PHÂN PHỐI NHỊTHỨC (BINOMIAL DISTRIBUTION) Trong phân phối chuẩn biến ngẫu nhiên biến số liên tục (cân nặng, chiều cao, trị số đường máu ) Bây ta xem biến ngẫu nhiên biến rời rạc (discrete) gọi biến phi liên tục, kết cục có tình xảy như: sống/chết, có bệnh/khơng bệnh, trai/gái… phân bố Ví dụ Thử tung đồng xu, đương nhiên lần tung có kết cục độc lập, có nghĩa kết cục Sấp (S), Ngửa (N) lần sau không tùy thuộc vào kết S,N lần tung trước, xác suất p(N)=1/2 xác suất p (S)=1/2 Nếu ta tung lần muốn mặt N, ta dự đoán xác suất lần N cao nhất, sau 1N N cuối lần tung N khơng có mặt N ( S) có xác suất thấp Như để tính xác suất để có 0,1,2,3,4 mặt ngửa (N) sau lần tung? Cách tính 1: Ta biết xác suất “thực” mặt ngửa ½ (p=0,5) mặt sấp ½ (q=0,5) Gọi k số lần mặt ngửa, tính xác suất với k=0,1,2,3,4: SNNS SNSN K= SSSN SSNN NNNS SSNS NSSN NNSN SNSS NSNS NSNN SSSS NSSS NNSS SNNN NNNN Biểu đố 1: Các tình xảy sau lần tung (n=4) k=0: xác suất để không (k=0) mặt N là: SSSS= q.q.q.q (qui tắc nhân xác suất) = 0,5X0,5X 0,5X 0,5= 0,5 = 0,0625 k=1: có tình mặt N P (k=1) = 0,5 4= 0,25 k=2: có tình mặt N P (k=2) = 0,5 4= 0,375 k=3: tình mặt N P (k=3) =4 0,54= 0,25 k=4: có tình P (k=4) = 0,54 =0,0625 Cách tính 2: Dùng nhịthức Newton: (p+q)4= p4 +4 p3q + 6p2q2 + 4pq3+q4 (0,5+0,5)4= 0,54 +4x 0,54 + 6X 0,54 + 4x 0,534 +0,54 k=0 tương ứng số hạng thứ 1: 0,54 k=1 tương ứng số hạng thứ 2: 4X 0,54 k=2 …………………… 3: 6X 0,54 k=3 …………………… 4: 4X 0,54 k=4 …………………… 5: 0,54 Bây ta gọi X(k=0,1,2…) biến ngẫu nhiên trục hoành p tần số xác suất mặt ngửa trục tung vẻ biểu đồ phân phối (xem biểu đồ 2) Biểu đồ Biểu đồ phân phối nhịthức với n=4 Tổng quát hóa hàm phân phối nhịthức phát biểu sau: Một thử nghiệm với n lần thử độc lập Gọi p xác suất “thành cơng” (ví dụ mặt ngửa) Thì xác suất k lần thử nghiêm thành công là: P (k,n,p) =Cnk pk (1-p)n-k Cnk = n! k=0,1,3… ,n ( Tổ hợp n chập k) n! (n-k)! Nếu n=12, dùng cơng thức tính: P (k=0,12,0,5)= 12! (0,5)12 =0,000244 12! (12!) P (k=1,12,0,5)= 12! (0,5)11 = 0,00292 12! (11!) 12! (0,5)10 = 0,01612 12! (10!) P (k=2,12,0,5)= ……………… P (k=6,12,0,5)= (0,5) = 0,2255 12! 12! (6!) ………… P (k=12,12,0,5)= 12! 12! (12!) (0,5)12 = 0,0000244 Cách tính Vào phần mềm R với lệnh đơn giản: dbinom (k,n,p) Ví dụ: tính xác suất với k=6, n=12 p=0,5: >dbinom (6,12,0.5) P= 0,2255 Biểu đồ Biểu đồ phân phối nhịthức với n=12 Và n tăng dần, phân phối nhịthức có dạng phân phối chuẩn với trị số trung bình = np phương sai 2= np(1-p) theo định luật giới hạn trung tâm (central limit theorem) Biểu đồ Biểu đồ phân phối nhịthức với n=100 Nhìn vào biểu đồ với n lớn (n=100) thấy phân phối nhịthức có phân phối chuẩn với trị trung binh =np=100 x 0,5=50 phương sai 2= 100 x 0,5 x 0,5= 25 độ lệch chuẩn =5 Ứng dụng phân phối nhị thức: Ví dụ Biết tỉ lệ suy dinh dưỡng trẻ em tuổi 20% Nếu khám 10 trẻ tuổi Tính xác suất để có em bị suy dinh dưỡng Như k=2, n=10 p=0,20 Xác suất có trẻ bị suy dinh dưỡng P (k=2,10,0,2)= 10! (0,2)2x (0,8)8 =0,30 10! (8!) tính R: >dbinom (2,10,0.2)=0,30 Kết quả: Xác suất để có em bị suy dinh dưỡng 30% Ví dụ Tỉ lệ suy dinh dưỡng trẻ em 20% (như ví dụ trên).Tính xác suất để có em bị suy dinh dưỡng Như tính tổng xác suất của: P(k=0)+P(k=1)+ P(k=2) Hoặc dùng hàm nhịthức tích lũy (cummulative binomial probability): tính P (X 2) : > pbinom(2,10,0.2)= 0,67 Tài liệu tham khảo: Nguyễn Văn Tuấn Hàm phân phối nhị phân, Phân tích số liệu tạo biểu đồ R Nhà xuất KH KT, Thành phố HCM 2007, tr: 47-50 Moore D.S and McCabe G.P Discrete random variables, in Introduction to the Practice of Statistics, 3rd Edition W.H Freeman and Company 1999 USA, pp: 313-317 TS Nguyễn ngọc Rạng, bsrang.blogspot.com ... …………………… 3: 6X 0,54 k=3 …………………… 4: 4X 0,54 k=4 …………………… 5: 0,54 Bây ta gọi X(k=0,1,2…) biến ngẫu nhi n trục hoành p tần số xác suất mặt ngửa trục tung vẻ biểu đồ phân phối (xem biểu đồ 2) Biểu