De thi vao lop 10 mon toan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015 Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức : x = x +1 2) Cho biểu thức với >= 0; xx −≠111  x +  x − xA P= + x + ÷ a) Chứng minh  x + P2x= x +x5+  x − b) Tìm giá trị x để 2P = x Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vuông góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài V (0,5 điểm)  x+ y +    −  x + y =5 y −1 = −1 y −1 Với a, b, c số dương Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Hết Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015 Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức : x = x +1 2) Cho biểu thức với >= 0; xx −≠111  x +  x − xA P= + x + ÷ a) Chứng minh  x + P2x= x +x5+  x − b) Tìm giá trị x để 2P = x Bài Bài 1.1 (0,5 điểm) Với x = Bài 1.2 (1,5 điểm) b) - Với ta có: - Để 2P = nên Hướng dẫn giải Điểm x > 0; xx + ≠ 11 P22= xx++15 x= x x + x − = - Đưa phương trình 0, 25 +1 0, x = =3⇒ A= = =2 −1 x + a) Chứng minh P= - Với ta có x > 0; x ≠ x   x +1 x−2 x P =  + ÷ x0,( 25x + 2) ÷  x ( x + 2)  x −1 0, 25 x+ x −2 x +1 P= ( x x−(1)(xx ++x 2) 1+ 2) x −x1+ = P= - Vậy vớita có 0, 25 x > 0; xx + ≠ 11 x( x + x 2) x −1 P= x 0, 25 Tính thỏa mãn > loai 0; x)≠  x = x−2( điều kiện 0, 25  ⇔ x = - với x = 1/4 2P  x= x +5 =  Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Bài Bài (2,0 điểm) Hướng dẫn giải (2,0 điểm) - Gọi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo x ( sản phẩm; đk x nguyên dương) Khi thực tế ngày phân xưởng làm số sản phẩm x + (sp) - Số ngày làm theo kế hoạch là: 1100 ngày Số ngày làm thực tế là: ngày 1100 x +5 Vì thời gian thực tế 1100 x 1100 − = kế hoạch ngày , ta có x x+5 phương trình: x1 = −55; x2 = 50 + Giải phương trình tìm 0, 0,5 0,25 0,5 055 Vì nên thỏa mãn điều kiện xx21x==>−50 ẩn, không thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sp 0,25 Bài III (2,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình  + =5 2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường  x + y y −1  thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x   − = −1  x + y y − a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài Hướng dẫn giải Giải hệ phương trình đk  x ≠ y;1y ≠ + = 5(1)  x + y y −1  - Lấy (1) trừ vế  =9⇔ y − 18= ⇔ y = 2(tm) cho (2) ta được:  y −1 − = −4(2) - Thay y = vào (1)  x + y y − Bài 3.1 (1,0 điểm) ta tính x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = ( - 1; )  x = a) - Xét phương trình hoành độ  x = −3 giao điểm: Bài 3.2 (1,0 điểm) x = -x + ⇔ x + x - = ⇔   x = ⇒ y = - Chỉ ra:  x = −3 ⇒ y = - Kết luận: A(2;4) B(-3;9)  Điểm 0,25 0, 0,25 0, 25 0, 25 - b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hoành 0, 25 S∆ OAB = SAA 'B'B − S∆OAA ' − S∆OBB' Ta có Ta có A’B’ = , AA’ =, x − x = xy − 94A ' = A B =x B' A' B' BB’ = Diện tích thang (đvdt) (đvdt); (đvdt) hình AA '+ BB' S 9+4 65 'B'B = AAA 'B' = = : ⇒ S∆ OAB (đvdt) - Kết luận 2 11 S∆OAA 27 OBB'' == AB' ' A.A B.B'O 'O == 65 27   = SAA 'B'B − 2S2∆OAA ' − S∆OBB' =2 −  + ÷ = 15   0, 25 Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vuông góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ .Bài Hướng dẫn giải (3,5 điểm) Hình vẽ: P N F O A B 0,25 M E (0,75 điểm) - Tứ giác AMBN có góc vuông, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R) 0,75 Q Ta có (cùng chắn cung AM · · ANM = ABM (O;R) ) (1 điểm) (1,0 điểm) - Chỉ (cùng phụ với góc MAB) ABM · · = AQB 0,25 0,25 · · ANM = AQB 0,25 - Vì nên MNPQ nối tiếp (do ANM · · = AQB có góc đỉnh góc đối diện ) 0,25 */ Chứng minh: F trung điểm BP - Chỉ OE đường trung bình tam giác ABQ - Chứng minh OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP 0,25 - Nên Suy F trung điểm BP 0,25 */ Chứng minh: ME // NF Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF Xét tam giác vuông NPB có F trung điểm cạnh huyền BP · ONF = 900 Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên · OME = 90 Tương tự ta có nên ME // NF vuông góc với MN 0,25 0,25 = 2R.PQ − AM.AN 2R.(PB + BQ) − AM.AN - Ta thấy : 2SMNPQ ==2S APQ − 2SAMN 0,25 ⇒ BP AB2AB = BP.QB = QB BA - Tam giác ABP (0,5 điểm) đồng dạng tam giác QBA suy PB + BQ ≥ PB.BQ = (2R) = 4R Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 0,25 AM + AN MN - Ta có = 2R AM.AN ≤ = Do đó, Suy 2S SMNPQ 2R =≥ 6R 3R MNPQ ≥ 2R.4R − 2 Dấu xảy AM =AN PQ = BP hay MN vuông góc AB Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c số dương Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài Hướng dẫn giải (0,5 điểm) - Ta có Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Mà (Do a + b +c 2a + bc = (a + b + c)a + bc = 2) (0,5 điểm) = a + ab + bc + ca (a + b) + (a + c) (Áp dụng bất đẳng = (a + b)(a + c) ≤ 0,25 thức với số dương a+b a+c) Vậy ta có (1) (a +2a b) ++ bc (a + c) ≤ Tương tự ta có : (2) (a +2b b) + + ca (b + c) ≤ (a + c) + (b + c) (3) 2c +2 ab 0,25 Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ⇒≤Q ≤ 2(a +2 b + c) = Khi a = b = c = Q = giá trị lớn Q Lưu ý chấm bài: - Điểm toàn không làm tròn - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng - Với 4, học sinh không vẽ hình không chấm