Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 62 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số tập toán nâng cao LỚP PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh § số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh a + b ≥ ab bất đẳng thức Cauchy : § b) Cho a, b, c > Chứng bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c minh : § c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a + b > a − b Tìm liên hệ số a b biết rằng: § a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho: a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : § A= x − 4x + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : a) § 17 +7 +5 + 151 45 b) § d) § 23 3− 22 19 và2 327 c) § 18 Hãy viết số hữu tỉ 23 số vô tỉ lớn § nhỏ § 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 19 Giải phương trình : § 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S= 21 Cho § 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − Hãy so sánh S § 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a a số phương § số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) § x y + ≥2 y x x y2 x y + ÷− + ÷ ≥ x y x y b) § x y4 x y2 x y + ÷− + ÷+ + ÷ ≥ x y x y x y c) § 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : 1+ a) § b) § với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 26 Cho số x y khác x y x y + + ≥ 3 + ÷ y x Chứng minh : § y x x y z x y z 27 Cho số x, y, z dương + + ≥ + + y z x y z x Chứng minh : § 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) m+ n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : § [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : § A= 33 Tìm giá trị nhỏ : § với x, y, z > x − 6x + 17 A= x y z + + y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a) ab § số vô tỉ b) a + b § số hữu tỉ (a + b ≠ 0) a ba c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ b 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a +b minh: § [2x2x [ ]x+] 39 Chứng minh § § § 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= 1 G = C3x = − − 5x − + Dx =+ x + x + 4x − 1− x2 − x − 2x − E= x+ + −2x x §§ 42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M = x + 4x + + x − 6x + 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 § c) Giải phương trình: § 2x − 8x − x − 4x − = 12 43 Giải phương trình: § 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU A = x2 + x + B= 1 − 3x C = − − 9x D= x − 5x + § E= G= 2x + + x x + x−2 x −4 H = x − 2x − + − x 2 § 45 Giải phương trình: § x − 3x =0 46 Tìm giá trị nhỏ biểu A x= − 3x + x thức : § 47 Tìm giá trị lớn biểu thức B = − x + x : § 48 So sánh : a) § b) § b= 33 +−11 a 5=− 213 + +34 n + − n + n+12− n c) § (n số nguyên dương) A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : § a) 4−2 b) 11 + c) 27 − 10 50 Tính : § d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 e) B = n + n − + n − n − § (n ≥ 1) 51 Rút gọn biểu thức : § 41 M= + (2x − y) +45(y+−42)41 + (x45+ −y 4+ z)412 = 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : § 53 Tìm giá trị nhỏ P = 25x − 20x + + 25x − 30x + biểu thức: § 54 Giải phương trình sau: a) x − x − − x − = b) x − + = x c) x − x + x + x − = § d) x − x − 2x + = § e) x + 4x + + x − = g) x − + x − = −5 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU h) x − 2x + + x − 6x + = i) x + + − x = x − 25 § k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − § 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn x + y ≥2 x−y điều kiện : xy = x > y CMR: § 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m +2 2+ m3 −=1 + +m − m − 2 c) + + + + + + − + + d) 227 − 30 + 123 + 22 §57 Chứng minh § 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − § 59 So sánh : + 20 1+ a) b) 17 + 12 +1 c) 28 − 16 − § A = x − x − 4x + 60 Cho biểu thức : § a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: § § − 59+−22 614 a) 113−+2 11 10 + b) c) 62 Cho a + b + c = 0; a, b, + + − + 10 c ≠ Chứng minh đẳng thức: § 63 Giải bất phương trình : § 64 Tìm x cho : § 1 1 1 + + = + + a x b−216xc+2 60 a< x b− c x2 − + ≤ x2 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : §x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = § 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + x + x − 2x x − x − 2x A= − x − x − 2x x + x − 2x x − 2x − 67 Cho biểu thức : § a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân 0,9999 số : § (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - §| + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : § (n số n + n + n+1 nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức § Tính giá A = + + − trị A theo hai cách ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 73 Tính : § + ; − ; 2 + 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : § 75 Hãy so sánh hai số : § ; § a = 3 − b=2 + 21 − + 76 So sánh § số + − − 2− 77 Rút gọn biểu thức : § 2+ 3+ + 8+4 Q= + +4 140 78 Cho § Hãy biểu diễn P P = 14 + 240+ + 56 dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 x − y + y − x = + y2 biết : § 80 Tìm giá trị nhỏ lớn A = − x + + x : § M= ( a+ b ) 81 Tìm giá trị lớn : § với CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a, b > a + b ≤ 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd 82 CMR số § có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : § N = + + + 18 x + y + z = xy + yz + zx 84 Cho §, x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab 86 Chứng minh : § (a, b ≥ 0) a , b , c 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài § lập thành tam giác 88 Rút gọn : a) § b) § ab (x−+ 2)b2 − 8xa AB== − 89 Chứng minh với số a +bx2 − b ≥2 thực a, ta có : § Khi có a2 +1 x đẳng thức? 90 Tính: § hai cách A = 3+ + 3− +5 6,9 92 Tính : § 13 − 12 7− 91 So sánh : a) § 2+ 2− P= + + −25++ 3x − 2− − 2x2 −− 3= 2 93 Giải x + + 22x trình : § Pn = 95 Chứng minh a, b > § b) phương 1.3.5 (2n − 1) 94 Chứng minh ta < 2.4.6 2n 2n + có : § ; (n ( Z+ a2 b2 a+ b≤ + b a 96 Rút gọn x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − ÷ x − thức : §A = § x − 4(x − 1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : § a b +b a : =a−b ab a− b a + a a − a c) 1 + ÷1 − ÷= − a a + a − (a, b > ; a ≠ b) 14 − 15 − b) + = −2 ÷: − − − biểu a) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § (a > 0) − − 29 − 20 a) ; b) + − 13 + 48 c) + 48 − 98 Tính : § 28 − 16 ÷ + 48 § 99 So sánh : § + 15 a) c) 18 + 19 b) + 15 12 + d) § 16 25 100 Cho đẳng thức : a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 § (a, b > a2 – b > 0) Áp dụng kết để a) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3− 2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 rút gọn : § §§ 101 Xác định giá trị c) 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 biểu thức sau : 1 §với § (a > ; b > 1) x =A = axy+ − ÷ x, y −=1 yb +− ÷ a) 2 a b a 2am + bx + , am− bx xy + x − y − § với § P(x).P(- x) < x + − x − + x + + x − 103 Cho biểu thức § A= a) Rút gọn biểu thức A 4 − + x2 x b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x b) x − x (x > 0) c) + − x g) 2x − 2x + h) − − x + 2x + d) x − − § e) − − 3x i) 2x − x + CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § 105 Rút gọn biểu thức : §, A = x + 2x − − x − 2x − ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : § b) + 48 − 10 + a) + 10 + + − 10 + c) 94 − 42 − 94 + 42 § 107 Chứng minh đẳng thức với b b ≥ ; a ≥ § ) ( a) § b) § − b a ±a − a 2a−2 − a + b ± aa +− ab = bb a± b = ± 2 A = x + 2x − + x − 2x − 108 Rút gọn biểu thức : § x + y − = x + y − 109 Tìm x y cho : § a + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) + ( b + d) 110 Chứng minh bất đẳng thức : § 111 Cho a, b, c > Chứng a b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b minh : § 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 b) a +b + b+c + c+a ≤ § 113 CM: § với a, b, c, d > (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + 114 Tìm giá trị nhỏ : § 115 Tìm giá trị nhỏ : § 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị (a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) A=x+ x A= (x + a)(x + b) x lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + § 2−x 118 Giải phương trình : § x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : § x + x −1 + x − x −1 = 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 120 Giải phương trình : § 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 121 Giải phương trình : § CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 3− 10 2 + 122 Chứng minh số sau ; số vô tỉ : § 123 Chứng minh § x−2 + 4−x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) § với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd 125 Chứng minh § với a, b, c, d > a , b , c 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài § lập thành tam giác 127 Chứng minh § với a, b (a + b) 2 ≥ + a+b ≥a b +b a 128 Chứng minh § a b c + + >2 b+c a+c a+b b, c > với a, 129 Cho § Chứng minh x − y + y − x = x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x − + x + x − § 131 Tìm GTNN, GTLN § A = 1− x + 1+ x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + § 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + § a) A = 2x + − x ( ) b) A = x 99 + 101 − x 134 Tìm GTNN, GTLN : § 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, a b + =1 y > thỏa mãn § (a b số x y dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = A= xy yz zx 137 Tìm GTNN § với x, y, z + + z x y > , x + y + z = 2 xyx+ yz +y zx =z1 138 Tìm GTNN § biết x, A= + + x+y y+z z+x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 48 193 Đặt x – y = a , § + § = b (1) a, xy b ( Q a) Nếu b = x = y = 0, § , § xy ( Q b) Nếu b ≠ §Q x−y a a = ⇒ x− y= ∈ Từ (1) (2) : § x + a y b 1 b a x = b + ÷ ∈ Q ; y = b − ÷ ∈ Q 2 b 2 b x2 + a2 + x x2 + a2 − x = a2 (2) )( ( ) 199 Nhận xét : § Do : ( x+ x +a 2 ) ≤ 5a x2 + a2 ( (1) ⇔ x + x + a 2 ) ≤ ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) x2 + a2 § Do a ≠ nên : § Suy : § x + a + x 2>+ ax2 2++xx>=0 x + x ≥ , (x x2 + a2 ≤ ( x ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > 25x ≤ 9x + 9a ) Vì : (1) ( § § x ≤ ⇔ ⇔ x ≤ a 207 c) Trước hết tính x −112a + x2 0 < x ≤ a x= a(1 − a) theo a § Sau tính § § Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 208 Gọi vế trái A > Ta có § Suy điều phải chứng minh A2 = 2x + x 209 Ta có : a + b = - , ab = - § nên : 1 a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + § = a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = § ; a3 14 2717 − = −= + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - § 4 48 17 239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3) − − − ÷( −1) = − 64 64 (a4 + b4) – a3b3(a + b) = § 210 a) § § a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - §)n = A - B§ ; (1 + §)n = A + B§ với A, B ( N Suy : A2 – 2B2 = (A + B§)(A - B§) = [(1 + §)(1 - §)]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : A −2 2B2 * Nếu n chẵn : an = (§ - 1)n = (1 §)n = A - B§ = § Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) 2B2 −2 A * Nếu n lẻ : an = (§ - 1)n = - (1 §)n = B§ - A = § Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 211 Thay a = § vào phương trình cho : 2§ + 2a + b§ + c = ( §(b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ( x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ( (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± § - a A= 1 212 Đặt § + + + n a) Chứng minh § : Làm giảm A > n − số hạng A : ( ) §§ 2 = > = k +1 − k k k+ k k + + k A > − + + − + + + − n + n + = ( ) ( ) ( ) Do § § b) =2 Chứng ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − A < n −2 minh § : Làm trội số hạng A : ( ) § 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 A < n − n − + + − + ( ) ( ) ( ) − = n −2 Do : § a n = + + + + 213 Kí hiệu § có n dấu Ta có : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = 66+ a < + = a100 = + a 99 < + = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 50 §Hiển nhiên a100 > § > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + §)2 = + 4§ Ta có § nên < 4§ < ( 13 < a2 < =3 48 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + §)2 x = + 4§ Xét biểu thức y = (2 - §)2 y = - 4§ Suy x + y = 14 Dễ thấy < - § < nên < (2- §)2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 x + y = b 215 Đặt x – y = a ; § (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ § số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : x−y a = ⇒ x+ y b x− y= a b 1 a § số hữu tỉ ; § số hữu tỉ xy = b − + ÷ 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên § số hữu tỉ n 1 1 = = n − + − ÷= n ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n + n n +1 n n +1 n 216 Ta có § n 1 § Từ ta giải = 1 + − − ÷ ÷< ÷ n +1 n n +1 n + toán n 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥2,… 1 1 1 a25 ≥ 25 Thế : § + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ § < ( () ) 2 =2 +251 =− +251 = + + + − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ §§ (2) x, y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 51 Từ (1) (2) suy : §, trái 1 + + + Từ hệ phương trình cho ta có : § x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y Tương tự § Suy x = y = z y ≤ z ; z ≤ x Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + 3§)7 Để chứng 17 minh toán, cần tìm số B cho 107 < B < § A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - 3§)7 Dễ thấy B > > 3§ Ta có + 3§ > 10 suy : 1 § < ⇒ − < 7 10 10 Theo khai triển Newton 8+3 ( ) ( ) ta lại có : A = (8 + 3§)7 = a + b§ với a, b ( N B = (8 - 3§)7 = a - b§ Suy A + B = 2a số tự nhiên CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Do § A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy < B < 52 107 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương ,5 n § số tự nhiên, n khác số phương § số vô tỉ, nên § dạng § Do ứng với số n ( N* có số nguyên an gần § Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : § có hai nghiệm tự nhiên < 21 § có bốn nghiệm tự nhiên 2− < § có sáu nghiệm tự nhiên 12 3− < Tổng quát : § có 2k nghiệm tự 12 k− < nhiên Thật vậy, bất đẳng thức 1− x < 1+ x < 2+ 21 12 x < 3+ 21 x 3, A ≤ x = 3−x max A = ⇔ ⇔ x = (2) So sánh (1) (2) x ≥ ta đến kết luận § 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = § ( x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x − = y ; x + = z § Khi x – = y2 ; x + = z2 nên z2 – y3 = Phương trình y + z = (2) cho đưa hệ :§ z − y = (3) Rút z từ (2) : z = – y Thay vào z ≥ (4) (3) : y3 – y2 + 6y – = ( (y – 1)(y2 + 6) = ( y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : § 1 + = b) Không Giả sử tồn số hữu 2a + b2 = tỉ dương a, b mà § Bình phương hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) § Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b)§ ( 2(a + b) § = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 3m3 tối giản) Suy = § Hãy chứng minh 231 a) Giả sử § số hữu tỉ § (phân số m m lẫn n chia hết cho 5, trái giả nn thiết § phân số tối giản giản) Suy : 2m + b) Giả sử § số hữu tỉ § (phân số tối n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU m3 = n3 ( 2+34 ) = + 3 55 m 6m =6+ ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 n n § Thay m = 2k (k ( Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 m + 12kn2 ( 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ( n3 chia hết cho ( n n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết § phân số tối giản 232 Cách : Đặt a = x3 , b = x3 +ay+3 +b z+3c abchay ≥≥ xyz 3 y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh § tương đương với §x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = §(x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, a + b + c2 ≥ abc x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : sbt) § Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có : a+ b+ c+d 1a+ b c+d = + ÷≥ 2 2 ( ) ab + cd ≥ ab cd = abcd § Trong bất đẳng thức §, đặt § ta a + b + ca++db 4+ c d= ≥ abcd 3÷ : a+b+c a+ b+c+ ÷ a+b+c a+b+c a+b+c ⇒ ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3 ÷ § Chia hai vế cho số a + b + ca + b + c a+ b+c ≥ abc ⇔ ≥ abc ÷ 3 dương § (trường hợp số a, b, c 0, toán chứng minh) : § a + b + c Xảy đẳng thức : a = b = c = § ( a = b=c=1 233 Từ giả thiết 1 b c d ≤ − a = bcd ≥ + + ≥ 3 a(b++11)(ca + a +1 b +1 c +1 d +1 1)(d + 1) suy : § Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương : § Tương tự : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU § acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) Nhân từ bốn 56 ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 81 abd bất đẳng ≥ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) thức : § abc 234 Gọi § Áp dụng x2 y z2 ≥ 3 A= + + d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) y z x bất đẳng thức Bunhiacôpxki : x2 y2 z2 x y z § (1) 3A = + + ÷(1 + + 1) ≥ + + ÷ z x y z x Áp x + y + z ≥ 3 x y z = y y z x y z x dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : § (2) x y z x y z x y z Nhân vế (1) 3A + + ÷ ≥ + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x với (2) : § y z x y z x x = 3 + 3 ; y = 3 − 3 235 Đặt § x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1 1 2+ + + n + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n n § < § 1 1 + + + + + ÷ n! 1 2! 3! 1 1 + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n Dễ dàng chứng minh : § =§ § Do 1− 1 1 1 + − +(1 ++ )n < 3− = − < 2 nn − n n ( ) >>( 22 ) 3 6 b) Với n = 2, ta chứng minh § (1) Thật vậy, (1) ( §( 32 > 22 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Với n ≥ 3, ta chứng minh § 57 (2) n n > n +1 n + Thật : (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) < ( n) n n(n +1) n ⇔ (n + 1) < n n n +1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n n n n § (3) Theo câu a ta có § , mà ≤ n nên (3) n 1 + ÷ < chứng minh n Do (2) chứng minh ( ) A = x + + x + x + ≥ 237 Cách : § A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ § A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : § x x + + x − ÷ A x x 2x − - A ≤ 32 − = (x − 2) ≤ 2 ÷ = ÷ ≤ 2 ÷ ( A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤ § x2 x2 + + − x 2 ÷ max A = § A = x (9 − x ) = x x (9 −6x 263) ≤ 2 ÷ = 4.27 2 ÷ với x = ± ÷ § 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < § A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ § Ta có § ≤ x ≤ ( ≤ x2 ≤ ( ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 58 b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2§)3 – 6x – (2§)3 == (x + 2§)(x2 - 2§x + 8) – 6x 16§ = (x + 2§)(x2 - 2§x + 2) + (x + 2§).6 – 6x - 16§= (x + 2§)(x - §)2 - 4§ ≥ - 4§ A = - 4§ với x = § Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2§ + 2§ ≥ 3.§ = 6x x3 22.2 Suy x3 – 6x ≥ - 4§ A = 4§ với x = § 241 Gọi x cạnh hình vuông nhỏ, V thể tích hình hộp x x x x x Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ § = 4x + − 2x + − 2x 3 ÷ 32 max V = ( 4x = – 2x ( x = § Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vuông nhỏ § dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 − x = a2; x − = b b) Đặt § Đáp số : ; ; 10 c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± § d) Đặt § = y Giải hệ : x3 + = 2y , 2x2 − y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = ( x = y Đáp số : ; § ( ) g) Đặt § Ta có : a3 + b3 = 2, − x =aa3 −; b3 3x − = b b phương trình cho § Phương trình a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải a + cho trở thành : § = § Do a3 + b3 = nên § ( (a – b)(a3 + a − b b3) = (a + b)(a3 – b3) a+ b = a3 − b a3 + b Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt § Ta có : a2 + b2 + ab = x + = a ; x − = b x 3-2x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 −1 ± e) Rút gọn vế trái : § Đáp x − x2 − số : x = x 3-2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU (1) ; a3 – b3 = 59 (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương x + trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho § Đặt § Giải hệ a3 + b3 = 2, a + x+3 =b x+2 b = - Hệ vô nghiệm x +1 =a ; x+2 Cách : Đặt § = y Chuyển vế : y3 − +3 x3 +y32+ = − y § Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3.§.(- y) = - y3 ( y3 = y − y § Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, y − có y2 = § Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vô nghiệm, xem bảng : x x < -2 x +1 x+2 § < § < -1 x > -x > -1 > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : ab + a + b x+3 Vế trái § < < > > a + b = (1), § = (2) 3= Theo + a 1m + b+ n a+b = ba ++ b +a1 +≤ mnb+≤≤ a ++1 =b + + + 2a =+ 31 + b = a 22 2 2 đẳng bất thức Cauchy §, ta có §§ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ l) Đặt § m4 + n4 = a + b – 2x m + n Phương trình cho trở thành : m + n = § Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) 2 2 x + x y +3 ya 4= xx;4 3+b2x = yy + y − 2x y Đặt §, ta có : § = A= = x + xy + y x + xy + y CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU (x = + y ) − (xy) 2 x + xy + y Vậy : § (với a2 + b2 ≠ 0) (x = + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 60 § = x + y − xy 2 A = a + b − ab 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) §= x + x + ≥ = § Đẳng thức xảy : §.Ta có A ≥ 2, đẳng thức x + x + = x − x + ⇔ x=0 xảy x = Vậy : x + x + = A = ( x = 245 Vì + § nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + §)3 + a(1 + §)2 + b(1 + §) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) § = Vì a, b( Z nên p = 4a + b + 42 ( Z q = 2a + b + 18( Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q§= Nếu q ≠ § = - §, vô lí Do q = p3 từ p + q§ = ta suy p = Vậy + § nghiệm phương trình q3 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 = 246 Giả sử § số hữu tỉ § (§ 2a + b3pp+33 18 = phân số tối giản ) Suy : = § Hãy qq chứng minh p q chia hết cho 3, § Suy a = - 12 ; b = trái với giả thiết § phân số tối giản 1+ = ( 1+ ) = 1+ 2 + = + 2 247 a) Ta có : § Do : § b) § ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 + − = −1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a § ( a3 – 6a – 40 = ( (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ( a = ) =1 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 61 249 Giải tương tự 21 250 A = + § 3− 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = § Suy x3 = 12 + 3.3x 3 + ( x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) Đặt §, ta : § ( u = v = - u = xu- =9v,3 v+ = x- ( x = v = u + x + 32 = y > c) Đặt : § Kết x = ± x + + + x + − 254 Đưa biểu thức dạng : A= § Áp dụng | A | + | B | ≥ | A +B| A = ( -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần ⇒ P = x + 256 Đặt § 258 Ta P= có : § = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) x = y x = y ( x − a) + ( x − b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ( a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ( a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) (b + c − a) + (c + a − b) = b (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c 2 (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ § Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ( a = b = c (tam giác đều) 260 § 261 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 62 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - (§ + + § - 1) = - 2§ Do : 2A = (§+ 1)2 + (§ - 1)2 + (-2§)2 = 14 Suy A = ( ) ( x − −1 + ) ( y−3 −2 + ) z−5 −3 = 262 Đưa pt dạng : § 263 Nếu ≤ x ≤ y = x − = y ≥ M = x − ( )( ) x − + − x − 264 Đặt : § 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8§)2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ( x = y = 266 Với a, b ta có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab ( 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ( 2c2 ≥ a +2b (a + b)2 ( c§ ≥ a + b ( c ≥ § Dấu đẳng thức xảy a = ( a 'b − ab ' 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết ) +( 2 b a 'c − ac ' ) +( b 'c − bc ' ) =0 267 Biến đổi ta : § [...]... = 0 Đáp : x = 2 , y ≥ 0 , x ≥ 0 , y = 2 110 Biến đổi tương đương : (a 2 (a 2 + b2 ) ( c2 + d 2 ) (1) ( a2 + b2 + c2 + d2 + 2§ ≥ a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd (2) + b2 ) ( c2 + d 2 ) ( § ≥ ac + bd * Nếu ac + bd < 0, (2) được chứng minh * Nếu ac + bd ≥ 0, (2) tương đương với : (a2 + b2)(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ( a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 + 2abcd ( (ad – bc)2 ≥ 0 (3) Bất đẳng thức... 6(§ C B b c 113 Xét tứ giác ABCD có AC ( BD, O là giao điểm hai đường chéo OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d với a, b, c, d > 0 Ta có : § a A O d D AB = a2 + c2 ; BC = b 2 + c2 ; AD = a2 + d 2 ; CD = b 2 + d 2 AC = a + b ; BD = c + d Cần chứng minh : AB.BC + AD.CD ≥ AC .BD Thật vậy ta có : AB.BC ≥ 2SABC ; AD.CD ≥ 2SADC Suy ra : Suy ra : AB.BC + AD.CD ≥ 2SABCD = AC .BD Vậy : § Chú ý : Giải (a 2 + c 2 ) (... (a + b + c + d) 2 Cộng (1) với (2) §= 4B Cần chứng minh B ≥ §, bất đẳng thức này 1 tương đương với : 2B ≥ 1 ( 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + 2 ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2 ( a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 ( (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng 39 - Nếu 0 ≤ x - § < ½ thì 0 ≤ 2x - 2§ < [ [2x x ] ] 1 nên § = 2§ - Nếu ½ ≤ x - § < 1 thì 1 ≤ 2x - 2§ < 2 [ [2x x ] ] ( 0 ≤ 2x – (2§ + 1) < 1 ( § = 2§ + 1 40 Ta... Bunhiacôpxki : (m2 + n2)(x2 + y2) ≥ (mx + ny)2 với m = a , n = c , x = c , y = b ta có : (a (a 2 2 + c2 ) ( c2 + b2 ) (a2 + c2)(c2 + b2) ≥ (ac + cb)2 ( § ≥ ac + cb (1) + d 2 ) ( d 2 + b2 ) Tương tự : § ≥ ad + bd (2) Cộng (1) và (2) suy ra đpcm