DeDA chuyen Toan HVT 20112012

SỞ GD & ĐT HỒ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011 – 2012 TRƯỜNG THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ Đề thức ĐỀ THI MƠN TOÁN CHUYÊN Ngày thi: 30 tháng năm 2011 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 01 trang Bài (2 điểm) 1) Cho a    2 Chứng minh a nghiệm phương trình a  3a   2) Tìm số tự nhiên n để n3  4n  2n  15 số nguyên tố Bài (2 điểm) 1) Giải phương trình x  10  x  2 � �x  y  xy  y  x  2) Giải hệ phương trình �2 �x  y  x  12  Bài (3 điểm) 1) Cho tam giác ABC cân A, hai đường cao AH BK có độ dài 10(cm) 12(cm) Tính độ dài cạnh tam giác ABC 2) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x  xy  3x  y   3) Chứng minh rằng: x     0,  x �0 x2 x Bài (2 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính CD; dây cung AB vng góc với CD điểm I Lấy điểm E thuộc cung nhỏ BC, nối EI cắt đường tròn F ( F �E ) Gọi M, N giao điểm AB với CF ED Chứng minh rằng: 1) DI.DC = DN.DE 2) IM = IN Bài (1 điểm) Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn a  b  c  2051 Chứng minh tích abc chia hết cho khơng chia hết cho 12 Hết Họ tên thí sinh: SBD: Phòng thi: … Giám thị (họ tên, chữ ký): Giám thị (họ tên, chữ ký): SỞ GD & ĐT HỒ BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 Trường THPT chuyên Hoàng Văn Thụ Hướng dẫn chấm Toán (chuyên) Bài Phần 1 Kiến thức đạt Điểm GT suy ra: a3    0,5 �3 1 �2   3  3 2 2 � 2 � � � � �   3a Từ có: a3 - 3a - = (đpcm) 0,5 Ta có: n3 - 4n2 - 2n + 15 = ( n - )( n2 - n - ) số nguyên tố n - = �1 n2 - n - = �1 0,5 Giải tìm n = 2, n = 4, n = Thử lại thấy n = 2, n = thỏa mãn toán Điều kiện: �x �10 x  10  x  �  0,5 x  10  x   16 x 1 � � � x  10 x   � � KL: PT có nghiệm x9 � 0,5 x  2y � Biến đổi PT thứ hệ thành: ( x  y )( x  y  1)  � � x  1 y � 0,5 + Với x = 2y, vào PT thứ hai hệ được: y  y   � y  2 , 0,5 TH hệ có nghiệm (x; y) = (-4; -2) + Với x = - y, vào PT thứ hai được: y  19  � y  19 , TH hệ có � 11 19 �  ; � KL: nghiệm ( x; y )  � � 8� Xét x = -2 không thỏa mãn PT 0,5 Xét x �2 ta có: x  xy  x  y   � y  x  3x   x 1  x2 x2 Lập luận dẫn đến TH: x   �3, x   �1 0,5 Từ tìm cặp (x;y) thỏa mãn toán là: (1;0), (-5;-10), (-1;-6), (-3;-4) Đặt AB = AC = x, BC = y Có: 1 AH BC  BK AC � y  x (1) 2 AB2 = AH2 + BH2 � x  0,5 y2  100 (2) Kết hợp (1), (2) tìm được: x  25 , y  15 KL: 0,5 0,5 2 Viết lại điều phải chứng minh: ( x  )  (  3)  x x Giải thích khơng có giá trị x: x   3 x x F 0,5 A M D O C I N E B Chứng minh DIN : DEC ( g  g ) Suy DI DE  � DI DC  DE.DN DN DC 0,5 0,5 �  FED � Có: FCD (1) �  IEN � (2) Dễ chứng minh tứ giác CENI nội tiếp nên ICN 0,5 �  ICN � ; gt lại có CI MN vng góc, dẫn đến tam giác Từ (1) (2) ta có MCI 0,5 MCN cân C, suy ra: MI=IN ( đpcm) Chú ý: Đây trường hợp đặc biệt toán bướm Chứng minh với số tự nhiên a có a chia cho số dư 0,25 + Số 2051 chia cho dư 2, nên số a ; b2 ; c phải có số chia hết 0,25 cho 3, suy số a; b; c có số chia hết cho (vì số nguyên tố) + Số 2051 chia cho dư 3, nên số a ; b ; c chia cho dư 1, dẫn 0,25 đến a; b; c lẻ -> tích abc khơng chia hết cho Suy tích a.b.c chia hết cho khơng chia hết cho 12 Lưu ý: Mọi cách giải khác cho điểm tương ứng 0,25