong các tính chất

P1, P2, , Pn Gọi N(Pi0) là số cách phân phối không chứa tính chất Pi và N(Pi)

là số cách phân phối chứa tính chất Pi Khi đó sử dụng nguyên lý Bù - Trừ

đó sẽ có (a − 1)n cách sắp xếp n vật vào a − 1 ô còn lại Do đó ∑ N(Pi) =n

3

!(a − 3)n và tiếp

tục như vậy Do đó tổng quát với k = 1, 2, , n sẽ có n

k

!cách chọn k của tínhchất và khi đó có (a − k)n cách sắp xếp n vật vào trong (a − k) ô Do đó

N(P10P20· · · Pn0) = an− n

1

!(a − 1)n+ n

2

!(a − 2)n− · · · + (−1)n n

n

!(a − n)n,

hay suy ra

n! = an− n

1

!(a − 1)n+ n

2

!(a − 2)n− · · · + (−1)n n

n

!(a − n)n

1.2 Chứng minh ban đầu Định lý Fermat nhỏ

Định lý 1.2.1 (Định lý Fermat nhỏ) Nếu p là số nguyên tố, a là một số nguyên

và gcd(a, p) = 1 thì ap−1≡ 1 (mod p).

Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trongkiểm tra Fermat

Trong một lá thư gửi cho người bạn Berhard Frénicle de Bessy ngày 18 tháng

10 năm 1640, Pierre de Fermat đã lần đầu tiết lộ về Định lý Fermat nhỏ, ông đãkhẳng định rằng: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hếtcho p thì ap−1− 1 chia hết cho p

Tuy nhiên, như thường lệ ông không cung cấp cách chứng minh với Frénicle

"Tôi muốn gửi cho anh cả chứng minh tuy nhiên lại sợ rằng nó quá dài", xem[5]

Gần 100 năm sau, vào năm 1736 chứng minh đầu tiên cho Định lý Fermatnhỏ lần đầu được đưa ra bởi Euler trong một bài báo với tựa đề "Theorema-tum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio" Leibniz đã

có chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vàokhoảng trước năm 1683, xem [5]

Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu và đưa ra các cách khác nhau để chứngminh Định lý Fermat nhỏ Trong mục này chúng tôi xin trình bày các cáchchứng minh đó

Đây là một chứng minh được tìm thấy trong nhiều sách giáo khoa lý thuyết

số, và chúng tôi thấy nó về cơ bản là tương đương với hai chứng minh đầu tiêncủa Euler

Chứng minh 1.1 Đặt S = {a|ap≡ a(mod p)} với p nguyên tố và a ∈ N Ta có

0 ∈ Svì 0p= 0 với mọi p do vậy 0p≡ 0(mod p) Bây giờ ta giả sử rằng k ∈ S và

kp≡ k(mod p) Chúng ta muốn chỉ ra rằng k + 1 ∈ S, (k + 1)p≡ (k + 1)(mod p).Theo định lý Nhị thức, ta có:

Trong cuốn History of the Theory of Number [4, chương 3], cách chứng minh

Định lý Fermat nhỏ đã được đưa ra Tiếp theo, chúng ta tìm hiểu các chứng minhđược đưa ra bởi Leibniz, Euler, Lambert, Inovy, và Thue Chúng tôi sử dụng [4,chương 3] như một tài liệu tham khảo chung cho chương này.

Chứng minh dưới đây được đưa ra bởi G.W.Leibniz (1646 - 1716)

0 (mod p), hay xp≡ x (mod p) Nếu gcd(x, p) = 1, suy ra xp−1≡ 1 (mod p).Dưới đây là ba cách chứng minh của L Euler (1707-1783) về Định lí Fermatnhỏ và nó bao gồm cả chứng minh của Dickson

Chứng minh 1.3 (Euler, 1736)

Cho p là một số nguyên tố Theo công thức Nhị thức,

2p= (1 + 1)p = p

0

!+ p1

!+ p2

!+ + p

p− 1

!+ pp

!

= 1 + p + p

2

!+ + p + 1

= 2 + pm

Vì với mỗi j ∈ Z thì p| p

j

!với 1 ≤ j ≤ p − 1

Tương tự, 3p= (1 + 2)p = 1 + 2p+ k p, với k ∈ Z vì với mỗi hệ số sẽ có mộtnhân tử của p Khi đó 3p− 1 − 2p= k p, bằng cách thêm và bớt đi 2 ở vế trái

ta thu được 3p− 3 − (2p− 2) = kp Tổng quát ta có (1 + a)p = 1 + ap+ np với

n ∈ Z Do đó (1 + a)p− 1 − ap= np và bằng cách thêm rồi bớt a vào bên tráibiểu thức ta thu được

(1 + a)p− (1 + a) − (ap− a) = np

Do đó (1 + a)p− (1 + a) = (ap− a) + np với n ∈ N Nếu p chia hết ap− a thìkhi đó p chia hết (1 + a)p− (1 + a) Ta chứng minh được với a = 2, p chia hết

ap− a Do đó với a > 2, ta xét a + 1 Giả sử p chia hết (a + 1)p− (a + 1) Khi

đó p sẽ chia hết (a + 1 + 1)p− (1 + a + 1) = (a + 2)p− (a + 2) Khi p chia hết(a + 2)p−(a+2) thì p sẽ chia hết (a+2+1)p−(a+2+1) = (a+3)p−(a+3).Tiếp tục quá trình đó ta sẽ thấy rằng p chia hết xp− x với mọi x ∈ Z Do đó

xp− x ≡ 0 (mod p) nên xp≡ x (mod p) Nếu gcd(x, p) = 1 bằng giản ước ta có

Đặt b = 1 Khi đó (a + 1)p− a − 1 chia hết cho p khi ap− a chia hết cho

p Vì (a + 1)p− (a + 1) chia hết cho p nên (a + 2)p− a − 2 cũng chia hết p.Tiếp tục và làm với a = 1 ta thấy rằng p chia hết xp− x với mọi x ∈ Z Do đó

xp− x ≡ 0 (mod p) hay xp≡ x (mod p) Nếu gcd(x, p) = 1 bằng giản ước ta có

xp−1≡ 1 (mod p)

Chứng minh 1.5 (Euler, 1758)

Cho p là số nguyên tố, a ∈ Z và gcd(a, p) = 1 Xét tập {1, a, a2, , ar} với

r ∈ Z Có p − 1 số dư dương nhỏ hơn p phân biệt Cho am và an là hai số

dư (mod p) với m > n Khi đó am ≡ an (mod p) Giản ước an ở cả hai vế tathu được am−n ≡ 1(mod p), vì vậy p chia hết am−n− 1 Cho t là số nguyêndương bé nhất sao cho at− 1 chia hết cho p Vậy t là cấp của a(mod p) Khi đótập {1, a, a2, , at−1} có các số dư phân biệt (mod p) Do đó t ≤ p − 1 Nếu

t = p − 1, chứng minh hoàn tất Nếu t < p − 1, khi đó tồn tại một số nguyêndương k (với k < p) Khi đó hệ {k, ak, a2k, , at−1k} có các số dư khác nhau,

mà không có giá trị số dư nào là của lũy thừa của a (mod p)

(Chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử kar ≡ kas (mod p) với r > s và r, s ≤ t − 1 Khi đó ar ≡ as (mod p) suy

ra ar−s≡ 1 Vì r 6= s, suy ra rằng r − s 6= 0 Vì r, s ≤ t − 1, r − s < t, nhưng do t

là bậc của a Do đó ta có điều mâu thuẫn.)

Xét hai hệ {1, a, a2, , at−1} và {k, ak, a2k, , at−1k} Chúng có hai giá trị dưkhác nhau là 2t (mod p), mà 2t ≤ p − 1 Nếu t = p−12 , khi đó t|(p − 1) Nếu

t < p−12 , ta bắt đầu với một số nguyên mới s và thấy rằng {s, as, a2s, , at−1s}

có các giá trị dư khác nhau, không có giá trị nào là lũy thừa của a hoặc ka

Do vậy 3t ≤ p − 1, do đó t ≤ p−13 Tiếp tục quá trình đó, vì t ≤ p − 1, tính chocùng t chia hết p − 1 Do đó p − 1 = tm với m ∈ Z, do đó ap−1 = atm Do đó

ap−1≡ atm(mod p), vậy ap−1≡ atm≡ (at)m (mod p) Do đó ap−1≡ 1 (mod p).Trong chứng minh này, Euler kết luận rằng ap−1− 1 chia hết cho at− 1 Bởi vìt|(p − 1), và do đó ta hiểu p − 1 = tm với mọi m

Do đó (at− 1)(ap−1−t+ ap−1−2t+ · · · + ap−1−tm+1+ 1) = ap−1− 1

Ví dụ Cho p = 11 và a = 10 Xét tập {1, 10, 102, 103, } Có 11 − 1 = 10.Chú ý rằng 10 và 103 có cùng số dư (mod 11):

có số dư phân biệt, mà không số dư nào là lũy thừa của 10 (mod 11) hoặc

102· 2 (mod11) Ta có 3 · 2 = 6 số dư phân biệt, nhưng 6 < 11 − 1 Tiếp tục tínhtoán và ta thấy rằng các số dư phân biệt như sau

{1, 10}, {2, 9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}

Do đó có 5 · 2 = 10 = 11 − 1 số dư phân biệt (mod 11) Do đó

Vì các hạng tử trung gian là một chuỗi đan dấu,

Vì c < b, nếu p | c khi đó c ≡ 0 (mod p) suy ra b ≡ 1 (mod p) và 1p−1 ≡

1 (mod p)

Nếu p - c, khi đó sử dụng quy nạp với các số nguyên tố cùng nhau với p, gọi

S= {x|xp−1− 1 ≡ 0 (mod p), p - x} Khi đó 1 ∈ S vì 1p−1≡ 1 (mod p) Giả sử

c∈ S sao cho cp−1− 1 ≡ 0 (mod p) Khi đó cp−1p−1 ∈ Z và vì gcd(p, c + 1) = 1

và c + 1|(cp−1− 1) ta thấy rằng p(c + 1) | (cp−1− 1) suy ra rằng p | (bp−1− 1)

Chứng minh 1.7 (Ivory, 1860)

Cho n ∈ Z sao cho p - n Xét tập T = {n, 2n, 3n, , (p−1)n} và cho S là tập các

số dư dương bé nhất (mod p) của các phần tử của T Nếu j ∈ Z và 1 ≤ j ≤ p−1,khi đó p - pa và bất kì phần tử nào của S và T là phân biệt Do đó S là một hoán

Do đó gcd((p − 1)!, p) = 1 bằng thu gọn ta được np−1≡ 1 (mod p)

Chứng minh tiếp theo của định lý Fermat nhỏ được đưa ra bởi Axel Thue(1863-1922):

!(a − b)i(−1)p−i

= (−1)p p

0

!(a − b)0+ (−1)p−1 p

1

!(a − b)1

+ · · · + (−1)0 p

p

!(a − b)p

vì p là số lẻ Bây giờ bằng cách cho b = 0, 1, 2, với bất kì số nguyên a nào:

ap− (a − 1)p = 1 + h1p(a − 1)p− (a − 2)p = 1 + h2p(a − 2)p− (a − 3)p = 1 + h3p

2p− 1p = 1 + ha−1p

1p− 0p = 1 + hapvới hi là số nguyên Bằng cách cộng các phần tử từ mỗi bên, ta có

ap= a + hpvới h = h1+ h2+ + ha Do đó ta có thể kết luận rằng p | (ap− a)

1.3 Chứng minh ban đầu Định lý Wilson

Định lí 2 (Định lý Wilson)

Nếu p là số nguyên tố khi đó (p −1)! ≡ −1 (mod p)

Những tuyên bố về Định lý Wilson lần đầu tiên xuất hiện trong Meditationes

Algebraicae vào năm 1770 trong một tác phẩm của nhà toán học người AnhEdward Waring John Wilson, một cựu sinh viên của Waring, công bố định lýnhưng không cung cấp chứng minh, giống như Fermat đã làm với Định lý nhỏFermat Vào năm 1771, Lagrange đã cung cấp chứng minh đầu tiên Tương tựnhư trường hợp của Định lý nhỏ Fermat, lưu ý rằng đã có bằng chứng Leibniznhận đã chứng minh Định lý này, nhưng không bao giờ công bố [5, P.97] Trừkhi có ghi chú khác, các chứng minh trong chương này là từ [4, chương 3].Các chứng minh dưới đây xuất hiện trong cuốn Beginning Number Theorycủa Robbin và rất nhiều sách khác Chứng minh dưới đây là một trường hợp đặcbiệt của một chứng minh tổng quát được đưa ra bởi Dirichlet vào năm 1828

Chứng minh 2.1.

Nếu p = 2 khi đó (2 − 1)! = 1 ≡ −1 (mod 2) và nếu p = 3 khi đó (3 − 1)! = 2 ≡

−1 (mod 3) Do đó giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 3 Vì (p − 1) ≡ −1 (mod p)

nó cũng đủ để cho thấy rằng (p − 2)! ≡ 1 (mod p) Theo như bổ đề 7, với mỗi

số j sao cho 1 ≤ j ≤ p − 1 sẽ tồn tại một số nguyên k sao cho 1 ≤ k ≤ p − 1 với

jk≡ 1 (mod p) Nếu k = j, khi đó j2≡ 1 (mod p) với j = 1 hoặc j = p − 1 Do

đó nếu 2 ≤ j ≤ p − 2, khi đó tồn tại số nguyên k sao cho j 6= k và 2 ≤ k ≤ p − 2

và jk ≡ 1 (mod p) Vì có 12(p − 3) cặp như thế nhân chúng với nhau được(p − 2)! ≡ 1 (mod p) Khi đó

(x + 1)(x + 2) · · · (x + p)

!+ A2 p− 2

k

!+ A2 p− 2

k− 1

!+ · · · + Ak−1 p− k + 1

2

!

Cho p là số nguyên tố Khi đó với 0 < k < p, p

k

!

là số nguyên chia hết cho p

Do đó tất cả A1, 2A2, , (p − 2)Ap−2 đều chia hết cho p

(p − 1)Ap−1 = p

p

!+ p− 1

Do đó

(p − 1)Ap−1 ≡ 1 (mod p)(−1)Ap−1 ≡ 1 (mod p),

k ≤ p − 1 Tham khảo [6, Chương 5] để hiểu thêm về số Stirling.

Lagrange cũng cung cấp chứng minh thứ hai, điều đó sử dụng công thứcEuler (tham khảo thêm Chương 2):

Chứng minh 2.3 (Lagrange, 1773) Đọc lại công thức Euler (Bổ đề 11):

x! = ax− x(a − 1)x+ x

2

!(a − 2)x− x

3

!(a − 3)x+ · · ·

Thay x = p − 1 và a = p ta có

(p − 1)! = pp−1− (p − 1)(p − 1)p−1+ p− 1

2

!(p − 2)p−1

− p− 1

3

!(p − 3)p−1+ · · · − p− 1

p− 2

!(2p−1) + (−1)p−1

p− 2

!+(−1)p−1(mod p)

khi đó đồng dư với hệ {1, 2, 3, , p − 1} Khi đó tích của hệ các phần tử phảiđồng dư, do đó

Hai số m, n gọi là tương ứng nếu m, n < p và mn ≡ a (mod p), với p là số nguyên

tố, a là số nguyên cố định, và a, p là nguyên tố cùng nhau Bây giờ, với mỗi số

1, 2, , p − 1 có duy nhất một số tương ứng Bất kì một đồng dư tuyến tínhnào với d = gcd(a, n), ax ≡ b (mod n) có d nghiệm nếu d | b Trong trường hợpnày, ax ≡ b (mod p) có 1 nghiệm vì gcd(a, p) = 1 Do vậy có duy nhất một sốnguyên n với 1 ≤ n ≤ p − 1 sao cho mn ≡ a (mod p)

Trường hợp 1: Nếu x2≡ a(mod p) không có nghiệm nguyên, số tương ứng làphân biệt và

1 · 2 · 3 · · · (p − 1) = (p − 1)! ≡ ap−12 (mod p)

vì p−12 là bậc của a

Trường hợp 2: Nếu k là một số nguyên dương nhỏ hơn p sao cho k2≡ a (mod p),

Vì ap−12 ≡ ±1 (mod p), bình phương ta sẽ thu được Định lý Fermat nhỏ

2+· · ·+ f

k(x0)k! (x−x0)

2+ · · · + f

k(0)k! (x)

ex = 1 + x +x

22!+

x33!+ · · ·

ex22 = 1 +

x22!

1! +

(x22)22! +

(x22)33! + · · ·

expp = 1 +

xpp1! +

(xpp)22! +

(xpp)33! + · · ·

Do đó

ex+x22 +x33 +···

= (1 + x +x

22!+

x33! + · · · )(1 +

x22!

1!+

(x22)22! +

(x22)33! + · · · ) (1 +

xpp1! +

(xpp)22! +

(xpp)33! + · · · )

= 1 + x

1!+ x

2 12!+

12

+ x3(13! +

11!·

1 21!+

1 31!) +

· · · xp 1

p!+

1(p − 2)!·

1 21!+ +

1 p1

!+ · · ·

Hạng tử xp là tổng của các hạng tử trong công thức sau

Trường hợp 1 a1= p, ai= 0 với mọi i > 1 Ta sẽ được x

pp!.

Trường hợp 2 ap= 1, ai = 0 với mọi i < p Cho ta

xpp1! =

1

p+r

s = 1p!s

1 (

1p!+

Với 1 ≤ j ≤ k − 1, theo đồng nhất thức Pascal hệ số của f (x + j) là

(−1)k− j

"

k− 1j

!+ k− 1