Đang tải... (xem toàn văn)
Chúng tôi có tổng hợp các dạng bài tập về hình học từ cơ bản đến nâng cao chọn lọc từ nhiều nguồn đồng thời có đáp án kèm theo giúp các em tự hệ thống, củng cố kiến thức, chuẩn bị thật tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC A.DẠNG TOÁN CHỨNG MINH I.Chứng minh hai góc Cách 1: Hai góc so le trong, so le ngoài,hoặc đồng vị hai đường thẳng // (h1) Cách2: Hai góc vị trí đối đỉnh (h2) (h1) (h2) Cách 3: Hai góc tam giác cân ( tam giác đều) Cách 4: Hai góc tương ứng hai tam giác hai tam giác đồng dạng Cách 5: Hai góc nội tiếp chắn cung hai cung Cách 6: Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Cách 7: Chứng minh hai góc góc thứ Cách 8: Chứng minh hai góc phụ hay bù góc Cách 9: Là hai góc đáy hình thang cân Cách 10: Là hai góc đối hình bình hành Cách 11: Chứng minh hai góc với hai góc khác Cách 12: Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi Cách 13: Sử dụng tính chất tia phân giác góc Cách 14: Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt II.Chứng minh hai đoạn thẳng Cách 1: Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thẳng thứ ba Cách 2: Hai cạnh bên tam giác hình thang cân Cách 3: Hai cạnh tương ứng hai tam giác Cách 4: Hai cạnh đối hình bình hành ( hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông) Cách 5: Hai dây căng hai cung đường tròn hai đường tròn Cách 6: Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt Cách 7: Sử dụng tính chất đường chéo hình bình hành Cách 8: Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông Cách 9: Sử dụng quan hệ vuông góc đường kính dây Cách 10: Sử dụng tính chất đường trung trực Cách 11: Sử dụng tính chất đường thẳng qua trung điểm cạnh // với cạnh thứ hai qua trung điểm cạnh thứ ba Cách 12: Sử dụng quan hệ dây khoảng cách đến tâm Cách 13: Chứng minh hai đoạn thẳng biểu thức III.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Cách 1: Sử dụng tính chất tiếp tuyến ( vuông góc với bán kinh qua tiếp điểm) Cách 2: Sử dụng quan hệ vuông góc đường kính- cung dây M Cách 3: Sử dụng định nghĩa đường trung trực B A Cách 4: N Tính chất đường đồng thời tam giác cân Cách 5: Chứng minh đường cao lại tam giác Cách 6: Là hai tia phân giác hai góc kề bù Cách 7: Hai cạnh góc vuông tam giác vuông ( chứng minh tam giác vuông): a) áp dụng định lý đảo định lý Pi – Ta – Go b) Trung tuyến nửa cạnh tương ứng c) Tam giác ABC có tổng hai góc 900 Cách 8: Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng // vuông góc với đường thẳng lại Cách : Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 900 IV.Chứng minh hai đường thẳng // Cách 1: Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc: * vị trí: a) so le b) so le c) đồng vị * bù vị trí: a) phía b) phía Cách 2: Chứng minh chúng // với đường thứ Cách 3: B Chứng minh chúng vuông góc với đường thứ Cách 4: Là hai dây chắn hai cung đường tròn Cách 5: Sử dụng tính chất đường trung bình Cách 6: Sử dụng định lý Ta_Lét đảo Cách 7: Là hai cạnh đối hình bình hành Cách 8: Là hai cạnh đáy hình thang V.Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Cách làm Hình minh họa Cách 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 180 (hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông tứ giác nội tiếp) Cách 2: (h8) Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn xuống cạnh chứa hai đỉnh lại góc α( hai góc nhau) Cách 3: (h9) Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện Cách 4: (h10) Tứ giác có đỉnh cách điểm ( mà điểm xác đinh được) Điểm tâm đường tròn ngoại tiếp tứgiác Cách : trường hợp đặc biệt: ( Khi áp dụng cần phải chức minh) a)Nếu hai cạnh đối tứ giác AB DC cắt M thỏa mãn: MA.MB = MD.MC ta chứng minh: C D M B A tứ giác ABCD nội tiếp b)Nếu hai đường chéo tứ giác AC BD cắt P thỏa mãn: PA.PC = BD PB Ta chứng minh : C D P A B tứ giác ABCD nội tiếp VI.chứng minh dẳng thức hình học Chứng minh a.b = c.d ( chứng minh đẳng thức tích) Chuyển chứng minh tỷ lệ thức: a d a c = = c b d b Cách 1:Gắn vào hai tam giác đồng dạng Cách 2: Sử dụng định lý Talét, hệ định lý Talét Cách 3: Sử dụng tính chất đường phân giác tam giác Cách 4: Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Cách 5: Lập hai tỷ số từ tích chứng minh chúng tỷ số thứ ba VII.Chứng minh hai tam giác 1.Trường hợp tam giác thường: a) Ba cạnh đôi ( c-c-c) b) Một cặp góc xen hai cặp cạnh (c-g-c) c) Một cặp cạnh kề hai cặp góc (g-c-g) 2.Trường hợp tam giác vuông: a) Cạnh huyền – góc nhọn tương ứng b) Cạnh huyền – cạnh góc vuông tương ứng VIII.Chứng minh hai tam giác đồng dạng 1.Trường hợp tam giác thường: a) Có hai góc b) Có cặp góc xen hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ c) Có ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ 2.Trường hợp tam giác vuông a) Có cặp góc nhọn b) Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ IX.Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến (O;R) Cách 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với bán kính tiếp điểm Cách 2: Chứng minh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bán kính Cách 3: Chứng minh góc tạo tia MT với dây đường tròn nửa số đo cung bị chắn A T C MT tiếp tuuyến (O;R) *Hoặc B MT tiếp tuuyến (O;R) Cách 4: Đặc biệt: Nếu MT2=MA.MB chứng minh: A M B MT tiếp tuuyến (O;R) T a X.Chứng minh điểm A,B,C thẳng hàng Cách 1: Chứng minh AB,AC // với đường thẳng A B Cách 2: Chứng minh BC, BA vuông góc với đường thẳng Cách 3: Chứng minh ba điểm tạo thành góc bẹt ( = 1800) Cách 4: C Chứng A, B, C thuộc thuộc đường đó: đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc Cách 5: Chứng minh AB, AC hai tia trùng XI Chứng minh ba đường đồng qui Cách 1: Chứng minh đường trung tuyến,3 đường cao, đường trung trực, đường phân giác (hoặc phân giác hai phân giác hai góc lại) tam giác Cách 2: Gọi giao điểm hai đường Q chứng minh đường lại qua Q B DẠNG BÀI TẬP TÍNH TOÁN I.Tính số đo góc Dựa vào kiến thức sau: 1.Gắn vào giải tam giác vuông (Tỷ số lượng giác tam giác vuông) 2.Hai góc kề bù có tổng số đo 1800 3.Tổng hai góc nhọn tam giác vuông 900 3.Tính chất góc đường tròn 5.Góc góc biết số đo II.Tính độ dài đoạn thẳng Cách 1: Gắn vào giải tam giác vuông Cách 2: áp dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông Cách 3: Gắn vào tỷ lệ thức (xem cách chứng minh dẳng thức hình học) III Tính diện tích chu vi hình *Có thể chuyển toán tính độ dài đoạn thẳng * Chú ý : -Tỷ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỷ số đồng dạng - Tỷ số chu vi hai tam giác đồng dạng tỷ số đồng dạng - Hai tam giác có chung đường cao tỷ số diện tích tỷ số cạnh tương ứng Hai tam giác có chung cạnh tỷ số diện tích tỷ số hai đường cao tương ứng - Khéo léo phân chia hình C.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÌNH A LÀ HÌNH B *Giả sử hình A hình B cần thêm điều kiên gì? Điều kiện có liên quan đến điều kiện ra? D.DẠNG QUĨ TÍCH HAY TẬP HỢP ĐIỂM 1.Nếu M cách hai đầu đoạn thẳng AB cố định M nằm trung trực AB 2.Nếu M cách hai cạnh góc M nằm tia phân giác góc 3.Nếu M cách O cố định khoảng không đổi R thuộc (O;R) 4.Nếu M nhìn xuống AB cố định góc không đổi M nằm cung chứa góc dựng đoạn AB 5.Nếu M cách đường thẳng cố định a khoảng h M nằm đường thẳng // với a cách a khoảng h MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC CƠ BẢN Bài Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A B Vẽ đườngkính AC AD (O) (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F,tia DA cắt đường tròn (O) E Chứng minh tứ giác EOO’F nội tiếp MC Qua A kẻ cát tuyến cắt(O) (O’) M N Chứngminh tỉ số NF không đổi đường thẳng MN quay quanh A Tìm quỹ tích trung điểm I MN Gọi K giao điểm NF ME Chứng minh đường thẳng KIluôn qua điểm cố định đường thẳng MN quay quanh A Khi MN // EF Chứng minh MN = BE + BF Bài Cho hình vuông ABCD cố định E điểm di động cạnh CD(E ≠C D ) Tia AE cắt đường thẳng BC F Tia Ax vuông gócvới AE A cắt đường thẳng DC K Chứng minh ∠CAF = ∠CKF Chứng minh ∆KAF vuông cân Chứng minh đường thẳng BD qua trung điểm I KF Gọi M giao điểm BD AE Chứng minh IMCF nội tiếp ID Chứng minh điểm E thay đổi vị trí cạnh CD tỉ số không đổi CF Tính tỉ số đó? Bài Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểmthuộc cung nhỏ AC Vẽ MH ⊥BC H , vẽ MI ⊥AC I Chứng minh ∠IHM = ∠ICM Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB K.Ch/ minh MK⊥BK DF cắt EB M, HF cắt EC N.Chứng minh ∆MIH ~ ∆MAB Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứgiác KMEF nội tiếp Suy ME ⊥EF Bài Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB AC vớiđường tròn ( B C hai tiếp điểm ).Vẽ CD ⊥AB D cắt (O) tạiE Vẽ EF ⊥BC F; EH ⊥AC H Chứng minh tứ giác EFCH , EFBD nội tiếp Chứng minh EF2 = ED EH Chứng minh tứ giác EMFN nội tiếp Chứng minh MN ⊥EF Bài Cho đường tròn (O) điểm A đường tròn Vẽ tiếp tuyến AMvà cát tuyến ACD (tia AO nằm hai tia AM AD) Gọi I làtrung điểm CD Chứng minh tứ giác AMOI nội tiếp đường tròn Xác định tâm K Gọi H giao điểm MN OA Chứng minh CHOD nội tiếp Đường tròn đường kính OA cắt (O) N Vẽ dây CB ⊥MO cắtMN F Chứng minh CFIN nội tiếp Tia DF cắt AM K Chứng minh KE ⊥AM Bài Cho OM = 3R , MA , MB hai tiếp tuyến , AD // MB , MD cắt (O)tại C, BC cắt MA F, AC cắt MB E Chứng minh MAOB nội tiếp Chứng minh EB2 = EC.EA Chứng minh E trung điểm MB Chứng minh BC.BM = MC.AB Tia CF phân giác ∠MCA Tính diện tích ∆BAD theo R Bài Cho MA , MB hai tiếp tuyến (O) C điểm thuộc cung nhỏAB Vẽ CD ⊥AB CE ⊥MA , CF⊥MB Chứng minh tứ giác sau nội tiếp : DAEC , DBFC Chứng minh CE.CF = CD2 AC cắt ED H, BC cắt DF K Chứng minh CHDK nội tiếp Chứng minh HK // AB Chứng minh HK tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoạitiếp ∆CKF ∆CEH Gọi I giao điểm thứ hai hai đường tròn (CKF) (CEH).Chứng minh đường thẳng CI qua trung điểm AB Bài Cho đường thẳng d cắt (O;R) C D M điểm di động d(M đường tròn MC < MD ) Vẽ hai tiếp tuyến MA , MB (Avà B hai điểm), H trung điểm CD Chứng minh MIHF OHEI tứ giác nội tiếp Chứng minh MA2 = MC.MD Chứng minh CIOD nội tiếp Chứng minh 4IF.IE = AB2 Chứng minh M di động đường thẳng AB điểm quađiểm cố định Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) ; haiđường cao AD BE cắt H (D ∈BC ; E ∈AC ; AB < AC) Chứng minh tứ giác AEDB CDHE nội tiếp Chứng minh OC vuông góc với DE CH cắt AB F Chứng minh : AB + AC + BC AH AD + BH BE + CH CF = Đường phân giác AN ∠BAC cắt BC N , cắt đườngtròn (O) K (K khác A) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp∆CAN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đườngtròn (O) Bài 10 Cho (O;R) dây BC = 2a cố định M ∈tia đối tia BC Vẽ đườngtròn đường kính MO cắt BC E , cắt (O) A D (A thuộccung lớnBC) AD cắt MO H, cắt OE N Chứng minh MA tiếp tuyến (O) MA2 = MB.MC Chứng minh tứ giác MHEN nội tiếp Tính ON theo a R Tia DE cắt (O) F Chứng minh ABCF hình thang cân Bài 11 Cho nửa đường tròn (O;R) , đường kính AB C điểm cung AB , K trung điểm BC AK cắt (O) M Vẽ CI vuông góc vớiAM I cắt AB D Chứng minh tứ giác ACIO nội tiếp Suy số đo góc ∠ OID Chứng minh OI tia phân giác ∠ COM OI Chứng minh ∆CIO ~ ∆CMB Tính tỉ số MB AM Tính tỉ số Từ tính AM , BM theo R BM Khi M điểm cung BC.Tính diện tích tứ giác ACIOtheo R Bài 12 Cho ∆ABC (AC > AB ∠ BAC< 900) Gọi I , K trungđiểm AB AC Các đường tròn (I ) đường kính AB (K ) đườngkính AC cắt điểm thứ hai D Tia BA cắt (K) E; tia CAcắt (I) F Chứng minh B,C, D thẳng hàng Chứng minh BFEC nội tiếp Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với với đường tròn ngoạitiếp ∆AEF So sánh DH DE Bài 13 Cho đường tròn (O) dây AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoàiđường tròn Từ [...]... Chứng minh ∆AOM ~ ∆BON và ∠ MONvuông 2 Gọi H là hình chiếu của O trên MN Chứng minh đường thẳng dluôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H 3 Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆MON chạy trênmột tia cố định 4 Tìm vị trí của đường thẳng d sao cho chu vi ∆AHB đạt giá trị lớnnhất, tính giá trị lớn nhất đó theo a Bài 23 Cho ∆ABC có ba góc nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hànhBHCD Đường thẳng... giác BCNM là hình thang vuông HM 2 Chứng minh tỉ số không đổi HN 3 Gọi I là trung điểm MN , K là trung điểm BC Chứng minh 4điểm A , H , I , K cùng thuộc một đường tròn và I di chuyển trênmột cung tròn cố định 4 Xác định vị trí của đường thẳng d để diện tích ∆MHN lớn nhất Bài 22 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng một nửa mặtphẳng bờ AB kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB Một đường thẳngd... ANBP là hình bình hành 3 Chứng minh IB là tiếp tuyến của đường tròn (MBP) 4 Chứng minh khi M di chuyển thì P chạy trên một cung tròn cố định Bài 21 Cho ∆ABC có góc A tù , đường tròn (O) đường kính AB cắt đườngtròn (O’) đường kính AC tại giao điểm thứ hai là H Một đường thẳngd quay quanh A cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại M và N saocho A nằm giữa M và N 1 Chứng minh H ∈BC và tứ giác BCNM là hình. .. minh CI.CE =CK.CD 3 Chứng minh IC là tia phân giác ngoài đỉnh I của ∆AIB 4 Cho A , B , C cố định Chứng minh khi đường tròn (O) thay đổinhưng vẫn đi qua A , B thì đường thẳng FI luôn đi qua một điểmcố định Bài 14 Cho ∆ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm D Vẽ đường tròn(O) đường kính CD.Đường tròn (I ) đường kính BC cắt (O) tại E AEcắt (O) tại F 1 Chứng minh ABCE nội tiếp 2 Chứng minh ∠ BCA = ∠ ACF... giác BCNM là hình gì ? Tại sao? 3 Gọi I và K là trung điểm của BC và MN Chứng minh bốn điểm A, H, I , K∈một đường tròn Từ đó suy ra quỹ tích của I khi dquay quanh A 4 Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất Bài 16 Cho hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính bằng nhau và cắt nhautại A và B Vẽ cát tuyến qua B cắt (O) tại E , cắt (O’) tại F 1 Chứng minh AE = AF 2 Vẽ cát tuyến BCD vuông góc với AB... thẳng hàng ( theo thứ tự đó ) Mộtđường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B, C Từ điểm A kẻ cáctiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) Đường thẳng MN cắt AO vàAC lần lượt tại H và K 1 Chứng minh M , N di động trên một đường tròn cố định 2 Gọi I là trung điểm BC Vẽ dây MD // BC Chứng minh DN điqua điểm cố định 3 Chứng minh đường tròn (OHI) luôn đi qua 2 điểm cố định Bài 25 Cho ∆ABC có ∝A = 45 0 , BC = a... kính đường tròn (I) theo a Bài 26 Cho đường tròn (O;R) và điểm M sao cho OM = 2R Từ M vẽ hai tiếptuyến MA và MB với (O) 1 Chứng minh ∆AMB đều và tính MA theo R 2 Qua điểm C thuộc cung nhỏ ≈AB vẽ tiếp tuyến với (O) cắt MA tạiE và cắt MB tại F Chứng minh chu vi ∆MEF không đổi khi Cchạy trên cung nhỏ AB 3 OF cắt AB tại K , OE cắt AB tại H Chứng minh EK ⊥OF 4 Khi sđ BC≈= 900 Tính EF và diện tích ∆OHK theo... tròn 2 Vẽ đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC lần lượt tại Mvà N Chứng minh MN // ED và 4 điểm B, C , M , N cùng thuộcmột đường tròn 3 Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ A đi qua mộtđiểm cố định 4 Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ H cũng đi quamột điểm cố định O’ 5 Tìm độ dài BC để O’ thuộc đường tròn (O) Bài 28 Cho đường tròn (O ; R) có dây BC = R 3 Vẽ đường tròn (M) đườngkính... Tìm vị trí của BC để diện tích ∆ABC lớn nhất 4 Tìm vị trí BC để bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nhỏ nhất Bài 19 Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định M là điểm di chuyển trêncung lớn cungAB Vẽ hình bình hành MABC Vẽ MH ⊥BC tại H cắt (O)tại K BK cắt MC tại F 1 Chứng minh tứ giác FKHC nội tiếp Suy ra K là trực tâm của∆MBC 2 Tia phân giác của ∠ AMB cắt (O) tại E và cắt tia CB tại N.Chứngminh ∆MBN... đường thẳng song song với CD lần lượt cắt (O) và(O’) tại M và N Các đường thẳng BC và BD lần lượt cắt đườngthẳng MN tại P và Q; các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại E.Chứng minh : 1 Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD 2 ∆EPQ cân