Đề thi học sinh giỏi lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc (khối không chuyên) năm học 20112012

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC —————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ———————————— Câu 1 (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: 2 2 1 1 2x x x x        x . 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x ( m là tham số):     2 2 3 2 1 1 0x m x m m      có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn điều kiện 1 2 4x x  . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:   3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 8P x x x x x x     . Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình: 2 3 2 4 2 1 ( , ) (2 1) 1 x x y xy xy y x y x y xy x                 . Câu 3 (1,5 điểm). Cho ,x y là hai số thực dương thoả mãn điều kiện     2 2 1 1 2012x x y y     . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x y  . Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng OA OB OC OH       và ba điểm O, H, L thẳng hàng. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho     MAB MBC MCD MDA     . Chứng minh đẳng thức sau: 2 2 2 2 cot 2 . .sin AB BC CD DA AC BD       , trong đó  là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm   7 5 13 5 1; 5 , ; , ; 2 2 2 2 M N P               (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm   1; 1Q  và điểm A có hoành độ dương. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh……………….