Đa phần các phương pháp có thể áp dụng cho hs THPT học và luyện thi. CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Tài liệu này được sử dụng kèm giáo trình Giải Tích 1Tô Văn Ban) Phương Pháp 1: Khử nhân tử chung (dạng ) Phương Pháp 2: Nhân lương liên hiệp Phương Pháp 3: Thay thế tương đương bằng các đại lượng VCB Phương Pháp 4: Dùng phương pháp chặn cụt của một khai triển hữu hạn Phương Pháp 5: Khử dạng Phương Pháp 6: Đặt ẩn phụ Phương Pháp 7: Tách Phương Pháp 8: Phương pháp khử dạng vô định Phương Pháp 9: Sử dụng định lý kẹp Phương Pháp 10: Phương pháp số hạng vắng
CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Tài liệu này được sử dụng kèm giáo trình Giải Tích 1-Tô Văn Ban) • Phương Pháp 1 : Khử nhân tử chung (dạng 0 0 ) Ví dụ 1. 4 0 (1 ) 1 lim t t t → + − Ta có: 2 4 2 0 0 0 ( 2) (1 ) 1 (1 ) 1 lim lim lim( 2) (1 ) 1 4. t t t t t t t t t t t → → → + + + + − = = + + + = Bài tập tương tự: Bài 14: k. • Phương Pháp 2: Nhân lương liên hiệp Ví d ụ 2. 2 3 0 ( 1 cos )arcsin lim x x x x x → − − Ta có: 2 2 3 2 ( 1 cos )arcsin 1 cos arcsin . x x x x x x x x x − − − − = • 0 arcsin lim 1 x x x → = • ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 1 cos 1 cos sin lim lim lim 1 cos 1 cos x x x x x x x x x x x x x x x x → → → − − − − − = = − + − + ( ) ( ) 2 2 2 0 0 2 2 2 sin 1 1 1 lim lim 1. 0. 2 2 1 cos 1 cos x x x x x x x x x x → → = − = − = − + − + Vậy 2 3 0 ( 1 cos )arcsin lim 0. x x x x x → − − = Bài tập tương tự: Bài 12: 10,14. Bài 14: h. • Phương Pháp 3: Thay thế tương đương bằng các đại lượng VCB (Sinh viên cần xem lại các công thức thay tương đương trang 65) Thái Trần Phương Thảo 1 Ví d ụ 3. 2 0 lim lncos x x x → 2 2 0 0 lim lim . lncos ln(cos 1 1) x x x x x x → → = − + Ta có: 2 ln(1 cos 1) cos 1 . 2 x x x+ − − −: : Suy ra, 2 2 2 2. ln(cos 1 1) 2 x x x x → − − + − : Bài tập tương tự: Bài 12: 8, 21. Bài 13: e, h. • Phương Pháp 4: Dùng phương pháp chặn cụt của một khai triển hữu hạn Chú ý: Sinh viên cần đọc thêm: Các công thức khai triển Maclaurin trang 116-118. Chặn cụt một khai triển hữu hạn trang 124-125. Ví d ụ 4. 3 0 sin (1 ) lim x x e x x x x → − + Ta có: 2 3 2 3 3 3 1 ( ) ( ) (1 ) 2 6 sin (1 ) x x x x o x x o x x x e x x x x x + + + − + − + ÷ ÷ − + = 3 4 3 5 5 3 2 4 5 3 5 2 3 3 3 3 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 2 12 2 6 ( ) 1 1 1 2 6 . 2 6 3 x x x x x x o x x o x o x o x o o x x x x x x o x x − + + − + + − + + − + − − ÷ = − + = → − = Câu hỏi đặt ra: Tại sao ở cách giải trên ta chặn cụt khai triển x e ở bậc 2? Gợi ý:Ta xét cách giải bài toán trên như sau: 3 3 2 2 3 3 3 (1 ( )) ( ) (1 ) 6 sin (1 ) ( ) x x x o x x o x x x e x x x x x o x x x x + + − + − + ÷ − + + + = = . Sinh viên hãy tìm ra chổ chưa ổn ở cách giải trên? Ví dụ 5. Sinh viên hãy tìm lỗi sai trong cách giải sau và đề xuất cách giải đúng. Thái Trần Phương Thảo 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 0 0 0 sin cos cos sin lim lim lim 1 sin x x x x x x x x x x x x x x → → → − − = = = . Bài tập tương tự: Bài 12: 15, 17, 18, 27, 30. Bài 13: a. • Phương Pháp 5: Khử dạng 1 ∞ Xét giới hạn ( ) lim ( ) g x x a f x → , khi x a → thì ( ) 1f x → và ( ) .g x → ∞ Đặt ( ) 1u f x = − suy ra 0.u → Ta có 1 1 ( ) ( ) . ( ) ( ( ) 1). ( ) ( ) (1 ) (1 ) (1 ) . g x g x u u u g x f x g x f x u u u − = + = + = + Mặt khác 1 0 (1 ) u u u e → + → nên ( ) lim[ ( ) 1] ( ) lim ( ) g x x a x a f x g x f x e → → − = . Ví d ụ 6. 0 2 1 sin lim x x x x → ÷ Ta có: . . 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 0 2 2 sin lim 1 sin 1 sin sin sin lim 1 1 lim 1 ( ) ( ) sin 1 6 6 . 6 x x x x x x x x x x x x x x x x x e x x x x x x o x o x x x x x x → → → − − − − + − = + = ÷ ÷ − − + − + − = = → − Vậy 1 6 0 2 1 sin lim . x x x e x − → = ÷ Bài tập tương tự: Bài 12: 8, 20, 23, 24. Bài 13: b. Bài 14: e. • Phương Pháp 6: Đặt ẩn phụ Chú ý: Ở dạng bài tập này sinh viên cần phải biết khi x →∞ thì theo thứ tự các hàm tiến ra vô cùng như sau: ln ña thöùc muõ giai thöøa x →+∞ → Ví dụ 7. 0 lim( sin )ln x x x x → − Thái Trần Phương Thảo 3 Xét 0 lim ln . x x x → Đặt ln t t x x e= ⇔ = , 0x → thì t → −∞ . 0 lim ln lim . lim 0. t t x t t t x x e t e − → →−∞ →−∞ = = = Ta có: sin sin ln ln 0.x x x x x x ⇒ → : : Vậy 0 lim( sin )ln x x x x → − =0. Ví dụ 8. lim ( 2arctan )ln x x x π →+∞ − Đặt 2arctan tan 2 t t x x π π − = − ⇔ = ÷ khi x → +∞ thì 0.t → 0 0 0 0 1 lim ( 2arctan )ln lim .ln tan lim .ln 2 tan 2 2 lim .ln lim .(ln2 ln ) 0.ln2 0 0. x t t t t t x x t t t t t t t π π →+∞ → → → → ÷ − − = = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = = − = − = ÷ Bài tập tương tự: Bài 12: 6. Bài 13: i. Bài 14: d, i. • Phương Pháp 7: Tách Ví dụ 9. 0 lim sin x x x e e x − → − 1 sin ( 1) sin x x e x x x e x x x − + − + : : Vậy 0 lim 1 ( 1) 2 sin x x x e e x − → − = − − = . Bài tập tương tự: Bài 14: f. • Phương Pháp 8: Phương pháp khử dạng vô định 0 0 ,0 ∞ Ví dụ 10. ( ) 0 1 ln lim cot x x x → Thái Trần Phương Thảo 4 Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 ln ln ln cot ln cos ln sin lim cot ln limln cot lim lim . ln ln ln x x x x x x x x x A x A x x x x → → → → ÷ = ⇒ = = = − ÷ Ta có: ( ) ln sin ln sin 1. ln ln x x x x x x ⇒ →: : ( ) ( ) ( ) 0 0 2 ln cos ln 1 cos 1 lim lim ln ln ln 1 cos 1 cos 1 2 x x x x x x x x x → → + − = + − − − : : ( ) 2 2 ln 1 cos 1 2 . ln ln 2ln x x x x x x − + − = − : Đặt ln , 0, tt x x = → → −∞ , 2 2 1 lim lim 0. 2 2 t t t t e t te − →−∞ →−∞ − − = = Vậy ( ) 0 1 ln lim cot 1. x x x → = − Bài tập tương tự: Bài 13: d, f, g. • Phương Pháp 9: Sử dụng định lý kẹp Chú ý: lim 0 lim 0 n n n n x x →∞ →∞ = ⇔ = . Ví dụ 11. 2 3sin2 2cos3 lim 2 2 1 x x x x x →∞ + + + Ta có: 2 2 2 3sin2 2cos3 3 2 5 0 . 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x + + ≤ ≤ = + + + + + + 2 2 2 3sin2 2cos3 5 3sin2 2cos3 lim 0 lim 0 lim 0. 2 2 1 2 2 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞ + + = ⇒ = ⇒ = + + + + + + Bài tập tương tự: Bài 14: a, b. • Phương Pháp 10: Phương pháp số hạng vắng Giả sử ( ) ( ) ( ) f x F x g x = có dạng 0 0 . • Bước 1: Phân tích 1 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) f x c f x c f x g x g x + − = + • Bước 2: Tìm c. Gọi ( 1,2, ) i i α = là nghiệm của ( ) 0.g x = Khi đó, c là nghiệm của hệ 1 2 ( ) 0 , 1,2, ( ) 0 i i f c i f c α α + = = − = Thái Trần Phương Thảo 5 Với c tìm được ta sẽ tính được 1 2 ( ) ( ) lim , lim . ( ) ( ) i i x x f x c f x c g x g x α α → → + − Ví dụ 12. 3 3 2 1 7 3 lim 1 x x x x → + − + − 3 3 3 2 3 2 1 1 7 3 7 2 ( 3 2) lim lim 1 1 x x x x x x x x → → + − + + − − + − = − − • ( ) ( ) 3 3 3 2 1 1 1 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 7 2 1 1 1 lim lim lim 1 4 ( 1) (7 ) 2 7 4 (7 ) 2 7 4 x x x x x x x x x x x x x → → → + − − + + = = = − − + + + + + + + + • ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 2 3 2 1 1 1 lim lim lim . 1 2 ( 1) 3 2 3 2 x x x x x x x x x x → → → + − − + = = = − − + + + + Vậy 3 3 2 1 7 3 1 1 1 lim . 1 4 2 4 x x x x → + − + = − = − − Bài tập tương tự: Bài 12: 19. Thái Trần Phương Thảo 6 . CÁC PHƯƠNG PHÁP KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH (Tài liệu này được sử dụng kèm giáo trình Giải Tích 1-Tô Văn Ban) • Phương Pháp 1 : Khử nhân tử chung (dạng 0 0 ) Ví dụ 1. 4 0 (1. − − = . Bài tập tương tự: Bài 14: f. • Phương Pháp 8: Phương pháp khử dạng vô định 0 0 ,0 ∞ Ví dụ 10. ( ) 0 1 ln lim cot x x x → Thái Trần Phương Thảo 4 Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1. tập tương tự: Bài 12: 8, 21. Bài 13: e, h. • Phương Pháp 4: Dùng phương pháp chặn cụt của một khai triển hữu hạn Chú ý: Sinh viên cần đọc thêm: Các công thức khai triển Maclaurin trang 116-118.