Một số bất đẳng thức phi tuyến với thời gian rời rạc Trần Thế Anh Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Luận văn ThS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp; Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Năm bảo vệ: 2013 Keywords Phương pháp tốn sơ cấp; Bất đẳng thức tuyến tính; Bất đẳng thức sai phân; Toán học 3 Mở đầu Bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng phát triển tất nhánh Toán học khoa học khác Nó xuất vào kỉ XVIII nhờ công nhà toán học K.F.Gauss (1777-1855), A.L.Cauchy (1789-1857) P.L.Chebyshev (1821-1894) ngày phát triển sâu rộng, trở thành trung tâm thu hút ý nhà Toán học Ngày nhiều bất đẳng thức đời trở thành công cụ quan trọng phục vụ cho lĩnh vực khoa học nói chung Tốn học nói riêng Vì thế, việc nghiên cứu bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức sai phân, toán quan trọng lý thuyết phương trình sai phân cần thiết Các kết nghiên cứu theo lĩnh vực áp dụng ngày nhiều lĩnh vực lý thuyết xác suất, thống kê, tổ hợp, lý thuyết số, hình học, tốn kinh tế, sinh học, tâm lý, xã hội học Vì lẽ đó, việc nghiên cứu bất đẳng thức sai phân có ý nghĩa thực tiễn to lớn Dạng tổng quát bất đẳng thức sai phân φn (x1 , · · · · · · · · · , xn ) ≤ 0, n ∈ N Nếu ta giải biến xn theo biến lại ta nhận bất đẳng thức sai phân dạng sau xn ≤ fn (x1 , · · · · · · · · · , xn−1 ) Bài tốn bất đẳng thức sai phân tìm cách ước lượng độ tăng (xn ), tức tìm dãy (φn ) cho ta có ước lượng xn ≤ φn , ∀n ∈ N Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, trình bày số khái niệm số định lý, bất phương trình, bất đẳng thức sai phân liên quan đến bất đẳng thức Gronwall-Bellman Nội dung luận văn trình bày lại chương chương tài liệu " Difference equations and inequalities- Theory, Methods and Applications " tác giả Ravi P Agarwal, đồng thời cố gắng tìm tòi, khám phá thêm ứng dụng để phục vụ cho việc giảng dạy toán phổ thông Luận văn gồm phần mở đầu hai chương • Chương Bất đẳng thức sai phân biến Chúng ta biết bất đẳng thức cung cấp cho ta nguyên lý so sánh tổng quát việc nghiên cứu tính chất định tính định lượng nghiệm phương trình liên quan Bất đẳng thức tiếng Gronwall ví dụ cho tốn tử khơng đổi κ nghiệm xác phương trình w = p + κw cung cấp cận số tất nghiệm bất phương trình u ≤ p + κu Chúng ta bắt đầu chương với bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức phi tuyến, sai phân, hệ hữu hạn bất đẳng thức, cuối bất đẳng thức Opial Wirtinger • Chương Bất đẳng thức sai phân nhiều biến độc lập Các bất đẳng thức chương mở rộng cho hàm m biến độc lập Các bất đẳng thức sử dụng công cụ việc nghiên cứu phương trình sai phân phần Chúng ta bắt đầu chương với khái niệm hàm Riemann rời rạc sử dụng hàm để nghiên cứu bất đẳng thức tuyến tính Gronwall Wendroff Tiếp theo bất đẳng thức phi tuyến bất đẳng thức sai phân bậc cao với hai biến độc lập Sau đó, chuyển qua xem xét khơng gian tuyến tính nhiều chiều với bất đẳng thức tuyến tính phi tuyến khơng gian Cuối cùng, mở rộng bất đẳng thức Opial Wirtinger với hai biến độc lập 71 Tài liệu tham khảo TIẾNG VIỆT 1- Lê Đình Định, Bài tập Phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo Dục, 2012 2- Phan Huy Khải, Bất đẳng thức ứng dụng, Nhà xuất Giáo Dục, 2010 TIẾNG ANH 3- Ravi P Agarwal, Difference equations and inequalitiesTheory, Methods, and Applications, Marcel Dekker, Inc, 2000 ... cung cấp cận số tất nghiệm bất phương trình u ≤ p + κu Chúng ta bắt đầu chương với bất đẳng thức Gronwall, bất đẳng thức phi tuyến, sai phân, hệ hữu hạn bất đẳng thức, cuối bất đẳng thức Opial... đầu chương với khái niệm hàm Riemann rời rạc sử dụng hàm để nghiên cứu bất đẳng thức tuyến tính Gronwall Wendroff Tiếp theo bất đẳng thức phi tuyến bất đẳng thức sai phân bậc cao với hai biến... Sau đó, chuyển qua xem xét khơng gian tuyến tính nhiều chiều với bất đẳng thức tuyến tính phi tuyến không gian Cuối cùng, mở rộng bất đẳng thức Opial Wirtinger với hai biến độc lập 71 Tài liệu