Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán – Sở GD & ĐT Bắc Giang năm học 2015 – 2016 hay Thời gian làm 120 phút Thầy cô em tham khảo Xem thêm: Đề thi vào lớp 10 môn Anh – Nam Định hay SỞ GD & ĐT Bắc Giang ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN: TOÁN Năm học 2015 – 2016 Thời gian làm 120 phút Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: Câu 2: 1) Cho biểu thức: a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa, rút gọn A b) Tìm số phương x cho A có giá trị số nguyên 2) Tìm giá trị m để phương trình: x2 + mx + m2 – = có hai nghiệm phân biệt x1;x2 cho: x1 + 2x2 = Câu Cho quãng đường AB dài 150 km Cùng lúc có xe thứ xuất phát từ A đến B, xe thứ hai từ B A Sau xuất phát xe gặp Biết thời gian quãng đường AB xe thứ nhiều xe thứ hai 30 phút Tính vận tốc xe Câu Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Điểm C điểm (O) C≠A,B Tiếp tuyến C cắt tiếp tuyến A,B P,Q a Chứng minh: BQ =R2 b Chứng minh: AB tiếp tuyến đường tròn đường kính PQ c Gọi M giao điểm OP với AC, N giao điểm OQ với BC Chứng minh: PMNQ tứ giác nội tiếp d Xác định vị trí điểm C để đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ có bán kính nhỏ Câu Cho a, b, c > thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ==== Hết ==== ĐÁP ÁN ĐỀ THI TOÁN VÀO LỚP 10 – BẮC GIANG Câu a) 2x2 + (√ – 2)x – √ = (1) Phương trình (1) phương trình bậc hai có tổng hệ số a+ b + c = + (√3 -2) + (-√ 3) = nên có hai nghiệm: Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: b) x4 – 2x2 – = (2) Đặt t = x2, với t ≥ phương trình (2) trở thành t2 – 2t – = ⇔ (t + 2) ( t – 4) = ⇔ t = –2 (loại) t = (thỏa mãn) Với t = x2 = ⇔ x = ±2 Vậy tập nghiệm phương trình (2) {–2;2} c) Vậy nghiệm hệ phương trình (2;3) Câu Để A có nghĩa, điều kiện là: Với điều kiện trên, ta có: b) Vậy giá trị x cần tìm x = x = 16 2) x2 + mx + m2 – = (1) Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ⇔ ∆ = m2 – 4(m2 – 3) > ⇔ –3m2 +12 > ⇔ m2< ⇔ –2 < m < Hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức x1 + 2x2= 0=> x1 = – 2x2 Thử lại: + Với m = 1: (1) ⇔ x2 + x – = ⇔ x1 = –2; x2 = ™ + Với m = –1: (1) ⇔ x2 – x – = ⇔ x1 = 2; x2 = –1 ™ Vậy m = ± giá trị cần tìm Câu 3: Gọi vận tốc xe từ A đến B x (km/h) (x > 0) Gọi vận tốc xe từ B đến A y (km/h) (y > 0) Sau giờ, quãng đường xe từ A 3x (km) quãng đường xe từ B 3y (km) Sau kể từ xuất phát, hai xe gặp nhau, ta có phương trình 3x + 3y = 150 (1) Thời gian quãng đường AB xe từ A 150/x (giờ) xe từ B 150/y (giờ) Theo ta có phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ⇔ x = 20 x = 150 x = 20 ⇒ y = 30 ™ x = 150 ⇒ y = –100 (loại) Vậy vận tốc hai xe 20km/h 30km/h Câu a) Vì AP CP tiếp tuyến (O) nên OA ⊥ AP, OC ⊥ PC Xét tam giác vuông OAP tam giác vuông OCP có: Tương tự ta có: Từ (2) (4) ta có: ⇒ ∆ POQ vuông O Từ (1), (3) áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OPQ ta có: AP.BQ = CP.CQ = CO2 = R2 (đpcm) b) Xét tam giác vuông OPQ, gọi I trung điểm cạnh huyền PQ, đó: IP = IQ = IO ⇒ O thuộc đường tròn đường kính PQ (5) Mặt khác, AP // BQ nên APQB hình thang nhận IO đường trung bình, suy OI // BQ Mà BQ ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB (6) Từ (5) (6) ⇒ AB tiếp tuyến đường tròn đường kính PQ O c) Vì OC = OA = R, PC = PA (cmt) nên PO trung trực đoạn AC ⇒ PO ⊥ AC Tương tự QO ⊥ BC Tứ giác OMCN có ba góc vuông nên hình chữ nhật ⇒ OMCN tứ giác nội tiếp => ∠ OMN = ∠OCN(hai góc nội tiếp chắn cung ON) (7) Mặt khác, tam giác OCQ OCN vuông, suy ra: ∠OCN = ∠PQO (cùng phụ với ∠CON ) (8) Từ (7) (8) ⇒ ∠OMN = PQO Mặt khác ∠OMN + ∠PMN = 180º ⇒ ∠PQO + ∠PMN = 180 º ⇒ Tứ giác PMNQ tứ giác nội tiếp d) Gọi H, I trung điểm MN, PQ K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PMNQ Ta có: KH ⊥ MN KI ⊥ PQ Vì OP trung trực AC (cmt) nên M trung điểm AC, tương tự N trung điểm BC Vì MN // AB, OI ⊥ AB ⇒ MN ⊥ OI Mà MN ⊥ KH nên OI // KH Mà KI // HO (cùng vuông góc PQ) nên OIKH hình bình hành ⇒ KH = OI ≥ OC = R (10) Bán kính đường tròn (K) KN Từ (9) (10) ta có: Dấu xảy ⇔ OI = OC ⇔ O ≡ C ⇔ OC ⊥AB ⇔ C điểm cung AB Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp PMNQ nhỏ C điểm cung AB đường tròn (O) CÂU Áp dụng BĐT Cô–si cho số không âm, ta có: Tương tự ta có: Cộng vế (1), (2) (3) ta có: Thay điều kiện a + b + c = ta được: Dấu xảy a = b = c = ———————- HẾT ———————– ... Mà KI // HO (cùng vuông góc PQ) nên OIKH hình bình hành ⇒ KH = OI ≥ OC = R (10) Bán kính đường tròn (K) KN Từ (9) (10) ta có: Dấu xảy ⇔ OI = OC ⇔ O ≡ C ⇔ OC ⊥AB ⇔ C điểm cung AB Vậy bán kính... phương trình: Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: ⇔ x = 20 x = 150 x = 20 ⇒ y = 30 ™ x = 150 ⇒ y = 100 (loại) Vậy vận tốc hai xe 20km/h 30km/h Câu a) Vì AP CP tiếp tuyến (O) nên OA ⊥ AP, OC ⊥ PC