chuyen de BD HSG toan9

CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • Một số tập toán nâng cao LỚP • • PHẦN I: ĐỀ BÀI • Chứng minh • a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) • b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) • Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 • a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : • b) Cho a, b, c > Chứng minh : • c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab • Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 • Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b • Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) • Tìm liên hệ số a b biết rằng: a + b > a − b • a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a • b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ • Chứng minh bất đẳng thức: • a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) • Tìm giá trị x cho: • a) | 2x – | = | – x | • Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) • Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá số vô tỉ a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ • Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P • Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : • x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = • Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : • a) • c) • Hãy viết số hữu tỉ số vơ tỉ lớn • Giải phương trình : • Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = • Cho S = • Hãy so sánh S • Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương • Cho số x y dấu Chứng minh : • a) • b)  • + 15 23 − 19 27 b) 17 + + d) nhỏ 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 1999 x y + ≥2 y x  x y2   x y  + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y  x y4   x y2   x y  c)  + ÷−  + ÷+  + ÷ ≥ x  y x  y x y • Chứng minh số sau số vô tỉ : • a) • b) m + • Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ khơng ? • 45 1+ với m, n số hữu tỉ, n ≠ n x y x y2 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥  + ÷ y x y x • x y2 z2 x y z Cho số x, y, z dương Chứng minh : + + ≥ + + y z x y z x • Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vơ tỉ • Chứng minh bất đẳng thức : • (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) a số vô tỉ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) • (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) • Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ • Chứng minh : • Tìm giá trị lớn biểu thức : A = [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] x − 6x + 17 x y z + + với x, y, z > y z x • Tìm giá trị nhỏ : A = • Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = • Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = • Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : • ab • a + b • a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) • Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) • Cho a, b, c, d > Chứng minh: • Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + • Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng a số vô tỉ b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 • Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : • A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1− x2 − E= x+ G = 3x − − 5x − + x + x + • a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? • b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: • • c) Giải phương trình: M = x + 4x + + x − 6x + 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 + −2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • Giải phương trình: 2x − 8x − x − 4x − = 12 • Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : • A = x2 + x + B= 1 − 3x C = − − 9x D= x − 5x + • E= G= 2x + + x x + x−2 x −4 H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 x −3 • Giải phương trình: • Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = • Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x • 48 So sánh : a) a = + b= • c) • Với n + − n + giá trị x +x +1 b) − 13 + −1 n+1 − n (n số nguyên dương) x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) • Tính a) : 4−2 b) 11 + c) 27 − 10 • d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) • Rút gọn biểu thức : M = 41 45 + 41 + 45 − 41 • Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = • Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 25x − 20x + + 25x − 30x + • Giải phương trình sau: • CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • d) x − x − 2x + = • e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 • k) x + − x − + x + − x − = • • l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x−y Rút gọn biểu thức : • a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 57 Chứng minh • 2+ = d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 58 Rút gọn biểu thức : • a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − • 59 So sánh : • a) + 20 1+ b) • 60 Cho biểu thức : A = • Tìm tập xác định biểu thức A • Rút gọn biểu thức A • 61 Rút gọn biểu thức sau: 17 + 12 x − x − 4x + +1 c) 28 − 16 − CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • a) 11 − 10 + 11 + − + c) − 14 b) + + − + 10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: • 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c • 63 Giải bất phương trình : • 64 Tìm x cho : • 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x − 16x + 60 < x − x2 − + ≤ x2 • x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = • 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: • a) A = • b) B = x − 2x − 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x (1) 16 − x + x − 8x + 2x + − x − x − 2x x + x − 2x • Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa • b) Rút gọn biểu thức A • 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : • 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - • 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = • 71 Trong hai số : • 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách • 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) • 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : • 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; • 76 So sánh • 77 Rút gọn biểu thức : Q = • 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức c) Tìm giá trị x để A < 0,9999 (20 chữ số 9) | + | y – | với | x | + | y | = n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 3+ ; − ; 2 +3 + +1 + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN bậc hai • 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = • 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x • 81 Tìm giá trị lớn : M = • 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ có hai số dương (a, b, c, d > 0) • 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 • 84 Cho x + y + z = • 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n • 86 Chứng minh : • 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác ( xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z a+ b ) đoạn thẳng có độ dài • • ≥ 2(a + b) ab a , b , c lập thành tam giác ab − b a 88 Rút gọn : a) A = − b b (x + 2) − 8x b) B = x− x 89 Chứng minh với số thực a, ta có : • 90 Tính: A = + + − hai cách • 91 So sánh : a) • 92 Tính : P = +5 6,9 2+ + 2+ (a, b ≥ 0) + b) 2− − 2− a2 + a +1 ≥ Khi có đẳng thức? 13 − 12 7− • 93 Giải phương trình : • 94 Chứng minh ta ln có : Pn = 1.3.5 (2n − 1) < ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + • 95 Chứng minh a, b > a+ b≤ x + + 2x − + x − − 2x − = 2 a2 b2 + b a CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1)   1 − ÷ x −   x − 4(x − 1) • 96 Rút gọn biểu thức : • 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) A= a b +b a : = a − b (a, b > ; a ≠ ab a− b b) •  14 − 15 −  b)  + = −2 ÷: 1−  −  1−  a + a  a − a  c) 1 + ÷1 − ÷= − a a +  a −1   (a > 0) • 98 Tính : a)  c)   • • • c) • • • + 15 18 + 19 + 48 b) + 15 12 + 16 25 d) a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 – b > 0) ± 2 a± b = p a) 28 16 ữ 100 Cho đẳng thức : • • + 48 − 99 So sánh : a) • ; b) + − 13 + 48 − − 29 − 20 c) dụng 2+ + 2+ kết + 2− − 2− ; b) để 3−2 17 − 12 rút − gọn 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − xy + x − y − 2 a + bx + a − bx a + bx − a − bx với x = với x = 1 1  a + ÷, y = 2 a 1 1 b + ÷ 2 b 2am , m < b ( + m2 ) (a > ; b > 1) : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • 102 Cho biểu thức P(x) = 2x − x − 3x − 4x + • Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) • Chứng minh x > P(x).P(- x) < • 103 Cho biểu thức • Rút gọn biểu thức A • Tìm số ngun x để biểu thức A số ngun • 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: • a) − x b) x − x (x > 0) e) − − 3x g) 2x − 2x + A= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 4 − +1 x2 x c) + − x d) x − − • • 105 Rút gọn biểu thức : A = • 106 Rút gọn biểu thức sau : a) • b) h) − − x + 2x + i) 2x − x + x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? + 48 − 10 + 4 + 10 + + − 10 + 94 − 42 − 94 + 42 c) • 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ • a) ( a + b ± a − b = a ± a2 − b b ) b) a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 • 108 Rút gọn biểu thức : A = • 109 Tìm x y cho : • 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b2 + c2 + d ≥ • 111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b • 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : x + 2x − + x − 2x − x+ y−2 = x + y − ( a + c) 2 + ( b + d) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 10 a + + b + + c + < 3,5 • a) • 113 CM: (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + a +b + b+c + c+a ≤ b) (a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > • 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x • 115 Tìm giá trị nhỏ : A = • 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ • 117 Tìm giá trị lớn A = x + • 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − • 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = • 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = • 121 Giải phương trình : • 122 Chứng minh số sau số vơ tỉ : • 123 Chứng minh • 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : • (x + a)(x + b) x 2−x 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 3− ; 2+ x−2 + 4−x ≤ a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > • 125 Chứng minh • 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài • a , b , c lập thành tam giác (a + b) a + b 127 Chứng minh + ≥ a b + b a với a, b ≥ a b c + + > với a, b, c > b+c a +c a+b • 128 Chứng minh • 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = • 130 Tìm giá trị nhỏ A = • 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x • 132 Tìm giá trị nhỏ A = • 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + x − x −1 + x + x −1 x + + x − 2x + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 52 1 nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 • Ta có : a + b = - , ab = - • a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = • Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = − • a) a = ( − 1) = − 2 = − • a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 • Theo khai triển Newton : (1 - • Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + • Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) • Bây ta xét an Có hai trường hợp : • Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - • A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) • Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - • 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) • Thay a = • ⇔ • Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào 17 ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = − − = 4 17   239 −  − ÷( −1) = −  64  64 )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N )]n = (- 1)n )(1 - )n = A - B = n 2) =B -A= A − 2B2 Điều kiện 2B2 − A Điều kiện vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) phương trình cho : • x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = • Các nghiệm phương trình cho là: ± • Đặt A = • Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : • - a 1 + + + n 2 = > =2 k k+ k k +1 + k ( ) ( ( ) k +1 − k ) ( ) • Do A >  − + + − + + + − n + n +  = • =2 • Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A :  ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • • 2 = < =2 k k+ k k + k −1 Do : A <   ( ) n − n − + + 53 ( k − k −1 ( 3− + ) ( ) ) −  = n −2  Kí hiệu a = + + + + có n dấu Ta có : n • a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = • a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + )2 = + • Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 • Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + • Xét biểu thức y = (2 - • Dễ thấy < - • Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 • b) Đáp số : [ a3 ] = 51 • 215 Đặt x – y = a ; • a) Nếu b ≠ )2 x = + )2 y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : x−y a = ⇒ x+ y b x− y= a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b 1 a x =  b + ÷ số hữu tỉ ; 2 b 1 a y =  b ữ l s hu t b Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ • Ta • có n   1   1 = = n − + − ÷= n  ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n +  n n +1   n n +1  n • •  n  1    = 1 + − − ÷ ÷<  ÷ Từ ta giải tốn n + n n + n n +       Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … CHUN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • a25 ≥ 25 Thế : 54 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ • < 2 + + + +1 = 24 + 24 23 + 23 2+ =2 • ( ) 25 − + = ( ) 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số a1 a2 a 25 Từ (1) (2) suy : 25 số a1 , a2 , … , a25 • Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt • Ta có : ab = − x , a + b = Phương trình : ⇒ 2+ x = a ≥ ; − x = b ≥ a2 - a2b + b2 + ab2 = a2 b2 + = 2 +a −b (2 - b + a - ab) • ⇒ (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) • ⇒ (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) • ⇒a–b= • Bình phương : a2 + b2 – 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + ≠ 0) − x = Tìm x = − x2 = a −1 a +1 • Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : • Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = • Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) • Kết luận : Nghiệm x = • Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > • Từ hệ phương trình cho ta có : a a +1 a Với a ≥ a +1 x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • 55 y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng Tương tự thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) • a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < 107 A + B số tự nhiên • • Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 • Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N • B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên • Do < B < • Chú ý : 10- = 0,0000001 • Giải tương tự câu a • Ta thấy với n số phương A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 n số vô tỉ, nên số nguyên an gần • n số tự nhiên, n khác số phương n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N* có n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … a n 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : • 1− 1 có hai nghiệm tự nhiên < x < 1+ 2 • 2− 1 < x < + có bốn nghiệm tự nhiên 2 • 3− 1 < x < + có sáu nghiệm tự nhiên 2 • Tổng quát : k − 1 có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương < x (1) 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x  = 3− x maxA = ⇔  ⇔ x = x ≥ • a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : • x + 1+ − x + 3.3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) • b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt z2 x − = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = ) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • • 58 y + z = (2)  nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : z2 − y3 = (3) z ≥ (4)  Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = • Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = • a) Có, chẳng hạn : • Khơng Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà • a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) • Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) ⇒ 2(a + b) • Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn • a) Giả sử 1 + = 2 số hữu tỉ Giả sử + số hữu tỉ = + (a + b)2 – 4ab m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh n n m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết • a + b = Bình phương hai vế : m phân số tối giản n m (phân số tối giản) Suy : n • m3 = n3 • ( ) + = + 3.3 m 6m = 6+ ⇒ m3 = 6n3 + 6mn2 (1) ⇒ m3 M2 ⇒ m M2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết • m phân số tối giản n Cách : Đặt a = x , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a+ b+ c ≥ abc x3 + y3 + z3 tương đương với ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 59 (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập • x3 + y3 + z3 – 3xyz = • Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : • Xảy dấu đẳng thức a = b = c • Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : • a+ b+ c+ d 1 a+ b c + d  =  + ÷≥ 2 2  ( ) ab + cd ≥ sbt) a+ b+ c ≥ abc ab cd = abcd • a+ b+ c  a+ b+ c + d  Trong bất đẳng thức  ta : ÷ ≥ abcd , đặt d =   • • a+ b + c   a + b + c +  ÷ a+ b+ c a+ b+ c  a+ b+ c  ⇒   ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3    ÷   Chia hai vế cho số dương a+ b+ c (trường hợp số a, b, c 0, toán 3 a+ b+ c  a+ b+ c  chứng minh) :  ≥ abc ÷ ≥ abc ⇔   • Xảy đẳng thức : a = b = c = • Từ giả thiết suy : a+ b+ c ⇔ a=b=c=1 b c d a Áp dụng bất đẳng thức + + ≤ 1− = b+ c+ d + a+ a+ Cauchy cho số dương : b c d bcd ≥ + + ≥ 3.3 a+ b+ c + d + (b + 1)(c + 1)(d + 1) Tương tự : acd ≥ 3.3 b+ (a + 1)(c + 1)(d + 1) • abd ≥ 3.3 c+ (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3.3 d+1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) • Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 81 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN • Gọi A = 60 x2 y2 z2 + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2 • •  x2 y2 z2  x y z 3A =  + + ÷(1+ 1+ 1) ≥  + + ÷  y z x y z x  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x y z x y z + + ≥ 3.3 = (2) y z x y z x  x y z  x y z x y z 3A  + + ÷ ≥ 3 + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x  y z x  y z x • Nhân vế (1) với (2) : • 235 Đặt x = 3+ 3 ; y = 3− 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : • b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) • Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : • b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = • = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) • Vậy b3 > a3 , b > a • a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n • n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1  1 2+ + + n  1+ ÷ = 1+ n + n 2! n 3! n n! n  n 1 1 + + + ÷ n!   2! 3! • < 1+ 1+  • Dễ dàng chứng minh : • = 1− • b) Với n = 2, ta chứng minh 1 1 1 + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 + − + + − = 1− < 2 n−1 n n n Do (1+ )n < 3 > (1) Thật vậy, (1) ⇔ ( 3) > ( 2) 6 ⇔ 32 > 22 • Với n ≥ 3, ta chứng minh n n > n+1 n + (2) Thật : • (2) ⇔ (3) ( n+1 ) n+ n(n+1) < ( n) n n(n+1) n n+1 ⇔ (n + 1) < n n (n + 1)n  1 ⇔ < n ⇔  1+ ÷ < n n n  n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN   61 n 1 ÷ < , mà ≤ n nên (3) chứng minh n • Theo câu a ta có  1+ • Do (2) chứng minh • Cách : A = x2 + 1+ x4 + x2 + ≥ A = với x = • Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : • A ≥ 24 (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = 24 x4 + x2 + ≥ • A = với x = • 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x 2(x – 2) Áp dụng bất ) ( đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : • x x   + + x − 2÷ A x x  2x −  − = (x − 2) ≤  ÷ =  ÷ ≤ 2 3 ữ - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = • Điều kiện : x2 ≤ •  x2 x2 2 + + − x 2  ÷ x x A = x4(9 − x2) = (9 − x2) ≤ 4 2 ÷ = 4.27 2 ữ ữ max A = với x = ± • a) Tìm giá trị lớn : • Cách : Với ≤ x < • Với x ≥ • Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = • Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ • max A = với x = • Tìm giá trị nhỏ : • Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – Ta có 6 A = x(x2 – 6) ≤ ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ 6x - 16 • = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - ≥ - 2 )2 - CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 62 • A = - với x = • Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số khơng âm : • x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3.2 2.2 = 6x x x • • Suy x – 6x ≥ - A = - với x = Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 • Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : x x x •  4x + 3− 2x + 3− 2x  = 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤  ÷   2x ⇔ x = max V = ⇔ 4x = – • Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ • 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt dm 2 − x = a; x − 1= b Đáp số : ; ; 10 • Lập phương hai vế Đáp số : ; ± • Đặt 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = ⇔ x = y Đáp số : ; • Rút gọn vế trái : • Đặt ( −1± ) x − x2 − Đáp số : x = − x = a; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải a − b a3 − b3 a3 − b3 phương trình cho Phương trình cho trở thành : = a+ b 2 a − b a3 − b3 = 3 ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a+ b a + b • Do a3 + b3 = nên • Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) • Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = • h) Đặt • Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = x + 1= a; x − 1= b Ta có : a2 + b2 + ab = x 3-2x Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp • x 3-2x (1) ; a3 – b3 = (2) x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN 63 • Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho • Đặt • Cách : Đặt 3 x+ x+1 x+ = a; = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+ x+ x + = y Chuyển vế : y3 − + y3 + = − y Lập phương hai vế ta : • y3 – + y3 + + 3 y6 − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y y6 − • Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y = y6 − Lập phương : y6 = y6 – Vơ n0 • Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : • • x • • x < • -2 • • • x > • x+1 < - • • • x+ bất 3= đẳng thức x+ > • > - a b + a + b ≤ = a + b + 1≤ • < -x k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), Theo • trái < • < • > > ab + a + b = (2) Cauchy mn ≤ m+ n , ta có a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+ b + + 1= + = 2 • Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = • Đặt • Phương trình cho trở thành : m + n = Vế a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b – 2x m4 + n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = • Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > • Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa • Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a • Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN • Đặt • (x = a = x ; b = y , ta có : A = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = 64 x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = x + xy + y x + xy + y + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy • Vậy : A = a + b − ab • Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : (với a2 + b2 ≠ 0) • A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = • • = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : 2  x + x + = x − x + ⇔ x = Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A   x + x + = = ⇔ x = • Vì + • 3(1 + • Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) • nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = = Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18∈ Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = • Nếu q ≠ • Vậy + • • =- p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = :  4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b =   2a + b + 18 = Giả sử 3 số hữu tỉ p p p3 ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh q q q p q chia hết cho 3, trái với giả thiết p phân số tối giản q CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TỐN ( ) 65 • a) Ta có : • Do : • b) • Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : 1+ = 1+ = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) = + − = −1 • a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ⇒ a = • Giải tương tự 21 • A=2+ • Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) • Từ x = • Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = • a) x1 = - ; x2 = 25 • 3− + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 3 u = v + Đặt u = x - , v = x - , ta :  ⇔ u = v = - ⇒ x =  v = u + • Đặt : • Đưa biểu thức dạng : A = • A = • Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần • Đặt • 258 Ta có : P = x + 32 = y > Kết x = ± x3 + + + x + − Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | ⇔ -1 ≤ x ≤ x = y x = y ( x − a) ⇒ P = 23 x + 2 + ( x − b) =|x–a|+|x–b|≥|x–a+b–x|=b–a (a < b) • Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b • Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương • • Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI TOÁN 66 bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : • a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều) • 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 • 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 • Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + • Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = • Đưa pt dạng : • Nếu ≤ x ≤ y = • Đặt : • Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x + y2 ≥ 2xy Nhưng ( ) ( ) ( x − = y ≥ M = x − ) x − −1 + y−3 −2 + ( - 1) = - 2 z −5 −3 = )( ) x −1 + − x −1 x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = • Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : • c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c ≥ a + b ⇔ c ≥ • Dấu đẳng thức xảy a = b • Biến đổi ta : • – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ • -Hết ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' ) +( b 'c − bc ' ) a+b =0 ... + 14 = − 2x − x 3− ; 2+ x−2 + 4−x ≤ a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > • 125 Chứng minh • 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam... ≥ ⇔ 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 ⇔ • a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ ⇔ (a – c)2 + (b – d)2 ≥ : - Nếu ≤ x - [ x ] < ½ ≤ 2x - [ x ] < nên [ 2x ] = [ x ] Nếu ½ ≤