Đề thi - toanhoclavotan HSG SD 20142015

UBND HUYỆN SƠN ĐỘNG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm):Thực phép tính:     1    A = 1 − ÷1 − ÷1 − ÷ ; −2 −1 1  4 1 B = ( 0, 25)  ÷  ÷  ÷ 3  3  4 Câu (6 điểm): a Tìm x biết: x − - 4x = 12 b Tìm x biết: ( + + + 2014 2013 + + + + ) x = 2015 2013 2014 c Chứng minh rằng: Nếu a c 4a + 5b 4c + 5d = = 4a − 5b 4c − 5d b d (Với a, b, c, d ≠ ; 4a ≠ ± 5b; 4c ≠ ± 5d) Câu (3,5 điểm): Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc cm/s, cạnh thứ ba với vận tốc cm/s, cạnh thứ tư với vận tốc cm/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Câu (5,5 điểm): Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M, N a Chứng minh rằng: DM = EN b MN cắt BC I Chứng minh I trung điểm MN c Chứng minh đường thẳng vng góc với MN I ln qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu (1 điểm): Cho f ( x) = ax + bx + c víi a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f (2) f (3) ≤ BiÕt r»ng 13a + b + 2c = Hết -Họ tên: ……………………………………………… SBD: ………………… PHỊNG GD&ĐT SƠN ĐỘNG HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN NĂM HỌC 2014-2015 Câu Câu Ý A B a Nội dung A= Điểm = 4 2 2 4 1 B =  ÷ ( 3)  ÷ 4 3 = 1 32.42.4 = 42.32 Nếu x ≥ thì: x − - 4x = 12 ⇔ 2x – - 4x = 12 ⇔ -2x = 18 ⇔ x= -9 ( KTM) Nếu x < thì: x − - 4x = 12 ⇔ – 2x - 4x = 12 ⇔ -6x = ⇔ x = -1 (TM) 0,75 0,75 0,5 Vậy x = -1 b Câu ( 1 2014 2013 + + + + + + + ) x = 2015 2013 2014 1 2013 2012 ⇔ ( + + + +1+ + + +1+ +1+1 ).x = 2015 2013 2014 0,5 1 2015 2015 2015 2015 2015 ⇔ ( + + + + + + + + ).x = 2015 2013 2014 2015 0,5 1 1 1 1 ⇔ ( + + + + + ) ⇔ x = 2015 ).x = 2015( + + 2015 2013 2014 2015 0,5 0,5 KL a c a b = ⇔ = b d c d Với a, b, c, d ≠ , 4a ≠ ± 5b, 4c ≠ ± 5d, ta có 0,5 Áp dụng TC dãy tỉ số ta có : a b 4a 5b 4a + 5b 4a − 5b 4a + 5b 4c + 5d ⇔ = = = = = = c d 4c 5d 4c + 5d 4c − 5d 4a − 5b 4c − 5d Câu KL Giả sử thời gian chuyển động cạnh thứ nhất, thứ ba, thứ tư x, y, z (giây) 0,5 0,5 ⇒ thời gian chuyển động cạnh thứ hai x (giây) Quãng đường mà vật chuyển động cạnh thứ nhất, thứ ba, thứ tư 5x, 4y, 3z Mà độ dài cạnh hình vng nên ta có : 5x = 4y = 3z (1) Tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây nên có : x + x + y + z = 59 Từ (1) ⇒ x y y z x y z = , = ⇒ = = 12 15 20 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : ⇒ x =12, y =15, z = 20 KL : Độ dài cạnh hình vng : 5.12 = 60(cm) 0,5 0,5 x y z 2x + y + z 59 = = = = =1 12 15 20 24 + 15 + 20 59 0,5 0,5 a Xét ∆BDM = ∆CEN có: BD = CE (gt) , µ =E µ = 900 ( MD, NE ⊥ BC) D 2đ ·ABC = ECN · ( = ·ACB ) ⇒ ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) ⇒ DM = EN µ =E µ = 900 Xét ∆MDI ∆NEI có: D Câu b c Câu DM = EN ( Theo câu a) · · ( So le MD // NE) DMI = ENC ⇒ ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) ⇒ IM = IN Vậy I trung điểm MN Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ⇒ Cần chứng minh O điểm cố định Nối O với B, C Vì đường thẳng OA cố định nên cần chứng minh OC cố định hay OC ⊥ AC · · Chứng minh ∆OAB = ∆OAC (c.c.c) ⇒ OBA (1) = OCA · · Chứng minh ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ⇒ OBA = OCN 2đ 0,5 (2) · · · · · · Từ 1, ⇒ OCA mà OCA =900 + OCN = 1800 ⇒ OCA = OCN = OCN ⇒ OC ⊥ AC ⇒ O điểm cố định Vậy D di chuyển cạnh BC đường thẳng vng góc với MN I qua điểm cố định f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c ⇒ f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = ⇒ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c) ≤ 0,5 0,5 0,75 0,25 Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa - Học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm hình ... TỐN NĂM HỌC 201 4-2 015 Câu Câu Ý A B a Nội dung A= Điểm = 4 2 2 4 1 B =  ÷ ( 3)  ÷ 4 3 = 1 32.42.4 = 42.32 Nếu x ≥ thì: x − - 4x = 12 ⇔ 2x – - 4x = 12 ⇔ -2 x = 18 ⇔ x= -9 ( KTM) Nếu... ⇔ 2x – - 4x = 12 ⇔ -2 x = 18 ⇔ x= -9 ( KTM) Nếu x < thì: x − - 4x = 12 ⇔ – 2x - 4x = 12 ⇔ -6 x = ⇔ x = -1 (TM) 0,75 0,75 0,5 Vậy x = -1 b Câu ( 1 2014 2013 + + + + + + + ) x = 2015 2013 2014... - ( 9a + 3b + c) Vậy f (-2 ).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2 b + c) ≤ 0,5 0,5 0,75 0,25 Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa - Học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai