TỔNG HỢP LÍ THUYẾT KHỐI ĐA DIỆN

KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHÓP Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy. Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy. Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy. II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN 1. Khái niệm về hình đa diện Hình đa diện là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.  Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác. Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện. Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện. 2. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó. Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong của khối đa diện. Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó. Ta cũng gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của hìn

KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I – KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP Khối lăng trụ phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ kể hình lăng trụ Khối chóp phần khơng gian giới hạn hình chóp kể hình chóp Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt II – KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN Khái niệm hình đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung  Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Khái niệm khối đa diện Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Những điểm khơng thuộc khối đa diện gọi điểm ngồi khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện ứng với đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền khối đa diện Mỗi khối đa diện xác định hình đa diện ứng với Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… khối đa diện theo thứ tự đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… hình đa diện tương ứng d Miền ngồi Điểm N Điểm ngồi M Ví dụ - Các hình khối đa diện: - Các hình khơng phải khối đa diện: Hình b Hình a Hình c Giải thích: Hình a khơng phải hình đa diện tồn cạnh khơng phải cạnh chung hai mặt; Hình b khơng phải hình đa diện có điểm đặc biệt hình, điểm khơng phải đỉnh chung hai đa giác; Hình c khơng phải hình đa diện tồn cạnh cạnh chung bốn đa giác III – HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU Phép dời hình khơng gian Trong khơng gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M  xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo toàn khoảng cách hai điểm tùy ý a) Phép tịnh tiến theo vectơ v , phép biến hình biến điểm M thành điểm M  cho MM   v Kí hiệu Tv b) Phép đối xứng qua mặt phẳng  P  phép biến hình biến điểm thuộc  P  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  P  thành điểm M  cho  P  mặt phẳng trung trực MM  Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng  P  biến hình  H  thành  P  gọi mặt phẳng đối xứng  H  c) Phép đối xứng tâm O phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M  cho O trung điểm MM  Nếu phép đối xứng tâm O biến hình  H  thành O gọi tâm đối xứng  H  d) Phép đối xứng qua đường thẳng  là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng  thành nó, biến điểm M khơng thuộc  thành điểm M  cho  đường trung trực MM  Nếu phép đối xứng qua đường thẳng  biến hình  H  thành  gọi trục đối xứng H Nhận xét  Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình  Phép dời hình biến đa diện  H  thành đa diện  H  , biến đỉnh, cạnh, mặt  H  thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng  H  Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD ABCD Khi đó:  Các hình chóp A ABCD C ABCD (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp A ABCD biến thành hình chóp C ABCD )  Các hình lăng trụ ABC ABC AAD.BBC (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng  ABC D  hình lăng trụ ABC ABC biến thành hình lăng trụ AAD.BBC ) A D C B A D C B O A' B' A' D' C' B' D' C' Hai hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Đặc biệt, hai đa diện gọi có phép dời hình biến đa diện đa diện IV – PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Nếu khối đa diện  H  hợp hai khối đa diện  H1   H  cho  H1   H  khơng có chung điểm ta nói phân chia khối đa diện  H  thành hai khối đa diện  H1   H  Khi ta nói ghép hai khối đa diện  H1   H  để khối đa diện  H  Ví dụ Với khối chóp tứ giác S ABCD , xét hai khối chóp tam giác S ABC S ACD Ta thấy rằng:  Hai khối chóp S ABC S ACD khơng có điểm chung (tức khơng tồn điểm khối chóp điểm khối chóp ngược lại)  Hợp hai khối chóp S ABC S ACD khối chóp S ABCD S D A B C Vậy khối chóp S ABCD phân chia thành hai khối chóp S ABC S ACD hay hai khối chóp S ABC S ACD ghép lại thành khối chóp S ABCD Ví dụ Cắt khối lăng trụ ABC ABC mặt phẳng A' B'  ABC  Khi đó, khối lăng trụ phân chia thành C' hai khối đa diện AABC ABCCB Nếu ta cắt khối chóp ABCCB mặt phẳng  ABC  ta chia khối chóp ABCCB thành hai A B khối chóp ABCB ACCB Vậy khối lăng trụ ABC ABC chia thành ba S C khối tứ diện AABC , ABCB ACCB MỘT SỐ KẾT QUẢN QUAN TRỌNG Kết 1: Một khối đa diện có mặt Kết 2: Mỗi hình đa diện có đỉnh A Kết 3: Mỗi hình đa diện có cạnh D Kết 4: Mỗi đỉnh hình đa diện đỉnh chung cạnh C Kết 5: Khơng tồn hình đa diện có cạnh B Kết 6: Cho  H  đa diện mà mặt đa giác có p cạnh Nếu số mặt  H  lẻ p phải số chẵn Chứng minh: Gọi M số mặt khối đa diện  H  Vì mặt  H  có p cạnh nên M mặt có p.M cạnh Nhưng cạnh cạnh chung hai đa giác nên số cạnh  H  C  pM Vì M lẻ nên p phải số chẵn Kết (Suy từ chứng minh kết 6): Cho  H  đa diện có M mặt, mà mặt pM Kết 8: Mỗi khối đa diện có mặt tam giác tổng số mặt phải số chẵn Chứng minh: Gọi số cạnh số mặt khối đa diện C M Vì mặt có ba cạnh cạnh cạnh chung hai mặt nên ta có số cạnh đa diện 3M C C   M chẵn Kết 9: Mỗi khối đa diện ln phân chia thành khối tứ diện Kết 10: Nếu khối đa diện có đỉnh đỉnh chung ba cạnh số đỉnh phải số chẵn (Tổng quát: Một đa diện mà đỉnh đỉnh chung số lẻ mặt tổng số đỉnh số chẵn) KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ ĐA DIỆN ĐỀU I – KHỐI ĐA DIỆN LỒI Khối đa diện  H  gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm  H  ln thuộc đa giác có p cạnh Khi số cạnh  H  C   H  Khi đa diện giới hạn  H  gọi đa diện lồi Khối đa diện lồi Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng qua mặt Khối đa diện khơng lồi II – KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU Định nghĩa Khối đa diện khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:  Các mặt đa giác n cạnh  Mỗi đỉnh đỉnh chung p cạnh Khối đa diện gọi khối đa diện loại n, p Định lí Chỉ có năm khối đa diện Đó là: Loại 3;3 : khối tứ diện Loại 4;3 : khối lập phương Loại 5;3 : khối 12 mặt Loại 3; 4 : khối bát diện Loại 3;5 : khối 20 mặt Khối tứ diện Khối lập phương Khối đa diện Bát diện Hình 12 mặt Hình 20 mặt Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại Tứ diện 3;3 Khối lập phương 12 4;3 Bát diện 12 3; 4 Mười hai mặt 20 30 12 5;3 Hai mươi mặt 12 30 20 3;5 Chú ý Gọi Ta có tổng số đỉnh, C tổng số cạnh M tổng mặt khối đa diện loại n; p p  2C  nM n  3, p  p 2C nM nM nM  C  6 &    Xét tứ diện 3;3   p M  n  4, p  p 2C nM nM nM  C   12 &    Xét khối lập phương 4;3   p M  n  3, p  p 2C nM nM nM  C   12 &    Xét bát diện 3; 4   p M  n  5, p  p 2C nM nM  C   30 &  Xét khối mười hai mặt 5;3    M  12 n  3, p  p 2C nM nM  C   30 &  Xét khối hai mươi mặt 3;5    M  20  nM  20 p  nM  12 p