07A phương pháp khử gauss

Bài Phương pháp khử ẩn liên tiếp (Khử Gauss) I Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang) II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) I Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ TAM GIÁC ĐN: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác n ẩn số x1 , x ,K , x n hệ có dạng: �a11x1  a12 x  L � a 22 x  L � � L L � � � a ii �0, i  1, 2,K , n  a1n x n  a 2n x n L a nn x n  b1  b2 L  bn Đặc điểm hệ tam giác: • Số phương trình số ẩn; • Từ xuống ẩn dần; • Phương trình cuối có ẩn (Rút từ đặc điểm trên) Cách giải: Thế từ lên trên, ta tìm nghiệm NX: Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác có nghiệm I Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ TAM GIÁC VD: Giải hệ tam giác: 2x  y  3z  � � 3y  2z  � � 2z  � Từ phương trình cuối tính được: z3 Thế z  vào phương trình thứ ta được: y 1 Thế y  1, z  vào phương trình thứ ta được: x  2 Vậy nghiệm hệ là:  x  2, y  1, z  3 I Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ HÌNH THANG Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang n ẩn số x1 , x ,K , x n ĐN: hệ có dạng: �a11x1  a12 x  L � a 22 x  L � � L � � � a ii �0,  a1m x m  L  a1n x n  b1  a 2m x m  L  a 2n x n  b2 L L  L  a mn x n L  bm L a mm x m i  1,2,K ,m Đặc điểm hệ hình thang: • Số phương trình nhỏ số ẩn (m < n); • Từ xuống ẩn dần; • Phương trình cuối có nhiều ẩn I Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ HÌNH THANG Cách giải: Xét hệ hình thang: a11x1 � � � � � � �  a12 x a 22 x L  L  L L   a1m x m a 2m x m L a mm x m  L  L L  L  a1n x n  a 2n x n L  a mn x n Trong hệ hình thang trên: Các ẩn x1 , x ,K , x m gọi ẩn chính; Các ẩn x m 1 , x m  ,K , x n gọi ẩn tự Bước 1: Gán cho ẩn tự giá trị thực bất kỳ; Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với ẩn chính, giải hệ tam giác   b1 b2 L  bm I Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản HỆ HÌNH THANG Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �x  2y  3z  t  � y  2z  3t  � Bước 1: Đặt z  , t  ; ,  ��; Đưa hệ dạng tam giác: �x  2y  3    � y  2  3  � Bước 2: Giải hệ tam giác ta nghiệm: �x  7  7  � �y  2  3  Vậy nghiệm hệ hình thang là:  x  7  7  1, y  2  3  1, z  , t    ; NX: ,  �� Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vơ số nghiệm II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) CC: Biến đổi sơ cấp Hệ Bất kỳ PP: Khử Gauss Hệ TG/ HT Xét hệ phương trình: �a11x1 �a x � 21 � �L � a m1x1 �   a12 x a 22 x L  a m2x2  L  L L  L     a1n x n a 2n x n L  a mn x n b1 b2 L  bm a Khử a i1 cách nào? Lấy pt(i) cộng vào  i1 lần pt(1), i = 2,…,n Trong trình khử xuất PT: 0.x1  0.x  L  0.x n  b a11x1 � � � � � � �  a12 x a� 22 x L a� m2 x  L  L L  L   a11 Nếu b = loại khỏi hệ; Nếu b ≠ PT Vô nghiệm a1n x n a� 2n x n L  a� mn x n   b1 b� L  b� m II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Q trình tiếp tục…, ta có khả sau xảy ra: • Hệ nhận vô nghiệm (ứng với b ≠ trên); • Hệ nhận có dạng tam giác; • Hệ nhận có dạng hình thang � Một hệ phương trình tuyến tính có khả có nghiệm? NX: Một hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm, có nghiệm, vơ số nghiệm Chú ý: Thay thực khử Gauss trực tiếp hệ, ta khử ma trận mở rộng Việc thực phép biến đổi sơ cấp hệ thay thực phép biến đổi sơ cấp tương ứng ma trận mở rộng hệ Cụ thể: Đổi chỗ phương trình hệ; Đổi chỗ dòng tương ứng ma trận; Nhân phương trình với số α ≠ 0; Nhân dòng tương ứng với số α; Cộng vào phương trình (i) bội k lần phương trình (j); Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j); II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �x  3y  2z  � �2x  y  3z  � 3x  y  z  � Giải: Ma trận mở rộng hệ là: �1 2 � � A�  � � � 3 1 � � � Thực khử Gauss cách biến đổi ma trận mở rộng A ta được: �1 2 ��(2) �3 � �1 A�  � � � 3 1 � �1 � � 2 � �1 � �� � �0  7 ��17 �� � � �0 10 5 ��15 � � 2 1� � 2 � � � � �2 �� � B � �  1  1 � � � � � � � 1 1��1 0 3� � � � Ma trận B có dạng tam giác Giải hệ TG nghiệm là:  x  1, y  2, z  3 II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: �2x  y  3z  4t  � 3x  2y  7z  9t  7 � �5x  2y  5z  7t  � Giải: Ma trận mở rộng hệ là: �2 1 4 � � A�    � � �5 2 7 � � � Thực khử Gauss cách biến đổi ma trận mở rộng A ta được: �2 1 4 � �3 �( 5) ��2 A�    �� � � � �5 2 7 ��2 � � � 1 4 � � ��(1)   � � �0 5 5 � �1 � � Ma trận B có Giải hệ HT 1 4 � � dạng hình thang nghiệm là: � �    B � �  x      1, y  5  6  5, z  , t    ; � � 0 0 � � ,  �� đó: II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: � x �2x � � �3x � 4x �  3y  z  2t  y  3z  t  y  z  2t  3y  z  5t     2 Giải: Thực khử Gauss cách biến đổi ma trận mở rộng A : �1 1 �2 1 1 A� �3 1 � 4 3 5 � 1 � �0 �� �� �0 � �0 0 � �2�3�(4) �1 5� � �� � �1 2� � �1 2� 1 � �0 � �0 10 � �0 15 1 � 1 � �0 5� � �� �� �0 4 8 � �2 � � 4 17 � �1 �0 Vậy hệ phương trình vơ nghiệm 0 1 0� �(2) �3 5� � �1 2 � � �1 13 � 1 4 2 0� 5� � 8 � � 1� ... NX: ,  �� Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có vơ số nghiệm II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) CC: Biến đổi sơ cấp Hệ Bất kỳ PP: Khử Gauss Hệ TG/ HT Xét hệ phương trình: �a11x1... đó: II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: � x �2x � � �3x � 4x �  3y  z  2t  y  3z  t  y  z  2t  3y  z  5t     2 Giải: Thực khử Gauss cách... II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �x  3y  2z  � �2x  y  3z  � 3x  y  z  � Giải: Ma trận mở rộng hệ là: �1 2 � � A�  � � � 3 1 � � � Thực khử