chuyen de BD HSG toan9

66 231 0
chuyen de BD HSG toan9

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • Một số tập toán nâng cao LỚP • • PHẦN I: ĐỀ BÀI • Chứng minh • a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) • b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) • Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 • a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : • b) Cho a, b, c > Chứng minh : • c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab • Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 • Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b • Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) • Tìm liên hệ số a b biết rằng: a + b > a − b • a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a • b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ • Chứng minh bất đẳng thức: • a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) • Tìm giá trị x cho: • a) | 2x – | = | – x | • Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) • Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá số vô tỉ a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ • Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P • Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : • x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = • Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : • a) • c) • Hãy viết số hữu tỉ số vơ tỉ lớn • Giải phương trình : • Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = • Cho S = • Hãy so sánh S • Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương • Cho số x y dấu Chứng minh : • a) • b)  • + 15 23 − 19 27 b) 17 + + d) nhỏ 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 1999 x y + ≥2 y x  x y2   x y  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y  x y4   x y2   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y • Chứng minh số sau số vô tỉ : • a) • b) m + • Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ khơng ? • 45 1+ với m, n số hữu tỉ, n ≠ n x y x y2 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥  + ÷ y x y x • x y2 z2 x y z Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x • Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vơ tỉ • Chứng minh bất đẳng thức : • (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) a số vô tỉ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) • (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) • Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ • Chứng minh : • Tìm giá trị lớn biểu thức : A = [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] x − 6x + 17 x y z + + với x, y, z > y z x • Tìm giá trị nhỏ : A = • Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = • Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = • Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : • ab • a + b • a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) • Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) • Cho a, b, c, d > Chứng minh: • Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + • Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng a số vô tỉ b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 • Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : • A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1− x2 − E= x+ G = 3x − − 5x − + x + x + • a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? • b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: • • c) Giải phương trình: M = x + 4x + + x − 6x + 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 + −2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • Giải phương trình: 2x − 8x − x − 4x − = 12 • Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : • A = x2 + x + B= 1 − 3x C = − − 9x D= x − 5x + • E= G= 2x + + x x + x−2 x −4 H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 x −3 • Giải phương trình: • Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = • Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x • 48 So sánh : a) a = + b= • c) • Với n + − n + giá trị x +x +1 b) − 13 + −1 n+1 − n (n số nguyên dương) x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) • Tính a) : 4−2 b) 11 + c) 27 − 10 • d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) • Rút gọn biểu thức : M = 41 45 + 41 + 45 − 41 • Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = • Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 25x − 20x + + 25x − 30x + • Giải phương trình sau: • CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • d) x − x − 2x + = • e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 • k) x + − x − + x + − x − = • • l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x−y Rút gọn biểu thức : • a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh • 2+ = d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 58 Rút gọn biểu thức : • a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − • 59 So sánh : • a) + 20 1+ b) • 60 Cho biểu thức : A = • Tìm tập xác định biểu thức A • Rút gọn biểu thức A • 61 Rút gọn biểu thức sau: 17 + 12 x − x − 4x + +1 c) 28 − 16 − CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • a) 11 − 10 + 11 + − + c) − 14 b) + + − + 10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: • 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c • 63 Giải bất phương trình : • 64 Tìm x cho : • 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x − 16x + 60 < x − x2 − + ≤ x2 • x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = • 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: • a) A = • b) B = x − 2x − 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x (1) 16 − x + x − 8x + 2x + − x − x − 2x x + x − 2x • Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa • b) Rút gọn biểu thức A • 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : • 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - • 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = • 71 Trong hai số : • 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách • 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) • 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : • 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; • 76 So sánh • 77 Rút gọn biểu thức : Q = • 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức c) Tìm giá trị x để A < 0,9999 (20 chữ số 9) | + | y – | với | x | + | y | = n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 3+ ; − ; 2 +3 + +1 + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN bậc hai • 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = • 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x • 81 Tìm giá trị lớn : M = • 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ có hai số dương (a, b, c, d > 0) • 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 • 84 Cho x + y + z = • 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n • 86 Chứng minh : • 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác ( xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z a+ b ) đoạn thẳng có độ dài • • ≥ 2(a + b) ab a , b , c lập thành tam giác ab − b a 88 Rút gọn : a) A = − b b (x + 2) − 8x b) B = x− x 89 Chứng minh với số thực a, ta có : • 90 Tính: A = + + − hai cách • 91 So sánh : a) • 92 Tính : P = +5 6,9 2+ + 2+ (a, b ≥ 0) + b) 2− − 2− a2 + a +1 ≥ Khi có đẳng thức? 13 − 12 7− • 93 Giải phương trình : • 94 Chứng minh ta ln có : Pn = 1.3.5 (2n − 1) < ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + • 95 Chứng minh a, b > a+ b≤ x + + 2x − + x − − 2x − = 2 a2 b2 + b a CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷ x −   x − 4(x − 1) • 96 Rút gọn biểu thức : • 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) A= a b +b a : = a − b (a, b > ; a ≠ ab a− b b) •  14 − 15 −  b)  + = −2 ÷: 1−  −  1−  a + a  a − a  c) 1 + ÷1 − ÷= − a a +  a −1   (a > 0) • 98 Tính : a)  c)   • • • c) • • • + 15 18 + 19 + 48 b) + 15 12 + 16 25 d) a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 – b > 0) ± 2 a± b = p a) 28 16 ữ 100 Cho đẳng thức : • • + 48 − 99 So sánh : a) • ; b) + − 13 + 48 − − 29 − 20 c) dụng 2+ + 2+ kết + 2− − 2− ; b) để 3−2 17 − 12 rút − gọn 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − xy + x − y − 2 a + bx + a − bx a + bx − a − bx với x = với x = 1 1  a + ÷, y = 2 a 1 1 b + ÷ 2 b 2am , m < b ( + m2 ) (a > ; b > 1) : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • 102 Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 3x − 4x + • Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) • Chứng minh x > P(x).P(- x) < • 103 Cho biểu thức • Rút gọn biểu thức A • Tìm số ngun x để biểu thức A số ngun • 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: • a) − x b) x − x (x > 0) e) − − 3x g) 2x − 2x + A= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 4 − +1 x2 x c) + − x d) x − − • • 105 Rút gọn biểu thức : A = • 106 Rút gọn biểu thức sau : a) • b) h) − − x + 2x + i) 2x − x + x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? + 48 − 10 + 4 + 10 + + − 10 + 94 − 42 − 94 + 42 c) • 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ • a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b b ) b) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 • 108 Rút gọn biểu thức : A = • 109 Tìm x y cho : • 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b2 + c2 + d ≥ • 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b • 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : x + 2x − + x − 2x − x+ y−2 = x + y − ( a + c) 2 + ( b + d) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 10 a + + b + + c + < 3,5 • a) • 113 CM: (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + a +b + b+c + c+a ≤ b) (a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > • 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x • 115 Tìm giá trị nhỏ : A = • 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ • 117 Tìm giá trị lớn A = x + • 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − • 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = • 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = • 121 Giải phương trình : • 122 Chứng minh số sau số vơ tỉ : • 123 Chứng minh • 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : • (x + a)(x + b) x 2−x 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 3− ; 2+ x−2 + 4−x ≤ a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > • 125 Chứng minh • 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài • a , b , c lập thành tam giác (a + b) a + b 127 Chứng minh + ≥ a b + b a với a, b ≥ a b c + + > với a, b, c > b+c a +c a+b • 128 Chứng minh • 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = • 130 Tìm giá trị nhỏ A = • 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x • 132 Tìm giá trị nhỏ A = • 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + x − x −1 + x + x −1 x + + x − 2x + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 52 1 nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 • Ta có : a + b = - , ab = - • a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = • Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = − • a) a = ( − 1) = − 2 = − • a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 • Theo khai triển Newton : (1 - • Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + • Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) • Bây ta xét an Có hai trường hợp : • Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - • A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) • Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - • 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) • Thay a = • ⇔ • Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào 17 ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = − − = 4 17   239 −  − ÷( −1) = −  64  64 )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N )]n = (- 1)n )(1 - )n = A - B = n 2) =B -A= A − 2B2 Điều kiện 2B2 − A Điều kiện vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) phương trình cho : • x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = • Các nghiệm phương trình cho là: ± • Đặt A = • Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : • - a 1 + + + n 2 = > =2 k k+ k k +1 + k ( ) ( ( ) k +1 − k ) ( ) • Do A >  − + + − + + + − n + n +  = • =2 • Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A :  ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • • 2 = < =2 k k+ k k + k −1 Do : A <   ( ) n − n − + + 53 ( k − k −1 ( 3− + ) ( ) ) −  = n −2  Kí hiệu a = + + + + có n dấu Ta có : n • a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = • a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + • Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 • Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + • Xét biểu thức y = (2 - • Dễ thấy < - • Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 • b) Đáp số : [ a3 ] = 51 • 215 Đặt x – y = a ; • a) Nếu b ≠ )2 x = + )2 y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : x−y a = ⇒ x+ y b x− y= a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b 1 a x =  b + ÷ số hữu tỉ ; 2 b 1 a y =  b ữ l s hu t b Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ • Ta • có n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n +  n n +1   n n +1  n • •  n  1    = 1 + − − ÷ ÷<  ÷ Từ ta giải tốn n + n n + n n +       Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • a25 ≥ 25 Thế : 54 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ • < 2 + + + +1 = 24 + 24 23 + 23 2+ =2 • ( ) 25 − + = ( ) 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : 25 số a1 , a2 , … , a25 • Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt • Ta có : ab = − x , a + b = Phương trình : ⇒ 2+ x = a ≥ ; − x = b ≥ a2 - a2b + b2 + ab2 = a2 b2 + = 2 +a −b (2 - b + a - ab) • ⇒ (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) • ⇒ (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) • ⇒a–b= • Bình phương : a2 + b2 – 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + ≠ 0) − x = Tìm x = − x2 = a −1 a +1 • Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : • Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = • Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) • Kết luận : Nghiệm x = • Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > • Từ hệ phương trình cho ta có : a a +1 a Với a ≥ a +1 x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • 55 y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng Tương tự thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) • a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < 107 A + B số tự nhiên • • Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 • Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N • B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên • Do < B < • Chú ý : 10- = 0,0000001 • Giải tương tự câu a • Ta thấy với n số phương A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 n số vô tỉ, nên số nguyên an gần • n số tự nhiên, n khác số phương n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N* có n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … a n 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : • 1− 1 có hai nghiệm tự nhiên < x < 1+ 2 • 2− 1 < x < + có bốn nghiệm tự nhiên 2 • 3− 1 < x < + có sáu nghiệm tự nhiên 2 • Tổng quát : k − 1 có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương < x (1) 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x  = 3− x maxA = ⇔  ⇔ x = x ≥ • a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : • x + 1+ − x + 3.3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) • b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt z2 x − = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • 58 y + z = (2)  nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : z2 − y3 = (3) z ≥ (4)  Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = • Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = • a) Có, chẳng hạn : • Khơng Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà • a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) • Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) ⇒ 2(a + b) • Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn • a) Giả sử 1 + = 2 số hữu tỉ Giả sử + số hữu tỉ = + (a + b)2 – 4ab m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh n n m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết • a + b = Bình phương hai vế : m phân số tối giản n m (phân số tối giản) Suy : n • m3 = n3 • ( ) + = + 3.3 m 6m = 6+ ⇒ m3 = 6n3 + 6mn2 (1) ⇒ m3 M2 ⇒ m M2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết • m phân số tối giản n Cách : Đặt a = x , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a+ b+ c ≥ abc x3 + y3 + z3 tương đương với ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 59 (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập • x3 + y3 + z3 – 3xyz = • Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : • Xảy dấu đẳng thức a = b = c • Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : • a+ b+ c+ d 1 a+ b c + d  =  + ÷≥ 2 2  ( ) ab + cd ≥ sbt) a+ b+ c ≥ abc ab cd = abcd • a+ b+ c  a+ b+ c + d  Trong bất đẳng thức  ta : ÷ ≥ abcd , đặt d =   • • a+ b + c   a + b + c +  ÷ a+ b+ c a+ b+ c  a+ b+ c  ⇒   ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3    ÷   Chia hai vế cho số dương a+ b+ c (trường hợp số a, b, c 0, toán 3 a+ b+ c  a+ b+ c  chứng minh) :  ≥ abc ÷ ≥ abc ⇔   • Xảy đẳng thức : a = b = c = • Từ giả thiết suy : a+ b+ c ⇔ a=b=c=1 b c d a Áp dụng bất đẳng thức + + ≤ 1− = b+ c+ d + a+ a+ Cauchy cho số dương : b c d bcd ≥ + + ≥ 3.3 a+ b+ c + d + (b + 1)(c + 1)(d + 1) Tương tự : acd ≥ 3.3 b+ (a + 1)(c + 1)(d + 1) • abd ≥ 3.3 c+ (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3.3 d+1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) • Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 81 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN • Gọi A = 60 x2 y2 z2 + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2 • •  x2 y2 z2  x y z 3A =  + + ÷(1+ 1+ 1) ≥  + + ÷  y z x y z x  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z x y z + + ≥ 3.3 = (2) y z x y z x  x y z  x y z x y z 3A  + + ÷ ≥ 3 + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x  y z x  y z x • Nhân vế (1) với (2) : • 235 Đặt x = 3+ 3 ; y = 3− 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : • b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) • Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : • b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = • = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) • Vậy b3 > a3 , b > a • a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n • n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1  1 2+ + + n  1+ ÷ = 1+ n + n 2! n 3! n n! n  n 1 1 + + + ÷ n!   2! 3! • < 1+ 1+  • Dễ dàng chứng minh : • = 1− • b) Với n = 2, ta chứng minh 1 1 1 + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 + − + + − = 1− < 2 n−1 n n n Do (1+ )n < 3 > (1) Thật vậy, (1) ⇔ ( 3) > ( 2) 6 ⇔ 32 > 22 • Với n ≥ 3, ta chứng minh n n > n+1 n + (2) Thật : • (2) ⇔ (3) ( n+1 ) n+ n(n+1) < ( n) n n(n+1) n n+1 ⇔ (n + 1) < n n (n + 1)n  1 ⇔ < n ⇔  1+ ÷ < n n n  n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN   61 n 1 ÷ < , mà ≤ n nên (3) chứng minh n • Theo câu a ta có  1+ • Do (2) chứng minh • Cách : A = x2 + 1+ x4 + x2 + ≥ A = với x = • Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : • A ≥ 24 (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = 24 x4 + x2 + ≥ • A = với x = • 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x 2(x – 2) Áp dụng bất ) ( đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : • x x   + + x − 2÷ A x x  2x −  − = (x − 2) ≤  ÷ =  ÷ ≤ 2 3 ữ - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = • Điều kiện : x2 ≤ •  x2 x2 2 + + − x 2  ÷ x x A = x4(9 − x2) = (9 − x2) ≤ 4 2 ÷ = 4.27 2 ữ ữ max A = với x = ± • a) Tìm giá trị lớn : • Cách : Với ≤ x < • Với x ≥ • Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = • Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ • max A = với x = • Tìm giá trị nhỏ : • Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – Ta có 6 A = x(x2 – 6) ≤ ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ 6x - 16 • = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - ≥ - 2 )2 - CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 62 • A = - với x = • Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số khơng âm : • x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3.2 2.2 = 6x x x • • Suy x – 6x ≥ - A = - với x = Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 • Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : x x x •  4x + 3− 2x + 3− 2x  = 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤  ÷   2x ⇔ x = max V = ⇔ 4x = – • Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ • 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt dm 2 − x = a; x − 1= b Đáp số : ; ; 10 • Lập phương hai vế Đáp số : ; ± • Đặt 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = ⇔ x = y Đáp số : ; • Rút gọn vế trái : • Đặt ( −1± ) x − x2 − Đáp số : x = − x = a; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải a − b a3 − b3 a3 − b3 phương trình cho Phương trình cho trở thành : = a+ b 2 a − b a3 − b3 = 3 ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a+ b a + b • Do a3 + b3 = nên • Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) • Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = • h) Đặt • Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = x + 1= a; x − 1= b Ta có : a2 + b2 + ab = x 3-2x Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp • x 3-2x (1) ; a3 – b3 = (2) x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN 63 • Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho • Đặt • Cách : Đặt 3 x+ x+1 x+ = a; = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+ x+ x + = y Chuyển vế : y3 − + y3 + = − y Lập phương hai vế ta : • y3 – + y3 + + 3 y6 − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y y6 − • Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y = y6 − Lập phương : y6 = y6 – Vơ n0 • Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : • • x • • x < • -2 • • • x > • x+1 < - • • • x+ bất 3= đẳng thức x+ > • > - a b + a + b ≤ = a + b + 1≤ • < -x k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), Theo • trái < • < • > > ab + a + b = (2) Cauchy mn ≤ m+ n , ta có a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+ b + + 1= + = 2 • Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = • Đặt • Phương trình cho trở thành : m + n = Vế a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b – 2x m4 + n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = • Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > • Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa • Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a • Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • Đặt • (x = a = x ; b = y , ta có : A = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = 64 x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = x + xy + y x + xy + y + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy • Vậy : A = a + b − ab • Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : (với a2 + b2 ≠ 0) • A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = • • = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : 2  x + x + = x − x + ⇔ x = Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A   x + x + = = ⇔ x = • Vì + • 3(1 + • Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) • nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = = Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18∈ Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = • Nếu q ≠ • Vậy + • • =- p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = :  4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b =   2a + b + 18 = Giả sử 3 số hữu tỉ p p p3 ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh q q q p q chia hết cho 3, trái với giả thiết p phân số tối giản q CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN ( ) 65 • a) Ta có : • Do : • b) • Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 1+ = 1+ = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) = + − = −1 • a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ⇒ a = • Giải tương tự 21 • A=2+ • Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) • Từ x = • Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = • a) x1 = - ; x2 = 25 • 3− + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 3 u = v + Đặt u = x - , v = x - , ta :  ⇔ u = v = - ⇒ x =  v = u + • Đặt : • Đưa biểu thức dạng : A = • A = • Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần • Đặt • 258 Ta có : P = x + 32 = y > Kết x = ± x3 + + + x + − Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | ⇔ -1 ≤ x ≤ x = y x = y ( x − a) ⇒ P = 23 x + 2 + ( x − b) =|x–a|+|x–b|≥|x–a+b–x|=b–a (a < b) • Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b • Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương • • Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 66 bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : • a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều) • 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 • 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 • Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + • Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = • Đưa pt dạng : • Nếu ≤ x ≤ y = • Đặt : • Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x + y2 ≥ 2xy Nhưng ( ) ( ) ( x − = y ≥ M = x − ) x − −1 + y−3 −2 + ( - 1) = - 2 z −5 −3 = )( ) x −1 + − x −1 x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = • Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : • c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c ≥ a + b ⇔ c ≥ • Dấu đẳng thức xảy a = b • Biến đổi ta : • – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ • -Hết ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' ) +( b 'c − bc ' ) a+b =0 ... + 14 = − 2x − x 3− ; 2+ x−2 + 4−x ≤ a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > • 125 Chứng minh • 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam... ≥ ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 ⇔ • a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ ⇔ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : - Nếu ≤ x - [ x ] < ½ ≤ 2x - [ x ] < nên [ 2x ] = [ x ] Nếu ½ ≤

Ngày đăng: 30/12/2017, 23:08

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan